ТЕМА 2. Уравнения и неравенства

ТЕМА 2. Уравнения и неравенства
Литература












1. Л.О.Денищева, Ю.А.Глазков, К.А.Краснянская, А.Р.Рязановский, П.В.Семенов.
Единый государственный экзамен 2009. Математика. Универсальные материалы
для подготовки учащихся//ФИПИ, М.: Интеллект-Центр, 2009.
2. Ф.Ф. Лысенко. Алгебра. 9 класс. Подготовка к итоговой аттестации- 2009//
Ростов-на-Дону: ООО «Легион», 2008.
3. Ф.Ф. Лысенко. Математика. Подготовка к ЕГЭ-2009. Вступительные испытания
// Ростов-на-Дону: ООО «Легион», 2008.
4. Л.О.Денищева, Ю.А.Глазков, К.А.Краснянская, А.Р.Рязановский, П.В.Семенов.
Единый государственный экзамен 2007. Математика. Учебно-тренировочные
материалы для подготовки учащихся//ФИПИ, М.: Интеллект-Центр, 2007.
5. Л.О.Денищева, А.Р.Рязановский, П.В.Семенов, И.Н.Сергеев. ЕГЭ-2008.
Федеральный банк экзаменационных материалов (открытый сегмент).
Математика// ФИПИ, М.: Эксмо, 2007.
6. Ф.Ф. Лысенко. Математика. ЕГЭ-2008. Вступительные испытания // Ростов-наДону, Легион, 2007.
7. В.И.Ишина, Е.М.Бойченко, Г.А.Захарова. Единый государственный экзамен:
Математика: Контрольные измерительные материалы 2007// ФИПИ, М.: ВентанаГраф, 2007.
8. Л.О.Денищева, Е.М.Бойченко, А.Р.Резановский, П.М.Камаев. Единый
государственный экзамен: Математика: Контрольные измерительные материалы:
Репетиционная сессия 1. // М.: Вентана-Граф, 2006.
9. Л.О.Денищева, Е.М.Бойченко, А.Р.Резановский, П.М.Камаев. Единый
государственный экзамен: Математика: Контрольные измерительные материалы:
Репетиционная сессия 2. // М.: Вентана-Граф, 2006.
10. Л.О.Денищева, Е.М.Бойченко, А.Р.Резановский, П.М.Камаев, Ю.А.Глазков.
Единый государственный экзамен: Математика: Контрольные измерительные
материалы: Репетиционная сессия 3. // М.: Вентана-Граф, 2007.
11. Л.О.Денищева, Е.М.Бойченко, А.Р.Резановский, П.М.Камаев, Ю.А.Глазков.
Единый государственный экзамен: Математика: Контрольные измерительные
материалы: Репетиционная сессия 4. // М.: Вентана-Граф, 2007.
12. Л.О.Денищева, Е.М.Бойченко, А.Р.Резановский, П.М.Камаев Единый
государственный экзамен: Математика: Контрольные измерительные материалы:
Репетиционная сессия 5. // М.: Вентана-Граф, 2007.
ПРИМЕРЫ
Пример 1. Найти все значения a, при которых множество решений
неравенства x2-2ax-3a  0 содержит отрезок [3;6].
1) (-,1)
Решение:
2) (-,1]
3) [1,+)
4) [-1,1]
Первая координата вершины параболы f(x) = x2-2ax-3a равна x0 = a. Из
свойств квадратичной функции условие f(x)0 на отрезке [3;6] равносильно
совокупности трех систем
a  3,


 f (3)  9  9a  0,
3  a  6,
a  6,




2
D  4a  12a  0,  f (6)  36  15a  0.
Решением первой системы является множество (-,1]. Вторая и третья
система решений не имеют (ответ (-,1] ).
Пример 2. При каком наименьшем натуральном значении a уравнение
x2+2ax-3a+7 = 2x имеет ровно два решения?
1) 2
2) 4
3) 1
4) 3
Решение:
Перепишем это уравнение в виде x2 + (2a-2)x - 3a+7 = 0. Это квадратное
уравнение, оно имеет ровно два решения, если его дискриминант строго
больше нуля. Вычисляя дискриминант, получаем, что условием наличия
ровно двух корней является выполнение неравенства a2+a-6 > 0. Решая
неравенство, находим a < -3 или a > 2. Первое из неравенств, очевидно,
решений в натуральных числах не имеет, а наименьшим натуральным
решением второго является число 3 (ответ 3).
Пример 3. Решить уравнение |x - 2| + |3 + x| = 2x + 1.
1) [2,+)
2) (-, 2]
3) (2, +)
4) (-,2)
Решение:
1) Рассмотрим промежуток x < -3. На этом промежутке x + 3 < 0 и
x - 2 < 0, поэтому |x + 3| = -x - 3 и |x - 2| = 2 - x. Следовательно, на указанном
промежутке уравнение принимает вид -1 - 2x = 2x + 1, откуда x = -1/2.
Найденное значение не принадлежит рассматриваемому промежутку,
поэтому при x < -3 уравнение решений не имеет.
2) При -3  x < 2 имеем |x + 3| = x + 3 и |x - 2| = 2 - x, поэтому наше
уравнение имеет на этом промежутке вид 5 = 2x + 1, откуда x = 2. И
полученное
значение
не
входит
в
рассматриваемый
промежуток,
следовательно, при -3  x < 2 данное уравнение также не имеет решения.
3) Пусть x  2. Тогда |x + 3| = x +3 и |x - 2| = x - 2, и уравнение
принимает вид 2x + 1 = 2x + 1. Это равенство очевидно выполнено при
любом x, поэтому все числа из рассматриваемого промежутка являются
решениями (ответ [2,+)).
Пример 4. Решить неравенство
1) (-;-3)(4;) 2) (-;3){1}(4;) 3) (-;-3){1}(4;) 4) (-3;4)
Решение:
Данное неравенство имеет смысл при x2 + 2x - 3  0 и x2 - x - 12  0, т. е.
при x (-; -3) (4; ). Решая теперь на этом множестве наше неравенство
методом интервалов получаем, что при x (-; -3) неравенство выполнено,
так как на этом промежутке числитель и знаменатель положительны.
Значение x = 1 является решением, поскольку в этой точке числитель
обращается в нуль, а знаменатель ненулевой, и, следовательно, вся дробь
равна нулю. На интервале (1;4) решений нет, так как на этом промежутке
числитель положителен, а знаменатель отрицателен. И, наконец, все точки
луча (4; ) являются решением, поскольку на этом промежутке и числитель и
знаменатель положительны (ответ (-;3){1}(4;)).
Пример 5. Решите уравнение
1) 3
2) 1
3) 5
6 
3 


4 log 2  2 
  8  3 log 2  2 
.
2x  5 
x  1


4) 4
Решение:
Пусть
6 
x 1

 4x  1 
.
t  log 2  2 
  log 2 
  2  log 2
2x  5 
2x  5

 2x  5 
Тогда
3 
2x  5

 x 1 
log 2  2 
 log 2 
  log 2

x  1
x 1

 2x  5 
1
  log 2
x 1
2t .
2x  5
Поэтому
4t  8  3t  2 
7t  14
t 2
x 1
2
2x  5
x 1
log 2
0
2x  5
x 1
1
2x  5
x  1  2x  5
x4
2  log 2
(ответ 4).
3
Пример 6. Решите уравнение
1)
log 3 6
2) log 3 2
Решение:
Так как
3x  4  0
и
3
a2  a
x
принимает вид:

 6 3x  9  0 ,
3x  4 
3
x
4

2
то

x




 6 3x  9  3x  4 .
4) 1
3
3x  4 
3x  4  0 .

3

3) log 3 4
, то получаем:

x
x
 6 3x  9  3x  4 .
Поэтому

3x  4  3x  4

3x  6  0
3x  6
x  log 3 6
(ответ
log 3 6 ).
Пример 7. Найдите наименьший корень уравнения
tg x   cos 3x   sin 3x   sin 4x 
на промежутке 1;3  .
1) 0,25
Решение.
2) 1,2

 6 3x  9  3x  4  3x  6 3x  9  0 
3) 1,25
4) 0,2
Поскольку
и уравнение
Пусть
t  x .
Тогда   t  3 и
tgt  cos 3t  sin 3t  sin 4t
sin t
cos 3t  sin 3t  sin 4t
cos t
sin t cos 3t  cos t sin 3t
 sin 4t
cos t
sin 4t
 sin 4t
cos t
sin 4t 1  cos t 
 0.
cos t
Множитель
sin 4t  0  4t  n  t 
n  5,6 ,7 ,8,9,10,11 .
при   t  3 равен нулю только если
1  cos t
n
4
, то множитель
Пример 8. Решите неравенство
1)  ;0   6 ; 
n  5,t 
(ответ 1,25).
1
x 1  x  2  x 3.
2)  ;0  [6;)
3) 6;
4)  ;0
Решение:
 x  1

1  x  2  x  x  3
1  x  2

 x  1  2  x  x  3

 x  2
 x  1  x  2  x  3


 x  1

 x  0
1  x  2

 x  2

 x  2
 x  6


x  0
x  6

(ответ  ;0   6 ;  ).
Пример 9. Решите неравенство
log 2 x 5 x  1  log 3 x 7 x  1

Решение:

 5 7
2


log 2 15x 2  2  log 2 11x
1
1 2
1
1 2
1)  ;  2)  ;    ;  3)  ;  4)
2
 5 7
. Так как
равен нулю только если
sin 4t
Тогда наименьший корень получится при
Тогда определён и tgx : он равен
t  2
0.
 1 2  1

 ;    ; 
5 7 2

5
5
, x   1,25 .
4
4
1

x  5

x  1

log2 x 5 x  1  log3 x 7 x  1
2

0


2
log2 15x  2  log2 11x
x  1

3
 2 x  15 x  2 3 x  17 x  2 

 0.
15 x 2  2  11x



Последнее неравенство системы получено заменой каждого множителя
на выражение того же знака. Раскладывая квадратный трёхчлен, стоящий в
знаменателе, на множители, получим, что данная система равносильна
следующей системе:
1

x  5

x  1

2

1
x 

3
 2 x  15 x  2 3 x  17 x  2 

0

3 x  15 x  2 
(ответ


1
x 
5

1

x  2

1


x 
3

2

x  5

1 
2

 x  2  x  7   0



2
1
 5  x  7

x  1
2

 1 2  1

 ;    ;  ).
5 7 2

Задачи для самостоятельного решения
24  2 x  x 2
 1.
x
1.
Решить неравенство
2.
Решить неравенство (4 x 2  8x  3) 2 x 2  5x  3  0 .
3.
Решить уравнение 5 x  20  ( 5 ) x  125  0 .
4.
Найти все значения a, при каждом из которых уравнение ||x|+5-a|=2
имеет ровно 3 корня.
5.
Какому
промежутку
log 2 ( x  8)  log 2 3  log 2 5 ?
принадлежит
корень
уравнения
2 x  3x  2  0 .
6.
Указать множество решений неравенства
7.
Найти сумму корней уравнения (32 х
8.

log 0,9 (2 y  3x  1)  0,
Решить систему уравнений 

 0,5 log 2 (3 y  x  1,5)  log 4 (8 x)  0 .
9.
Найти все значения параметра a , при которых множество решений
неравенства
x( x  2)  (a  1)( x  1  1)
2
 29
х6
 27)4 5 x  18 = 0.
содержит все члены некоторой
бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом,
равным 1,7, и положительным знаменателем.
10.
Найти корень уравнения 3x-2 =27.
11.
Найти
все
значения
a,
при
каждом
из
которых
уравнение
4x−|3x−|x+a|| =9|x−1| имеет хотя бы один корень.
12.
Решить уравнение 8  3log x  13x  6 .
13.
Решить уравнение x 2  24  1 .
14.
Найти количество целочисленных решений неравенства
15.
1  x3 1
 x.
x 1
3
Решить неравенство
x 2  3 x  10
1 4  x2
 0.