Лекция 07

Лекция 7
СМЕЩЕНИЕ И ДИСПЕРСИЯ ОПТИМАЛЬНОЙ
ОЦЕНКИ НЕЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ
СЛУЧАЙНЫХ СИГНАЛОВ
Необходимо решать уравнение правдоподобия относительно точки
  m
  2 M ( ) 
 M () 
    0 при   2   0 ,
m

 m
и из всех возможных максимумов M () выбрать наибольший.
В общем случае данные уравнения являются нелинейными и
относительно    m не решаются. Однако из свойств логарифма функции
правдоподобия следует, что при достаточно большом отношении
сигнал/шум в окрестности сигнальной функции можно пренебречь
шумовой функцией. В этих условиях положение максимума максиморума
логарифма функции правдоподобия будет совпадать с истинным значением
оцениваемого параметра, т. е.  m   0 .
Влияние шума проявляется в смещении положения максимума
максиморума выходного результирующего сигнала от значения  .
Для случая надежного наблюдения, т. е. тогда, когда максимум
максиморум ln () лежит в окрестности истинного значения  0 и
между  m и  0 нет других максимумов, отклонение оценки  m от  0
можно искать в виде соответствующих приближений.
Все известные до сих пор приближенные способы решения
упомянутого нелинейного уравнения основаны на разложении
логарифма функции правдоподобия в ряд Тейлора и ограничении
несколькими членами этого ряда. Предполагается, что функция S (   0 )
является аналитической в окрестности    0 . Тогда имеем
2
dM ( 0 ) 1
2 d M ( 0 )
M ( )  M ( 0 )  (   0 )
 (   0 )

d
2!
d 2
3
1
3 d M ( 0 )
 (   0 )

3!
d 3
68
В соответствии с уравнением правдоподобия
dM ( 0 )
d 2 M ( 0 )
 M () 

    d  ( m   0 ) d 2
m
3
1
2 d M ( 0 )
 ( m   0 )
   0.
2!
d 3
Величина    m   0 является случайной ошибкой оценки по
максимуму максиморуму функции правдоподобия.
Определим в первом приближении (два члена разложения) ошибки
 . При этом учтем, что: а) так как сигнальная функция четная
относительно    0 , то все производные нечетного ряда от S () в точке
   0 равны нулю; б) поскольку отношение сигнал/шум достаточно
велико, то можно пренебречь
 2 N ( 0 )
 2
учетом этих обстоятельств получаем
по сравнению с
 2 S ( 0 )
. С
 2
 dN () 


.
    2d 
 d S ( ) 


 d 2   0
Поскольку n(t )  0 и N ()  0 , то среднее значение ошибки
измерения параметра равно нулю:
d
N ( )

d

    2
 d S ( )

 d 2


  0.


 0
Таким образом, оценка неэнергетического параметра сигнала на
фоне нормального шума в первом приближении несмещенная.
69
Дисперсия оценки
 2 ()   2

2
 d
N ( 1 ) N ( 2 )
 d 1d 2

2
 d 2 S ( ) 



2 
 d 




 .


 0
Учитывая, что N (1 ) N ( 2 )  S (1   2 ) , и вводя переменную
   0   1   2 , получаем
  2 S (   0 )   
  2 S (   0 ) 
 d 2 S ( 1   2 ) 
  
 .

 
2
2








 d 1d 2  



 
1
2

 0

0
0
Таким образом,
 2 ( )  
1
 d 2 S ( ) 

2 
 d   0
,
S ()  Q0 S (0) ,
т. е. в первом приближении дисперсия оценки неэнергетического
параметра сигнала обратно пропорциональна кривизне сигнальной
функции.
1. ОБОБЩЕННАЯ СТРУКТУРНАЯ СХЕМА
МНОГОКАНАЛЬНОГО ВРЕМЕННОГО АНАЛИЗАТОРА
Структурная схема анализатора во многом определяется
спецификой экспериментов, которые осуществляются при помощи
временного анализатора. Тем не менее на основании целого ряда
обобщений в плане составления математического описания некоторых
наиболее распространенных в физических исследованиях случайных
процессов можно представить себе обобщенную структуру
многоканального временного анализатора (м.в.а.), пригодную для
многочисленных приложений.
Можно выделить три статистические модели входных сигналов
м.в.а.:
70
 поток старт-сигналов – случайный, по каждому старт-сигналу
через случайный интервал времени  возникает один стоп-сигнал,
измеряется распределение временных интервалов () при
условии возможного наличия в одном или одновременно двух
входных каналах анализатора случайных шумовых потоков
импульсов;
 поток старт-сигналов – регулярный, по каждому старт-сигналу
формируется случайный поток стоп-сигналов со случайным
числом сигналов и случайным их расположением во времени,
измеряется изменение интенсивности во времени потока стопсигналов при условии совмещения начала отсчета времени со
старт-сигналами и возможного наличия шумовых потоков
импульсов в стоп-канале;
 потоки стоп- и старт-сигналов – случайные, по каждому стартсигналу формируется случайный поток стоп-сигналов,
измеряется изменение во времени интенсивности стоп-сигналов
при наличии в стоп-канале анализатора смеси стоп-сигналов с
шумовым потоком импульсов.
Сформулируем требования к структуре м.в.а. на примере
исследования формы импульсов флуоресценции (вторая статистическая
модель потоков), т. е. рассмотрим метод регистрации кинетики
люминесценции (формы высвечивания) в импульсной флуорометрии.
Пусть вероятность излучения атомом фотона в момент времени от t
до t+dt равна (t)dt . Допустим, что излучения фотонов в различные
моменты времени независимы, тогда поток излучаемых фотонов
подчиняется закону Пуассона с переменной плотностью (t ) , т. е. число
импульсов на интервале (0,Т) безотносительно к его временному
положению на интервале (0,Т) описывается
Pn (T ) 
B(T )n e  B (T )
n!
,
T
B(T )    (t )dt ,
0
где   1 – вероятность регистрации фотона в фотоприемнике.
71
Регистрация сигнальных импульсов проводится на фоне
мешающего помехового пуассоновского потока с плотностью  (t ) . Для
шумового потока имеем
Pnш (T )

Bш (T )n  Bш (T )

e
,
n!
T
Bш (T )   (t )dt .
0
Определим условную вероятность регистрации первого импульса на
интервале (t,t+dt) при условии, что регистрация производится на
интервале (0,Т), если на интервале (0,t) не будет ни одного сигнального
или помехового импульса, а на интервале
(t,t+dt)
будет либо
сигнальный, либо помеховый импульс.
Пренебрегая вероятностью наложений любой пары импульсов друг
на друга на интервале (t,t+dt), для искомой условной вероятности
получаем


W (t )dt  P0 (t ) P0ш (t ) P1 (dt)  P1ш (dt)




0t T

exp  B(t )  B ш (t ) (t )  (t )dt
T

ш
 (t )  (t )exp  B(t )  B (t ) dt

0
 t

(t )  (t )exp   ((u )  (u ))du dt

 0

.
T
 t

 (t )  (t )exp    ((u )  (u ))du dt
0

 0
Введем обозначение
t
 ((u)  (u))du  K (t ),
0
тогда в знаменателе имеем интеграл
72
T
e
 K (t )
T
K (t )dt   e  K (t ) dK (t )  1  e  K (T ) ,
0
0
в итоге получаем
 t

1
W (t )dt  (t )  (t )exp    ((u )  (u ))du  ,


 0
 T

  1  exp   ((u )  (u ))du .
 0

Выразим искомое распределение
Введем обозначения:
(t ) через измеренное W (t ) .
t
 (u )  (u )du  Q(t )
0
(t )  (t )  Q (t )
С учетом введенных обозначений имеем
W (t )dt  Q (t )e Q (t ) dt  e Q (t ) dQ (t ) .
Интегрируя обе части уравнения, получаем
t
Q (t )
0
Q ( 0)
 W (t )dt   e  x dx  1  e Q (t ) ,
t


 Q (t )  ln 1    W (t )dt  ,
0


Q(t )  (t )  (t ) 
W (t )
t
1   W (t )dt
0
В итоге окончательное выражение для (t ) :
73
.




1  W (t )
(t ) 
 (t ) .
t


1   W (u )du

0


В дискретном виде данное выражение выглядит


Ni


C1
1
i 

  i ti  ,
1 i


1


N

j


C1 j 1


  1
C0 C1
 ,
C
C
где С – общее число всех испытаний; С1 – число полезных испытаний,
когда число импульсов в рабочем диапазоне  1 ; С0 – количество
испытаний, при которых нет импульсов в рабочем диапазоне.
С учетом приведенных обозначений


Ni


1
C
i 
  i ti  .
 1 i

1  C  N j

j 1


Из полученного выражения можно сделать выводы:
 о характере аппаратурных искажений;
 об условиях минимизаций искажений;
 о воздействии шумового потока на регистрируемые распределения.
Очевидно, что с увеличением номера канала «i» анализатора
увеличивается погрешность измерений, поскольку нарастает вероятность
перекрытия старших каналов «мертвым» временем, связанным с
обработкой и регистрацией событий в более младших каналах.
Минимальные искажения регистрируемых распределений имеют
место при малой интенсивности потока сигналов в стоп-канале, т. е.
i
когда для всех каналов выполняется условие  N j  C .
j 1
74
Шумовой поток дает аддитивную добавку в аппаратное
распределение плотности вероятности, которую можно легко учесть при
использовании в анализаторе режима вычитания в отсутствие (снятии)
информационных сигналов, разумеется, при условии, если такое снятие
не нарушает начальной интенсивности шумового потока импульсов на
выходе фотоприемника.
Фундаментальная
возможность
уменьшения
аппаратных
погрешностей, как следует из предыдущего рассмотрения, связана с
необходимостью
увеличения
продолжительности
проведения
эксперимента. Однако во многих случаях продолжительность
проведения эксперимента ограничена (например, временем жизни
исследуемого вещества, образца). В этих случаях необходимо искать
другие возможности обеспечения высокой точности регистрации не в
ущерб производительности экспериментальных установок. Для
многоканальных
временных
анализаторов
такая
возможность
обеспечивается при использовании «метода режекции», состоящего в
сохранении относительно высокой интенсивности сигнального потока
фотонов при одновременном исключении регистрации данных для тех
циклов измерений, при которых в рабочем диапазоне измерений (0,Т)
фиксируемое число отсчетов n  2 .
2. МЕТОД РЕЖЕКЦИИ КАК СРЕДСТВО УМЕНЬШЕНИЯ
ПОГРЕШНОСТЕЙ МНОГОКАНАЛЬНОГО ВРЕМЕННОГО
АНАЛИЗАТОРА В ЭКСПЕРИМЕНТЕ ПО РЕГИСТРАЦИИ
КИНЕТИКИ ЛЮМИНЕСЦЕНЦИИ
Покажем аналитически, что метод режекции исключает
неравномерные в рабочем диапазоне измерений искажения
регистрируемых функций высвечивания.
Определим условную вероятность того, что на интервале (0,Т)
зарегистрируется импульс в момент времени от t до (t,t+dt) при
условии, что больше на этом интервале импульсов нет:
T
  f (t ) dt
f (t )dt e
x(t )dt 
0
T
T
T
 f (t ) e
  f (t ) dt
0
0
где f (t )  (t )  (t ) ,
75
dt
f (t )dt
 f (t )dt
0
,
T

1
(t )   x(t )  f (t )dt  (t ) .

0

T
Поскольку интеграл  f (t )dt – это среднее число импульсов на
0
интервале (0,Т), его можно определить следующим образом:
e cpT 
C0
,
C
 cpT  ln
C
.
C0
Таким образом,
(t )  x(t ) 
(t )
.
ln C  ln C0
На основании выполненных расчетов для пуассоновского потока
получены следующие зависимости среднего числа регистрируемых
m
 Ni
Cреж
nрег  i 1
C
и режектируемых nреж 
отсчетов n 
C1
в рабочем диапазоне измерений (рис. 1).
C
nрег
C
событий от среднего числа
n
nрег
nреж
1,0
76
n
c1
c
Рис. 1. Зависимость среднего числа регистрируемых n рег и
режектируемых nреж событий от среднего числа отсчетов n в
рабочем диапазоне измерений
Важное обстоятельство состоит в том, что приведенные на рис. 1
зависимости практически остаются неизменными для потоков фотонов с
постоянной интенсивностью и интенсивностью, спадающей по
экспоненте. Это свидетельствует о целесообразности применения
режима режекции при исследовании источников излучения с переменной
интенсивностью.
3. ТИПОВАЯ БЛОК-СХЕМА МНОГОКАНАЛЬНОГО
ВРЕМЕННОГО АНАЛИЗАТОРА ДЛЯ ИЗУЧЕНИЯ
КИНЕТИКИ ЛЮМИНЕСЦЕНЦИИ В
ДИАПАЗОНЕ 10-10  10-6 СЕК
Особенности функционирования многоканального временного
анализатора при наличии на его входах случайных потоков сигналов
рассмотрим на примере типовой блок-схемы устройства для изучения
кинетики люминесценции методом счета одиночных квантов (рис. 2).
Импульсный источник
возбуждения (лазерный
или искровой)
Лз
ФЭУ 1
*
Ф
СВП1
100 нсек
Б
ФРД
(0,Т)
СВП2
Б
М
ФЭУ 2
СС
ШУС
А А
Кювета с
исследуемым
образцом
РИ1
РИ2
СТОП
СТАРТ
МАА
АЗУ
КЧИ
ПВА
Рис. 2. Экспериментальная установка для изучения кинетики
люминесценции методом счета одиночных квантов для временного
диапазона 10-10-10-6 сек.: ФЭУ1 – детектор импульсов люминесценции;
77
М – монохроматор; СВП1 и СВП2 – схемы временной привязки;
ФРД – формирователь рабочего диапазона измерений (0,Т); СС – схема
селекции; Ф – формирователь; Лз – линия задержки на интервал   Т ;
РИ1 и РИ2 – распределители импульсов; ПВА – преобразователь время–амплитуда;
КЧИ – компаратор числа импульсов в интервале (0,Т);
МАА – многоканальный амплитудный анализатор
Форму импульсов вынужденной люминесценции при достаточно
высокой интенсивности последней можно измерять стробоскопическим
методом, при этом, однако, разрешающая способность будет
определяться длительностью строб-импульсов ( ~ 2  3  10 9 сек). Кроме
того, широкополосность этих преобразователей в значительной мере
определяет искажения регистрируемой формы кинетики люминесценции
когерентными помехами, связанными с формированием стробимпульсов. И, наконец, стробоскопический метод вообще не пригоден
для исследования кинетики люминесценции во всех случаях малой
интенсивности, когда речь идет о необходимости регистрации в рабочем
диапазоне измерений изменения во времени плотности потока фотонов
(а не амплитуды светового импульса, как в случае строб-осциллографов).
Единственным
инструментом,
способным
решать
эту
экспериментальную задачу, является многоканальный временной
анализатор (рис. 2).
Анализатор работает в двух режимах. В первом (основном) режиме
старт-импульсы преобразователя ПВА формируются из импульсов
источника возбуждения и через распределитель импульсов РИ, подаются
на ПВА; на стоп-канал ПВА через схему селекции СС и распределитель
РИ2 подаются импульсы канала регистрации фотонов люминесценции –
выходные импульсы ФЭУ2, работающего в режиме счета одиночных
квантов. Выходные импульсы ФЭУ2 формируются широкополосным
усилителем ШУС и схемой временной привязки СВП2. Напряжение с
выхода ПВА через аналоговое запоминающее устройство АЗУ подается
на МАА по строб-импульсу из компаратора числа импульсов КЧИ,
который в свою очередь вырабатывается только в том случае, если в
рабочем диапазоне (0, Т) число зарегистрированных фотонов не
превышает 1. В противном случае записанная в АЗУ информация
стирается.
Во втором режиме работы ( включены цепи А- А  и Б- Б ) в качестве
старт-импульсов преобразователя ПВА используются выходные сигналы
фоторегистрации исследуемой люминесценции, а в качестве стопимпульсов для ПВА используются импульсы возбуждения, задержанные
78
линией задержки Лз на интервал   Т . Этот режим работы обеспечивает
несколько большую производительность экспериментальной установки и
исключает «холостые» запуски ПВА, которые имеют место в режиме 1 в
случаях, когда за импульсами возбуждения в рабочем диапазоне (0,Т)
отсутствуют какие-либо зарегистрированные фотоны.
4. СУБОПТИМАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ФИКСАЦИИ ВРЕМЕННЫХ
ПОЛОЖЕНИЙ СЛУЧАЙНЫХ СИГНАЛОВ ПРИ
МНОГОКАНАЛЬНОМ ВРЕМЕННОМ АНАЛИЗЕ
Общеизвестно, что в большинстве случаев оптимальные методы
параметрической
обработки
случайных
сигналов
реализовать
невозможно. В этом плане представляет интерес анализ возможностей
используемых на практике методов. При многоканальном временном
анализе наибольшее использование получили следующие четыре метода
фиксации временных положений флуктуирующих сигналов:
 пороговые методы с абсолютным уровнем привязки;
 методы совместного измерения амплитуды и временного
положения сигнала;
 методы сравнения основной и преобразованных форм сигналов;
 метод компенсации.
Разброс
моментов
срабатывания
дискриминаторов
с
фиксированным порогом (метод с абсолютным уровнем привязки) для
входных импульсов одинаковой формы, но различной амплитуды
представлен на рис. 3. Пороговые устройства с абсолютным уровнем
привязки используются для работы с быстрыми датчиками событий в
относительно узком динамическом диапазоне изменения амплитуды
сигнала.
79
а
б
Рис. 3. Временные задержки t1, t2 и t3 срабатывания дискриминатора с порогом
U0 при относительных амплитудах входных сигналов а = 1; 0,5 и 0,25 (а) и
распределение временных задержек при нормальном распределении
флуктуаций амплитуды со среднеквадратичным отклонением   0,1а (б)
5. ФОРМИРОВАТЕЛЬ СИГНАЛОВ
СО СЛЕДЯЩИМ ПОРОГОМ
В данном устройстве (рис. 4) устанавливается плавающий порог
дискриминатора входных сигналов, регулируемый в зависимости от
амплитуды этих сигналов. Чем больше амплитуда сигнала, тем больший
устанавливается порог срабатывания дискриминатора, что выравнивает
задержки срабатывания сигналов различной амплитуды.
80
Ивх
Лз
+
инв
С
огр
АТ
m
аnмин
Д
а0
Рис. 4. Формирователь сигналов со следящим порогом: ИНВ – инвертер,
Лз – линия задержки , ОГР – ограничитель снизу с порогом а пmin ,
АТ – аттенюатор с коэффициентом ослабления m, С – сумматор,
Д – дискриминатор сигналов с порогом а0 .
Сигнал компенсации формируется из входного сигнала. Задержка 
выбирает временной интервал, в течение которого завершается
формирование компенсирующего сигнала.
При работе в широком диапазоне изменений амплитуды метод
следящего порога обеспечивает значительный выигрыш во временном
разрешении по сравнению с методом дискриминации сигналов с
абсолютным уровнем привязки.
Например, в динамическом диапазоне 1:10 в эксперименте с 
совпадениями на источнике -излучения 60 Со при использовании в
детекторе кристалла стильбена и ФЭУ типа ХР 1020 получено
соответственно временное разрешение 0,43 и 1,2 нс.
6. МЕТОД ДВОЙНОЙ ВЫБОРКИ
Метод основан на следующем (рис. 5): определяются моменты t1 и t2
пересечения входным воздействием x(t) двух пороговых
уровней U1 и

U2, а в качестве оценки временного положения t сигнала принимается

некоторая комбинация t1 и t2 , выбираемая таким образом, чтобы t не
зависела от амплитуды сигнала а. Информация о t1 и t2 используется
фактически для интерполяции к моменту возникновения сигнала t0. Этот
81
метод реализуется как для однополярных, так и для двуполярных сигналов.
В последнем случае на нулевое положение сигналов в меньшей степени
влияют аддитивные шумы, т. е. точность фиксации временного положения
биполярного сигнала оказывается более высокой.
x(t)
t0
t1
U1
t2
а
U2
x(t)
t0
x(t)
б
U1
t1
t2
U2
U1
t1
t0
U2
в
t2
Рис. 5. Фиксация временного положения сигнала по методу двойной
выборки для однополярного (а) и двуполярных сигналов (б и в).
7. МЕТОД КОРРЕКЦИИ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ
ФИКСАЦИИ ВРЕМЕННОГО ПОЛОЖЕНИЯ
СИГНАЛОВ НА БАЗЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ
ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЕЙ
При известном законе нарастания входных сигналов погрешности
временного
анализа
можно корректировать по результатам
параллельного амплитудного анализа. Во временных анализаторах с
преобразователем
время-амплитуда-код
обычно
при
помощи
специальных функциональных элементов корректируется амплитуда
промежуточного преобразователя время-амплитуда, а при совместной
82
работе анализатора с ЭВМ обеспечивается более точная коррекция
непосредственно кодов измеряемых временных интервалов.
Для сигналов с линейно нарастающим фронтом временной сдвиг
t  
U0
,
а
где  – длительность фронта, U0 – порог дискриминатора сигнала,
а – амплитуда сигнала. При коэффициенте преобразования времяамплитуда  сигнал погрешности будет
U вых   t  
U0
.
а
Таким образом, функциональный элемент должен вырабатывать
сигнал компенсации
U комп   
U0
С,
а
где постоянная С выбирается из условия
U комп  0 , когда а=U0 , т. е. C   .
В итоге сигнал на выходе преобразователя время-амплитуда
U вых   t изм   .
Блок-схема многоканального временного ядерно-физического
анализатора с автоматической компенсацией погрешностей временной
привязки в канале с Ge(Li) детектором излучения приведен на рис. 6.
83
Источник ядерного
излучения
ФЭУ
ПС
*
Ge(Li)
ЗПУ
ПВАвсп
Д1
U1>U2
СВП1
СТАРТ
ПВАосн
АС
Д2
U2
СТОП
Лз
МАА
100 нс
а
Uзпу
U1
U2
Uзпу
100 нс
100 нс
Uком
Uком
б
Рис. 6. Многоканальный ядерно-физический анализатор с компенсацией
неопределенностей временной привязки в канале детектирования и формирования
стоп-сигналов (а) и временная диаграмма формирования сигнала компенсации (б):
ФЭУ – фотоэлектронный умножитель и пластический сциптиллятор ПС для
детектирования старт-сигналов; Ge(Li) – полупроводниковый детектор стопсигналов; СВП1 – схема временной привязки к старт-сигналам; ЗПУ – зарядочувствительный предусилитель; Д1 и Д2 – дискриминаторы стоп-сигналов с
пороговыми напряжениями срабатывания U1 и U2 (U1>>U2); ПВАосн и ПВАвсп –
основной и вспомогательный преобразователь время–амплитуда соответственно;
АС – аналоговый сумматор; МАА – многоканальный амплитудный анализатор;
Лз – линия задержки на 100 нс
84
Сигнал компенсации формируется с помощью преобразователя
ПВАвсп, на старт- и стоп-входах которого установлены Д1 и Д2,
фиксирующие крутизну линейно нарастающего фронта выходного
сигнала зарядочувствительного предусилителя ЗПУ. Очевидно, что чем
круче
стоп-сигнал,
тем
большее
напряжение
компенсации
вырабатывается вспомогательным преобразователем ПВАвсп, который
суммируется с выходным сигналом основного ПВАосн в схеме
аналогового сумматора.
85