Выбор параметров резонатора Гельмгольца в глушителях

ВЫБОР ПАРАМЕТРОВ РЕЗОНАТОРА
ГЕЛЬМГОЛЬЦА В ГЛУШИТЕЛЯХ
ГАЗОДИНАМИЧЕСКОГО ШУМА Комкин А.И.1,
Юдин С.И.2, Надарейшвили Г.Г.2
1 - Московский государственный технический университет им.
Н.Э. Баумана
2 - ООО "НТЦ МСП"
akomkin@mail.ru
Резонаторные глушители находят широкое применение для снижения
газодинамического шума машин. К наиболее распространенному виду
такого рода глушителей относится резонатор Гельмгольца. Расчету
резонатора Гельмгольца посвящено достаточно большое количество
публикаций [1-12], в которых рассматриваются различные аспекты этой
проблемы.
Чтобы
повысить
акустическую
эффективность
резонатора
Гельмгольца, важно уметь правильно подбирать его геометрические
параметры. Обстоятельное рассмотрение этого вопроса применительно к
изолированному резонатору и резонатору в безграничной стенке проведено
Ингардом в его фундаментальной работе [1]. Здесь этот вопрос
исследуется применительно к резонатору Гельмгольца, размещенного на
стенке канале. При этом в такой системе к трем параметрам,
характеризующим сам резонатор, добавляется еще один, определяющий
поперечные размеры канала, что не позволяет выбрать параметры
резонатора однозначным образом и может приводить к решениям, далеким
от оптимальных. Здесь представлен подход, обеспечивающий
однозначность выбора.
V
Рассмотрим прямой канал (рис. 1) с
абсолютно жесткими стенками и площадью
Zо
S
l
поперечного сечения S, на боковой
поверхности
которого
размещается
S
резонатор
Гельмгольца.
Ограничимся
простейшей
моделью
резонатора
Гельмгольца, в которой жесткая замкнутая
Рис. 1. Схема резонатора
поверхность резонатора, характеризуемая
Гельмгольца в канале
только объемом V, соединяется с каналом
через горло с площадью поперечного
сечения S0 и длиной l.
Резонатор характеризуется
также акустическим импедансом Zо,
определяемым отношением звукового давления к колебательной скорости
o
частиц в его горле.
Положим, что потери звуковой энергии в системе обусловлены вязким
трением в горле резонатора, которое будем определять сопротивлением
 R
ρ
c
трения Rν, точнее ее нормированной величиной R

 (
0
0), где ρ0 и с0
определяют соответственно плотность воздушной среды и скорость звука в
ней.
Потери передачи TL для рассматриваемой системы, определяемые
логарифмом отношения звуковой мощности падающей волны в канале
перед резонатором к мощности звуковой волны за резонатором при
согласованной нагрузке на выходе канала имеют вид

T
L

2
0
l
g
1

1
(
2
S
Z
)
,
o
(1)
 Z
ρ
c
где S S S0 ; Z
o
o(
0
0)− нормированный акустический импеданс
резонатора.
Полагая, что звуковые колебания
в рассматриваемой системе
происходят по гармоническому закону с круговой частотой ω, введем в
рассмотрение собственную частоту резонатора
 
,
ω

c
(
l
V
)

c
0
0S
0
e
0l
eV
(2)
где le − приведенная или эквивалентная длина
горла резонатора,
определяемая с учетом так называемой присоединенной длины горла,
которая в свою очередь связана с перераспределением энергии звуковой
=V(lS
волны в горле резонатора; V
e 0)− отношение объема резонатора к
эквивалентному объему его горла.
Тогда нормированный акустический импеданс резонатора Z o может
быть представлен как функция относительной частоты ωω0 в виде
1
1


i 
ZR


.
o


 
V

При этом потери передачи


1

2
R
s
T
L

1
0
l
g
1

 2

,
2
RQ

(

1

)




s


(3)
(4)
 v; Q2S V
.
где Rs 2SR
На резонансе, при Ω =1, как следует из (4), потери передачи зависят
только от параметра Rs. Когда трение отсутствует, Rs = 0, потери передачи
системы TL, помимо относительной частоты Ω, определяются только
параметром Q, так что с его ростом кривая потерь передачи сужается.
Оценим теперь относительную ширину полосы резонансной кривой
потерь передачи ΔΩ = Ω2 − Ω1, где относительные граничные частоты
резонансной кривой Ω1 и Ω2 определяются из условия, что на этих
частотах потери передачи TLгр = 3 дБ, и как следствие, выражение под
логарифмом в (4) равняется 2. Величина обратная ΔΩ будет определять
добротность системы. Когда параметр Rs << 1, то относительная ширина
резонансной кривой потерь передачи ΔΩ =1/Q, так что добротность
рассматриваемой системы равна Q и не зависит от трения в горле
резонатора. Согласно принятым обозначениям
1V
S
ω
0 V



 0.
2
S l
2
S
c
e
(5)
Вместе с тем, если перейти от относительной к абсолютной ширине
полосы резонансной кривой Δω = ω0ΔΩ, то получим
c S
ω 0 0 .
2Sle
(6)
Очевидно, что ширина полосы Δω, в отличие от относительной
ширины ΔΩ, уже не зависит от объема резонатора. Она определяется
только площадью поперечного сечения канала и параметрами горла
резонатора, так что для увеличения Δω площадь горла S0 следует делать
как можно большей, приведенную длину горла le − как можно меньшей.
Заметим, что входящая в (6) приведенная длина горла
le= l + la1+ la2,
где la1, la2 – соответственно внутренняя и наружная присоединенная длина
горла, которые в общем зависят от конфигурации объема резонатора и
поперечного сечения канала.
Для внутренней присоединенной длины горла резонатора при
условии, что глубина полости резонатора не слишком мала, имеет место,
как показано в [13], следующая оценка
l

0
.
8
1
5
(
1

1
.
3
4
g
)
d
02
a
1
,
где g S0 S; d0 − диаметр горла резонатора или эквивалентный по
площади диаметр, если сечение горла отличается от круглого.
Что касается наружной присоединенной длины горла резонатора, то
для нее используются различные оценки и единой позиции по этому
вопросу до сих пор не выработано.
Рассмотрению этого вопроса было уделено особое внимание. При
этом был получено как аналитическое исследование данной задачи,
основанное на концепции присоединенной длины, так и численное на
основе конечно-элементное моделирования, для случая прямоугольного
канала со сторонами а и b. Результаты расчета собственной частоты
системы резонатор-канал аналитическим (──) и численным (---) методами
представлены на рис. 2 и показывают, что они могут приводить к большим
различиям. Имеющие место различия в получаемых результатах
существенны при небольших глубинах канала (расстоянии от среза горла
резонатора до противоположной стенки) и говорят о том, что в этом случае
концепция присоединенной длины для описания работы резонатора
непригодна и нужны другие подхода для аналитического решения задачи.
Для того чтобы получаемые при
анализе
резонатора
Гельмгольца
800
результаты
были
более
универсальными, приведем формулы
f0, Гц
(9), (10) к безразмерному виду. С этой fk ( 0.43 ab) 700
целью, следуя [14, 15], введем в f20
j
600
рассмотрение вместо частоты ее
безразмерный аналог μ0=d/λ0, где λ0 −
длина волны на резонансной частоте;
500
d
−
диаметр
канала
или
0
1
2
3
4
5
эквивалентный по площади диаметр,
aba/b
a j
если сечение канала отличается от
Рис. 2. Зависимость собственной
круглого.
Кроме того, определим
частоты резонатора Гельмгольца
геометрические параметры резонатора
от поперечного сечения канала
в
относительных
величинах,
выраженных в единицах диаметра
канала.
Это, помимо прочего, позволит сократить количество входящих в формулы
(9), (10) переменных.
Если параметры резонатора выразить через относительные величины
V
V(d3/4
), d d0 d , l  l d и ввести в рассмотрение безразмерную
ширину полосы резонансной кривой Δμ =Δωd/(2πc), то формулы (5), (6)
преобразуются к виду
μμ02V;
(7)
d

μ
,
4
π
(l d
α
)
(8)
Заметим, что когда длина горла принимается равной толщине стенки
канала, горло резонатора можно выполнить в виде одиночного отверстия в
стенке канала или в виде совокупности из n отверстий меньшего диаметра.
Решение уравнения (8) дает следующее выражение для d :


2
d

2
π
α
μ
1
+
1
+
l(
π
α

μ
)
.
(9)
Когда ширина полосы Δμ достаточно большая, а относительная длина
горла l мала, вторым слагаемым под корнем в формуле (9) можно
пренебречь. При этом диаметр d не зависит от длины горла l и просто
пропорционален Δμ. Наоборот, при небольшой ширине полосы Δμ и
большой относительной длине l под корнем в формуле (9) становится
превалирующим второе слагаемое.
Следует отметить, что на получаемые из (9) значения d не
накладывается никаких ограничений. Поэтому в ряде случаев искомый
диаметр горла резонатора может принимать небольшие значения, так что
потери на трение в горле резонатора будут достигать значительной
величины. Это в свою очередь может привести к существенному
снижению потерь передачи на резонансной частоте. Во избежание этого
минимально допустимое значение потерь передачи на резонансной частоте
TL0 необходимо задать в качестве исходных данных. Можно положить из
практических соображений, что для эффективной работы резонатора
значение TL0 должно быть не менее 20 дБ. Отсюда можно найти
относительный диаметр горла d ,
определяющий при этом его
минимально возможное значение:
3 R
d
l(
R
).
m
i
n2

s
(10)
Итак, формула (10) позволяет найти нижнюю границу допустимых
значений диаметра горла резонатора. Но, в принципе, это граничное
значение может выбираться и из других соображений. Например, в
системах выпуска автомобилей с практической точки зрения
целесообразно ограничивать минимальный размер диаметра d0 значениями
порядка 2…3 мм.
Из представленных данных следует, что увеличение длины горла
l приводит, как отмечалось выше, к уменьшению ширины полосы
резонансной кривой. И с этой точки зрения необходимо, по возможности,
ограничиваться минимальной длиной горла, принимая ее, например,
равной толщине стенки канала. Конечно, для увеличения ширины полосы
диаметр d желательно делать как можно большим. Основными
ограничивающими
факторами
здесь
является
конструктивные
соображения, связанные с возможностью реализации такого размера
отверстия для данной конфигурации канала, а также возможные
ограничения на объем резонатора, что приводит к соответствующим
ограничениям на ширину полосы и, как следствие, на диаметр горла.
Когда относительный диаметр горла d и связанный с ним параметр Δμ
установлены, тогда из (7) можно получить необходимый относительный
объем резонатора и, таким образом, конфигурация резонатора Гельмгольца,
удовлетворяющая
исходным
данным,
оказывается
полностью
определенной.
Заметим, что если диаметр d принять равным d min и определить
соответствующий этому диаметру ширину полосы Δμ, а затем и объем V ,
то полученное значение V будет определять минимально возможный
объем резонатора Гельмгольца с принятыми исходными данными.
Если в качестве исходных данных задаются собственная частота
резонатора и его объем, то по формуле (7) можно определить
соответствующую этим условиям ширину полосы резонансной кривой, а
затем по формуле (8) найти и диаметр горла резонатора. При этом надо
иметь в виду, что для данной частоты заданный объем резонатора должен
превышать минимально возможный.
Рассмотренный подход позволяет достичь однозначности в выборе
геометрических параметров резонатора Гельмгольца, обеспечивающих
требуемые характеристики заглушения шума.
ЛИТЕРАТУРА
1. Ingard U. On the theory and design of acoustic resonators // J. Acoust.
Soc. Am. 1953. V. 25, № 6. P. 1037–1061.
2. Davis D.D., Stokes G.M., Moor D., Stevens G.L. Theoretical and
experimental investigation of mufflers with comments on engine exhaust
muffler design // NASA. Rep. № 1192. 1954. – 48 p.
3. Alster M. Improved calculation of resonant frequencies of Hetlmholtz
resonator // J. Sound Vib. 1972. −V. 24, № 1. P. 63−85.
4. Tang P.K., Sirignano W.A. Theory of generalized Helmholtz resonator // J.
Sound Vib.–1973. V. 26, № 2. P. 247–262.
5. Panton R.L., Miller J.M. Resonant frequencies of cylindrical Helmholtz
resonators // J. Acoust. Soc. Am. 1975. V.57, № 6. P. 1533−1535.
6. Chanaud R.C. Effect of geometry on the resonance frequency o
Helmholtz resonators // J. Sound Vib. 1994. V. 178, № 3. P. 337–348.
7. Selamet A., Dickey N.S., Novak J.M. Theoretical, computational and
experimental investigatin of Helmyoltz resonators with fixed volume:
lumped versus distributed analysis // J. Sound Vib. 1995. V. 187, № 2. P.
358–367
8. Dickey N.S., Selament A. Helmholtz resonators: one-dimensional limit for
small cavity length-to-diameter ratios // J. Sound Vib.1996. V. 195, № 3.
P. 512–517.
9. Selamet A., Radovich P.M., Dickey N.S., Novak J.M. Circular concentric
Helmholtz resonator // J. Acoust. Soc. Am. 1997. V. 101, № 1. P. 41–51.
10.Chanaud R.C. Effect of geometry on the resonance frequency o
Helmholtz resonators, part II // J. Sound Vib.1997. V. 204, № 5. P. 829–
834.
11.Лапин А.Д. Сечения рассеяния и поглощения резонатора Гельмгольца
в многомодовом волноводе // Акуст. журн. 1999. Т. 45, № 3. С. 376–
379.
12.Selamet A., Ji Z.L. Circular asymmetric Helmholtz resonators // J.
Acoust. Soc. Am. 2000. V. 107, № 5. P. 2360–2369.
13.Комкин А.И., Миронов М.А., Юдин С.И. О присоединенной длине
отверстий // Акуст. журн. 2012. Т. 58, № 6. С. 677–682.
14.Комкин А.И. Оптимизация реактивных глушителей шума // Акуст.
журн. 2010. Т. 56, № 3. С. 373–379.
15.Комкин А.И. Особенности снижения шума в канале резонатором
Гельмгольца // Изв. вузов. Машиностроение. 2011, № 1. С. 101–106.