ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Федеральное государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Монастырский Л.М.
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
к решению задач по механике
часть 5
для студентов классического и инженерного потока
Физического факультета
Ростов-на-Дону
2009
Методические указания разработаны кандидатом физикоматематических наук, профессором кафедры общей физики
Л.М. Монастырским
Печатается в соответствии с решением кафедры общей физики
физического факультета ЮФУ, протокол № 11 от 27 января 2009 г.
Краткая теория (основные физические понятия)
Механика упругих тел, жидкостей и газов
МЕХАНИКА ЖИДКОСТЕЙ
1.Описание движения жидкостей. Линии тока.
Перейдем теперь к рассмотрению механики сплошных сред. Одним из разделов
механики сплошных сред является гидродинамика – движение реальной жидкости.
Описание поведения реальной жидкости достаточно сложно, поэтому воспользуемся
моделью несжимаемой жидкости, лишенной внутреннего трения. Такая жидкость
называется идеальной.
Поведение жидкости будем описывать с помощью поля скоростей. Сопоставив
каждой точке жидкости характерное для нее значение скорости, получим поле
скоростей (см. рис. 63).
Рис. 63
Линии, касательные которым во всех точках совпадают с направлением скорости
жидкости в этих точках, называются линиями тока (рис. 64).
Рис. 64
При установившемся стационарном течении жидкости линии тока не меняются со
временем. Линии тока не могут пересекаться между собой. В этом случае линии тока
совпадают с траекториями отдельных элементов жидкости. Такое движение называется
ламинарным.
2.Трубка тока. Теорема о неразрывности струи.
Часть жидкости, ограниченная линиями тока, называется трубкой тока (рис. 65).
Рис. 65
При стационарном течении жидкости ее количество, протекающее в единицу времени
через сечение S1, равно количеству жидкости, протекающему в единицу времени через
другое сечение S2, если плотность жидкости постоянна (рис.66).
Рис. 66
Масса жидкости, протекающей через некоторое сечение за время dt равна:
dm  SVdt .
Тогда из вышесказанного следует, что:
1S1V1   2 S 2V2 .
Т.к. плотность постоянна, то это условие принимает вид:
S  const .
Это соотношение называют уравнением неразрывности струи.
3.Уравнение Бернулли.
Получим уравнение движения идеальной жидкости. Фактически это закон
сохранения энергии применительно к движению жидкости.
Рассмотрим часть жидкости, заключенной между сечениями S1 и S2 выделенной
трубки тока, расположенными на высотах h1 и h2 (рис. 65). За промежуток времени dt
эта часть жидкости смещается вдоль трубки тока и занимает положение между
сечениями S1 и S 2 . Считаем, что различие площадей и высот сечений S и S 
незначительно и им можно пренебречь.
Работа внешних сил, действующих на выделенный элемент жидкости, запишем в
следующем виде:
dA  p1 S1V1dt  p2 S 2V2 dt .
Это связано с тем, что силы давления, действующие на боковую поверхность трубки
тока, перпендикулярны перемещению жидкости и работы не совершают, а работы сил
давления в сечениях S1 и S 2 отличаются знаком. Тогда можем получить:
dA 
p1  p 2
dm ,

здесь dm – масса жидкости между указанными сечениями.
Для стационарного течения идеальной жидкости выполняется закон сохранения
механической энергии. Рассмотрим рис. 67.
Рис. 65
Рис. 67
Изменение энергии рассматриваемой части жидкости равно энергии части жидкости
между сечениями S 2 и S 2 минус энергия части жидкости между сечениями S1 и S1 .
Кинетическая энергия части жидкости между сечениями S1 и S 2 определится как:
dmV 2
.
2
Потенциальная энергия определится как:
dU  dmgh .
Аналогично записывается энергия, заключенная между сечениями S и S  . В результате
изменение энергии всей выделенной массы жидкости за время dt равно:
dE 
V22
V12
dW  (
 gh2 
 gh2 )dm .
2
2
Работа внешних сил равна изменению механической энергии системы:
p1  gh1 
V12
 p 2  gh2 
2
Это уравнение называется уравнением Бернулли.
V22
2
.
4. Динамическое давление в жидкости.
В движущейся жидкости давление зависит от ориентации площадки внутри жидкости.
Представим себе манометр в виде изогнутой трубки, передняя часть, которой запаяна, а в
боковой стенке имеется отверстие, параллельное скорости течения жидкости (рис. 68).
Рис. 68
Такая трубка искажает течение жидкости только вблизи ее переднего конца, а вблизи
отверстия поток практически не меняется. Такой манометр измеряет давление р, входящее
в уравнение Бернулли. Такая трубка называется зондом.
Если взять трубку с открытым передним концом, обращенным навстречу потоку, то
показания соединенного с ней манометра будут больше (рис. 69).
Рис. 69
Применяя к линии тока уравнение Бернулли, получим:
V 2
p1  p 
.
2
Здесь р1 – давление в точке А, р – давление вдали от трубки.
Такая трубка называется трубкой Пито. Входящее в это уравнение слагаемое
V 2
2
называется динамическим давлением в отличие от давления р, которое называется
статическим.
5.Истечение жидкости из отверстия. Формула Торричелли
Рассмотрим применение уравнения Бернулли к истечению жидкости из небольшого
отверстия в широком сосуде (рис. 70).
Рис. 70
Выделим в жидкости трубку тока, имеющую своим сечением с одной стороны открытую
поверхность жидкости в сосуде, а с другой стороны – отверстие, через которое жидкость
вытекает. В каждом из этих сечений скорость и высоту над уровнем отсчета можно
считать одинаковыми, поэтому можем применить к ним уравнение Бернулли:
p1  gh1 
V12
2
 p 2  gh2 
V22
2
.
Давления в обоих сечениях равны атмосферному и их можно сократить. Скорость
перемещения верхней поверхности жидкости в сосуде можно положить равной нулю.
Тогда имеем следующее выражение:
gh1 
V 2
 gh2 ,
2
здесь V – скорость истечения жидкости из отверстия. Обозначив h= h1 – h2 получим:
V  2 gh .
Эта формула называется формулой Торричелли.
Скорость истечения несжимаемой жидкости такая же, как и при свободном падении
тела с такой же высоты.
Как оказалось, при истечении реальной жидкости из отверстия, форма и устройство
отверстия влияет на размер струи (ее сечение на выходе их отверстия). Например, в
случае, показанном на рис. 71, происходит сильное сжатие струи.
Рис. 71
Для объяснения этого эффекта используется закон сохранения импульса. Поскольку
вблизи боковых стенок сосуда скорость движения жидкости мала, то давление равно
гидростатическому. Силы давления жидкости на стенки сосуда взаимно
уравновешиваются всюду, за исключением участка, лежащего точно напротив отверстия и
имеющего ту же площадь S, что и отверстие. Импульс этой неуравновешенной силы за
время dt равен SV 2 dt . По закону сохранения импульса точно такой же импульс по
модулю должен уноситься за это же время вытекающей жидкостью. Если площадь
сечения струи равна S, то этот импульс равен S1V 2 dt . Учтем, что скорость определяется
формулой Торричелли, тогда получим:
gh  Sdt  S1 2ghdt .
Отсюда окончательно получим:
S
.
2
Видно, что сечение вытекающей струи оказывается вдвое меньше сечения отверстия.
Строгая теория для скорости вытекающей жидкости дает формулу:
V   2 gh .
Величина  зависит от формы отверстия (рис. 72).
S1 
Рис. 72
Закон сохранения импульса позволяет также объяснить реакцию жидкости, которая
течет по изогнутой трубе. В трубе сечением S, изогнутой под прямым углом, изменение
импульса жидкости за время dt равно:



p  S (V22  V12 )dt .
Так как модули скоростей равны, то можем записать:
. p  SV22 dt .
Тогда сила, действующая на угол трубки (рис. 73), равна:
F  2 SV 2 .
Рис. 74.
6.Течение вязкой жидкости в трубах. Ламинарное и турбулентное течение.
Число Рейнольдса.
Идеальная жидкость является моделью, удобной для рассмотрения некоторых наиболее
простых случаев течения жидкости. Всем реальным жидкостям присуща вязкость или
внутреннее трение. Течение реальной жидкости отличается от идеальной из за сил
вязкости.
При малых скоростях мы наблюдаем ламинарное течение. При этом отдельные слои
жидкости скользят друг относительно друга не перемешиваясь.
С увеличением скорости характер течения жидкости меняется. Вместо слоистого
течения возникают завихрения. Такое течение жидкости называется турбулентным.
Для выяснения условий движения твердых тел в жидкостях или газах в практике
существуют некоторые условия, которые устанавливаются методом анализа
размерностей.
Между некоторыми параметрами движения - характерным размером тела l , скоростью
потока жидкости V, плотностью жидкости  , вязкостью жидкости  существует
lV
определенная связь. Рассмотрим, например, величину Re 
, называемую числом

Рейнольдса. Оно по порядку величины есть отношение кинетической энергии жидкости в
объеме l 3 к ее потере, обусловленной работой сил вязкости на характерной длине l .
Начиная с некоторого определенного значения Re, называемого критическим, течение
приобретает турбулентный характер. Если в качестве характерного размера для круглой
трубы взять ее радиус, то критическое значение числа Re оказывается равным 1000.
Таким образом, число Рейнольдса характеризует относительную роль инерции и
вязкости жидкости при ее течении. При больших Re основную роль играет инерция, при
малых Re – вязкость.
7.Закон изменение скорости течения вязкой жидкости в сечении трубы.
Рассмотрим ламинарное течение жидкости вдоль трубы постоянного сечения (рис. 74).
Рис. 74
Выделим внутри труды цилиндрический объем жидкости радиуса r и длины l . Т.к.
скорости течения всех частиц жидкости остаются постоянными, то сумма внешних сил,
приложенных к любому объему жидкости, равна нулю. На основания нашего цилиндра
жидкости действуют силы давления, сумма которых равна ( p1  p2 )  r 2 . Кроме того, на
боковую поверхность цилиндра действует сила вязкости, которая равна:
dV
dx .
dr
Условие стационарности движения жидкости приводит к следующему выражению:
F  2
( p1  p2 )  r 2 = 2
dV
отрицательна, тогда имеем:
dr
dV ( p1  p 2 )  r


.
dr
2l
Разделим переменные:
Учтем, что
dV  
p1  p 2
rdr .
4l
dV
dx .
dr
После интегрирования получим выражение:
V 
p1  p 2 2
r C.
4l
Константу интегрирования найдем из условия равенства нулю скорости у стенок трубы:
C
p1  p 2 2
R .
4l
Окончательно получим формулу:
V (r ) 
p1  p 2 2
p  p2 2
r2
(R  r 2 )  1
R (1  2 ) .
4l
4l
R
Обозначим через:
V0 
p1  p 2 2
R ,
4l
получим:
V (r ) = V0 (1 
r2
).
R2
Видно, что скорость по сечению трубы изменяется по параболическому закону.
8. Поток жидкости в единицу времени. Формула Пуазейля.
При ламинарном течении можно вычислить поток жидкости Q, протекающий через
поперечное сечение трубы в единицу времени. Разобьем поперечное сечение трубы на
кольца ширины dr (рис. 75).
Рис. 75
Через кольцо радиуса r пройдет за единицу времени объем жидкости, равный
произведению площади кольца на скорость течения в точках, находящихся на расстоянии
r от оси трубы. Тогда можем записать:
r2
)  2  rdr .
R2
После интегрирования в пределах от нуля до R получим:
dQ  V0 (1 
Q
1 2
1
R V0  SV0 .
2
2
Для потока можно получить формулу:
( p1  p2 )R 4
.
Q
8l
Эта формула называется формулой Пуазейля.
Образцы решения задач по механике
Задачи для самостоятельного решения