Ключевые задачи а) Докажите равносильность утверждений: 1) тетраэдр является ортоцентрическим, 2) скрещивающиеся ребра тетраэдра взаимно перпендикулярны, 3) суммы квадратов длин скрещивающихся ребер тетраэдра равны. Доказательство: Докажем, 1⟹2 Рассмотрим тетраэдр 𝐷𝐴𝐵𝐶. (Рисунок 1) Рисунок 1 Пусть 𝐷𝐻, 𝐶𝑁 – его высоты. 𝐶𝑁 ⊥ (𝐴𝐵𝐷) ⇒ 𝐶𝑁 ⊥ 𝐴𝐵 𝐷𝐻 ⊥ (𝐴𝐵𝐶) ⇒ 𝐷𝐻 ⊥ 𝐴𝐵 𝐴𝐵 ⊥ 𝐷𝐻, 𝐴𝐵 ⊥ 𝐶𝑁 ⇒ 𝐴𝐵 ⊥ (𝐷𝑁𝐻) ⇒ 𝐴𝐵 ⊥ 𝐷𝐶. Аналогично, 𝐷𝐴 ⊥ 𝐵𝐶, 𝐷𝐵 ⊥ 𝐴𝐶. Докажем, 2⟹1 Рассмотрим тетраэдр 𝐷𝐴𝐵𝐶. Пусть 𝐷𝐻, – его высота. Через прямую 𝐷𝐻 и вершину 𝐶 построим плоскость, пусть она пересекает ребро 𝐴𝐵 в точке 𝐾. 𝐷𝐻 ⊥ (𝐴𝐵𝐶) ⇒ 𝐴𝐵 ⊥ 𝐷𝐻. 𝐴𝐵 ⊥ 𝐷𝐻, 𝐴𝐵 ⊥ 𝐷𝐶 ⇒ 𝐴𝐵 ⊥ (𝐷𝐶𝐾). В плоскости (𝐷𝐶𝐾) построим перпендикуляр 𝐶𝑁 к прямой 𝐷𝐾, 𝐶𝑁 ⊥ 𝐷𝐾. 𝐴𝐵 ⊥ (𝐷𝐶𝐾) ⇒ 𝐴𝐵 ⊥ 𝐶𝑁. 𝐶𝑁 ⊥ 𝐴𝐵, 𝐶𝑁 ⊥ 𝐷𝐾 ⇒ 𝐶𝑁 ⊥ (𝐷𝐴𝐵) ⇒ 𝐶𝑁 – высота тетраэдра 𝐷𝐴𝐵𝐶. Таким образом, высоты 𝐷𝐻 и 𝐶𝑁 пересекаются. Аналогично высоты, проведенные из вершин 𝐴, 𝐵 пересекают каждую из высот 𝐷𝐻 и 𝐶𝑁 ⇒ все высоты тетраэдра 𝐷𝐴𝐵𝐶 пересекаются в одной точке. Следовательно, утверждения 1 и 2 равносильны. Докажем 2⟹3 Рассмотрим тетраэдр 𝐷𝐴𝐵𝐶. (Рисунок 2) Пусть 𝐴𝐷 = 𝑎⃗, 𝐷𝐵 = 𝑏⃗⃗, 𝐷𝐶 = 𝑐⃗. 𝐷 𝑎⃗ 𝑐⃗ 𝑏⃗⃗ 𝐴 𝐶 𝐵 Рисунок 2 Докажем, что 𝐴𝐵2 + 𝐶𝐷2 = 𝐴𝐶 2 + 𝐷𝐵2 . По теореме косинусов для треугольников 𝐴𝐷𝐵, 𝐴𝐷𝐶: 𝐴𝐵2 = 𝐷𝐴2 + 𝐷𝐵2 − 2 ∙ 𝐷𝐴 ∙ 𝐷𝐵 ∙ cos ∠𝐴𝐷𝐵, 𝐴𝐶 2 = 𝐷𝐶 2 + 𝐷𝐴2 − 2 ∙ 𝐷𝐶 ∙ 𝐷𝐴 ∙ cos ∠𝐴𝐷𝐶. Тогда нужно доказать: 𝐶𝐷2 + 𝐷𝐴2 + 𝐷𝐵2 − 2 ∙ 𝐷𝐴 ∙ 𝐷𝐵 ∙ cos ∠𝐴𝐷𝐵 = 𝐷𝐵2 + 𝐷𝐶 2 + 𝐷𝐴2 − 2 ∙ 𝐷𝐶 ∙ 𝐷𝐴 ∙ cos ∠𝐴𝐷𝐶, 2 ∙ 𝐷𝐴 ∙ 𝐷𝐵 ∙ cos ∠𝐴𝐷𝐵 = 2 ∙ 𝐷𝐶 ∙ 𝐷𝐴 ∙ cos ∠𝐴𝐷𝐶, т. е. 𝑎 ∙ 𝑏 ∙ cos ∠𝐴𝐷𝐵 = 𝑐 ∙ 𝑎 ∙ cos ∠𝐴𝐷𝐶. Докажем это: 𝐴𝐷 ⊥ 𝐵𝐶 ⟹ 𝑎⃗ ⊥ 𝑏⃗⃗ − 𝑐⃗ ⟹ 𝑎⃗(𝑏⃗⃗ − 𝑐⃗) = 0 ⟹ 𝑎𝑏 ∙ cos ∠𝐴𝐷𝐵 − 𝑎𝑐 ∙ cos ∠𝐴𝐷𝐶 = 0 ⟹ 𝑎𝑏 ∙ cos ∠𝐴𝐷𝐵 = 𝑎𝑐 ∙ cos ∠𝐴𝐷𝐶. Аналогично, 𝐴𝐵2 + 𝐶𝐷2 = 𝐵𝐶 2 + 𝐷𝐴2 . Следовательно, 𝐴𝐵2 + 𝐶𝐷2 = 𝐴𝐶 2 + 𝐷𝐵2 = 𝐵𝐶 2 + 𝐷𝐴2 . Аналогичным образом, проведя рассуждения в обратном порядке, получим: 𝐴𝐵2 + 𝐶𝐷2 = 𝐴𝐶 2 + 𝐷𝐵2 = 𝐵𝐶 2 + 𝐷𝐴2 ⟹ 𝐴𝐷 ⊥ 𝐵𝐶, 𝐵𝐷 ⊥ 𝐴𝐶, 𝐶𝐷 ⊥ 𝐴𝐵, т. е. 3⟹2. Следовательно, утверждения 2 и 3 равносильны. Значит, равносильны все три утверждения. б) Найдите высоту правильного тетраэдра с ребром 𝑎, радиус вписанной в него сферы и отношение, в котором центр сферы делит высоту. (Рисунок 3) Рисунок 3 Решение: Рассмотрим правильный тетраэдр 𝑆𝐴𝐵𝐶. Пусть 𝑆𝐻 – его высота, точка 𝑂 – центр вписанной сферы. В грани 𝑆𝐴𝐵 построим апофему 𝑆𝐿. Тогда 𝐶𝐿 – высота в треугольнике 𝐴𝐶𝐵. Так как треугольники 𝑆𝐴𝐵, 𝐴𝐶𝐵 – правильные со стороной 𝑎, то 𝑆𝐿 = 𝐶𝐿 = 𝑎 √3 2 . В равнобедренному треугольнике 𝑆𝐿𝐶 построим высоту 𝐿𝑀, которая также является медианой. Из прямоугольного треугольника 𝐿𝑀𝐶 найдем: 3 𝑎2 4 4 𝐿𝑀2 = 𝑎2 − = 𝑆𝐿𝐶, найдем 𝑆𝐻 = 2𝑎2 , 𝐿𝑀 = 4 𝐿𝑀∙𝑆𝐶 𝐿𝐶 = 𝑎 √2 2 . Применив метод площадей для треугольника 𝑎 √6 3 . Прямоугольные треугольники 𝐿𝑀𝐶, 𝐿𝐻𝑂 подобны по острому углу: угол 𝐿 – общий. 𝑂𝐻 𝑆𝐻 𝐿𝑀 𝐿𝐻 1 = 𝐶𝑀 𝑂𝐻 , 𝑂𝐻 = 𝐶𝑀∙𝐿𝐻 𝐿𝑀 = 𝑎 √6 12 . = , следовательно, центр сферы делит высоту тетраэдра в отношении 4 3:1, считая от вершины. Ответ: 𝑎 √6 𝑎 √6 3 , 12 , 3:1, считая от вершины. а) В правильный тетраэдр 𝑆𝐴𝐵𝐶 вписана сфера с центром в точке 𝑂. Через каждые три точки касания проходит плоскость. Докажите, что эти плоскости параллельны граням тетраэдра. (Рисунок 4) Рисунок 4 Доказательство: Так как тетраэдр 𝑆𝐴𝐵𝐶 правильный, то точки 𝑃, 𝑄, 𝑇, 𝐹 касания сферы граней 𝑆𝐴𝐵, 𝑆𝐵𝐶, 𝑆𝐴𝐶, 𝐴𝐵𝐶 соответственно отсекают на апофемах тетраэдра равные отрезки. Следовательно, высота тетраэдра 𝑆𝑃𝑄𝑇 проецируется в центр 𝐷 окружности, описанной около треугольника 𝑃𝑄𝑇, которая является сечением сферы. Отрезок 𝐷𝑂 также перпендикулярен плоскости 𝑃𝑄𝑇. Следовательно, 𝑆𝐷 и 𝐷𝑂 перпендикулярны плоскости 𝑃𝑄𝑇 и проходят через точку 𝐷. Значит, точки 𝑆, 𝐷, 𝑂 лежат на одной прямой – высоте тетраэдра 𝑆𝐴𝐵𝐶 и она перпендикулярна плоскости 𝑃𝑄𝑇. Плоскости 𝑃𝑄𝑇 и 𝐴𝐵𝐶 перпендикулярны высоте тетраэдра, а значит, параллельны друг другу. Так как тетраэдр 𝑆𝐴𝐵𝐶 правильный, то все плоскости, проходящие через каждые три точки касания вписанной сферы, параллельны граням тетраэдра 𝑆𝐴𝐵𝐶. б) В правильный тетраэдр 𝑆𝐴𝐵𝐶 вписана сфера с центром в точке 𝑂. Через каждые три точки касания проходит плоскость. Найдите длины ребер образовавшихся тетраэдров, если 𝑆𝐴 = 𝑎. (Рисунок 5) Рисунок 5 Решение: Точки касания являются проекциями центра вписанной сферы на грани тетраэдра и совпадают с центрами вписанных окружностей. А так как треугольники правильные, то эти точки также являются точками пересечения медиан, а значит, делят их в отношении 2:1, считая от вершины. Следовательно, плоскости отсекают тетраэдры подобные данному с коэффициентом подобия 2 и длины их ребер равны 𝑎. 3 Ответ: 2 3 𝑎. 2 3