Лекция 1 .

1. Фазовое пространство
Статистическая физика имеет дело с системами, состоящими из очень большого
числа частиц. Для описания свойств таких систем обычные механические
подходы совершенно бесперспективны. Ведь любая задача по механике
решается всегда по одному и тому же алгоритму. Записать законы Ньютона для
каждого тела задачи; задать начальные значения координат и скоростей тел и
после этого решить полученную систему уравнений, найдя тем самым
положения и скорости тел в произвольный момент времени. Однако для
реальных тел, а именно такие тела рассматриваются в статистике, здесь явно
что-то не вяжется. Дело даже не в том, что очень трудно выписать законы
Ньютона для большого количества частиц, из которых состоят реальные тела.
И не в том, что очень трудно решить полученную систему уравнений. Дело в
том, что характеризовать состояние макроскопического тела, задавая
координаты и скорости всех молекул, из которых это тело состоит – полный
абсурд. По очевидным причинам. Для характеристики состояния
макроскопического тела нужны какие-то другие переменные. А для их введения
– другие немеханические подходы. Но начнем мы все-таки с хорошо понятной
механической терминологии.
Итак, зададим состояние системы, состоящей из N – частиц,
зафиксировав в произвольный момент времени три координаты (если
пространство трехмерное) и три импульса каждой частицы. Т.е. по шесть
величин для одной частицы. Или 6 N величин для всей системы. Будем
говорить, что состояние системы в произвольный момент времени задается
точкой в 6 N – мерном пространстве. С течением времени эта точка описывает
какую-то траекторию в этом чудовищном пространстве.
Осциллятор
Чтобы представить себе уровень сложности такой траектории,
рассмотрите самый простой случай, какой только можно придумать: тело на
пружинке совершает одномерные гармонические колебания.
x  A sin  t
x  A cos  t
Исключая время (t), получим
x2 
x2
2
 A2
Т.е. в этом простейшем случае одномерного колебательного движения тело
описывает в двумерном пространстве x, x эллипс. Состояние одной частицы,
движущейся не вдоль какой-то прямой, а на плоскости, описывается уже
траекторией в четырехмерном пространстве. Ну и так далее. Пространство, в
котором движется 6N – мерная точка, изображающая состояние системы,
называется фазовым пространством. Траектория точки в этом фазовом
пространстве даже несмотря на то, что, строго говоря, описывается, в конечном
счете, уравнениями механики, обладает такой степенью сложности и
запутанности, что вполне может представляться как случайная.
Фазовая траектория – наглядный пример
Чтобы хоть как-то представить себе такую траекторию, вообразите себе
очень сильно запутанный веревочный клубок. Веревка ведь тоже подчиняется
строго детерминированным уравнениям механики (теории упругости). Но такой
клубок гораздо проще представлять себе как объем более или менее равномерно
(случайно) заполненный материалом веревки.
Вот такой клубок и представляет собой фазовая траектория. Только в
многомерном пространстве. За достаточно большое время система
(подсистема?) побывает достаточно много раз во всех своих возможных
состояниях, более или менее равномерно заполняя предоставленный ей фазовый
объем.
Фазовый объем и два его основных свойства
Выделим в фазовом пространстве небольшой объем   (я специально
выбрал такую букву (  ), чтобы вы не путали фазовый объем с обычным
объемом.
Фазовый объем обладает некоторыми очевидными свойствами,
решительно непохожими на свойства обычного объема). Для обычного объема,
если вы имеете одну систему с объемом V1 и вторую с объемом V2 , то общий
объем этих двух систем равен V1  V2 . Обычный объем обладает свойством,
которое называется аддитивностью. Но с фазовым объемом не так. Общий
фазовый объем двух систем с фазовыми объемами 1 и 2 равен
 total   1  2
Фазовый объем составной системы равен произведению фазовых объемов
составляющих эту систему подсистем. Это свойство называется
мультипликативностью. Различие связано с тем, что при сложении двух систем
происходит увеличение размерности фазового объема. (ср переход от
двумерного объема V2   x  y к трехмерному V3   x   y  z . Тоже
мультипликативность.
Итак, ясно, что описывать движение системы в фазовом пространстве
(обратите внимание, с системой ничего не происходит в макроскопическом
смысле, но молекулы-то движутся, и поэтому в фазовом пространстве система
все время чертит какую-то траекторию), в терминах механики – занятие
бесперспективное. Чтобы понять, какая у нас, собственно, есть альтернатива,
давайте вернемся к запутанному веревочному клубку.
Плотность клубка и плотность функции распределения
Предположим, что мы знаем материал, из которого сделана веревка. И
давайте вместо того, чтобы следить за бесконечными изгибами и узлами
веревки, введем среднюю плотность веревки    в каждой точке клубка. Тогда
масса материала веревки  m в элементе клубка с объемом  V равна:
 m    V . Величину  называют плотностью вероятности распределения
веревки в клубке. Обратите внимание, при таком подходе мне уже неважно,
веревка в этом клубке или просто пенька, из которой она сделана. Переходя к
плотности, я очень сильно огрубил описание своей системы. Совершенно
аналогично можно поступить и для клубка, который представляет собой
фазовая траектория.
Действительно, пусть за время наблюдения T фазовая точка,
изображающая состояние системы сколько-то раз заскакивает в объем   и
проводит там какое-то время  t T  . Тогда вероятностью  w того, что мы
обнаружим свою систему в этом элементе фазового объема называется
величина
 t T 
T 
T
Введем плотность функции распределения
  p, q    p1 , p2 , p3 ,... pN , q1 , q2 , q3...qN 
 w  lim
 w    p, q 
Эта формула чрезвычайно похожа на формулу для определения массы веревки в
элементе объема  V . Разница в том, что   не обычный, а фазовый объем и
  p, q - функция от гигантского числа переменных.
Два основных свойства плотности функции распределения
Какими свойствами обладает функция распределения   p, q и как ее
можно использовать для предсказания физических свойств макроскопических
систем?
Первое, практически, очевидное свойство функции   p, q состоит в
том, что интеграл от этой функции по всему фазовому пространству равен
единице:
   p, q dq dp
i
i
1
i
Это свойство очевидно, потому что этот интеграл определяет вероятность того,
что система находится хоть в какой-нибудь точке фазового пространства, что
реализуется со стопроцентной вероятностью.
Второе свойство более сложное. Рассмотрим большую систему, которую
мысленно разделим на две подсистемы. Вопрос: какова вероятность того, что
большая система находится в таком состоянии, что первая подсистема
1
1
находится в заданной точке qi  , pi  в элементе 1 своего фазового

пространства , а вторая - в точке

q  , p  
2
i
2
i
в элементе  2 своего.
Т.к.
движение частиц в обеих подсистемах можно считать независимыми друг от
друга, можно написать эту вероятность в виде:






 qi1 , pi1 , qi2 , pi2 d 1 d 2   qi1 , pi1 d 1  qi2 , pi2 d 2
Или иначе



 
 qi1 , pi1 , qi2 , pi2   qi1 , pi1  qi2 , pi2

Вероятность той или иной части равновесной системы находится в заданном
состоянии, не зависит от того, в каком состоянии находятся другие части этой
системы. Это свойство называется статистической независимостью.
Как
следствие
плотность
вероятности
обладает
свойством
мультипликативности. Это второе важнейшее свойство функции   p, q .
Теорема Лиувилля
Рассмотрим, наконец, как меняется плотность вероятности   p, q
равновесной системы, когда точка, изображающая эту систему в фазовом
пространстве, движется по своей фазовой траектории. Воспользуемся таким,
несколько искусственным, приемом. Разобьем все время наблюдения за
системой на малые промежутки времени. Пусть в моменты времени t1 , t2 , t3 ,...
система находилась в точках A1, A2, A3, ... своего фазового пространства.
Отвлечемся теперь на минуту от нашей системы и вообразим себе, что в какойто момент времени мы имеем большое количество подсистем, тождественных с
рассматриваемой нами системой. Пусть первая из них в этот момент времени
находится в точке фазового пространства A1 , вторая – в точке A2 , третья – в
точке A3 и т.д. Будем в дальнейшем вместо того, чтобы наблюдать за
движением исходной системы в своем фазовом пространстве, следить за
эволюцией ансамбля клонированных описанным способом систем. Т.е. будем
следить за тем, что будет происходить с точками A1, A2, A3, ... . Плотность
распределения этих точек в фазовом пространстве в исходный момент времени
описывается функцией
  p, q . Дальнейшее их движение можно
рассматривать, как течение «газа» в пространстве, размерность которого
совпадает с размерностью фазового пространства. Для такого движения
формально имеет место уравнение непрерывности

 div   v   0
t
Подчеркнем, что координатами в данном случае являются переменные qi , pi  ,
а скоростью v соответственно вектор с компонентами
qi и pi . В равновесии
плотность вероятности   p, q не зависит явно от времени. Поэтому первый
член в приведенном уравнении равен нулю. Распишем теперь член с
дивиргенцией так, как это положено по определению этой операции.
  
 
   qi    pi  



 pi
0

  qi
 pi 
 qi
 pi
  qi




   qi     pi 
 

div   v   
 qi
 pi
Легко показать, что член, стоящий в скобках в этом уравнении равен нулю. Из
уравнений механики, записанных в гамильтоновой форме, имеем
qi 
H
;
 pi
pi  
H
 qi
Здесь H - гамильтониан рассматриваемой системы. Слово «гамильтониан» в
классической механике означает попросту «полная энергия системы». Тогда
смысл приведенных
выражений становится совершенно прозрачным.
Вспомним обычную механику. Что такое величины qi
и
pi ? Рассмотрим
материальную точку в каком-нибудь внешнем поле U  q  . (Чтобы не слишком
далеко уходить от принятых обозначений, мы вместо традиционного для
механики обозначения координат буквой «r» оставили букву «q»). Очевидно,
что производная от координат по времени ( qi )– это скорость, а величина pi это просто произведение массы на соответствующее ускорение. Полная энергия
материальной точки ( E ) равна сумме кинетической и потенциальной энергий.
Т.е.
p2
 U q
2m
 E pi
qi 
 ,
Тогда величина
 pi m
E
т.е.
действительно равна скорости.
Произведение массы на ускорение
( pi )
равно по закону Ньютона
U
E

соответствующей силе, т.е. pi  
. Другими словами уравнения
q
q
qi 
H
;
 pi
pi  
H
 qi
есть просто определение скорости и закон Ньютона, записанные в такой
обобщенной форме. Соответственно
 qi
2 H

;
 qi  qi  pi
 pi
2 H

;
 pi
 qi  pi
Очевидно, что сумма этих двух производных равна нулю.
Уравнение непрерывности, таким образом, дает
qi


 pi
0
 qi
 pi
Но стоящее в левой части этого уравнения выражение есть не что иное, как
полная производная по времени от плотности вероятности
  p, q , т.е.
получаем
d   p, q
0
dt
Плотность вероятности остается постоянной при движении системы по
своей фазовой траектории.
Это очень важный результат. Плотность вероятности зависит от своих
переменных  p, q не «абы как», а только от таких комбинаций этих
переменных, которые сохраняются в процессе движения системы вдоль фазовой
траектории. Такие комбинации в физике называют интегралами движения.
Итак,
плотность вероятности   p, q зависит только от интегралов движения.
Уже легче! Но, к сожалению, полное число интегралов движения очень велико.
Однако есть очень простое соображение, которое позволяет радикально
сократить число интегралов движения, от которых зависит функция
распределения   p, q . Действительно, как мы рассказывали выше функция
  p, q обладает свойством мультипликативности. Функция распределения
системы, состоящей из нескольких подсистем равна произведению функций
распределения этих подсистем. Например, для системы, состоящей из двух
подсистем, имеем:
1,2 qi1 , pi1 , qi 2 , pi 2  1 qi1 , pi1 2 qi2 , pi2 ,



 

А это значит, что

ln 1,2 qi  , pi  , qi  , pi
1
1
2
2
  ln  q  , p   ln  q  , p  
1
1
i
1
i
2
2
i
2
i
Другими словами логарифм функции распределения обладает свойством
аддитивности. Это в свою очередь означает, что логарифм функции
распределения зависит только от аддитивных интегралов движения. А таких
интегралов всего семь (!): три компоненты импульса, три компоненты момента
импульса и энергия. Единственной аддитивной комбинацией этих величин
является их линейная комбинация. Тогда для любой части большой системы
можно написать (присвоим этой части номер: « n »)
ln n q, p     En q, p   Pn q, pq, p   M n q, p
Вот это уже настоящий успех! Но и это еще не все. Всегда (или точнее, почти
всегда) можно выбрать такую систему координат, в которой рассматриваемая
нами система покоится. Тогда полный импульс и полный момент импульса
системы строго равны нулю. И мы получаем, что логарифм функции
распределения системы зависит только от энергии!
Все фантастическое количество переменных, от которых зависит
функция распределения макроскопической подсистемы, свелось к ее
зависимости от одной единственной величины – энергии:
ln n q, p     En q, p
Очень важно, что для всех подсистем, из которых состоит рассматриваемая
система, параметры  и  одинаковы. Последнее выражение есть основной
результат всего предыдущего рассмотрения.