№1. В правильную треугольную пирамиду вписан шар. Расстояние от центра шара до вершины пирамиды равно а. Двугранный угол при ребре основания равен α. Найти площадь полной поверхности пирамиды. Решение. S Обозначим радиус OO1 вписанной сферы через R. Радиус OC вписанной в основание окружности через r. O1 B SCD – линейный угол двугранного угла при ребре AB обозначим через α. D O C Центр вписанной сферы лежит на A пересечении биссекторных плоскостей всех двугранных углов, тогда СО1 - биссектриса SCD. В ∆OSC: Из уравнения связи (1): R rtg cos 2 r SC=a rtg OO1 a aOC . SC OC SC OO1 SC=arctg . 2 2 OC OC=SCcos OC actg cos . SC 2 O – центр вписанной в основание пирамиды окружности, т.е. точка О - точка пересечения биссектрис ∆ABD. Поскольку ∆ABD – равносторонний, то биссектрисы являются медианами. Медианы точкой пересечения делятся в отношении 2:1 от вершины. Следовательно, OA=2OC AC 4OC 2 OC 2 OC 3 r 3. AC=a 3ctg 2 cos . 1 Sполной пов. пир. = SC P осн. +Sосн. (Pосн. – периметр основания; Sосн - площадь основания). 2 Pосн =6 AC 6 3ctg 2 cos a 1 Sосн = 3OC 2 3OC 3 3OC 2 3 3a 2 ctg 2 cos 2 . 2 2 S 1 a ctg 6 3a ctg cos 3 3a 2 ctg 2 cos 2 3 3a 2 ctg 2 cos (1 cos ) 2 2 2 2 2 3 3a 2 ctg 2 2 cos 2 cos 2 Ответ: 6 3a 2 ctg 2 2 cos 2 2 2 6 3a 2 ctg 2 cos . 2 cos 2 2 cos .