Kim K. M._Tekstovie zadachi v materialax GIA

ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ
в материалах
ГОСУДАРСТВЕННОЙ ИТОГОВОЙ АТТЕСТАЦИИ
(решебник)
1. Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 21 км,
одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость
первого автомобиля равна 120 км/час и, через 45 минут после старта он
опережал второй автомобиль на 1 круг. Найдите скорость второго
автомобиля в км/час.
Решение:
1). 120 
3
= 90 (км) – первый автомобиль проехал за 45 минут;
4
2). 90 – 21 = 69 (км) – второй автомобиль проехал за 45 минут;
3).69 :
3
= 92 (км/час) – скорость второго автомобиля.
4
Ответ: 92 км/час
2. Велосипедист едет сначала 3 минуты с горы, а затем 9 минут
в гору. Обратный путь он проделывает за 12 минут. При этом в гору
велосипедист едет всегда с одной и той же скоростью, а с горы – с большей,
но так же всегда с одинаковой скоростью. Во сколько раз скорость
движения велосипедиста с горы больше, чем его же скорость в гору?
Решение:
Пусть х – скорость велосипедиста с горы, а у – скорость велосипедиста
в гору. Весь путь составляет (3х + 9у).
На обратном пути время спуска с горы составляет
9у
минут, а время
х
3х
минут Известно, что на обратный путь
у
9у
3х
велосипедист затратил 12 минут. Составим уравнение:
+
= 12
х
у
подъёма в гору составляет
3х2 + 9у2 = 12ху; х2 + 3у2 = 4ху ( разделим обе части уравнения на ху  0):
3у
х
+
= 4; Обозначим
х
у
х
= z.
у
z +
не удовлетворяет условию задачи (х >у);
Так как
3
= 4; z2 - 4z + 3 = 0; z1 = 1 –
z
z2 = 3.
х
х
= z, то = 3, откуда х = 3у.
у
у
Ответ: в 3 раза
3. Товарный поезд каждую минуту проезжает на 500 м меньше, чем
скорый, и на путь в 450 км тратит времени на 4 часа больше, чем скорый.
Найдите скорость товарного поезда.
Решение:
500 м/мин = 500  60:1000 км/час = 30 км/час
Товарный поезд
Скорый поезд
Расстояние в км
450
450
Скорость в км/час
х
Время в час.
450
х
450
х  30
х + 30
Известно, что товарный поезд затратил на этот путь на 4 часа больше,
чем скорый поезд. Составим и решим уравнение:
450
450
= 4;
х  30
х
450(х + 30) – 450х = 4х(х + 30);
450х + 13500 – 450х = 4х2 + 120х;
4х2 + 120х – 13500 = 0;
х2 + 30х – 3375 = 0;
D = 14400;
х1 = 45,
х2 = - 75 (не соответствует условию задачи).
Ответ: 45 км/час
4. Рыболов в 5 часов утра на моторной лодке отправился от пристани
против течения реки, через некоторое время бросил якорь, 2 часа ловил рыбу
и вернулся обратно в 10 часов утра того же дня. На какое расстояние от
пристани отплыл рыболов, если скорость реки 2 км/час, а собственная
скорость лодки 6 км/час?
Решение:
Скорость движения лодки по течению составляет 8 км/час, а против
течения – 4 км/час.
Пусть х км искомое расстояние, тогда время, затраченное на движение
лодки по течению, составляет
х
х
часов, а против течения - часов.
8
4
Известно, что в пути рыболов был 3 часа. Составим и решим уравнение:
х
х
+ = 3;
4
8
2х + х = 24;
х = 8.
Ответ: на 8 км
5. Из пункта А в пункт В выехал автомобиль. В тот момент, когда он
проехал
1
пути, следом за ним выехал мотоциклист. Через час мотоциклист
5
догнал автомобиль и повернул обратно. Автомобиль прибыл в пункт В тот
момент, когда мотоциклист вернулся в пункт А. Через сколько минут после
выезда автомобиля выехал мотоциклист?
Решение:
Расстояние, которое
осталось
проехать
автомобилю
после
встречи
4
с мотоциклистом, составляет
всего пути. Это расстояние автомобиль
5
1
проехал за 2 часа, следовательно, на пути он затратит времени в 4 раза
5
меньше, то есть 30 минут.
Ответ: через 30 минут
6. В одном направлении выехали два автомобиля. Первый автомобиль
двигался со скоростью 40 км/час, а второй – со скоростью 60 км/час. Через
час вслед за ними выехала третья машина, которая догнала первую, а через
два часа догнала вторую. Найти скорость третьей машины.
Решение:
Пусть х км/час скорость третьей машины, а t час – время, через которое
третья машина догонит первую.
1). Тогда путь третьей машины равен (хt) км, а первой – 40(t+1) км. Так
как обе машины на момент встречи проехали одинаковое расстояние, то
.хt = 40(t +1).
2). На момент встречи со второй машиной третья проехала х(t+2) км,
а вторая – 60(t +1+2) км.
Так как обе машины на момент встреч проехали одинаковое расстояние, то
х(t+2) = 60(t +3).
Решим полученную систему уравнений:
 x(t  2)  60(t  3)
;

 хt  40(t  1)
так как х  0, разделим первое уравнение на второе:
t
2(t  1)
=
;
t2
3(t  3)
х=
40  40t
;
t
3 t(t+3) = 2(t+1)(t+2);
t2 + 3t – 4 = 0;
t1= 1, t2= -4 (не соответствует условию задачи).
х = (40+40) : 1 = 80.
Ответ: 80 км/час
7. Турист и велосипедист одновременно отправились навстречу друг
другу из пунктов А и В. Они встретились через 1,5 часа, после чего каждый
продолжил движение в своём направлении. Велосипедист прибыл в пункт А
через два часа после выезда из пункта В. За какое время прошёл путь от А
до В турист?.
Решение:
После встречи велосипедист прибыл в пункт А через полчаса, то есть
на путь до встречи он потратил времени в 3 раза больше. Следовательно,
путь велосипедиста до встречи в 3 раза длиннее, чем после встречи. Тогда
путь туриста до встречи в 3 раза короче, чем после встречи. До встречи
турист шёл 1,5 часа, а после встречи будет идти в 3 раза больше, то есть 4,5
часа. Всего 6 часов.
Ответ: 6 часов
8. Из пункта А в пункт В, расположенный ниже по течению реки,
отправился плот. Одновременно навстречу ему из пункта В вышел катер.
Встретив плот, катер сразу повернул и поплыл назад. Какую часть пути
от А до В пройдёт плот к моменту возвращения катера в пункт В, если
скорость катера в стоячей воде в 4 раза больше, чем скорость течения?
Решение:
Пусть х- скорость течения, 4х – скорость катера. Тогда 5х – скорость
катера по течению, 3х – скорость катера против течения.
Расстояние от п.А до места встречи составляет
1
АВ, так как катер
4
прошёл в 3 раза больше, чем плот.
После встречи катер поплыл назад со скоростью в 5 раз превышающей
скорость плота. Найдём
1
3
3
от АВ. Это будет
АВ.
5
4
20
1
3
2
АВ +
АВ = АВ прошёл плот к моменту возвращения плота
4
20
5
в пункт В.
Ответ:
2
АВ
5
1
3
9. Весной катер идёт против течения реки в 1 раза медленнее, чем
по течению. Летом течение становится на 1 км/час медленнее. Потому
1
2
летом катер идёт против течения в 1 раза медленнее, чем по течению.
Найдите скорость течения весной.
Решение:
Пусть х км/час скорость течения, а у км/час собственная скорость
катера.
Скорость катера по течению – (у + х) км/час, против течения – (у – х) км/час.
1
3
Весной скорость катера по течению в 1 раза больше скорости катера
против течения, то есть
5
1
ух
= , откуда 8х = 2у , х = у – скорость течения
3
4
ух
весной.
1
2
Летом скорость катера по течению в 1 раза больше скорости катера
против течения, то есть
3
1
ух
= , откуда 5х = у , х = у – скорость течения
2
5
ух
летом.
Известно, что весной скорость течения больше, чем летом на 1 км/час.
Составим уравнение:
1
1
у - у = 1; у = 20.
4
5
х = 20 : 4 = 5.
Ответ: 5 км/час
10. От пристани А вниз по течению отправились катер и плот. Катер
доплыл до пристани В, повернул обратно и встретил плот через 4 часа
после выхода из пристани А. Сколько времени катер шёл от пристани А до
пристани В?
Решение:
Когда катер идёт от пристани А к пристани В, он удаляется от плота
с собственной скоростью. Когда катер идёт от пристани В к пристани А, он
приближается к плоту с такой же скоростью, так как плот движется ему
навстречу со скоростью течения.
Следовательно, время, затраченное катером на путь от А до В, равно
времени, затраченному на путь от В до встречи с плотом. Всего катер
до встречи с плотом в пути был 4 часа., значит, от А до В он шёл 2 часа.
Ответ: 2 часа
11. Отец с сыном должны вскопать огород. Производительность
труда у отца в 2 раза больше, чем у сына. Работая вместе, они могут
вскопать весь огород за 4 часа. Однако, вместе они проработали только
один час, потом некоторое время работал один сын, а заканчивал работу
уже один отец. Сколько часов в общей сложности проработал в огороде
отец, если вся работа была выполнена за 7 часов?.
Решение:
Найдём производительность
производительность составляет
1
:
4.
труда
z + 2z=
Производительность труда сына составляет
труда отца составляет
сына
1
;
4.
и
отца, если
3z =
1
;
4.
общая
z=
1
.
12
1
, тогда производительность
12
1
.
6
Пусть отец работал у часов и выполнил
у
всей работы, а сын работал х
6
х
всей работы. Известно, что раздельно отец и сын
12
3
работали всего 6 часов и выполнили работы. Составим систему уравнений:
4
x  y  6
x  y  6

;

x y 3;
x

2
y

9



12 6 4
часов и выполнил
у = 3, отец работал один 3 часа и ещё с сыном 1 час, всего 4 часа.
Ответ: 4 час
12. На пост капитана команды претендовали 3 кандидата: Николаев,
Окунев и Петров. Во время выборов за Петрова было отдано в 7 раз больше
голосов, чем за Николаева, а за Окунева – в 4 раза меньше, чем за Николаева
и Петрова вместе. Сколько % голосов было отдано за победителя?
Решение:
Пусть за Николаева проголосовали х человек, тогда за Петрова
проголосовали (7х) человек, а за Окунева – (2х) человек. Всего в голосовании
приняли участие (10х) человек. Найдём отношение числа избирателей,
проголосовавших за Петрова к общему числу избирателей и выразим его в %:
7х
 100% = 70%.
10 х
Ответ: 70%
13. Вчера число учеников, отсутствовавших на уроках, составляло
25% присутствовавших. Сегодня пришли ещё 3 человека, и теперь число
отсутствующих в 9 раз меньше числа присутствующих. Сколько всего
учеников в классе?
Решение:
Пусть вчера присутствовали х учеников, тогда отсутствовали (0,25х).
Сегодня присутствуют (х+3) ученика, отсутствуют (0,25х-3).
Известно, что число отсутствующих в 9 раз меньше числа
присутствующих.
Составим уравнение:
х+3=9(0,25х-3);
2,25х – х = 27+3;
х=30 : 1,25;
х = 24.
24 + 6 = 30.
Ответ: 30 учеников
14. Виноград содержит 90% влаги, а изюм – 5%. Сколько кг винограда
требуется для получения 20 кг изюма?
Решение:
Пусть требуется х кг винограда, в котором (0,9х) кг влаги. Сушеного
винограда получится (0,1х) кг, что составит 19 кг.
Составим уравнение:
0,1х = 19;
х = 190.
Ответ: 190 кг
15. Помидоры дороже картофеля на 150%. На сколько % картофель
дешевле помидоров?
Решение:
Пусть картофель стоит х руб,
тогда помидоры стоят 2,5х руб,
что составляет у%,
что составляет 100%.
у = х  100% : 2,5х = 40%.
100% - 40% = 60%.
Ответ: на 60%