2.5. Импульсный отклик и передаточная функция слоя

2.5. Импульсный отклик и передаточная функция слоя
пространства
2.5.1. Импульсный отклик
Обратимся к общему выражению (2.19), позволяющему по известному распределению
поля во входной плоскости Z = 0 (см. рис. 2.5) рассчитать амплитуду волны в
cos  zr / r  z / r 2
произвольной точке пространства (х,у,z). Поскольку
, (2.19) имеет вид
интеграла свертки (1.27), а импульсный отклик слоя пространства будет
kz
hs 
exp(ik x 2  y 2  z 2 )
2
2
2
2 i( x  y  z )
.
(2.27)
Рассмотрим далее формулы дифракции Френеля (2.22) и Фраунгофера (2.24) с
позиций теории линейных инвариантных пространственных систем (см. 1.2).
Сопоставление (2.22) с (1.27) показывает, что поля во входной и выходной плоскостях
системы связаны между собой соотношением типа свертки

U ( x, y , z ) 
 U
0
( x0 , y0 )hф ( x  x0 , y  y0 )dx0 dy0

,
(2.28)
k exp(ikz )
 ik

exp  [ x 2  y 2 ]
i  2 z
 2z
 - импульсный отклик свободного пространства в
где
области Френеля.
h
При практическом вычислении удобно разложить квадратные члены в экспоненте ф ,
представив (2.28) в виде
k
 ik

U ( x, y , z ) 
exp(ikz ) exp  ( x 2  y 2 )  
i  2 z
 2z


 ik

 k

   U 0 ( x0 , y0 ) exp  [ x0 2  y0 2 ] exp  i ( xx0  yy0 ) dx0 dy0
 2z

 z


.
(2.29)
hф 
Из сопоставления (2.29) с (1.1) видно, что с точностью до амплитудного и фазового
множителей, которые не зависят от (х ,у ), поле U ( x, y, z ) в выходной плоскости можно
0
найти
как
0
 ik

U 0 ( x0 , y0 ) exp  [ x0 2  y0 2 ]
 2z

Фурье-образ
функции
относительно
v  x /  z vy  y /  z
пространственных частот x
,
.
Далее, из сравнения (1.1) и (2.24), следует, что с точностью до стоящего перед
интегралом в (2.24) множителя распределение амплитуды электромагнитного поля в зоне
дифракции Фраунгофера представляет собой Фурье-образ распределения поля во входной
плоскости Z = 0 (см. рис. 2.5):
k
U ( x, y , z ) 
exp(ikz ) 
i  2 z
 exp ik ( x 2  y 2 ) / 2 z  U ( x0 , y0 , z  0)

vx  x /  z , v y  y /  z

 ik ( x 2  y 2 )   x y 
k
exp(ikz ) exp 
 G  z , z ,0
i  2 z
2z


 
.
(2.30)
28
Прежде чем перейти к определению передаточной функции слоя пространства для
общего случая (2.19) и приближения Френеля (2.28), приведем основные сведения по
плоским и сферическим волнам. Плоские волны, распространяющиеся в пространстве под
различными углами, выполняют роль базисных функций в представлении
пространственных сигналов - аналогично временным гармоникам при разложении
сигналов, меняющихся во времени. Сферические волны позволяют наглядно
интерпретировать импульсные отклики слоя пространства.
2.5.2. Плоские и сферические волны
Комплексная амплитуда U ( x, y, z ) , описывающая любую из компонент
U ( x, y, z)  Re U ( x, y, z)exp(i  2 vt )
электромагнитного поля, удовлетворяет волновому
уравнению (2.4). Наиболее простым решением этого уравнения является плоская однородная
расходящаяся волна :
U ( x, y, z )  U 0 exp(ikr )  U 0 exp[i( k x x  k y y  k z z )]
,
(2.31)
k  x0 k x  y0 k y  z0 k z
U 0  const
где
- амплитуда;
- волновой вектор, задающий
k  k cos  , k y  k cos  ,
направление распространения волны, в пространстве (рис. 2.6); x
kz  k cos  ( cos  , cos  , cos  - направляющие косинусы вектора k , k  2 /   2 v / c );
r  x0 x  y0 y  z0 z - радиус-вектор точки, принадлежащей фронту плоской волны).
Рис. 2.6 Плоская электромагнитная волна
2
Раскрывая в (2.4) оператор Лапласа  в декартовой системе координат и подставляя
(2.31), получаем следующую связь:
kx2  k y2  kz2  k 2
.
(2.32)
29
Поверхность равных фаз определяется из соотношения
k x x  k y y  k z z  c  const
, которое
c / k x , c / k y c / kz
задает уравнение плоскости, отсекающей на осях координат отрезки
и
. Из
полного
комплексного
представления
плоской
волны
U ( x, y, z, t )  U 0 exp[i (k x x  k y y  k z z )  t ]
следует, что с течением времени поверхность
равных фаз перемещается параллельно самой себе, причем направление распространения
электромагнитной волны определяется нормально к волновой поверхности, которая, как
известно, совпадает с gradC (С - константа, введенная выше и рассматриваемая как
C
C
C
 y0
 z0
 x0 k x  y0 k y  z0 k z ,
gradC  k , т.
x
y
z
функция х,у,z). Поскольку
е. направление распространения действительно совпадает с направлением волнового
вектора.
Рассмотрим теперь сферические волны. Расписывая оператор Лапласа в (2.4) в
сферической системе координат (  , ,  ) , получаем следующее решение в виде
gradC  x0
расходящейся сферической волны :
U (r )  U 0 exp(ikr ) / r
,
(2.33)
U
где 0 - некоторая константа.
Поверхность равных фаз определяется из равенства kr  const  C следовательно,
фронт волны - сфера r  const . Направление распространения волны определяется
вектором
gradC ( x, y, z )  grad (kr )  kgrad (r ) .
r  x2  y 2  z 2

как
r  x2  y 2  z 2
,
то
k
k
grad (r )  ( x0 x  y0 y  z0 z )  r
r
r , т. е. волна распространяется вдоль радиуса-вектора r .
k
Подставляя
Так
в (2.33), получаем

U (r )  U 0 exp ik x 2  y 2  z 2 / x 2  y 2  z 2
.
(2.34)
Так называемое параксиальное приближение следует из (2.34) в случае, когда z.
велико, а х и у малы. При этом в соответствии с (2.20), (2.21) имеем
 ( x2  y 2 ) 
U
U (r )  0 exp(ikz ) exp ik
z
2Z 

.
(2.35)
Нетрудно видеть, что импульсный отклик свободного пространства, в приближении
Френеля
hф(х,у)
(2.28),
представляет
собой
сферическую
волну
в
параксиальном.приближении.
H (vx , v y )
Вернемся теперь к определению передаточной функции слоя пространства
.
2.5.3. Передаточная функция слоя пространства
Для определения передаточной функции слоя пространства ниже будут
использованы два подхода. Первый связан с понятием "угловой спектр плоских волн" и
позволяет шире раскрыть физическое содержание процессов преобразования поля в слое
пространства. Его мы применим для определения передаточной функции слоя
H (vx , v y )
пространства
в общем случае скалярной теории дифракции (2.19), (2.27). Второй
подход основан на том, что в соответствии с (1.32) на импульсные отклики hs (2.27) и hф
(2.28) "в лоб" действуют преобразованием Фурье, которое проиллюстрируем для
H (v , v )
нахождения передаточной функции слоя пространства в области Френеля ф x y .
30
H (v , v )
Для нахождения ф x y запишем волновое уравнение (2.4) в декартовой системе
координат:
 2U ( x, y, z )  2U ( x, y, z )  2U ( x, y, z )


 k 2U ( x, y, z )  0
2
2
2
x
x
x
.
(2.36)
Для решения уравнения (2.36) используем двумерное преобразование Фурье. Прямое
преобразование (1.1), примененное к функции U ( x, y, z ) , дает двумерную спектральную
плотность

U ( x, y , z ) 
  U ( x, y, z) exp i  2 (v x  v
x
y

y ) dxdy
,
(2.37)
а обратное Фурье-преобразование (1.2) позволяет найти по известной спектральной
плотности функцию координат:

U ( x, y , z ) 
  G(v , v , z) exp i  2 (v x  v
x
y
x

y
y ) dvx dv y
(2.38)
exp  i  2 (vx x  v y y ) 
Чтобы использовать эти преобразования, умножим (2.36) на
и
проинтегрируем по х и у в бесконечных пределах. Учитывая, что в силу свойств Фурьепреобразования
  2U ( x, y, z ) 
2

  (2 vx ) G(vx , v y , z )
2
x


,
2
  U ( x, y, z ) 
2

  (2 v y ) G(vx , v y , z )
2
y


,
получаем следующее дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет
спектральная плотность:
d 2 G (v x , v y , z )
 k 2 1  ( vx ) 2  ( v y ) 2  G (vx , v y , z )  0
2
dz
.
(2.39)
Решением этого дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами
является
G (vx , v y , z )  C1 (vx , v y ) exp ikz 1  ( vx ) 2  ( v y ) 2  


C2 (vx , v y ) exp  ikz 1  ( vx ) 2  ( v y ) 2  ,


(2.40)
где С1 и С2 - постоянные интегрирования (они не зависят от Z , но могут зависеть от
v
v
частот x и y , определяемые из граничных условий.
Первый член в (2.40) соответствует расходящейся волне (временная зависимость
C (v , v )
exp  i  2 vt 
), а второй - сходящейся, поэтому С2 = 0. Постоянная 1 x y находится из
следующих соображений. Так как нам известно поле во входной плоскости при Z = 0 U ( x, y, 0) , то, следовательно, можно найти его двумерную спектральную плотность
G(vx , v y , 0)  U 0 ( x, y, 0) 

 U

0
.
( x, y, 0) exp  i  2  vx x  v y y   dxdy.
(2.41)
C (v , v )  G (vx , v y , 0)
Из выражения (2.40) вытекает, что при Z=0 1 x y
. Таким образом,
G (vx , v y , z )  G (vx , v y , 0) exp ikz 1  ( vx ) 2  ( v y ) 2  .


(2.42)
Из формулы (2.42) следует, что для определения спектральной плотности выходного
31
G (vx , v y , z )
G (vx , v y , 0)
сигнала
нужно спектральную плотность входного сигнала
умножить на функцию
H (vx , v y )  exp ikz 1  ( vx ) 2  ( v y ) 2  ,


(2.43)
которую в соответствии с (1.30) необходимо рассматривать как передаточную функцию
слоя пространства (см. рис. 2.5). Применяя к (2.42) обратное Фурье-преобразование (2.38),
получаем выходной сигнал

  G(v , v , 0) exp 2 z  v x  v y  
 exp i  2  v x  v y   dv dv .
U ( x, y , z ) 
x
y
x
y

x
y
x
y
(2.44)
Итак, чтобы найти поле в произвольной точке (х,у,z) по заданному распределению
поля в плоскости Z = 0, нужно, во-первых, определить двумерную спектральную
плотность заданного поля по формуле (2.41); во-вторых, умножить ее на коэффициент
передачи слоя пространства (2.43); в-третьих, от полученной функции взять обратное
Фурье-преобразование (2.38). Этот подход полностью аналогичен расчету реакции на выходе частотного
фильтра, что является следствием инвариантности слоя пространства относительно сдвига по
координатам х и у.
H (vx , v y )
Как видно из формулы (2.43), коэффициент передачи
слоя пространства
является величиной комплексной, поэтому может быть представлен в виде
H s (vx , v y )  H s (vx , v y ) exp i (vx , v y ),
(2.45)
H
где s - амплитудно-частотная, а  - фазочастотная характеристики.
В области пространственных частот
(vx )2  (vy )2  1,
, определяемой кругом с
H s (vx , v y )  1;   vx , v y   kz 1  ( vx )  ( v y ) 2 ,
2
радиусом, равным 1,
H s (vx , v y )  exp  kz ( vx )  ( v y )  1  ;


лежащей вне этого круга,
характеристики показаны на рис. 2.7.
2
1
а в области частот,
  vx , v y   0.
. Эти
kz
Рис. 2.7. Характеристики слоя пространства
32
Следовательно, слой пространства ведет себя как фильтр нижних частот с полосой
vc  vx 2  v y 2  1/ 
пропускания пространственных частот
или пространственным
периодом Tc  1/    . Таким образом, все пространственные гармонические
составляющие распределения поля в плоскости Z = 0 (см. рис. 2.5) с пространственными
T 
 ,   1/ 
частотами x y
(или пространственным периодом x , y
) при распространении
электромагнитной волны в слое пространства с увеличением расстояния z быстро
затухают. Это явление проявляется лишь при достаточно больших длинах волн  и
мелкой структуре поля в плоскости Z = 0.
2.5.4. Передаточная функция слоя пространства в области Френеля
Передаточная функция
H ф (v x , v y )
в области Френеля найдем "в лоб", подставляя
H ф ( x, y )
импульсную характеристику
из (2.28) в (1.31):

k
 ik

H ф ( x, y ) 
expikz   exp  ( x 2  y 2 )  exp  i  2 (vx x  v y y )  dxdy 
i  2 z
 2z




 x2
 
 y2

k
exp(ikz )  exp  ik  i  2 vx x  dx  exp  ik
 i  2 v y y  dy.
i  2 z
 2z
 
 2z




 q2 
exp 
,
p
4p 


Используя соотношение
находим:
2
2
H ф (vx , v y )  exp(ikz ) exp ikz (vx )  (v y )  / 2 .
2
 exp   px  qx  dx 


(2.46)
На рис. 2.8 показана зависимость модуля и фазы коэффициента передачи от
(vx 2  vy 2 )0.5
пространственной частоты
. Ясно, что модуль коэффициента передачи
 ( v x ) 2  ( v y ) 2 
  kz0 1 

H ф (v x , v y )  1
2


 изменяется по квадратичному
постоянен, а фаза
закону.
1
kz
Рис. 2.8. Характеристика слоя пространства в приближении Френеля
33
Поле в произвольной точке зоны Френеля определяется аналогично (2.44)
U ( x, y, z )  exp(ikz ) 

 G(v , v , 0) 
x
y


 ( v x ) 2  (  v y ) 2  


 exp ikz 
  exp i  2 (vx x  v y y )  dxdy.
2


 


(2.47)
Сравнивая строгое выражение (2.43) с приближением Френеля (2.46), видно, что
1  (vx )2  (vy )2
последнее выражение справедливо, когда в области интегрирования
.
Фактически последнее неравенство должно соблюдаться для наивысшей частоты
vmax  vx max 2  v y max 2
, зависящей от размера наименьшей неоднородности lmin
z  0  vmax  1/ lmin
распределения поля в плоскости
. Френелевское приближение для
4
 4 / 8  z  0.1
 kvmax
коэффициента передачи справедливо в том случае, когда
(см.
пояснение к формуле (2.24)). Отсюда получаем ограничение на приближение Френеля,
основанное на учете мелких деталей в распределении поля в плоскости Z = 0:
4
Z  lmin
/ 3
.
(2.48)
Таким образом, получили два условия - (2.23) и (2.48). Первое устанавливает нижнюю
границу z, а второе верхнюю. Если обе области перекрываются, т.е.
4
( Ra  н )2 lmin
3
 3 ,


(2.49)
то приближение Френеля дает хороший результат на всей оси z. Для удобства полученные
выше результаты сведены в табл. 2.1.
спектра
2.5.5. Приближение "тени"
В радиооптике часто необходимо знать поле за различными неоднородностями
(диафрагмами, транспарантами, линзами, дифракционными решетками и т. п.). Точное
решение задачи имеет вид (2.44). Тогда, ограничиваясь в силу малости z первым членом
exp ikz 1  ( vx ) 2  ( v y ) 2 

 в ряд и допуская максимальную погрешность
разложения
2
 2vmax
kz
 0.1 2
2
такого приближения
, получаем из (2.44):
U ( x, y, z )  exp(ikz ) 

 G(v , v , 0) 
x
y

 exp i  2 (vx x  v y y )  dvx dv y  exp(ikz )U ( x, y, 0).
(2.50)
34
Таблица 2.1. Основные формулы скалярной теории дифракции
Формула Кирхгофа-Зоммерфельда:

U ( x, y , z ) 

1
 U ( x0 , y0 , 0) cos  zr exp(ikr ) / rdx0dy0 
i  

 G(v , v , 0) exp ikz
x
y

1  ( vx ) 2  ( v y )  

 exp i  2 (vx x  v y y )  dvx dv y ;
(рис. 2.5)
  z  
где

G(vx , v y , 0)    U 0 ( x, y, 0) exp  i  2  vx x  v y y   dxdy

Приближение Френеля:

U ( x, y , z ) 
k
exp(ikz )   U 0 ( x0 , y0 , 0) 
i  2 z

 ik

 exp  ( x  x0 ) 2  ( y  y0 ) 2   dx0 dy0 
 2z



 ( vx ) 2  ( v y ) 2  


 exp(ikz )   G (vx , v y , 0) exp ikz 

2

 




 exp i  2 (vx x  v y y )  dvx dv y
z
3
( Ra  Rн ) 4

/ 3
zl
4
min
Приближение Фраунгофера:
U ( x, y , z ) 
k
 ik
  x y 
exp(ikz ) exp  ( x 2  y 2 )  G  , , 0 
i  2 z
 2z
  z z 
z4
Ra2

Приближение «тени»:
U ( x, y, z )  exp(ikr )U ( x, y, 0)
z  0.2
2
lmin

Таким образом, при малых z в принятом приближении поле в плоскостях,
перпендикулярных оси z, распределено точно так же, как и в плоскости
Z = 0.
exp(
ikz
)
Экспоненциальный множитель
учитывает лишь набег фазы волны при распространении
между двумя плоскостями.
v  1/ lmin lmin
Выражение (2.50) называется приближением тени. Учитывая, что max
(
минимальная неоднородность поля в плоскости Z = 0), получаем область значений
величины z, в которой справедливо приближение "тени":
l2
z  0.2 min
 .
(2.51)

4
6
l  10
В частности, при   0.5 10 м, min
м получим z  4 мм, а при той же длине
3
l  10
волны и min
м величина z  400 мм.
35
2.6. Угловой спектр плоских волн
v ,v
Обсудим далее двойной смысл пространственных частот x y , в (2.41), (2.44), поскольку
это обстоятельство составляет физическую основу радиооптических аналогий.
Из соотношений (2.41), (2.44), описывающих распространение электромагнитной
волны в слое пространства, следует, что при z = 0 они составляют пару преобразований
v ,v
Фурье относительно переменных x y и х, у. Переменные х, у являются координатами
v ,v
точек пространства и имеют размерность длины; переменные x y имеют размерность,
обратную длине, и, как уже отмечалось, называются пространственными частотами.
Из упомянутых соотношений следует, что операцию преобразования Фурье можно
рассматривать как представление сложной функции в виде совокупности более простых
комплексных экспоненциальных функций. Чтобы понять физический смысл этих
функций, обратимся к выражению (2.31), описывающему монохроматическую плоскую
волну единичной при U0 = 1 амплитуды с направляющими косинусами нормали к фронту волны
cos  , cos  , cos  . Представим (2.31) в виде

cos 
cos   
 cos 
U ( x, y, z )  exp i  2 
x
y
z 

  
 


cos   
 cos 
 i  2 z
 exp i  2 
x
y   exp 
1  cos 2   cos 2 

 

 


.

(2.52)


exp i  2 (vx x  v y y ) 
Тогда при z = 0 экспоненциальную функцию
в (2.44) можно
трактовать
как
плоскую
волну
с
направляющими
косинусами
cos   vx ,cos   vy ,cos   1  ( vx ) 2  ( vy ) 2
v ,v
. Каждой пространственной частоте x y
соответствует своя плоская волна, причем распространяющаяся (однородная) волна
(vx )2  (vy )2  1
получается при условии
. При нарушении этого условия возникает затухающая
по экспоненте вдоль координаты z волна, аналогичная волне в СВЧ-волноводе на частотах
ниже критической. Во взаимосвязи с (2.43), (2.45) проведенное рассмотрение позволяет
наглядно физически интерпретировать (2.44) как разложение функции U ( x, y, z ) по
G (vx , v y )  dvx dv y
плоским волнам с амплитудами
.
vx , v y
Итак, переменные
имеют двойной физический смысл - это, с одной стороны,
пространственные частоты в преобразовании Фурье, а с другой - величины,
определяющие углы распространения плоских волн, на которые разлагается волновое
G (v x , v y )
поле. Именно поэтому функцию
, входящую в (2.38), (2.44), (2.47), называют
угловым спектром.
Оценим влияние на угловой спектр ограничивающего отверстия  при решении
дифракционных задач (см. рис. 2.5).
 cos  cos  
G
,

  , а

Пусть угловой спектр волны (2.41), падающей на экран, есть
T ( x, y)
амплитудный коэффициент пропускания экрана a
равен единице внутри  и нулю
вне  . Поле волны в плоскости непосредственно за экраном может быть записано
U ( x, y, 0)  Ta ( x, y)
U ( x, y, 0)
в виде T
, где 0
- поле падающей на экран волны.
UT
U0
Подставляя в (2.41)
вместо
и применяя теорему свертки (1.17), определяем
36
угловой спектр GT (cos  /  , cos  /  ) прошедшего экран поля
GT (cos  /  ,cos  /  )  G(cos  /  ,cos  /  )  Ga ,
где Ga (cos  /  , cos  /  ) - Фурье-образ функции Ta ( x, y) :
(2.53)

Ga    Ta ( x, y ) exp ik ( x cos   y cos  ) dxdy 

  exp ik ( x cos   y cos  ) dxdy.

Особенно простой результат получается для плоской волны единичной амплитуды,
падающей на отверстие нормально. В этом случае, учитывая свойство  -функции (1.5),
(1.25), получаем
G   (cos  /  , cos  /  ) и GT  Ga (cos  /  , cos  /  ).
(2.54)
Таким образом, введение диафрагмы уширяет угловой спектр прошедшего поля - чем
уже отверстие, тем шире угловой спектр. Аналогичный эффект имеет место, разумеется, и
в случае импульсных электрических сигналов; ограничение длительности функции во
времени приводит к уширению его частотного спектра. В то же время для определения
дифракционного поля (в частности, поля за отверстием) используют оправдавшее себя на
практике приближение Кирхгофа (см. 2.3). Естественно, возникает вопрос, почему
заведомо приближенные предпосылки в формулах Кирхгофа (2.15), (2.18), (2.19), (2.22),
(2.24) приводят к правильным результатам. Ответ на этот вопрос дают соотношения
(2.41)-(2.44), которые отражают регуляризирующее действие процедуры определения
поля на больших расстояниях z. Во-первых, "фильтр" в виде слоя пространства, действующего
по формуле (2.43), пропускает ограниченные пространственные частоты (см. рис. 2.7). При этом
оказывается, что существенные отличия приближения Кирхгофа от истинных значений приходятся на
ту область пространственных частот, которую фильтр-слой пространства не пропускает. Вовторых, в той области пространственных частот, где приближение оказывается приемлемым, про исходит
преобразования поля в соответствии со значением расстояния z.
При подготовке материала использована литература:
1. Оптические устройства в радиотехнике: Учебное пособие для вузов (для
специальности Радиотехника) /Под ред. В.Н.Ушакова. – М.: Радиотехника, 2005. 240 с.
2. Гринев А.Ю. Основы радиооптики: Серия «Конспекты лекций по
радиотехническим дисциплинам», вып. 14, рекомендовано УМО для
специальности Радиотехника. Сайнс-пресс, 2003. – 80 с.
3. Наумов К.П., Ушаков В.Н. Акустооптичсские сигнальные процессоры. Конспекты
лекций по радиотехническим дисциплинам. - М.: Сайнс-пресс, 2002.
Вопросы для самоконтроля
1. Пояснить метод скалярной теории дифракции.
2. Записать и пояснить интегральное представление Кирхгофа.
3. Записать и пояснить формулы Кирхгофа и Кирхгофа-Зоммерфельда при дифракции на
плоском экране с отверстием.
4. Записать и пояснить дифракционную формулу Кирхгофа-Зоммерфельда в приближении
Френеля.
5. Записать и пояснить дифракционную формулу Кирхгофа-Зоммерфельда в приближении
Фраунгофера.
6. Что такое импульсный отклик и передаточная функция слоя пространства?
7. Что такое угловой спектр плоских волн?
37