Модуль 2. Конспект по оптимальной фильтрации

8. Оптимальная фильтрация и обнаружение сигналов
8.1 Основные соотношения теории обнаружения сигналов
Борьба с шумами и помехами является важной задачей во многих
технических приложениях. Обеспечение высокой помехоустойчивости систем
выделения и передачи информации осуществляется двумя путями. С одной
стороны, можно совершенствовть структуру передаваемых сигналов –
использовать, например, ЛЧМ-сигналы, коды Баркера и т.п. Другой путь
заключается в создании устройств для обработки, которые наилучшим образом
выделяют сигнал, искаженный присутствием шума. Обсуждению принципов
работы таких устройств и посвящен даннный раздел.
8.1.1 Качественные показатели и критерии оптимальности
обнаружения
Решение о наличии или отсутствии цели (сигнала в смеси с шумом) при
ее обнаружении должно быть принято при неизвестных взаимоисключающих
условиях:
А1 – цель есть,
А0 – цели нет.
Вследствие помех каждому из этих условий могут соответствовать
решения:
А1* – цель есть,
А0* – цели нет.
При обнаружении возможны четыре ситуации совмещения случайных
событий «решения» и «условия»:
1) А1*А1 – правильное обнаружение;
2) А0*А1 – пропуск цели (решение что цели нет, когда она есть) –
недобраковка изделия при техническом контроле;
*
3) А1 А0 – ложная тревога (решение что цель есть, когда ее нет) –
перебраковка изделия;
*
4) А0 А0 – правильное обнаружение.
Данным ситуациям соответствуют четыре вероятности совмещения этих
событий составляющих полную группу:
P( A1* A1 )  P( A0* A1 )  P( A1* A0 )  P( A0* A0 )  1 .
(8.1)
Каждому ошибочному решению назначают некоторую стоимость
ошибки rik (i=0,1; k=0,1). Стоимость безошибочных решений полагают равной
нулю r11=r00 = 0.
При этом систему обнаружения можно характеризовать средней
стоимостью (математическим ожиданием стоимости) ошибочных решений:
M{r}  r  r01P( A0* A1 )  r10P( A1* A0 ) .
(8.2)
Лучшей из сравниваемых систем обработки считают ту, которая
удовлетворяет критерию минимума этой стоимости, иначе – критерию
минимума среднего риска:
r  min .
(8.3)
Поскольку задание вероятностей наличия Р(А1) и отсутствия Р(А0)
цели, называемых априорными (доопытными) вызывает трудности,
P( A0* A1 ) и P( A*1 A0 ) .
затруднителен и расчет вероятностей совмещения
Поэтому переходят к условным вероятностям, являющимся качественными
показателями обнаружения при условии наличии и отсутствии цели.
При наличии цели условная вероятность правильного обнаружения
P( A1* A1 )
*
D  P( A1 A1 ) 
,
(8.4)
P( A1 )
а условная вероятность пропуска цели
*
P
(
A
A1 )
*
0
Dˆ  P( A0 A1 ) 
.
(8.5)
P( A1 )
*
Поскольку соответствующие одному и тому же условию А1 решения A1
*
и A0 взаимоисключающие, то

D  D  1.
Качественными показателями обнаружения при условии отсутствия цели
являются условные вероятности ложной тревоги
P( A1* A0 )
F  P( A A0 ) 
P( A0 )
*
1
(8.6)
и правильного обнаружения

P( A0* A0 )
*
F  P( A0 A0 ) 
P( A0 ) ,
(8.7)
причем

F  F  1.

Используя соотношения для D (пропуск цели) и F (ложная тревога),
среднюю стоимость ошибки (8.2) можно представить


r  r01D P( A1 )  r10 F P( A0 )
или заменяя D  1  D и преобразуя
r  r01 P( A1 )[1  ( D l 0 F )] ,
(8.8)
где
l0 
r10 P( A0 )
.
r01 P( A1 )
(8.9)
При этом приходим к так называемому весовому критерию:
D - l0F = max ,
(8.10)
где l0 – весовой множитель.
Анализируя последнее выражение можно сделать вывод, что если задать
F, то оптимальный обнаружитель должен дать наименьшую вероятность
пропуска (наибольшую D), а это так называемый критерий оптимальности
Неймана-Пирсона, который как и весовой является следствием критерия
минимума среднего риска.
8.1.2 Простейший пример оптимизации обнаружения
Пусть существует сумма сигнала x и помехи n: y = x+n, либо одна
помеха y = n, т.е.
y = n + Ax,
(8.11)
где А = 0 либо 1.
Таким образом задача состоит в определении параметра А* (решения) по
измеренному y в соответствии с критерием минимума среднего риска или
эквивалентного ему весового критерия.
Пусть закон распределения случайной величины n нормальный с
плотностью вероятности pп (n) . При отсутствии сигнала А = А0= 0, а при его
наличии А = А1= 1 и можно записать
p( y | A0 )  pп ( y), p( y | A1 )  pсп ( y) .
(8.12)
Поскольку
pсп ( y)  pп ( y - x) ,
(8.13)
то данную ситуацию можно представить в следующем виде:
а)
pсп(у)=рп(у-х)
pп(у)
D
F
у
x
0
б)
А*(у)
1
0
у0
у1
у
Рис. 8.1 Условные плотности вероятности помехи и смеси ее с сигналом
(а), решающей функции (б).
Введем некоторую решающую функцию А*=А*(у), принимающую
значения 0 или 1. Тогда D и F будут иметь смысл вероятностей попадания
случайной величины в интервал у0…у1 при условии «сигнал+помеха» или
«помеха» и соответствуют заштрихованным площадям.
Для произвольной решающей функции


D
 A ( y) p
*

 A ( y) p
F
( y )dy ,
СП
*
П

( y )dy .
(8.14)
Выражение D - l0 F, соответствующее весовому критерию, может быть
тогда представлено в виде

D - l0 F 
 A (y) p (y) [l(y)  l
*
п

0
]dy ,
(8.15)
pСП ( y )
.
(8.16)
pП ( y )
Для получения наибольшего значения интеграла (8.15) необходимо
обеспечить наибольшее значение подынтегрального выражения для каждого у.
Для этого выбирают решающую функцию:
А*(у) = 1, если подынтегральное выражение больше нуля;
А*(у) = 0 – в противном случае.
Поскольку рп(у) ≥ 0, то оптимальное правило решения может быть
записано как
где l ( y ) 
l ( y )  l0
1, если
А*опт ( y)  
0, если
l ( y )  l0 .
(8.17)
Величина l ( y)  pсп ( y) / pп ( y) называется отношением правдоподобия
– это отношение плотностей вероятности реализации у при действии сигнала и
помехи и одной помехи.
Решение о наличии сигнала принимается, если l(у) превышает порог l0.
Таким образом, критерием оптимального обнаружения может служить
критерий отношения правдоподобия, являющийся следствием общего
критерия минимума среднего риска.
Приведенные рассуждения справедливы для произвольного закона
распределения.
Для гауссовского центрального распределения (mx = 0) с СКО n0 и
дисперсией n02 при отсутствии сигнала (у = n):
pП ( y ) 
1
2 n0

e
y2
2n2
0
,
(8.18)
а при его наличии
pCП ( y ) 
1
2 n0

e
y2
2n2
0
.
(8.19)
При этом отношение правдоподобия

l ( y) 
( y  x )2
2 n02
e

e
y2
e

x2
xy
2 n02
 e n0
2
.
(8.20)
2 n02
Зависимость отношения правдоподобия l(у) от принятой реализации у
для положительных значений сигнала х > 0 изображена на рисунке
pсп(у)
pп(у)
D
F
у
0
l(у)
l0
А*опт (у)
1
0
у0
а)
у
0
у
у0
б)
Рис. 8.2 Зависимость отношения правдоподобия от результатов
наблюдения (а); условные плотности вероятности pп(y), pсп(y) и
оптимальная решающая функция А*опт ( y ) - (б).
В силу ее монотонности из l(у) > l0 следует у > у0, а из l(у) < l0
следует у < у0 как изображено на рисунке слева. Тогда при х > 0
y  y0
1, если
А*опт ( y)  
.
(8.21)
y  y0
0, если
Отсюда видно, что первоначально принятая решающая функция
(предыдущий рисунок) была неоптимальной. Величина у0 называется
порогом.
При заданном уровне помех вероятность ложной тревоги F зависит
только от величины у0:

F
1
2
 p  ( y)dy 
y0
где (u ) 
2
u
e

S2
2


e

S2
2
y0 n0
y
1
ds  [1  Ф( 0 )] ,
2
n0
(8.22)
ds - интеграл вероятности.
2 0
Таким образом, порог можно выбирать по заданной вероятности ложной
тревоги, что соответствует критерию Неймана-Пирсона. Это позволяет избегать
учета априорных данных о наличии сигнала.
Условная вероятность правильного обнаружения D при этом

D
 p CП ( y)dy 
y0

1
2

e
( y 0  x ) n0

S2
2
y x
1
ds  [1  Ф( 0
)]
2
n0
или, в силу нечетности Ф(u) = - Ф(-u):
x  y0
1
D  [1  Ф(
)] .
2
n0
(8.23)
В соответствии с данным соотношением строятся кривые обнаружения:
D
1
F>F´
0,5
F
F´
0
y0
y0´
x
Рис. 8.3 Кривые обнаружения
Чем выше порог у0, тем меньше вероятность ложной тревоги F, но тем
больший уровень сигнала требуется для обеспечения той же вероятности
правильного обнаружения D.
8.1.3 Постановка задачи оптимального обнаружения реальных
сигналов
Перейдем от фиксированного момента времени, при котором были
получены предыдущие результаты (обнаружение случайной величины) к
случаю, когда на входе реальный сигнал являющийся функцией времени
(случайный процесс).
При этом входное колебание:
y (t )  n(t )  A  x(t ,  ,  ),
где n(t) – колебание помехи на входе – стационарный случайный процесс с
известными статистическими характеристиками;
А – дискретный случайный параметр (0 или 1);
α – информативный параметр ожидаемого сигнала или их совокупность
(время запаздывания, доплеровское смещение частоты при взаимном
перемещении зондирующего датчика и объекта и т.п.)
β – случайный неинформативный при обнаружении параметр или их
совокупность 1 , 2 ... (начальная фаза сигнала, его амплитуда,
совокупность начальных фаз и амплитуд сигнала, состоящих из
отдельных посылок). Поскольку при обнаружении эти параметры не
фиксируются, задается плотность вероятности их распределения
p(  ) или p(1 ,  2 ,...) .
Существенной задачей при обнаружении является отыскание правила
принятия решения о наличии цели ( A*  0 или A*  1) в зависимости от y(t),
т.е. отыскание дискретного функционала (переменной, значение которой
зависит от значения функции)
*
*
Aопт
 Aопт
[ y (t )].
Если решение принимается для различных значений α, то необходимо
*
найти Aопт как функцию α:
*
*
Aопт
( )  Aопт
[ y(t )  ].
Критерием оптимальности может служить критерий минимума среднего
риска или весовой критерий.
В теории обнаружения решаются также задачи синтеза практически
приемлемой аппаратуры и оценки качественных показателей обнаружения.
8.1.4 Методика решения задачи оптимального обнаружения
реальных сигналов
Предположим, что спектр сигнала и помехи ограничены наивысшей
частотой fmax . При этом функцию с ограниченным спектром y(t) с помощью
теоремы Котельникова можно разложить в ряд по неслучайным функциям
 k (t ) со случайными коэффициентами yk :
y(t )   yk k (t ) .
(8.24)
k
Здесь yk = y(tk), tk = k  t (k = 0, ± 1,…), а t - интервал дискретизации:
1
t 
,
(8.25)
2 f max
sin x
а  k (t ) - сдвинутые на t функции
:
x
sin 2 f max (t  tk )
 к (t ) 
.
(8.26)
2 f max (t  tk )
Таким образом, используя теорему Котельникова, различные реализации
непрерывной функции y(t) можно свести к многомерным случайным
величинам Y = {y1, y2,…}.
При непрерывном распределении вероятностей каждую реализацию y1,
y2,… можно характеризовать своей многомерной плотностью вероятности
p(y1, y2,...). При этом p(y1, y2,...)dy1dy2… - вероятность попадания
реализации кривой y(t) на некоторую «дорожку», определяемую интервалами
задания дискретов yk < y < yk+ dyk .
Обозначим:
– многомерную плотность вероятности p(y1, y2,...) как P(Y);
– условную плотность вероятности при наличии одной помехи Pп(Y);
– условную плотность вероятности сигнала и помехи Pсп(Y).
*
Отметим, что дискретный функционал A [ y(t )] переходит при этом в
дискретную функцию А*(Y) также равную 0 либо 1.
*
Рассмотрим выбор наилучшей решающей функции Aопт (Y ) , т.е.
наилучшее разбиение многомерного пространства на области А*= 0 и А* = 1.
По аналогии с предыдущим рассмотрением найдем D и F для
произвольной решающей функции А*(Y):
D
p
сп
(Y ) A* (Y )dY
(Y )
F
p
п
(Y ) A* (Y )dY
,
(8.27)
(Y )
где
dY = dy1dy2… область интегрирования, соответствующая всем
возможным значениям Y.
Составляя весовой критерий D - l0F, находим:
p
D  l0 F 
п
(Y ) [l (Y )  l0 ] A* (Y ) dY ,
(8.28)
(Y )
где
l (Y ) 
pсп (Y )
pп (Y )
(8.29)
отношение правдоподобия для многомерной случайной величины.
Как и в предыдущем случае, максимум весового критерия достигается
при оптимальной решающей функции:
*
Aопт
(Y ) 
1, если l (Y) > l0 ,
0, если l (Y) < l0 ,
(8.30)
где l0 – пороговое значение отношения правдоподобия, обычно выбираемое из
заданной F.
Принимаемое колебание y(t) описывается многомерной выборкой Y тем
лучше, чем меньше интервал дискретизации ∆t. Поэтому при ∆t→0
определяется искомый функционал:
1, если l [y(t)|α] > l0 ,
0, если l [y(t)|α] < l0 ,
*
Aопт
[ y(t )  ] 
(8.31)
где
l[ y (t )  ]  lim
t  0
pсп [Y  ]
pп [Y ] .
(8.32)
Здесь α – только в числителе, поскольку при отсутствии сигнала
плотность вероятности реализации Y от параметра α не зависит.
8.1.5 Статистика флуктуационной помехи
Методика оптимизации обнаружения предусматривает наличие сведений
о статистике помехи, на фоне которой производится обнаружение сигнала.
Одной из простейших помех является флуктуационный шум являющийся
следствием теплового шума сопротивлений, дробового шума в электронных
приборах и т.п.
При воздействии на узкополосную колебательную цепь отдельные
импульсы помехи вызывают налагающиеся переходные процессы – это, в
соответствии с центральной предельной теоремой, приводит к нормализации
процесса. А его постоянная спектральная плотность в полосе пропускания
1
означает некоррелированность отсчетов отстоящих на t 
(в
2 f max
соответствии с теоремой Котельникова). Здесь fmax – полоса пропускания
приемного устройства.
Таким образом, используя теорему умножения для плотностей
вероятностей независимых случайных величин:
pп ( y1 , y2 ,...)  pп ( y1 ) pп ( y2 )... ,
(8.33)
где
pп ( y k ) 
1
2 N 0 f max

e
y k2
2 N 0 f max

t
e
 N0
y 2 t
 k
N0
.
(8.34)
2
2
Здесь N 0  f max   y  n0 - дисперсия помехи.
8.2 Корреляционная обработка когерентных сигналов
8.2.1 Обнаружение сигнала с полностью известными параметрами
Если ожидаемый сигнал x(t,α) не имеет неизвестных параметров, то
принимаемое колебание y(t) отличается от шумового на известную функцию
x(t,α):
y(t) = n(t) + x(t, α) .
Дискретные значения yк соответствующее этому колебанию:
yк = nк + xк .
Поскольку значения сигнала xк известны, то его наличие приводит к
смещению распределения yк = nк (когда действует одна помеха):
pcп ( y1, y2 ,...)  pп ( y1  x1, y2  x2 ,...).
(8.35)
Таким образом, отношение правдоподобия для сигнала с полностью
известными параметрами:
p ( y  x , y  x2 , ...)
l (Y  )  п 1 1 2
(8.36)
pп ( y1 , y2 , ...)
Используя выражения (8.33) и (8.34) для pп ( y1 , y2 , ...) и pп ( yk )
предыдущего параграфа, найдем:

( y1  x1 ) 2 t
l (Y  ) 
e
или
l (Y  )  e
e
N0
e

y 2 t
 1
N0

e
1
2
 x t
N k k
0
из
( y 2  x 2 ) 2 t
N0
y 2 t
 2
N0
...
,
...
2
 x y t
N k k k
0
e
.
(8.37)
Это отношение правдоподобия для сигнала с полностью известными
параметрами и гауссовской помехи в виде квазибелого шума.
Для белого шума осуществляется предельный переход: fmax→∞, а
∆t→0. При этом суммы в показателях переходят в интегралы:

lim  x t 
t  0 k
2
k
x
2
(t ,  )dt  Э ( ) ,
(8.38)

где Э( ) - энергия ожидаемого сигнала;
lim
x
t  0 k

k
y k t 
 x(t , ) y(t )dt  z[ y(t )  ]  z ( ) ,

(8.39)
где z ( ) корреляционный интеграл.
Таким образом, отношение правдоподобия:
l ( y (t )  )  e

Э ( )
N0
e
2 z ( )
N0
,
(8.40)
где N0 – спектральная плотность шума.
Поскольку отношение правдоподобия – монотонная функция
корреляционного интеграла z(α), то можно при обнаружении сравнить его с
порогом z0:
y(t)
Умножитель
Интегратор
Пороговое
устройство
1, если z > z0
*
A=
0, если z < z0
z0
x(t,α)
Рис. 8.4 Структурная схема корреляционного обнаружителя полностью
известного сигнала
Величина порога z0 может быть рассчитана из выражения (8.40) при
l[ y(t )  ]  l0 :
Z 0  Z 0 ( ) 
N0
1
ln l0 ( )  Э ( ) .
2
2
На умножитель при этом подается принятый сигнал y(t)
колебание x(t,α), соответствующее ожидаемому сигналу.
(8.41)
и опорное
8.2.2 Методика определения отношения правдоподобия для сигналов
со случайными неинформативными параметрами
Совместную плотность вероятности реализации сигнала и помехи, и
случайного неинформативного параметра сигнала β можно представить в виде
pcп (Y ,  )  pcп (Y ) p( | Y )  p(  ) pcп (Y |  ) .
(8.42)
Интегрируя это выражение по β и, замечая, что независимо от Y всегда
 p ( | Y ) d  1,
( )
Находим
pcп (Y )  1 
 p( ) pcп (Y |  )d .
( )
Тогда отношение правдоподобия
p (Y )
l (Y )  cп
 p(  ) l (Y |  ) d ,
pп (Y ) (  )
где
l (Y |  ) 
pcп (Y |  )
pп (Y )
(8.43)
(8.44)
- частное отношение правдоподобия при фиксированном значении β.
Вводя наряду с неинформативными параметрами β информативные α и
совершая предельный переход dt → 0, получим
l [ y(t ) |  ] 
 p( ) l [ y(t ) |  ,  ] d ,
( )
где
(8.45)
l [ y (t ) |  ,  ]  lim
p cп (Y |  ,  )
t 0
pп (Y )
(8.46)
- частное отношение правдоподобия при фиксированных значениях α и β.
Или, используя результаты предыдущего параграфа
l [ y (t ) |  ,  ]  e

Э ( ,  )
N0
e

2 z ( ,  )
N0
,
(8.47)
где z(α, β) и Э(α, β) – частные значения корреляционного интеграла и
энергии сигнала для фиксированных значений параметров α и β.
z ( ,  ) 

 x(t, ,  ) y(t )dt ,

Э( ,  ) 

x
2
(t , ,  )dt .
(8.48)
(8.49)

Таким образом, методика определения отношения правдоподобия для
сигнала со случайными неинформативными параметрами по принятой
реализации y(t):
1) вычисление корреляционного интеграла, энергии ожидаемого сигнала
и частного отношения правдоподобия при фиксированных параметрах α и β ;
2) усреднение частного отношения правдоподобия по случайному
неинформативному параметру β (или совокупности таких параметров).
8.2.3 Обнаружение когерентных сигналов с неинформативными
случайными параметрами
Когерентными называются сигналы с закономерной фазовой структурой,
однако начальная фаза β сигнала при обнаружении обычно является
неизвестной случайной величиной.
Опуская пока информативный параметр
α и, считая известной
амплитуду, запишем модель сигнала:
x(t ,  )  X (t ) cos(ot   (t )   )  x1 (t ) cos   x2 (t ) sin  .
(8.50)
Здесь cos( x  y )  cos x  cos y  sin x  sin y , а
x1 (t )  X (t ) cos[0t   (t )] ;
x2 (t )  X (t ) sin[ 0t   (t )] .
(8.51)
Тогда частное значение корреляционного интеграла (выражение (8.48):
z   x(t ) y (t )dt ) принимает вид
z[ y(t ) |  ]  z1 cos   z2 sin  .
(8.52)
Вводя вектор Z с проекциями z1 =Z cos, и z2=Z sin (рис. 8.5),
получаем: z[ y(t ) |  ]  Z cos cos   Z sin  sin   Z cos(   ) .
Z
z2



z1
Рис. 8.5 Квадратурные составляющие корреляционного интеграла
В свою очередь:
Z  Z12  Z 22 ,
(8.53)
где

Z1, 2 
x
1, 2

(t ) y (t )dt .
(8.54)
Для энергии сигнала с большим числом периодов колебаний справедливо
соотношение Э(β)=Э.
Поскольку случайные начальные фазы равновозможны, полагаем их
распределение равномерным от 0 до
2π
с плотностью вероятности
p(  ) 
1
.
2π
Используя частное отношение правдоподобия, и усредняя его по
неинформативному параметру β, получаем:
l[ y (t )]  e

Э
N0
1
2
2 2 Z cos(   )
0 e
N0
d .
Восстанавливая опущенный информативный параметр α и вводя
модифицированную функцию Бесселя I0(u) приходим к выражению:
l[ y (t ) |  ]  e

Э ( )
N0
 2Z ( ) 
I0 
,
N
0


(8.55)
где
Z ( )  Z [ y (t ) |  ]  Z12 ( )  Z 22 ( )
(8.56)
модульное значение корреляционного интеграла.
Если x(t) и y(t) представить в комплексной форме (через их
комплексные амплитуды), то
.
1 .
Z ( ) | Z( ) |
X(t ,  )Y (t )dt .

2

*
(8.57)
Таким образом, для сигнала с неизвестной начальной фазой отношение
правдоподобия является монотонной функцией не корреляционного интеграла,
а его модульного значения. Корреляционный обнаружитель при этом может
быть реализован в виде корреляционной схемы с двумя квадратурными
каналами (рис. 8.6).
Наряду с неизвестной начальной фазой когерентный сигнал может иметь
неизвестную амплитуду:
x(t ,  , B)  BX (t ) cos[0t   (t )   ] .
(8.58)
X
y(t)

z1
x1 (t )  X (t ) cos[ 0 t   (t )]
x2 (t )  X (t ) sin[  0 t   (t )]
X
Z
z12  z22
Пороговое
устройство
z2
A*
Z0

Рис. 8.6 Корреляционный обнаружитель с двумя квадратурными каналами
В этом случае частное отношение правдоподобия при фиксированном B
будет равно:
l[ y (t ) | B]  e

Э( B)
N0
 2  Z ( B) 
I0 
,
N
0


(8.59)
где Z(B) = B·Z, Э(B) = B2Э; Э и Z – энергия и модульное значение
корреляционного интеграла, рассчитанные по ожидаемому сигналу,
соответствующему В = 1.
При этом величину Э выбираем равной средней энергии (усредняя по
p(β) ):

Э  ЭСР   Э( В) р( В)dB .
(8.60)

Задаваясь релеевским распределением амплитуд, получим
B
p(b)  2 e
B0
B2
2 B02
(8.61)
из условия (8.60) можно найти B02 = 1/2.
Усредняя частное отношение правдоподобия l[ y (t ) | B ] (8.59) в
соответствии с принятым законом распределения (8.61) можно получить:
l[ y (t ) |  ] 
N0
e
Э( )  N 0
1  Z 2 ( )
N 0 Э ( )  N 0
.
(8.62)
Таким образом, как и в случае с неизвестной начальной фазой, отношение
правдоподобия
также
монотонная
функция
модульного
значения
корреляционного интеграла Z(α). Поэтому при неизвестных амплитуде и
начальной фазе может быть применена та же схема, что и при неизвестной
только начальной фазе.
Рассмотренные схемы оптимальны, когда известны информативные
параметры, например, задержка и доплеровская частота принимаемого сигнала.
Например, при неизвестном времени запаздывания требуется применение
многоканальной корреляционной схемы, временной интервал между каналами
которой определяется соответствующей разрешающей способностью по τ:
y(t)
1
A1*
2
A2*
…
K
AK*
Рис. 8.7 Многоканальный корреляционный обнаружитель при
неизвестных информативных параметрах
Такие схемы можно использовать и для приема сигналов, отличающихся
несущей частотой из-за эффекта Доплера.
Требование большого количества каналов – недостаток корреляционных
схем.
8.3 Фильтровая и корреляционно фильтровая обработка
когерентных сигналов
8.3.1 Принципы фильтровой обработки
Для произвольного времени запаздывания α ожидаемого сигнала
x (t, α) = u (t - α)
(8.63)
корреляционный интеграл имеет вид
z ( )  z [ y (t ) |  ] 

 y(t ) u (t   ) dt .

(8.64)
Из полученного выражения следует, что схема вычисления
корреляционного интеграла должна осуществлять операцию свертки. Известно,
что интеграл свертки выражает напряжение на выходе линейного фильтра,
который называется оптимальным (согласованным) фильтром, если
используется для вычисления выражение (8.64).
Одной из основных характеристик линейного фильтра является его
импульсная характеристика h(t) – реакция на единичный импульс δ(t). При
этом реакция на произвольное воздействие y(t) описывается интегралом
свертки

w(t )   h (t  s ) y ( s ) ds .
(8.65)

Для нахождения импульсной характеристики оптимального фильтра,
потребуем, чтобы на его выходе воспроизводились значения корреляционного
интеграла в момент t = α + t0 (задержка на t0 необходима для физической
реализуемости фильтра):
w(  t 0 )  C  z ( ) ,
(8.66)
где C - коэффициент передачи фильтра.
Использование при этом временной развертки позволит установить факт
превышения порогового уровня для произвольного запаздывания сигнала (по
сформированному корреляционному интегралу).
В соответствии с приведенными соотношениями

 h (  t

0

Это
выполняется,
 s) y ( s ) ds  C  u ( s   ) y ( s) ds .
(8.67)

h (  t0  s)  C  u ( s   )
если
или,
вводя
t    t0  s получим импульсную характеристику оптимального фильтра:
hопт (t )  C  u(t0  t ) .
(8.68)
Она соответствует зеркальному отображению u(t) относительно прямой
t
t0
2
.
Напряжение на выходе оптимального фильтра с учетом (8.65) и (8.68):

w(t )  C  u (t0  t  s ) y ( s ) ds .

y,
(8.69)
Для нахождения амплитуды этого напряжения необходимо представить
u, w через их комплексные амплитуды. Например, для y(s):
1 
1
j 0 S
y ( s )  Y ( s )e
 Y ( s )e  j0 S .
2
2
Подставляя их в (8.69) и, пренебрегая быстро осциллирующими
подынтегральными выражениями, находим выходную комплексную амплитуду


1  j 0 t 0 
W (t )  Ce
U (t0  t  s) Y (s) ds ,
2

откуда амплитуда равна модулю от W(t) в момент t  t 0   :
(8.70)
1
W (t 0   )  C
2

 *

 U (s  ) Y (s) ds

.
(8.71)

Поскольку U ( s   )  X ( s) – комплексная амплитуда ожидаемого
сигнала (изначально x (t ,  )  u (t   ) ), то W (t 0   ) определяет модульное
значение корреляционного интеграла, необходимое при оптимальном
обнаружении сигналов со случайной начальной фазой (амплитудой и
начальной фазой) и неизвестным запаздыванием  .
Таким образом, приходим к схеме фильтрового обнаружителя:
y(t)
Оптимальный
фильтр
w(t)
W(t)
Детектор
огибающей
к пороговому
устройству
Рис. 8.8 Фильтровой обнаружитель сигналов

Выражение для W (t ) можно также записать



1 
W (t )   Y ( s ) H опт (t  s ) ds ,
2 
(8.72)
где


H опт (t )  C U (t0  t ) e  j0t0
(8.73)
комплексная амплитуда импульсной характеристики hопт(t).
8.3.2 Частотная характеристика и отношение сигнал/ помеха на
выходе оптимального фильтра
Известно, что комплексная частотная характеристика (КЧХ) фильтра это
преобразование Фурье от его импульсной характеристики
K ( j ) 

 h(t ) e

 j t
dt .
(8.74)
Поскольку для оптимального фильтра hопт (t )  C  u (t0  t ) , то после
замены t 0    t

K опт ( j )  C  u (t 0   ) e
 j
d  C  e
 jt 0


 u (t ) e

jt
dt . (8.75)
Таким образом, КЧХ оптимального фильтра:

K опт ( j )  C G ( j )  e  jt0 ,
(8.76)
где G(jω) – спектральная плотность ожидаемого сигнала:
G( j)  G( j) e j arg G ( j ) .
(8.77)
K опт ( j)  C G( j) e  j arg G ( j ) e  jt0
(8.78)
Используя (8.76):
или
K опт ( j)  C G( j)
(8.79)
- АЧХ оптимального фильтра пропорциональна амплитудно- частотному
спектру ожидаемого сигнала. При этом форма выходного сигнала искажается,
но осуществляется наилучшее выделение его на фоне помехи.
Фазочастотная характеристика (ФЧХ) оптимального фильтра:
arg K опт ( j )   arg G( j )   t 0 .
(8.80)
Сигнальная составляющая на выходе фильтра, при условии, что на входе
u (t   ) :

wc (t ) 
 j  j  t
K
(
j

)
G
(
j

)
e
e d ,
опт

(8.81)

где G( j ) e
 j 
– спектр входного сигнала, задержанного на
.
Подставляя сюда выражение (8.76) для K опт ( j ) получим

wc (t )  C  G ( j ) e j (t  t0 ) d
2


 C  G ( j ) cos  (t    t 0 ) d .
2
(8.82)

Здесь использована формула Эйлера и то, что интеграл от нечетной
функции sin x в симметричных пределах равен нулю.
Отметим, что фазочастотный спектр сигнала компенсируется ФЧХ
фильтра, потому что они комплексно сопряжены. Максимальное же значение
сигнала достигается при t    t 0 поскольку при этом cos(0)=1:

wc max  wc (  t 0 )  C  G ( j ) d  C Э ,
2

(8.83)
где Э – энергия сигнала (в силу теоремы Парсеваля).
При отличии от оптимальной ФЧХ пик полезного сигнала уменьшается.
Для помехи при односторонней спектральной плотности мощности
N ( ) на входе фильтра средний квадрат ее напряжения на выходе:

2
п скв
w
  N ( ) K опт ( j ) d  N 0C
2

2
0
 G( j ) d .
2
(8.84)
0

1
1
2
G
(
j

)
d


Э
Здесь
2 
2 , где Э – энергия сигнала.
Таким образом,
N0Э
2
wп скв  C
(8.85)
- среднеквадратическое значение помехи в виде белого шума на выходе.
Отношение сигнал/помеха на выходе оптимального фильтра
напряжению больше, чем у любого другого фильтра
wc max
wп скв
CЭ

C
N0Э
2

2Э
N0
по
(8.86)
и зависит только от энергии сигнала и не зависит от его формы.
8.3.3 Оптимальная фильтрация колокольных радиоимпульсов
Оптимальный фильтр можно построить по частотной, либо, связанной с
ней – импульсной характеристике. Рассмотрим в качестве примера фильтрацию
колокольных радиоимпульсов.
Одиночный колокольный радиоимпульс описывается выражением:
u (t )  e  t cos 0 t
2
(8.87)
Спектральная плотность этого импульса:


G( j )  G0 e  jb( 0 )  e  jb( 0 ) ,
(8.88)
2
1 
где G0 
, b
, т.е. амплитудно-частотный спектр при ω > 0 и
2 a
a
ω < 0 также колокольный, а фазочастотный спектр – нулевой (при задержке
2
2
импульса на  – линейный от  ).
Если отсчитывать длительность импульса  и на уровне 1/d, а полосу
амплитудно-частотного спектра Пи на уровне 1 / d  , то получим уравнения:
e

 a  и
 2




2
 1/ d и e
П
b  и
 2




2
 1/ d  .
В частности для
откуда  и 

1/d = 1 / d  =
Пи  
a,
e



 
П 
a  и   b и  
4
2
 2 
2
 0,46 ,
4
b 
или, подставляя,
b
2
2
a
получаем
 и Пи  1 .
Для построения оптимального фильтра для колокольного радиоимпульса
необходима линейная система с колокольной АЧХ и линейной ФЧХ. Такие
характеристики имеет многокаскадный резонансный усилитель с настроенными
на  0 контурами. Он имеет колокольную АЧХ с полосой пропускания
пропорциональной
1
n
–
(n
число
каскадов)
и
линейную
ФЧХ,
определяющую задержку в усилителе тем большую, чем больше число
каскадов n.
Пи
0
|G( jω)|
ω0
ω
Пи
0
|G( jω)| |Kопт( jω)|
|Kопт( jω)|
ω0
Пи
ω
0
ω
в)
б)
а)
ω0
Рис. 8.9 АЧС радиоимпульса (а), частотная характеристика
оптимального фильтра (б), спектр выходного радиоимпульса (в)
Отметим, что при оптимальной фильтрации полоса частот сигнала
2 раз (рис. 8.9), за счет чего в 2 раз увеличивается
сужается в
длительность выходного радиоимпульса.
Когерентная
пачка
колокольных
радиоимпульсов
–
это
последовательность одинаковых импульсов u(t-mT), k = 0,1,… отстоящих на
интервал посылки Т.
MT
u(t-mT)
t
T
Рис. 8.10 Пачка колокольных радиоимпульсов
Оптимальный
фильтр
в
этом
случае
можно
реализовать
последовательным соединением рассмотренного резонансного усилителя,
согласованного по полосе пропускания с одиночным импульсом и линии
задержки с отводами и сумматором.
(M-1)T
u (t)
Резонансный w (t)
1
усилитель
К1( jω)
Линия задержки
T
...
w2 (t)
K2 ( jω)
Рис. 8.11 Оптимальный фильтр для пачки колокольных радиоимпульсов
Сигнал на выходе резонансного усилителя и сумматора при этом можно
представить в следующем виде
2 и
w1(t)
w1(t-T)
w1(t-2T)
w2(t)
2M T
Рис. 8.12 Результат оптимальной фильтрации пачки
Здесь w1(t) – пачки импульсов, снимаемые с отводов ЛЗ. Число
импульсов входной пачки М, а выходной – 2М-1.
Частотная характеристика второго звена K2( jω) реализующего задержку
и суммирование может быть получена в виде:
M
K 2 ( j )   e  j ( m 1)T
(8.89)
m 1
 M m 1 1  q M
  q 
1 q
 m 1
Сворачивая геометрическую прогрессию



находим
модуль – АЧХ второго звена:
K 2 ( j ) 
sin
MT
2
T
sin
2
.
(8.90)
Эта АЧХ является гребёнчатой:
|K2(j)|
1 /Т
...
0
2/(МТ )
ω
Рис. 8.13 АЧХ второго звена
Результирующая частотная характеристика фильтра K(j) =
K1(j)·K2(j) ограниченна по спектру колокольной характеристикой первого
звена:
|K1(j)|
|K1(j) K2(j)|
ω
Рис. 8.14 Результирующая АЧХ согласованного фильтра
На выходе первого звена энергетическое (по мощности) отношение
сигнал/помеха q2 = 2Эи/N0 для одиночного колокольного радиоимпульса.
Поскольку суммирование колебаний сигнала происходит в фазе, а
колебания помехи суммируются со случайными фазами, то мощность сигнала
на выходе фильтра увеличивается в М 2 раз, а дисперсия помехи в М раз.
Поэтому
2Э и  М
(8.91)
N0
При непрямоугольной огибающей пачки радиоимпульсов (суммировании
с амплитудными весами с отводов линии задержки) уменьшается уровень
боковых лепестков в выходном колебании, но расширяется уровень главного и
уменьшается его уровень.
При сложностях реализации задержки на длительность пачки иногда
используют линию задержки на один период посылки, но с обратной связью с
выхода на вход – рециркулятор.
2
qвых

u (t)
w (t)
Сумматор
β
Линия задержки
T
Рис. 8.15 Оптимальный фильтр пачки на основе рециркулятора
Коэффициент обратной связи β выбирают из условия КЛЗ·β = 0,8…0,95,
где КЛЗ - коэффициент передачи линии задержки.
АЧХ имеет вид гребенки, как и у линии задержки с сумматором.
8.3.4 Качественные показатели обнаружения когерентных сигналов
Качественные показатели оптимального обнаружения определяют
потенциальные характеристики обнаружителя (предел, к которому стремятся,
приближая неоптимальную обработку к оптимальной). При этом следует
говорить о трех различных ситуациях:
- обнаружение сигнала с полностью известными параметрами;
- обнаружение когерентных сигналов со случайной начальной фазой;
- обнаружение флуктуирующего по амплитуде и фазе сигнала.
1). Обнаружение сигнала с полностью известными параметрами.
Решение о наличии сигнала принимается по величине корреляционного
интеграла

z
 y(t ) x(t )dt .

Отсюда следует, что z – линейная комбинация нормально
распределенных случайных величин yk (поскольку шум гауссовский).
Следовательно, z и сам распределен по нормальному закону. При отсутствии
сигнала математическое ожидание принятой реализации M{y(t)} = M{n(t)} =
0, значит и M{z} = 0. Отсюда условная плотность вероятности pп(z):
1
pП ( z ) 
2  0
Здесь  0  z
– дисперсия
математическим ожиданием.
2

2
e
z2
2 02
.
случайной
(8.92)
величины
z с нулевым
2
Таким образом,  0 определяется как произведение двух корреляционных
интегралов, в котором при отсутствии сигнала y (t ) y ( s ) = n (t ) n ( s) :




  z   x(t ) dt  x( s ) n(t )n( s ) ds
2
0
2
Поскольку среднее значение n (t ) n ( s) – корреляционная функция белого
шума равная
n(t ) n(s)  R (t  s) 
N0
 (t  s) ,
2
то, в соответствии с фильтрующим свойством
 02 
N0
2

2
 x (t )dt 

 - функции
1
N0 Э .
2
В соответствии с (8.92) знание  0 полностью определяет кривую pп (z).
Плотность же вероятности смеси сигнала и помехи рсп(z) = рп(z–Э). Нормируя
z к  0 получим изображения для данных плотностей вероятности (рисунок
8.16).
 z
pп 
 0
рп , рсп



 z 
pсп  
 0 
D
F
0
q0 q
z
0
Рис. 8.16 Плотности вероятности помехи и смеси сигнала и помехи
При установленном пороге z0 вероятности правильного обнаружения и
ложной тревоги определяются как и ранее
F = 0,5 [1 - Ф(q0)],
(8.93)
D = 0,5 [1 - Ф(q0 - q)],
(8.94)
где q0  z0  0 - относительный уровень порога, а q  Э  0  2Э N 0 - параметр
обнаружения (отношение сигнал/помеха по напряжению на выходе
оптимального фильтра).
Выбирая уровни порога q0 из заданной условной вероятности ложной
тревоги F по соотношению (8.93) в соответствии с критерием НейманаПирсона, можно построить семейство кривых обнаружения D(q) – рисунок
8.17 (штрих-пунктир).
2). Обнаружение когерентных сигналов со случайной начальной
фазой.
При обнаружении когерентных сигналов со случайной начальной фазой с
порогом сравнивают модульное значение корреляционного интеграла:
Z  z12  z22 .
При наличии только помехи каждая из независимых величин z1 и z2
распределена по нормальному закону с математическим ожиданием М{z} = 0.
Поэтому величина Z распределена по закону Релея:
pП ( Z ) 
D
0,8
Z
 02
Z 2
e
F=10-4
2 02
.
(8.95)
10-4
10-6
10-6
0,4
0
2
4
6
8
10
12
14
q
2Э
N0
Рис. 8.17 Кривые обнаружения сигнала с полностью известными
параметрами (штрих-пунктир), со случайной начальной
фазой (пунктир) и амплитудой и начальной фазой
(сплошная линия).
При воздействии полезного сигнала со случайной начальной фазой β
каждая из кривых для z1 и z2 смещается соответственно на величину

 x(t ,  ) x
1, 2

(t ) dt  Э
cos

sin ,
а простое распределение Релея, которое было для шума, в смеси его с сигналом
переходит в обобщенное (Закон Райса):

pСП ( Z ) 
p
2
Z
e
2
0
2
0
Релей
Z
pП 
 0
0,6
0,4



ZЭ
I 0  2 
 0 
(8.96)
Z 
pСП  
 0 
D
0,2
0
2
2
Z Э
Райс
F
1
q0  Z 0  0 4
Z 0
6
Рис. 8.18 Плотности вероятности помехи и смеси сигнала и помехи при
сигнале со случайной начальной фазой
Z
При нахождении D и F (интегрируя рсп и рп) заменим
на S.
0

D   S I 0 (qS ) e
Тогда

S 2 q2
2
dS ,
(8.97)
q0

F  Se

S2
2
dS  e

q02
2
(8.98)
q0
откуда q0  2 ln
1
.
F
Кривые обнаружения D(q) для сигнала со случайной начальной фазой
при F=10-4 и F=10-6 представлены на рисунке (8.17) пунктиром.
3). Обнаружение флуктуирующего по амплитуде и фазе сигнала.
При обнаружении когерентных сигналов со случайными начальной фазой
и амплитудой с порогом также сравнивают модульное значение
корреляционного интеграла Z. Однако в этом случае, при параметрах
флуктуаций сигнала по амплитуде В и фазе β смещение Гауссовых кривых
распределения случайных величин z1 и z2 произойдет на ВЭ sin  .
cos
Проекции релеевского вектора ВЭ sin  (Э – средняя энергия) являются
центрированными
Гауссовыми
величинами
с
дисперсией
cos
1
B 2 Э 2 cos2   B 2 Э 2 sin 2   Э 2 . При сложении двух центрированных
2
нормально распределенных величин получается также центрированная
нормально распределенная величина с дисперсией равной сумме дисперсий
слагаемых. Поскольку z1 и z2 центрированные, то Z соответствует простой
релеевский закон распределения:
pсп ( Z ) 
с дисперсией
Z
 12
2
Z
2 12
e
(8.99)
1
2
 12   02  Э 2 , измененной под действием сигнала в
 12
1 2

1

q раз (рис. 8.19).
2
0
2
p
Z
pП  
 0 
0,6
Z
pСП  
 0 
0,4
0,2
0
1
2
Z 0
4
3
Z0  0
Рис. 8.19 Плотности вероятности помехи и смеси сигнала и помехи при
сигнале со случайными амплитудой и начальной фазой
Заштрихованные площади на этом рисунке соответствуют условным
вероятностям ложной тревоги и правильного обнаружения:
F e
De


q02
2
Z 02
e
2
2
1
 Z 02
F
 02
2 02
12
,
.
(8.100)
Отсюда уравнение кривой обнаружения D(q):
DF
1
1 (1 q 2 )
2
.
(8.101)
Кривые D(q) при различных F представлены на том же рисунке. При
этом флюктуации амплитуды относятся к классу медленных, не искажающих
структуру сигнала.
Величина q рассчитывается по средней энергии флюктуирующего
сигнала.
Анализируя кривые обнаружения можно сказать, что для сигнала со
случайной начальной фазой они сдвигаются вправо, т.е. требуется большая
энергия сигнала (отношение сигнал/помеха) для обеспечения требуемых
качественных показателей обнаружения.
При случайных амплитуде и начальной фазе смещение характеристик
еще более сильное, что связано с возможным замиранием сигнала при
случайной его амплитуде. В этом случае требуется существенное увеличение
энергии сигнала.
Пользуясь кривыми обнаружения можно найти пороговый сигнал, т.е.
сигнал, обнаруживаемый с заданной вероятностью D при заданной ложной
тревоге F.
Пример.
При оптимальном обнаружении прямоугольного радиоимпульса
длительностью и со случайной начальной фазой обеспечить D = 0,9 при
F=10-7.
По характеристикам обнаружения находим q = 6,7, что соответствует
1
N 0 q 2  22,4 N 0 . При этом мощность
2
порогового сигнала p  Э  u  22 , 4 N0  u . Таким образом, для сигналов
больших порогового по мощности D будет выше при заданной F.
Обнаружение когерентного сигнала с заданными
D и F при
энергии порогового сигнала Э 
оптимальном приеме определяется отношением энергии сигнала к
спектральной плотности шума и не зависит от его формы, поскольку параметр
обнаружения q 
2Э
.
N0