tv_mat-stat_2

Задачи по теории вероятностей и математической статистике.
1. Из ящика с 10 одинаковыми карточками, на которых написаны цифры 0, 1,…,9 два раза
с возвращением вынимаются по одной карточке. Введем случайные величины: Х 1– цифра
на 1-й карточке, Х2– цифра на 2-й карточке, Х= Х1+Х2. Найти распределение случайных
величин Х1, Х2, Х. Найти вероятность события { Х 2}. Найти производящие функции
случайных величин Х1, X. Найти E Х1, DX1, E Х. Нарисовать график функции
распределения с.в. X1.
2. В опыте, описанном в задаче 1, введем случайную величину Z, равную числу четных
чисел на вынутых карточках. Величины Z1 и Z2 определим равенствами: Z1=1, если на 1-й
карточке четная цифра, и Z1=0 в противном случае; Z2=1, если на 2-й карточке четная
цифра, и Z2=0 в противном случае. Найти законы распределения Z1, Z2, Z. Найти
производящие функции случайных величин Z2, Z. Найти E Z2, E Z, DZ. Нарисовать график
функции распределения с.в. Z.
3. Брошено две игральные кости. Найти закон распределения случайной величины Х,
равной сумме выпавших очков. Найти вероятность событий: {Х4}, {Х>4}. Найти E X,
DX. Нарисовать график функции распределения с.в. Х.
4. Пусть Х– сумма числа очков, выпавших при бросании 100 игральных костей. Найти
производящую функции Х, Е Х, DХ.
5. Вероятность хотя бы одного попадания стрелком в мишень при 3 выстрелах равна p.
Найти вероятность попадания при одном выстреле.
6. В урну, содержащую 2 шара, опущен белый шар, после чего из нее на удачу извлечен
один шар. Найти вероятность того, извлеченный шар окажется белым, если
равновозможны все возможные предположения о первоначальном составе шаров по
цвету.
7. В первой урне содержатся 10 шаров из них 8 белых; во второй урне 20 шаров из них 4
белых. Из каждой урны наудачу извлекли по одному шару, а затем наудачу из них взят
один шар. Найти вероятность того, что взят белый шар.
8. Монету подбрасывают 5 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет: а) менее 2 раз.
б) не менее 2 раз.
9. Дискретная случайная величина Х принимает 3 возможных значения: х 1=4 с
вероятностью р1= 0,5; х2=6 с вероятностью р2= 0,3 и х3 с вероятностью р3. Найти х3 и р3 ,
зная E(Х)=8.
10. Вероятность успешного выполнения упражнения для каждого из двух спортсменов
равно 0,5. Спортсмены выполняют упражнение по очереди, причем каждый делает по две
попытки. Выполнивший упражнение первым получает приз. Найти вероятность
получения приза спортсменами.
11. Среди четырех неразличимых по внешнему виду урн три урны имеют одинаковый
состав шаров– 2 белых и 1 черный, а в четвертой урне – один белый и один черный шар.
Из случайно выбранной урны наудачу вынимается шар. Найти вероятность того, что
вытащенный шар – белый.
12. В условиях задачи 11 найти вероятность того, что выбрана урна с составом шаров «2
белых, 1 черный», если известно, что вынутый шар оказался белым.
13. По каналу связи может быть передана одна из трех последовательностей букв ААА,
ВВВ, ССС с равными вероятностями. При передаче каждая буква независимо от
остальных принимается правильно с вероятностью p, и принимается ошибочно за каждую
из двух других с вероятностью q. Найти вероятность того, что было передано ААА, если
принято ВАА.
14. Из урны, содержащей 4 белых и 6 черных шаров, по схеме выбора без возвращения
извлекают 3 шара. Описать множество элементарных исходов, указать их вероятности.
1
15 (продолжение 14) В условиях задачи 14 величины Y1 и Y2 определим равенствами:
Y1=1, если 1-й шар белый, и Y1=0 в противном случае; Y2=1, если 2-й шар белый, и Y2=0 в
противном случае. Найти закон распределения с.в. Y1, Y2, Y=Y1+Y2. Найти производящие
функции случайных величин Y1, Y2, Y. Найти E Y1, D Y1, DY.
16 (продолжение 14). В опыте, описанном в задаче 14, найти закон распределения с.в. Х,
равной числу белых шаров среди выбранных. Найти производящую функцию с.в. Х, E X,
DX. Нарисовать график функции распределения с.в. X.
17. Решить задачу 14 для схемы выбора с возвращением.
18 (продолжение 17). Решить задачу 15 для схемы выбора с возвращением.
19 (продолжение 16). Решить задачу 16 для схемы выбора с возвращением.
20. В группе из 28 учащихся четверть родилась летом. Наудачу отбираются 4 учащихся.
Найти вероятность событий: 1) среди отобранных двое родились летом; 2) среди
отобранных хотя бы один родился летом.
21. Найти вероятность того, что в группе из 6 человек 1) ни у кого нет дня рождения в
январе и декабре; 2) хотя бы два человека родились в один месяц.
22. Найти вероятность того, что в группе из n человек нет общих дней рождений. Считать,
что в году N дней.
23. Пусть урна содержит N шаров, занумерованных числами 1, 2,…,N и извлекают n
шаров с возвращением. Пусть с.в. Xn– число появлений среди n шаров шара с номером 1.
Найти P{ Xn >0}.
24. Пусть урна содержит N шаров, занумерованных числами 1, 2,…,N и извлекают n
шаров с возвращением. Обозначим 0(n, N) число непоявившихся номеров шаров. Найти
1
E 0 (n, N ) , если n=N (>0 – некоторая постоянная).
E0(n, N). Вычислить lim
N N
25. К n болтам подобраны гайки. При сборке гайки выбирали наудачу. Найти
математическое ожидание случайной величины Х, равной числу гаек, попавших к своим
болтам. При n =3 найти закон распределения Х, производящую функцию с.в. Х, DX.
Нарисовать график функции распределения с.в. Х.
26. Известно, что случайные величины X, Y независимы, причем DX=4, DY=3. Найти
D(3X), D(–2Y), D(X+Y), D(X–Y).
27. Известно, что EX=1, EY=2, EX2=2, EY2=8, EXY=1. Найти DX, DY, cov(X, Y), D(X+Y).
28. Пусть n –число успехов в n испытаниях схемы Бернулли с вероятностью успеха p.
Найти производящую функцию с.в. n, найти закон распределения n, E n, Dn.
29. Два стрелка, для каждого из которых вероятность попадания в цель равна p,
производят n залпов по два выстрела. Найти математическое ожидание и дисперсию числа
парных попаданий X и общего числа попаданий Y.
30. Найти вероятность того, что в кампании из 12 человек все дни рождения приходятся
на разные месяцы.
31. На квадрат ={ (u, v): 0u1, 0v1} брошена точка. Найти вероятность того, что
1
точка будет удалена от центра не больше чем на .
2
32. В интервал времени [0, T] в случайный момент времени появляется сигнал
длительности . Приемник включается в случайный момент на время t. Найти вероятность
обнаружения сигнала.
33. Монета упала на дощатый пол. Ширина доски 2H, радиус монеты r (2r<2H). Какова
вероятность того, что монета попадет на щель?
34. Найти производящую функцию, математическое ожидание и дисперсию случайной
величины X, имеющей геометрическое распределение.
35. Совместная плотность распределения случайных величин X, Y имеет вид
X,Y(x,y)=c(x+y), 0x6, 0 y6; X,Y(x,y)=0 – в остальных точках. Найти c, X(x), P{X>2}.
2
36. Совместная плотность распределения случайных величин X, Y имеет вид
X,Y(x,y)=c(x2+y2), 0x2, 0 y2; X,Y(x,y)=0 – в остальных точках. Найти c, X(x), P{X>1}.
37. В условиях задачи 35 найти функцию распределения F X,Y(x,y), EX, EY.
38. В условиях задачи 36 найти функцию распределения F X,Y(x,y), EX, EY.
39. Совместная плотность распределения случайных величин X, Y имеет вид
X,Y(x,y)=(x+y), 0x1, 0 y1; X,Y(x,y)=0 – в остальных точках. Найти функцию
распределения с.в. Z=max{X,Y}.
40. В условиях задачи 39 найти функцию распределения с.в. Z=min{X,Y}.
41. Дана плотность f(x)=cx2 при x(0, 4), 0 –вне. Найти c, функцию распределения,
математическое ожидание и дисперсию.
42. Дана плотность f(x)=csin3x при x(0, ), 0 –вне. Найти c, функцию распределения,
математическое ожидание и дисперсию.
43. Дана плотность f(x)=cx5 при x(0, 5), 0 –вне. Найти c, функцию распределения,
математическое ожидание и дисперсию.
44. В группе учатся n студентов. Предполагая, что дни рождения студентов независимы и
равномерно распределены по N дням в году, найти математическое ожидание числа дней,
на которые не приходится ни одного дня рождения.
45. Случайные величины 1, 2,….независимы и одинаково распределены: P{i=–4}=2/9
P{i=0}=1/9, P{i=1}=4/9 P{i=2}=2/9, i=1,2…. Найти производящую функцию,
математическое ожидание и дисперсию случайной величины Sn=1+ 2+…. + n.
46. Найти функцию распределения, производящую функцию, математическое ожидание и
дисперсию дискретной случайной величины Х, заданной законом распределения:
Х –1
1 3
p 0,2 0,3 0,5
3