sin

Санкт-Петербургский Государственный Политехнический Университет
Факультет: Физики и Нанотехнологий.
Направление подготовки: физика.
Квалификация: бакалавр.
Дисциплина: программирование.
Преподаватель: Капралов Владимир Геннадьевич.
КУРСОВОЙ ПРОЕКТ
Тема: «Регулярная прецессия гироскопа».
Выполнил студент гр. 2101 Балезин Михаил Алексеевич __________
Руководитель к. ф.-м. н., доцент Капралов Владимир Геннадьевич __________
« ____» _________ 2012 г.
1. Постановка задачи.
Регулярной прецессией гироскопа называется вращение оси гироскопа вокруг
мгновенной оси, проходящей через неподвижную точку опоры.
Требуется написать программу, рассчитывающую движение оси гороскопа в
зависимости от задаваемых параметров:
1) Расстояние от точки опоры до центра масс.
2) Масса маховика гироскопа.
3) Угловая скорость вращения гироскопа.
4) Радиус маховика гироскопа.
5) Угол наклона оси гироскопа относительно вертикали.
2. Физика процесса.
Движение гироскопа описывается уравнением:
⃗
𝑑𝐿
𝑑𝑡
⃗⃗
=𝑀
(1)


где L – момент импульса , M - момент внешних сил относительно
точки опоры.
L = J0 𝜔= const, где J0 – момент инерции гироскопа относительно оси

вращения. Теперь если к оси гироскопа приложить внешнюю силу F , то

возникнет момент силы M , лежащий в горизонтальной плоскости. Из


выражения (1) следует, что векторы M и L ортогональны. За промежуток


времени dt вектор L получает приращение dL , направленное так же, как и


вектор M , поэтому сила F заставляет описывать гироскоп окружность в

горизонтальной плоскости, не изменяя при этом величину L .
Так как L=const, то 𝐿⃗=L*𝑛⃗.
Получаем
⃗
𝑑𝐿
𝑑𝑡
=L*
⃗
𝑑𝑛
𝑑𝑡
⃗
𝑑𝑛
⃗⃗ .
и значит L* = 𝑀
𝑑𝑡
⃗⃗ = [𝜔пр х⃗⃗⃗⃗𝑛], значит L* 𝑑𝑛⃗ =[𝜔пр х⃗⃗⃗⃗𝑛]. В свою очередь 𝜔пр=
𝑀
𝑑𝑡
тогда получаем:
вертикалью.
𝑑𝜑
𝑑𝑡
,
L*d 𝑛⃗ =d 𝜑 *sin 𝜃 , где 𝜃 -угол между осью гироскопа и
Распишем d𝑛⃗ =d𝑥 +d𝑦+d𝑧 . При регулярной прецессии движение вдоль
оси z не совершается, значит d𝑧=0.
Распишем d𝑥 и d𝑦.
d𝑥 =𝑛⃗*sin 𝜃*cos𝜑 - 𝑛⃗*sin 𝜃*cos(𝜑 − 𝑑𝜑)
d𝑦=𝑛⃗*sin 𝜃*sin𝜑 - 𝑛⃗*sin 𝜃*sin(𝜑 − 𝑑𝜑).
Подставим:
L*𝑛⃗*(sin 𝜃*cos𝜑 - sin 𝜃*cos(𝜑 − 𝑑𝜑) + sin 𝜃*sin𝜑 - sin 𝜃*sin(𝜑 − 𝑑𝜑))= 𝑑𝜑* sin 𝜃
Отсюда видно, что угол наклона оси гироскопа не влияет на угловую
скорость прецессии.
𝑚∗𝑅 2 ∗𝜔o
L=I*𝜔o=
2
, тогда конечное уравнение:
dх+dу
𝑑𝜑∗2sin 𝜃
𝑑𝑡
𝑑𝑡∗𝑚∗𝑅 2 ∗𝜔o
𝑛⃗(
)=
.
3. Математика процесса.
Программа в работе использует метод Эйлера – задавая приращение 𝑑𝜑 мы
можем
вычислить,
с
учетом
задаваемых
пользователем
констант,
приращение единичного вектора 𝑛⃗ . Так как этот вектор складывается из
приращений по осям х и у, то рассмотрим dх и dу. Как и говорилось выше –
dх=sin 𝜃*cos𝜑 - sin 𝜃*cos(𝜑 − 𝑑𝜑)
dу=sin 𝜃*sin𝜑 - sin 𝜃*sin(𝜑 − 𝑑𝜑)
Так как в процессе работы программа запоминает координаты прошлой
точки, то в приращении их не нужно учитывать, т.е.:
dх= sin 𝜃*cos(𝜑 − 𝑑𝜑)
dу= sin 𝜃*sin(𝜑 − 𝑑𝜑)
Подставляя это в
мы
dх+dу
𝑑𝜑∗2sin 𝜃
𝑑𝑡
𝑑𝑡∗𝑚∗𝑅 2 ∗𝜔o
𝑛⃗(
)=
находим
.
приращение
радиус
вектора, и, следовательно, движение оси прецессии гироскопа.
4. Реализация и вывод результатов.
Программа написана на языке С++ в среде DEV-CPP. В качестве результата
программа выводит окно с действующей моделью прецессии. Показано, как
двигается ось прецессии, с какой угловой скоростью. Для наглядности
программа рисует окружность меняющегося радиуса, чтоб пользователь мог
определить положение гироскопа относительно точки опоры. Также, в
согласовании с законом движения оси гироскопа, программа добавляет к
смещению по Y переменную величину, что создает эффект наблюдения
сверху.
Разные моменты времени для одной и той же модели.
Ось прецессии за точкой опоры(слева).
Ось прецессии перед точкой опоры(справа).
5. Вывод
Программа моделирует прецессию гироскопа, наглядно показывает, как совершается
движение оси прецессии. Поведение модели лежит близко к теории. Неточность связана
в основном с пренебрежением силы трения.
Возможные пути развития:
1) Совершенствование графики, визуализации (добавить тени, вращение маховика и
т.д)
2) Добавить в программу возможность учета сил трения, добавить возможность
моделирования нутации оси гироскопа. Добавить возможность изменения
параметров гироскопа прямо во время моделирования (интерактивность).