Топология функциональных пространств

Министерство экономического развития и торговли Российской Федерации
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
Государственный университет – Высшая школа экономики
ФАКУЛЬТЕТ МАТЕМАТИКИ
Программа дисциплины
«Топология функциональных пространств
и дискриминантов»
Направление: 010100.68 «Математика»
Подготовка: магистр
Форма обучения: очная
Автор программы: академик Васильев В.А.
Рекомендовано
секцией УМС по математике
Председатель
_____________________________________
«___» ________________________2009 г.
Утверждена УС
факультета математики
Ученый секретарь доцент
Одобрена на заседании
кафедры геометрии и топологии
Зав. кафедрой, академик
_________________________Ю.М.Бурман
«___» ________________________2008 г.
_______________________В.А.Васильев
«___» ______________________2008 г.
Москва
2008
Рабочая программа дисциплины «Топология функциональных пространств и дискриминантов»
[Текст]/Сост. В.А.Васильев; ГУ-ВШЭ.–Москва.–2008.–6 с.
Рабочая программа составлена на основе государственных требований к минимуму содержания
и уровню подготовки магистров Государственного образовательного стандарта высшего
профессионального образования по направлению 010100 «Математика».
Рабочая программа предназначена для методического обеспечения дисциплины основной
образовательной программы по направлению 010100 «Математика».
Составитель: академик В.А.Васильев (vva@mi.ras.ru)
©
©
В.А.Васильев, 2008.
Государственный университет–Высшая школа экономики, 2008.
Цели и задачи изучения дисциплины, ее место в учебном процессе
1.1. Курс Топология функциональных пространств и дискриминантов предназначен для
студентов,
специализирующихся в области топологии, геометрии
и их приложений. Он
рассчитан на студентов, освоивших курсы Топология и Топология (дополнительные главы).
Один из ключевых подходов в современной топологии состоит в том, что многообразия
описываются в терминах пространств отображений в них некоторых модельных многообразий
или, наоборот, отображений изучаемых многообразий в модельные. Цель курса — познакомить
студентов с методами изучения таких функциональных пространств и подготовить к
самостоятельной исследовательской работе с ними.
1.2. Задачи изучения дисциплины:
умение классифицировать функции в соответствии с наборами особых точек и критических
значений;
умение использовать разбиение функционального пространства по типам его особенностей к
изучению топологии таких пространства и пространств неособых объектов;
умение обращаться с различными обобщениями этих пространств -- пространствами узлов,
погружений, пространствами мероморфных функций на алгебраических кривых.
1.3. Перечень дисциплин и разделов, знание которых требуется для изучения данной
дисциплины: алгебра, топология, дифференциальные уравнения, топологические инварианты
особенностей.
Тематический план
№
Название темы
Всего
часов
по
дисци
плине
2 курс, 1 модуль
Пространство
полиномов и его стратификация по

1
1
типам критических точек и значений. Топология
В том числе аудиторных
Само
стоят
ельна
я
работ
а
Всего
Лекци
и
108
28
14
Сем.
и
практ.
занят
14
ия
14
4
2
2
10
14
4
2
2
10
16
4
2
2
12
16
4
2
2
12
16
4
2
2
12
16
4
2
2
12
16
4
2
2
12
80
пространств полиномов без кратных корней.
Пространства
деформаций
особенностей
и
отражениями.
изолированных
группы,
порожденные
Пространства
Эйленберга-
МакЛейна.
Формула

2
включений-исключений
симплициальные
гомологий
разрешения.
пространств
и
Вычисление
неособых
полиномов.
Стабилизация.
Пространства

петель.
Итерированные
пространства петель. Пространства иммерсий.
Теоремы
Смейла—Хирша
и
h-принцип.
Аппроксимации и двойственность Александера в
бесконечномерной ситуации.
Пространства

функций
особенностей.
Расслоение
без
Милнора
сложных
и
его
характеристические классы.
Пространства

узлов в евклидовом пространстве,
трехмерных
и
многомерных
многообразиях.
Комбинаторика дискриминанта в пространстве
особых узлов. Гомологии графовых комплексов.
Узлы старших размерностей.
Пространства мероморфных функций на
алгебраических кривых.

Универсальные комплексы и многочлены и
характеристические классы особенностей.
Формы текущего контроля: 1 контрольная работа. Тема: Гомологии наборов
плоскостей.
Форма итогового контроля: 1 экзамен (1 модуль).
Основная литература
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Арнольд В.И. Особенности каустик и волновых фронтов. «ФАЗИС», 1996.
Васильев В.А. Топология дополнений к дискриминантам.–М.: ФАЗИС, 1997.
Васильев В.А. Лагранжевы и лежандровы характеристические классы.–М.: МЦНМО,
2000.
Казарян М.Э. Характеристическая спектральная последовательность классов
особенностей. Приложение к предыдущему.
Арнольд В.И., Варченко А.Н., Гусейн-Заде С.М. Особенности дифференцируемых
отображений. М.: УРСС, 2004.
Мишачев Н.М., Элиашберг Я.М. Введение в h-принцип. МЦНМО,
Горески М., МакФерсон Р. Стратифицированная теория Морса. «Мир», 1991.
Милнор Дж. Теория Морса.–М.:УРСС, 2008.
Автор программы: _____________________________ В.А.Васильев