Лекция 25. Элементы квантовой механики 1. Корпускулярно – волновой дуализм. Гипотеза де Бройля. Соотношение неопределённостей. 2. Волновая функция и её статистический смысл. 3. Стационарное уравнение Шрёдингера. 4. Решение уравнения Шрёдингера для частицы в потенциальной яме. 1 Корпускулярно – волновой дуализм. Гипотеза де Бройля. Соотношение неопределённостей Недостаточность теории Бора указывала на необходимость пересмотра основ квантовой теории и представлений о природе микрочастиц (электронов, протонов и т.п.). Возник вопрос о том, насколько исчерпывающим является представление электрона в виде малой механической частицы, характеризуемой координатами и определенной скоростью. В 1922-1923 г.г. опыты Иоффе и Комптона подтвердили правильность идей Эйнштейна о двойственности корпускулярно-волновой природы излучения. Наряду с интерференцией, дифракцией, отвечающим волновой природе, имеются и другие свойства, характеризующие корпускулярную природу (фотоэффект, рентгеновское излучение, явление Комптона). В 1924 г. де Бройль сделал предположение об аналогичном дуализме электронов, которое потом обобщили для других микрочастиц. Он постулировал сопостав ление электрону с импульсом р длину волны Ф Ф h h , p me где me m0 1 2 с2 (25.1) Здесь m0 – масса покоя микрочастицы, – скорость ее движения в лабораторной системе отсчета, Ф - та длина волны, которую следует принять для описания статистического проявления микрочастицы заданного импульса. Гипотеза де Бройля вскоре была подтверждена экспериментально. Дифракция электронов на кристаллической решетке никеля Ni наблюдалась в опытах Девиссона и Джермера. По распределению максимумов и минимумов в дифракционной картине можно было определить длину волны. Экспериментальные данные подтвердили гипотезу де – Бройля. Несколько позже дифракционные явления были обнаружены у нейтронов, протонов и других микрочастиц. Кроме того, из анализа дифракционной картины следовало, что квадрат амплитуды дебройлевской волны в данной точке пространства является мерой вероятности того, что частица находится в этой точке. Открытие волновых свойств у частиц привело к возникновению новых методов исследования структуры вещества – электронной микроскопии, нейтронографии и других методов. Никитин П.В. Садово – парковое и ландшафтное строительство 1 Экспериментально подтверждение гипотезы де Бройля показало, что перед нами универсальное свойство материи. Волновые свойства частиц и возможность задать для частицы лишь вероятность ее пребывания в данной точке пространства приводят к тому, что в ряде случаев оказывается невозможным в классическом смысле, одновременно характеризовать частицу ее положением в пространстве (координатами) и скоростью (или импульсом) – динамическими переменными. В связи с этим в 1927 г. Гейзенберг сформулировал принцип неопределенности: произведение неопределенностей значений двух сопряженных переменных не может быть по порядку величины меньше постоянной Планка , который для импульсов и координат записывается: x рx / 2 (25.2) y р y / 2 z рz / 2 Энергия и время являются канонически сопряженными величинами. Поэтому для них также справедливо соотношение неопределенности: (25.3) E t / 2 . Это соотношение означает, что определение энергии с точностью Е должно занять интервал времени, равный, по меньшей мере, t ~ / E . Следует отметить, что неопределенность в определении величин в соотношениях (25.2) и (25.3) связана не с совершенством измерительной аппаратуры, либо современным уровнем развития квантовой теории, а с объективными дуальными свойствами исследуемой системы. В квантовой механике само понятие о состоянии системы приобретает иной смысл, чем в классической физике – для определения этого состояния нужен иной подход. Значения величин, характеризующих состояние частицы – динамических переменных, т.е. координаты, импульсов, энергии и т.д., должны находиться с помощью волновой функции, -функции (пси-функции), имеющей вероятностный смысл. В соответствии с принципом причинности состояние микрообъекта, определенное –функцией в некоторый момент времени t0, однозначно предопределяет его дальнейшее состояние. 2 Волновая функция и её статистический смысл Волновая комплексная функция для микрочастиц играет ту же роль, что и напряженность электрического поля в электромагнитном поле волны для фотонов. Она принимает положительные и отрицательные значения и характеризует дифракционные явления в потоках микрочастиц. Смысл её, согласно предложенному в 1926 г. М. Борном, состоит в том, что действительное значение квадрата модуля волновой функции (x,y,z,t), т.е. произведение волновой функции на комплексносопряженную функцию (*), в данной точке, определяет отнесенную к единице Никитин П.В. Садово – парковое и ландшафтное строительство 2 объема вероятность обнаружения микрочастицы в области этой точки в данный момент времени или вероятность того, что в данный момент система имеет конфигурацию, соответствующую аргументам волновой функции. Так, вероятность 2 (25.4) dW B dV B * dV , где В – коэффициент пропорциональности, * (x,y,z,t) – сопряженная функция. Для свободного электрона, представленного в виде плоской монохроматической волны (рис. 25.1), состояние описывается функцией вида ae i ( k x t ) acos( k 0 x t ) i sin( k 0 x t ) , (25.5) 0 где i 1, k 0 2 / 0, , E / . Здесь плотность вероятности пребывания частицы 2 в данном месте 2 * ae i ( k0 x t ) ae i ( k 0x t ) a 2 . (25.6) Сравните с тем, что ранее полученное значение энергии в волне определялось квадратом амплитуды, а в волновой оптике освещенность определялась квадратом амплитуды напряженности E 02 , что пропорционально количеству фотонов. Наличие частицы в заданном объеме определяется условием нормировки (25.7) * dV 1 . V Из смысла -функции вытекает, что квантовая механика имеет статистический характер. Она хоть и не позволяет определить траекторию частицы, тем не менее с помощью -функции частица может быть обнаружена в различных точках пространства. Что на первый взгляд дает меньшую информацию по сравнению с описанием движения во времени макрообъекта в классической механике. Но это не так, квантовая механика просто не определяет того, чего нет на самом деле, нет понятия местоположения и траектории. С плотностью вероятности, определяемой по -функции, связана вероятность энергетического состояния и причина взаимодействия между частицами. 3 Стационарное уравнение Шрёдингера Уравнение движения и состояния для микрообъектов записывается как линейное дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка, которое было получено в 1926 г. Э. Шрёдингером. Для нерелятивистского случая, < c, оно имеет вид Никитин П.В. Садово – парковое и ландшафтное строительство 3 2 2 . (25.8) U i 2m t 2 - оператор дифференцирования Лапласа по Здесь m – масса частицы, координатам x, y, z . В уравнении (25.8) действие оператора Лапласа на -функцию выглядит следующим образом: 2 2 x 2 2 y 2 2 z 2 . Функция U(x,y,z) – потенци- альная энергия частицы. При отсутствии внешних полей U=0. Уравнение Шрёдингера имеет периодические решения вида (x,y,z,t)=x,y,z)t), (25.9) где x,y,z) - амплитудный сомножитель волновой функции, не зависящий от времени и удовлетворяющий условиям конечности, непрерывности и однозначности только при определенных дискретных значениях собственной энергии частиц E1, E2,…, а также t) - соответствующая периодическая функция частоты n Еn . Общее решение дифференциального уравнения (25.8) представляет сумму всех частных решений nei Еn t . (25.10) Когда характеристические параметры частицы не меняются со временем, то распределение вероятности нахождения частицы в области пространства не меняется со временем, т.е. - функции для частицы имеют вид стоячих волн. В этом случае силовое поле, в котором движется частица, стационарно U=U(x,y,z), и достаточно решить уравнение, которое получается из (25.8). 2 2 U E . 2m (25.11) Это уравнение называется уравнением Шрёдингера для стационарных состояний. Важность уравнения Шрёдингера для атомных процессов сравнима с значимостью второго закона Ньютона в классической механике. Уравнение Шрёдингера удовлетворяет принципу соответствия, установленному Н. Бором. Этот принцип устанавливает, что новая теория в пределах применимости старой дает те же результаты, что и старая. Это обязательно, т.к. в своих границах применимости старая теория отвечает опыту, следовательно, верна. Доказательство выполнения принципа соответствия в квантовой механике принадлежит Эренфесту. Он доказал, что средние значения динамических переменных (частицы, описываемой уравнением Шрёдингера) подчиняются классическим уравнениям механики Ньютона. 4 Решение уравнения Шрёдингера для частицы в потенциальной яме Рассмотрим решения уравнения Шрёдингера для частицы, находящейся в глубокой одномерной потенциальной яме, т.е. найдем собственные значения энергии Еn и собственные функции n. Примером такого движения является движение электроНикитин П.В. Садово – парковое и ландшафтное строительство 4 нов в металлах, т.к. вне металла U=0, а внутри она отрицательна и равна работе выхода электрона из металла. 1. Пусть частица свободно движется только вдоль оси Х бесконечно глубокой одномерной потенциальной ямы. Движение ограничено непроницаемыми для частицы стенками (см. рис. 25.2а), т.е. граничные условия (25.12) 0 L 0 . В этом случае уравнение Шрёдингера (25.11) внутри потенциальной ямы (область I , где функция не равна тождественно нулю, а U 0 ) имеет вид d 2 2m 2 Е 0 . dx 2 2m k2 2 Е , Введя обозначение (25.13) (25.14) получим уравнение такого же вида, как для свободных гармонических колебаний, изученных ранее: k 2 0 . Е4 Е U 0 а Е3 n2 Е2 n 1 Е1 II I 0 n3 0 x L L x б Рис. 25.2 Известно решение такого уравнения ( x) А sin( kx ), (25.15) где k и А можно найти, если воспользоваться граничными условиями (25.12). Так для x 0 получим 0 А sin 0 , если =0. А для x L выполнение L А sin kL 0 , возможно только при kL n , где n=1,2,3,… (25.16) Учитывая уравнение (25.14), можно определить собственные значения энергии частицы En 2 2 2 2mL n2 , где n=1,2,3,… (25.17) Т.е. энергия электрона в потенциальном ящике не может быть произвольной. Она принимает лишь ряд дискретных собственных значений. 0 n4 n4 n3 n3 n2 n2 n 1 n 1 x x l Садово – парковое0и ландшафтное строительство Никитин П.В. l а б 5 Рис. 25.3 Собственные значения функции получаются из (25.15) и (25.16) n x А sin nx L , где для нахождения амплитуды а следует воспользоваться условием нормировки l А2 sin 2 (nx / L)dx 1 0 или, после интегрирования, следует А2 1 2 L 1 , откуда коэффициент А 2 L . Условие (25.16) имеет физический смысл в том, что для kn 2 n , а следовательно и n 2L n , т.е. на длине потенциального ящика должно укладываться целое число волн де Бройля (как у струны, закрепленной на концах, см. рис. 25.3а). Таким образом, собственные функции для микрочастицы имеют вид: 2 n sin x . L L n ( x) (25.18) На рис. 25.3б показана плотность вероятности обнаружения частицы на различных расстояниях от стенок ямы * . На графике видно, что в состоянии n=2 частица не может быть обнаружена в середине ямы и, вместе с тем, одинаково часто бывает как в левой, так и в правой половине ямы, что, естественно, несовместимо с понятием траектория, как в классической механике, где положения равновероятны. Если оценить расстояния между соседними уровнями для различных масс микрочастиц m и размеров ям L , то разность энергий 2-х соседних уровней En En 1 En 2 2 (2n 1) 2 2 n. mL2 I) Для молекул с mmax=10-23 г движущихся в сосуде с L =10 см, согласно оценке 3,14 2 1,05 2 10 68 E n 3 n 10 39 n, Дж 6 10 19 n, эВ , 23 2 4 10 10 10 10 2mL2 аналогично и для me~10-27 г (электроны в металле), дискретность незаметна. 2) А для L ~10-8 см (порядка внутриатомных расстояний) можно получить En 3,142 1,052 1068 10 30 10 20 n 1018 n, Дж 6,25n, эВ , т.е. дискретность будет весьма заметна. Никитин П.В. Садово – парковое и ландшафтное строительство 6