Посредством уравнений, теорем

Посредством уравнений, теорем
Я уйму всяких разрешал проблем
(Чосер, английский поэт, средние века)
Штифель (1486-1567), в 1544 году сформировал общее правило
решения квадратных уравнений, приведённых к единому
каноническому виду x2+bx+c при всевозможных комбинациях
знаков и коэффициентов при b и с.
Франсуа Виет (1549-1603), вывел формулы квадратного
уравнения в общем виде, однако он признавал только
положительные числа.
Итальянские учёные Тарталья, Кардано, Бомбелли среди
первых в XVI веке учитывают, помимо положительных и
отрицательные корни.
В XVII веке благодаря трудам Жиррара, Декарта, Ньютона и
других учёных, способ квадратных уравнений принимает
современный вид.
1
ИСТОРИЯ РАЗВИТИЯ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ВТОРОЙ И
ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ.
Впервые квадратные уравнения сумели решить математики древнего
Египта. Неполные квадратные уравнения, и частные виды полных
квадратных уравнений (x2±x=a) умели решать вавилоняне (около 2 тысяч
лет до нашей эры). Некоторые виды квадратных уравнений, сводя их
решения к геометрическим построениям, могли решать древнегреческие
математики. Приемы решения уравнений без обращения к геометрии даёт
Диофант Александрийский (3 в.). Способ решения полных квадратных
уравнений Диофант изложил в книгах «Арифметика», которые не
сохранились. Формулы решения квадратных уравнений в Европе были
впервые изложены в 1202 году итальянским математиком Леонардо
Фибоначчи.
Общее правило решения квадратных уравнений, приведённых к виду
x2+bx=c, было сформулировано немецким математиком М. Штифелем
(1487-1567г.). Выводом формулы решения квадратных уравнений общего
вида занимался Виет. Одно своё утверждение он высказывал лишь для
положительных корней (отрицательных чисел он не признавал).
После трудов нидерландского математика А. Жирара (1595-1632), а также
Декарта и Ньютона способ решения квадратных уравнений принял
современный вид.
Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй и
высших степеней ещё в древности была вызвана потребностью решать
задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с
земельными работами военного характера, а также с развитием
астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать
около 2000 лет до нашей эры вавилоняне.
2
Однако уже при решении уравнений третей степени математики
столкнулись с большими трудностями. История открытия способа
решения кубических уравнений полна тайн, так как в древности учёные
часто на открытых диспутах соревновались в решении трудных задач. От
исхода этих состязаний зависела их научная репутация и материальное
благополучие.
Тот, кто первым овладел решением кубических уравнений, мог легко
победить своих соперников давая им задачи, сводящиеся к кубическим
уравнениям.
Поэтому
способы
решения
уравнения
тщательно
скрывались. Историки полагают, что первым нашёл способ решения
кубических уравнений известный итальянский алгебраист Специна дель
Ферро (1465-1576), но впервые опубликовал общую формулу решения
кубических уравнений итальянский математик Джераламо Кордано
(1501-1576г.). Эта формула носит теперь название формулы Кордано,
хотя предполагают, что эту формулу ему передал итальянский математик
Николо Тарталья ( 1500-1557). С именами этих же математиков связано
открытие способов решения уравнений четвёртой степени.
В дальнейшем математики активно пытались найти формулы вычисления
корней уравнений пятой и более степени. И только почти через три
столетия впервые итальянский учёный Паоло Руффини (1765-1822), а
затем норвежский математик Нильс Хенрих Абель (1802-1829г.)
доказали, что не
существует формулы, выражающей корни любого
целого уравнения пятой степени через конечное число алгебраических
операций над его коэффициентами. Да и найденные формулы вычисления
корней для уравнений третьей и четвёртой степени столь сложны, что
ими практически не пользуются. Поэтому в современной математике
разработаны методы, позволяющие находить с любой степенью точности
приближенные значения корней уравнений. Использование компьютеров
значительно облегчают эту работу.
3
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ 2,3,4-Й СТЕПЕНЕЙ ПО ФОРМУЛЕ.
Интересны нелинейные уравнения – уравнения больших степеней. Среди
нелинейных (уравнений общего вида, не решающихся разложением на
множители или каким-либо другим относительно простым способом)
уравнения низших степеней (2,3,4-й) можно решить с помощью формул.
Уравнения 5-й степени и выше неразрешимы в радикалах (не существует
общей формулы для их решения). Поэтому рассмотрю только три метода.
Квадратные уравнения. Формула Виета. Дискриминант квадратного
трёхчлена.
Для любого приведённого квадратного уравнения (в котором старший
коэффициент равен 1) x2+px+q=0 справедлива формула Виета:
X1,2 = -p/2 ±
(p2/4-q)
Обозначим: D = p2 – 4q. Тогд а формула примет вид:
X1,2=(-p±
(p2- q))/2=(-p±
D )/2
Выражение D называют дискриминантом. При исследовании квадрата
трёхчлена смотрят на знак D. Если D>0, то корней 2, вычисляются они по
формуле Виета; если D=0, то один корень x=-p/2; если D<0, то корней
нет.
Вывод формулы Виета x2+px+q=0.
Запишем формулы квадрата суммы (a+b)2=a2+2ab+b2 и заменим в ней a на
x, b на p/2:
(x + p/2)2= x2+px +p2/4,
теперь вычтем первоначальное равенство:
(x+ p2/2)=x2+px+ p2/4
теперь отсюда нетрудно получить нужную форму.
4
Теорема Виета.
Для любого приведённого квадратного уравнения x2+px+q=0 справедлива
теорема Виета:
X1+x2=((-p+
X1x2= ((-p+
D)/2) + ((-pD)/2) + ((-p-
D)/2) =-p
D)/2) =(p2-(p2-4q))/4=q
Для любого уравнения n-ой теорема Виета также справедлива:
коэффициент при x n -1, взятый с противоположным знаком, равен сумме
его n корней; свободный член равен произведению n его корней и числа (1)n.
Кубические уравнения. Начинаем упрощать.
Будем решать лишь уравнения вида x3+px+q=0.
Рассмотрим, как преобразовать уравнения общего вида к такому:
x3+Px2+Qx+R=0.
Запишем формулу куба суммы (P/3+x)3;
Сложим с первоначальным равенством и заменим (P/3+x)3 на y:
Y3+ (Q-P2/3)(y-P/3) + (R-P3/27) =0.
Теперь, после несложных преобразований, имеем:
Y2+py + q=0.
Ф о р м у л а К а р д а н о.
Снова запишем формулу куба суммы:
(a + b)3 =a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a + b),
Теперь заменим (a + b) на x:
X3-3abx-(a3+b3) =0.
Теперь видно, что исходное уравнение равносильно системе уравнений
a3-b3=-q и 3ab=-p
a3b3= (-p/3)3.
Эту систему можно решать по-разному, но результат один:
5
X=3
(-q/2+
((q/2)2+(p/3)3))+3
(-q/2-
((q/2)2+(p/3)3)).
Это и есть формула Кардано, часто использующаяся при решении
кубических уравнений, когда обычные методы не помогают.
Уравнения четвёртой степени: x4+dx3+ax2+bx+c=0
Как и раньше, избавимся от dx3 подстановкой x=y-p/4:
X4+ax2+bx +c=0. Идея в том, чтобы представить уравнения в виде A2=B2,
где A=x2+s, B-линейная функция от x. Тогда остаётся решить уравнения
A=±B. Возьмём s=a/2+t. Тогда, учитывая исходное равенство, получим:
(x2+a/2+t)2=2tx2-bx+(t2+at-c+a2/4).
Если правая часть-квадрат, то D=0:
b2-4*2t(t2+at-c+a2/4)=0.
Пусть t0-корень последнего уравнения. Тогда при t=t0 правая частьквадрат:
Получим схему:
(x2+a/2+t)2=2t(x-b/4t)2;
{
b2-4*2t(t2+at-c+a2/4)=0.
Решив эту систему, мы найдём решения исходного уравнения. Это и есть
метод Феррари.
6
1. Теоретические сведения.
Алгебраическим многочленом n-ой степени называют выражение вида:
n-1
a0 xn +а1х
n-2
+ a2 x
+ …+аn-1х + an , (1)
где n принадлежит Z ,n≥0 , a 0 , a1 ,...an принадлежат R и a0≠0, и
обозначают его через Pn (х).
Равенство Pn (х)=0 называют алгебраическим уравнением n-ой степени.
(2)
Число α называют корнем многочлена (1) , а также корнем (решением)
уравнения (2) , если α удовлетворяет уравнению (2) ,
т.е. если верно числовое равенство Pn(ɑ) =0 .
Решить уравнение (2) −значит найти множество всех его корней
(решений).
Если n=1 , то уравнение (2) называют уравнением 1-ой степени, а при
n=2 – квадратным уравнением. Формулы для решения таких уравнений
хорошо известны и они достаточно просты. Однако для уравнений выше
2-ой степени таких простых формул нет. Для уравнений третьей степени
существуют формулы Кардано и Феррари, выражающие корни этих
уравнений через радикалы. Но эти формулы слишком громоздки и
неудобны. Поэтому на практике ими редко пользуются. Таким образом,
если n≥3, а коэффициенты многочлена (1) −произвольные действительные
числа, отыскание корней уравнения (2) −задача непростая.
Тем не менее, во многих частных случаях эта задача решается до конца.
Остановимся на некоторых из них.
1. Теорема Безу. Остаток от деления многочлена Pn (х) на двучлен x- α
равен Pn (х).
Основой многих знаний о делении многочлена на двучлен является
теорема, принадлежащая французскому математику Этвену Безу (17301783) и носит его имя.
7
Докажем эту теорему для случая, когда n=3. Для этого разделим
многочлен P3 (х) на двучлен x- αn уголком.
a0 x³ + a1 x² + a3
a0 x³ - αa 0 x²
(a1+ αa0)x² + a2 x + a3
(a1+ αa0)x² - α(a1 + αa0)x
(a2 + α(a1 + αa0))x+a3
(a2+ α(a1+ αa0))x- α(a2+ α(a1+
+αa0))
a3+ α(a2+ α(a1+ αa0))-остаток
x- α
a0x²+(a1+ αa0)x + (a2+ α(a1+ αa0))
Обозначим остаток от деления P3(х) на x- α через r. Тогда:
r=a3+ α (a2 + α(a1 + αa0))=a3+ αa2+ α²a1 + α³+a0=a0a³+ a1 α² + a2 α
+a3=P3(α) ,
т.е. остаток r=P3(∞)
Из теоремы Безу вытекают следующие практические следствия:
Следствие 1. Если многочлен Pn(x) делится без остатка на двучлен xα,(т.е.r=0) то α является корнем многочлена Pn(x) ,т.е. Pn(α) =0. поэтому
решения уравнения Pn (x)=0 сводится к решению уравнения Pn-1(x) =0 ,
на единицу меньшей степени.
Следствие 2. Если число α является корнем многочлена Pn (x) , то Pn (x)
делится без остатка на двучлен x- α , т.е. в этом случае справедливо
разложение: Pn (x)=(x- α)∙Pn-1 (x) .
Следствие 3. Если многочлен Pn-1 (x) делится без остатка на двучлен xα , то Pn (x)=(x- α)² ∙Pn-2 (x)
Если при этом многочлен Pn-2 (x) не делится на x- α, то число α называют
двукратным корнем многочлена (1) или уравнения (2).
8
Число α называется m-кратным корнем многочлена Pn (x) если Pn
(x)=Pn-m (x) ∙(x- α) в m-ой степени и многочлена Pn-m (x) не делится на
x- -α .
Однократные корни называются простыми, m-кратные корни, при m>1
называются кратными.
Особо отметим: Теорема о целых корнях, заключающая в себе
Если целое число α - корень многочлена с целыми коэффициентами, то
α - делитель его свободного члена.
Доказательство. Пусть:
P (x)=a0xⁿ +a1xⁿֿ¹ +…+an-1x +an−многочлен с целыми коэффициентами и
целое число α −его корень.
Тогда по определению корня выполняется равенство P (α)=0;
a0 αⁿ+a1 αⁿֿ¹+…+an-1 α +an=0
Вынося общий множитель α за скобки, получим равенство:
α(a0 αⁿֿ¹ +a1 αⁿֿ² +…+an-1)+ad=0, откуда
an= -α(a0 αⁿֿ¹ + a1 αⁿֿ² +…+ αn-1)
Так как числа a0, a1,…an-1, an и α −целые, то в скобке стоит целое
число, и, следовательно, an делится, на α, что и требовалось доказать.
Доказанная теорема может быть сформулирована и следующим
образом: всякий целый корень многочлена с целыми коэффициентами
является делителем его свободного члена.
2.Дополнительная теорема о целых корнях
Если целое число α−корень многочлена P(x) с целыми коэффициентами,
то α-1−делитель числа P(1), α+1−делитель числа P(-1)
Доказательство. В самом деле, при a=1, P (α)-P (1),а значит, и P(1)
делится на α-1. Аналогично рассматривается второй случай.
9
На теореме (1) основан алгоритм поиска целых корней многочлена с
целыми коэффициентами: выписать все делители свободного члена и
поочерёдно выписать значения многочленов этих чисел.
В то же время проведение этого алгоритма с вычислительной точки
зрения может показаться достаточно трудным, однако он может быть
существенно упрощён, если применить дополнительное утверждение,
основанное на одной из известных формул сокращённого умножения.
Именно: из тождества
xⁿ-yⁿ=(x-y)(xⁿֿ¹+xⁿֿ²y+…+ xyⁿֿ²+yⁿֿ¹)
вытекает, что для целых чисел b и c число bⁿ-cⁿ делится на b∙c. Но для
любого многочлена P разность
P (b)-P(c)= (a0bⁿ+a1bⁿֿ¹+…+an-1b+an)-(a0cⁿ+a1cⁿֿ¹+…+an-1c+an)=a0(bⁿcⁿ)+a1(bⁿֿ¹-cⁿֿ¹)+…+an-1(b-c)
и, следовательно, для многочлена P с целыми коэффициентами и целых
чисел b и c разность P(b)-P(c) делится на b-c.
Очень частным, но весьма полезным случаем этого утверждения является
теорема 2
Итак, задача нахождения целых корней многочлена с целыми
коэффициентами полностью решена −с помощью теоремы делимости
целых чисел.
A(x)=B(x)*a(x)+R(x)
На самом деле из полученной таблицы, заполненной по схеме Горнера,
можно записать не только остаток, но и неполное частное Q(x)=x38*x2+16*x-32,
так как числа, стоящие во второй сроке (не считая последнего), - это
коэффициенты многочлена Q(x) – неполного частного от деления на x+2.
Действительно произведя деление A(x) на x+2 «уголком», убедимся о
справедливости высказывания:
x4-6x3+8
x4+2x3
x+2
x2-8x2+16x-32 – неполное частное
10
-8x3+8
-8x3-16x2
16x2+8
16x2+32x
-32x+8
-32x-64
72 (остаток)
Например: Докажем, что многочлен A(x)=x4-6x3+7x-392 делится на x-7, и
найдём частное от делителя.
Используя схему Горнера найдём A(x);
1
7 1
-6
1
0 7
7 56
-392
0
A(7)=0, т . е. остаток при делении многочлена на x-7 равен нулю и, значит
многочлен A(x)/(x-7). При этом числа во второй строке таблицы являются
коэффициенты от деления A(x) на x-7, поэтому
A(x)=(x-7)(x3+x2+7x+56).
2. Схема Горнера.
Так называют способ деления многочлена Pn (x)=a 0xⁿ+a 1xⁿֿ¹+a 2xⁿֿ²+…+a n1x+an
на двучлен x- α, довольно легко позволяет выразить коэффициенты
неполного частного
b 0xⁿֿ¹+b 1xⁿֿ²+b 2xⁿֿ³+…+bn-1 и остаток r через коэффициенты многочлена
Pn(x) и число α (смотри доказательство теоремы Безу):
b0=a0, b1= αb0+a1, b2= αb1+a2,…,bn-1= αbn-2+an-1 и r = αbn-1+an
Вычисления по схеме Горнера в виде следующей таблицы:
α
a0
a1
a2
…
an
b0=a0
b1= αb0+a1
b2= αb1+a2
…
r= αbn-1+an
11
Поскольку r=Pn(α), то α−корень уравнения (2). Для того, чтобы проверить
не является ли α кратным корнем, схему Горнера можно применить уже к
частному b 0x+b 1x+…+bn-1 по таблице. Если в столбце под bn-1 получится
снова ноль, значит α−кратный корень.
Найдём остаток от деления многочлена
A(x)=x4-6x3+8 на x+2.
Решение: по теореме Безу остаток от деления на x+2 равен
А(-2)= (-2)4-6(-2)3+8=72.
Удобный способ нахождения значений многочлена при заданном
значении переменной x ввёл английский математик Вильямс Джорж
Горнер (1786-1837). Этот способ в последствии получил название схемы
Горнера. Он состоит в заполнении некоторой таблицы из двух строк.
Например, чтобы вычислить A(-2) в верхней строке таблицы перечисляем
коэффициенты данного многочлена, записанного в стандартной форме x46x3+8=x4-(6)x3+0x2+0x+8. Коэффициенты при старшей степени дублируем
в нижней строке, а перед ним записываем значение переменной x=-2, при
котором вычисляем значение многочлена. Получается следующая
таблица:
-2
1
1
-6
0
0
8
Пустые клетки таблицы заполняем по следующему правилу: крайнее
справа число нижней строки умножается на -2 и складывается с числом,
стоящим над пустой клеткой. По этому правилу в первой пустой клетке
стоит число (-2)1+(-6)=-8, во второй клетке становится число (-2)8+0=16,
в третьей клетке – число (-2)16+0=-2, в последней клетке – число (-2)*(32)+8=72.
Полностью заполненная по схеме Горнера таблица выглядит так:
-2
1
1
-6
-8
0
16
0
-32
8
72
Число в последней клетке и есть остаток от деления на, x+2, A(-2)=72.
12
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ:
1.
Метод введения новой переменной.
Метод введения новой переменной заключается в том, что для решения
уравнения f(x)=0 вводят новою переменную (подстановку) y=q(x) и
выражают f(x) через y, получая новое уравнение φ(y). Решая затем
уравнение φ(y), находят его корни: {y1, y2, … yn.}. После этого получают
совокупность n уравнений q(x)=y1, q(x)=y2, … , q(x)=yn. Из которых
находят корни исходного уравнения.
а) уравнения, приводимые к квадратным
1.1
Биквадратные уравнения.
Уравнения вида ax4+bx2+c=0, где а ≠ 0 называется биквадратным. Для
решения биквадратного уравнения нужно сделать подстановку x2=y,
найти корни y1 и y2 квадратного уравнения и решить уравнения x2=y1 и
x2=y2. Они имеют решения лишь в случае, когда y1 больше либо равно
нулю (соответственно y2 больше либо равно нулю).
Например: 1) x4+5x2-36=0, биквадратное уравнение подстановка x2=y.
Y2+5y-36=0
D=25+144=169, D больше нуля, 2 корня.
Y1=(-5+13)/2=4; y2=(-5-13)/2=-9.
X2=4;
или
X1= 4 ; x2=- 4
X1=2 x2=-2
x2=-9; -9 меньше нуля
корней нет.
Ответ: -2; 2.
2) (2x-1)4-25(2x-1)2+144=0 - биквадратное уравнение
пусть (2x-1)2=y
y2+25y+144=0
y1=16;
y2=9
(2x1)2=16
(2x-1)-42=0
(2x-1)2=9
(2x-1)2-32=0
13
(2x-3)-(2x+3)=0
(2x-4)(2x+2)=0
2x-1=0 или 2x+3=0
2x-4=0 или
x1=2,5
x2=-1,5
2x+2=0
x3=2
x4=-1
Ответ: -1,5; -1; 2; 2,5.
1.2
Уравнения, приводимые к квадратным.
(x+a)n+(x+b)n=c, замена t=x+((a+b)/2)
Например: (x+3)4+(x+1)4=272
Замена: пусть t=x+((3+1)/2); t=x+2; x=t-2
(t-2+3)4+(t-2+1)4=272
(t+1)4+(t-1)4=272
t4+4t3+6t2+4t+1+t4-4t3+6t2-4t+1=272
2t4+12t2-270=0
t4+6t2-135=0
пусть t2=a
a2+6a-135=0
D/4=9+135=144
a1=-3+12=9
a2=-3-9=-15
t2=9
или
t2=-15, -15 < 0, корней нет
t1=3; t2=-3
x=t-2
или
x=t-2
x=3-2
x=-3-2
x=1
x=-5
Ответ: -5; 3
1.3 При решении многих уравнений трудно угадать, какую новую
переменную нужно ввести, чтобы упростить уравнение. Поэтому
14
рассматривают различные виды целых рациональных уравнений, для
упрощения которых известна подстановка.
Уравнения вида:
(x+a)(x+b)(x+c)(x+d)=A, если a+d=b+c или имеется равенство сумм
других пар этих чисел.
Например: (x+2)(x-3)(x+1)(x+6)=-96
(x2+3x+2)(x2+3x-18)=-96
Пусть x2+3x-18=a, тогда
(a+20)a=-96
a2+20a+96=0
D/4=100-96=4
A1=-10+2=-8;
X2+3x-18=-8
a2=-10-2=-12
или
X2+3x-10=0
x2+3x-18=-12
x2+3x-6=0
D=9+40=49
D=9+24=33
X1=(-3+7)/2=2; x2=(-3-7)/2=5; x3=(-3+ 33 )/2; x4=(-3- 33 )/2.
Ответ: 2; -5; (-3+- 33 )/2.
Уравнения вида x4+an-1x4+…+a0=0
1.3
Подстановка x=t/an
Например: 2x3-5x2+1=0.
Пусть x=t/2
2(t/2)3-5(t/2)2+1=0.
2t3/8-5t2/4+1=0.
t3/4-(5t2/4)+1=0.
t3-5t2+4=0
t1=1 – является корнем.
t3-5t2+4
t3-t2
-4t2+4
t-1
t2-4t-4
15
-4t2+4
-4t+4
-4t+4
0
(t-1)(t2-4t-4)=0
t-1=0 или
t=1
t2-4t-4=0
D/4=4+4=8
t1=2+2 2 ; t2=2-2 2
x=t/2 или x=t/2
или
x=t/2
x=1/2
x=(2+2 2 )/2=1+ 2
x=1- 2
Ответ:1/2; 1+ 2 ; 1-. 2
б)Возвратные уравнения.
Алгебраические уравнения вида a0xn+a1xn-1+…+an=0 называют
возвратными уравнениями, если его коэффициенты, одинаково удалены о
начала и от конца, равны между собой (ak=an-1, k=0, 1, … , n).
Примерами таких уравнений являются:
X3-2x2-2x+1=0, a0=a3=1, a1=a2=-2
2x4-3x3+5x2-3x+2=0; a0=a4=2; a1=a3=-3;
1.1 Возвратные уравнения третьей степени имеют вид:
аx3+bx2+bx+a=0
(1)
Группируя первый и последний, второй и третий члены, разложим
выражение в левой части на множители:
a (x3+1)+bx(x+1)=a(x+1)(x2-x+1)+bx(x+1)=(x+1)(ax2-ax+at+bx)=(x+1)(ax2+(b-a)x+a).
Отсюда видно, что одним из корней уравнения (1) является x=-1. Два
других получаются путём решения квадратного уравнения.
Например: 1). 2x3+7x2+7x+2=0 – возвратное, уравнение третьей степени,
т.к. a0= a3 =2; a1=a2=7.
Разложим левую часть на множители:
2(x3+1)+7x(x+1)=2(x+1)(x2-x+1)+7x(x+1)=(x+1)(2x22x+2+7x)=(x+1)(2x2+5x+x)
16
2-й способ деление «углом».
X=±1; x=±2.
Если: x=-1, то +2(-1)3+7(-1)2+7(-1)+2=-2+7-7+2=0 – является корнем.
Разделим многочлен 2x3+7x2+7x+2 на x+1.
2x3+7x2+7x+2
2x3+2x2
5x2+7x
5x2+5x
2x+2
2x+2
0
x+1
2x2+5x+2
Значит 2x3+7x2+7x+7x+2=(x+1)(2x2+5x+2)
(x+1)(2x2+5x+2)=0
или
x+1=0
2x2+5x+2=0
x=-1
D=25-16=9
x1=(-5+3)/4=1/2; x2=(-5-3)/4=-2
Ответ: -2; -1; -1/2.
1.2 Возвратное уравнение 4 степени.
Имеет вид: ax4+bx3+cx2+bx+a=0 (2)
Т.к. a ≠0, то x=0 не является корнем данного уравнения. Поэтому, если
разделить обе части уравнения на x2, получим равносильное уравнение:
а(x2+1/x2)+b(x+1/x)+c=0.
Введём новое неизвестное t, получаем, что t=x+1/x, т.к.
t2=(x+1/x)2=x2+2+1/x2, то x2+1/x2=t2-2.
Следовательно уравнение (2) превращается в квадратное уравнение
относительно t: a(t2-2)+bt+c=0.
Решив это уравнение, найдём его корни t1 и t2, чтобы найти x, необходимо
решить уравнение
x+1/x=t1
и
x+1/x=t2, после чего объединить их корни. Эти уравнения
можно записать так:
x2-t1x+1=0;
x2-t2x+1=0
17
Например: 1). 6x4-35x3+62x2-35x+6=0
(6x4+6)-(35x3+35x)+62x2=0
6 (x4+1)-35 (x3+x)+62x2=0
Разделим обе части на x2;
6 (x2+1/x2)-35(x+1/x)+62=0
пусть t=x+1/x, тогда t2=(x+1/x)2=x2+2+1/x2, то x2+1/x2=t2-2
6(t2+2)-35t+62=0
6t2-12-35t+62=0
6t2-35t+50=0
D=1225-1200=25
t1=(35+5)/12=40/12=10/3;
t2=(35-5)/12=30/12=5/2;
x+1/x=5/2;
2x2-5x+2=0
x+1/x=10/3
3x2-10x+3=0
D=25-16=9
D=100-36=64
x1=(5+3)/4=2; x2=(5-3)/4=1/2; x3=(10+8)/4=3; x4=(10-8)/4=1/3.
Ответ: 1/3; 1/2; 2; 3.
1.3 Аналогично, вводя новую переменную y=x+k/x, можно упрощать
уравнения вида a*x4+b*x3+c*x2+k*b*x+k*a=0 такие уравнения
называются обобщенными возвратными уравнениями четвёртой
степени.
Возвратные a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0=0
а0 /an=λ2
} – возвратные
а1/a3=λ
например:
х4-7x+14x2-23x+16=0
16/1=16=42; -28/7=41
почленное деление на x2.
х4-7x+14x2-28x+16=0: /x2 ≠0
18
х2-7x+14-28/x+16/x2=0
(x2+16/x2)-7 (x+4/x)+1=0
подстановка: x+4/x=a
(x+4/x)2=a2
x2+2x4/x+16/x2=a2
x2+16/x2+8=a2
x2+16/x2=a2-8, тогда
a2-8-7a+14=0
a2-7x+6=0
D=49-24=25
а1=(7+5)/2=6;
a2=(7-5)/2=2, значит
1). x+4/x=6;
2). х+4/x=1
x2-6x+4=0
x2-1x+4=0
D=36-16=20
D=1-16=-15, корней нет
X1, 2=3± 5
Ответ: 3+ 5 ; 3- 5 .
1.4
Возвратные уравнения пятой степени имеет вид:
аx5+bx4+cx3+cx+bx+a=0,
шестой степени:
ax6+bx5+cx4+dx3+cx2+bx+a=0, и т. к.
Леонард Эйлер (1707-1783 г.) доказал, что любое возвратное уравнение
нечётной степени имеет корень -1 и после деления такого уравнения на
x+1 получается уравнение чётной степени, которое тоже будет
возвратным.
аx5+bx4+cx3+cx2+bx+a=(x-1)(ax4+(b-a)x3+(a-b+c) x2+(b-a) x+a).
Каждое возвратное уравнение чётной степени вместе к корнем x=α
содержит и корень x=1/α. Именно поэтому подстановка y=x+1/x
позволяют уменьшить степень возвратного уравнения чётной степени в
два раза.
Например, решая возвратное уравнение шестой степени:
19
ax6+bx5+cx4+dx3+cx2+bx+a=0, разделим обе части уравнения на x3.
т.к. x=0 не является корнем уравнения, то получим:
ax6+bx5+cx4+dx3+cx2+bx+a=0
ax3+bx2+cx+d+c/x+b/x2+a/x3=0
a(x3+1/x3)+b(x2+1/x2)+c(x+1/x)+d=0
Введём новую переменную y=x+1/x,
Тогда x3+1/x3=y3-3*y, x2+1/x2=y2-2
И получим
a(y3-3y)+b(y2-2)+cy+d=0
Например: возвратные пятой степени
а5x5+a4x4+a3x3+a2x+a1x+a0=0
а2/a3=α
а1/a4= α3 }
решаются так: одним из корней является число x=-α
а0/a5= α5
2x5+6x4-2x3+4x2-48x-64=0
а2/a3=4/-2=-2=α
а1/a4=48/6=-8= α3
а0/a5=-64/2=-32= α5
2x5+6x4-2x3+4x2-48x-64
2x5-4x4
10x4-2x3
10x4-20x3
значит возвратное
}
x=-α
x=2
x-2
2x4+10x3+18x2+40x+32
20
18x3+4x2
18x3-36x2
40x2-48x
40x2-80x
32x-64
32x-64
0
2x4+10x3+18x2+40x+32=0
x4+5x2+9x2+20x+16=0:
/2
x ≠0
Получаем возвратное уравнение четной степени:
x2+5x+9+20/x+16/x2=0
(x2+16/x2)+5(x+4/x)+9=0
подстановка x+x/4=a; (x+x/4)2=a2
x2+16/x2+2x4/x=a
x2+16/x2=a2-8
a2-8+5a+9=0
a2+5а+1=0
D=25-4=21
а1, 2=(-5± 21 )/2
x+4/x=(-5+ 21 )/2
или
x+4/x=(-5- 21 )/2
в). Однородные уравнения (метод введения новых неизвестных).
Многочлен от двух переменных x и y такой, что степень каждого его
члена равна одному и тому же числу k, называется однородным
многочленом степени k.
Уравнение вида p(x, y)=0 называется однородным уравнением степени k
относительно x и y если p(x, y) – однородный многочлен степени k.
Однородное уравнение относительно x и y делением на yk (если y=0 не
является корнем уравнения) превращается в уравнение относительно
неизвестного x/ y. Это свойство одного уравнения помогает решать
многие задачи.
Например: (x-1)4+9(x+1)4=10(x2-1)2.
Пусть v=(x+1)2; u=(x-1)2.
21
u2+9v2=10uv – однородное
Пусть a=u/v=(x-1)2/(x+1)2
a2-10a2+9=0
a1=1; a2=9
1). (x-1)2/(x+1)2=1;
x-1/ x+1=-1
x-1/ x+1=3 или x-1/ x+1=-3
x не равен 1
x не равен -1
x не равен 1
x не равен -1
x-1=x+1
x-1=-1(x+1)
x-1=3(x+1)
x-1=-3(x+1)
ox=2
x+x=0
x-3x=3+1
x+3x=-3+1
корней нет
2x=0
x-1/ x+1=1
или
2). (x-1)2/(x+1)2=9
-2x=4
x=0
4x=-2
x=-2
x=-0.5
Ответ:0; -2; -0.5.
2.Метод разложения на множители.
При решении уравнений методом разложения на множители
используется теорема 1.
Уравнение f(x)*φ(x)=0, определённое на всей числовой прямой
равносильно совокупности уравнений f(x)=0 и φ(x)=0.
2.1 Метод группировки.
2x3-3x2-8x-12=0
x2(2x-3)-4(2x-3)=0
(2x-3)(x4-4)=0
(2x-3)(x-2)(x+2)=0
2x-3=0
или
x=1.5
или
x-2=0
x=2
x+2-0
x=-2
Ответ: 1.5; 2; -2.
2.2 Теорема Безу. Поиск целых корней многочлена.
22
При разложении на множители полезно помнить, что если число α
является корнем многочлена р(х), то p(x) делится на x-α, т. е.
представляем в виде p(x)=( x-α)Q(x). Таким образом, зная корень
многочлена, его легко разложить на множители (например разделить p(x)
на x-α «уголком», получим в частном Q(x)). Заметим что «угадать»
корень часто удаётся основываясь на следующем факте. Любой целый
корень многочлена с целым коэффициентами является делителем
свободного члена.
Например:
1)
x3-x2-3x-1=0
Если данное уравнение имеет целый корень, то он является делителем
числа -1, т. е. равен 1 или -1.
p(-1)=(-1)3-(-1)2-3(-1)-1=-1-1+3-1=0
-1 – корень уравнения,
значит левую часть уравнения можно представить в виде произведения
(x-1)p(x), где p(x) – многочлен второй степени. Для того, чтобы найти
многочлен p(x), разделим x3-x2-3x-1 на (x+1).
Деление многочленов выполняется «углом».
x3-x2-3x-1
x3+ x2
-2x2-3x
-2x2-2x
-x-1
-x-1
0
x+1
x2-2x-1
Итак,
x3-x2-3x-1=(x+1)(x2-2x-1),
значит
(x+1)(x2-2x-1)=0
x+1=0
или
x2-2x-1=0
23
x=-1
D=4+4=8
x1=(2+ 8 )/2=(2+2 2 )/2=1+ 2
x2=1-^2
Ответ: -1; 1+ 2 ; 1- 2 .
2.3 Схема Горнера.
Поиск рациональных корней по схеме Горнера.
Например:
1). X8-6x7+9x6-x2+6x-9=0
т.к. a0=1, то рациональными корнями уравнения могут быть только целые
числа, которые являются которые являются делителями свободного члена
an=-9: ±1; ±3; ±9.
1
1
1
1
1
-6 9
-5 4
-4 0
0
4
4
0
4
8
-1
-1
1
1
-6 10
-7 17
-6 10
-23 33
-6 9
0
-39 48≠0
3
3
1
1
-3 1
0 1
-3
0
-3
0
1
1
0
4
12
-1
3
15
6
-9
9
0
24≠0
0
Выводы
1 – корень
1 – простой
корень
-1– корень
-1 – простой
корень
3 – корень
3 – простой
корень
Делители свободного члена: ±1; ±3; ±9.
Если это уравнение имеет целые корни, то все они находятся среди этих
чисел.
Найдем эти корни по схеме Горнера.
Как видно из таблицы:
(x-1)(x+1)(x-3)2(x4+x2+1)=0
x-1=0
x=1
или
x+1=0
x=-1
или
(x-3)3=0 или
x4+x2+1=0
x=3
x2=y
y2+y+1=0
D=1-4=-3
Корней нет
Ответ: -1; 1; 3.
24
2). 4x4+8x3+x2-3x-1=0
делится a0=4; +-1; +-2; +-4.
Делители a4=+-1
Значит, возможно, рациональные корни нужно искать среди чисел a4/a0:
±1; ± 0,5; ±0,25.
По теореме других рациональных корней быть не может.
Числа ±1 не удовлетворяют уравнению.
Проверим остальные числа по схеме Горнера:
4
-1/2 4
-1/2 4
8
6
4
1
-2
-4
3
-2
0
-1
0
Вывод
-1/2 – корень
-1/2 - корень
Дальше схему Горнера можно приостановить, т. к. после двухкратного
деления левой части на (x+1/2) мы получим в частном кратный трёхчлен,
корни которого легко найти.
(x+1/2)2(4x2+4x-4)=0
(x+1/2)2=0
или
4x2+4x-4=0
x2+x-1=0
x=-1/2
D=1+4=5
X1, 2=(-1± 5 )/2
Ответ: -0.5; -0.5-0.5 5 ; -0.5+0.5 5
2.4 Кососимметрические уравнения.
Коэффициенты такого уравнения (нечетной степени ), одинаково удалены
от старшего и свободного членов, противоположные числа.
Такие уравнения можно назвать кососимметрическими. Ясно, что
1-корень такого уравнения. Степень уравнения можно было показать по
схеме Горнера. Но проще решать это уравнение методом группировки
разложением по множителями.
25
Например: 2x3+3x2-3x-2=0
(2x3-2)+(3x2-3x)=0
2(x3-1)+3x(x-1)=0
(x-1)(2(x2+x+1)+3x)=0
x-1=0
или
2(x2+x+1)+3x=0
2x2+2x+2+3x=0
x=1
2x2+5x+2=0
D=25-4*2*2=6
X1=(-5+3)/4=-1/2
X2=(-5-3)/4=-2
Ответ: 1; -2; -1/2.
2.5Симметрические уравнения.
Коэффициенты таких уравнений, одинаково удаленные от концов
многочлена равны. Такие уравнения принято называть симметрическими.
Здесь 1 – очевидный корень.
Решаем это уравнение разложением на множители.
3x3-7x2-7x+3=0
(3x3+3)-(7x2+7x)=0
3(x+1)(x2-x+1)-7x(x+1)=0
(x+1)(3x2-3x+3-7x)=0
(x+1)(3x2-10x+3)=0
x+1=0
x=-1
или
3x2-10x+3=0
D=100-3*3*4=64
x1=(10+8)/6=3;
x2=(10-8)/6=1/3
Ответ: -1; 3; 1/3.
2.6 Почленное деление на переменную.
х4-7x3+14x2-7x+1=0
26
т.к. x=0 – не корень уравнения, то можно обе части уравнения разделить
на x2.
х2-7x+14-7/x+1/x2=0
(x2+1/x2)-7(x+1/x)+14=0
Пусть x+1/x=a; (x+1/x)2=a2
х2+2+1/x2=a2
х2+1/x2=a2-2
a2-2-7x+14=0
a2-7a+12=0
D=49-48=1
a1=(7+1)/2=4;
или
a2=(7-1)=3
x+1/x=4
или
x+1/x=3
D=16-4=12
D=9-4=5
х1=(4+2 3 )=2+ 3
x3=(3+ 5 )/2;
х2=2- 3
x4=(3- 5 )2
Ответ: 2± 3 ; 1.5±0.5 5
ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИЛОЖЕНИЕ.
Решение заданий из следующих учебников :
1). Ершов А. П. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и
геометрии для 9 класса, - 2003г. – М.: «Илекса».
2). Виленкин Н. Я. Учебник для учащихся 9 класса с углублённым
изучением математики. – 2006 – М.: «Просвещение».
№1.
х3+x2-8x+6=0
Делители числа 6: +-1; +-2; +-3; +-6.
P(1)=13+12-8*1+6 – являются корнем.
Делим на x-1.
х3+x2-8x+6
x-1
х3 -x2
х2+2x-6
2x2-8x
27
2x2-2x
-6x+6
-6x+6
0
х3+x2-8x+6=(x-1)(х2+2x-6)
(x-1)(х2+2x-6)=0
x-1=0
или
x=1
х2+2x-6=0
D=4+24=28
x1=(-2+2 28 )/2=(-2+2 7 )/2=-1+ 7
x2=-1- 7
Ответ: -1; -1+ 7 ; -1- 7 .
№2.
х4+x3-4x2-2x+4=0
Делители числа 4: ±1;± 2; ±4.
х1=1;
14+13-4*12-2*1+4=0; 1 – является корнем.
По схеме Горнера.
1
1
1
1
2
-
-
4
2
-
-
2
4
4
0
(x-1)(x3+2x2-2x-4)=0
x=-2;
(-2)3+2(-2)2-2(-2)-4=-8+8+4-4=0; – 2 – является корнем.
По схеме Горнера.
1
-
1
2
0
28
-
-
2
4
-
0
2
2
(x-1)(x+2)(x2-2)=0
или
x-1=0
или
x+2=0
x1=1
x2-2=0
x2=2
x2=-2
x3= 2 ; x4=- 2
Ответ: 1; -2; 2 ; 2 .
№3.
х4-3x3+x-3=0
Делители числа -3: ±1; ±3.
х=1; 14-3*13+1-3 ≠0.
х=-1; (-1)4-3(-1)3-1-3=0; -1 - является корнем.
По схеме Горнера.
1
-
0
1
3
-
1
3
-
1
4
4
3
(x+1)(x3-4x2+4x-3)=0
x=3; 33-4*32+4*3-3=27-36+12-3=0
3 - является корнем.
По схеме Горнера.
1
-
4
4
3
1
-
1
(x+1)(x-3)(x2-x+1)=0
x=-1
или
x-3=0
3
1
x+1=0
-
или
x=3
x2-x+1=0
D=1-4=-3
29
0
0
корней нет
Ответ: -1; 3.
№4.
(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)=-16
(x2+8x+7)(x2+8x+15)=-16
Пусть x2+8x+7=a
а(a+8)+16=0
а2+8a+16=0
(a+4)2=0
a=-4
x2+8x+7=-4
x2+8x+11=0
D=64-44=20
х1, 2=(-8+-2 5 )/2=-4+- 5
Ответ: -4+- 5 .
№5.
(x2-x+1)4-6x2(x2-x+1)2+5x4=0
x=0 – не корень, значит делим на x4
((x2-x+1)/x)4-6((x2-x+1)/x)2+5=0
Пусть ((x2-x+1)/x)2=t
t2-6t+5=0
D=36-20=16
t1=(6+4)/2=5;
t2=(6-4)/4=1
1). ((x2-x+1)/x)2=5
2). ((x2-x+1)/x)2=1
(x2-x+1)/x= 5
x2-x+1=x
x2-x+1=x 5
x2-2x+1=0
x2-(1+ 5 )x+1=0
(x-1)2=0
D=(-1+ 5 )2-4=1+2 5 +5-4= x=1
=2+2 5 =2(1+ 5 )
30
x1, 2=(1+ 5 +-
(2(1+ 5 ))/2
Ответ: 1; (1+ 5 +-
(2(1+ 5 ))/2.
№6.
х4+12x3-15x2-12+1=0
12/(-12)=-1, значит уравнение возвратное.
1/1=1=(-1)2;
Почленно разделим на x2 ≠0.
х2+12x-15-12/x+1/x2=0
(x2+1/x2)+(12x-12/x)-15=0
(x2+1/x2)+12(x-1/x)-15=0
пусть x-1/x=a; (x-1/x)2=a2, тогда
(x2+1/x2)-2х(1/x)=a2
(x2+1/x2)=a2+2
a2+2+12a-15=0
a2+12a-13=0
D=144+52=196
а1=(-12+14)/2=1; a2=(-12-14)/2=-13
x-1/x=1
x-1/x=-13
x2-x-1=0
x2-13x-1=0
D=1+4=5
D=169+4=173
х1, 2=(1+- 5 )/2
x3, 4=(-13+- 173 )/2
Ответ: (1+ 5 -)/2; (-13+- 173 )/2.
№7.
(x2-6x-9)2=x(x2-4x-9)
x2(x-6-9/x)2=x(x-4x-9/x)
(x-6-9/x)=x-4-9/x
пусть (x-4)-9/x=a
(a-6)2=a
a2-13a+3b=0
D=49
а1=8;
a2=5
31
x-9/x=8
x-9/x=5
x2-8x-9=0
x2-5x-9=0
D=64+36=100
D=25+36=61
х1=(8+10)/2=9
x3, 4=(5± 61 )/2
х2=(8-10)/2=-1
Ответ: 9; -1; (5± 61 )/2.
№8.
(x+1)4+(x+3)4=16, замена: t=x+(a+b)/2
пусть t=x+(1+3)/2; t=x+2;x=t-2
(t-2+1)4+(t-2+3)4=16
(t-1)4+(t+1)4=16
t4+4t3+6t2+4t+1+t4-4t3+6t2-4t+1=16
2t4+12t2-14=0
пусть t2=a
2a2+12a-14=0
D=144-4*2(-14)=144+112=256
а1=(-12+16)/4;
t2=1
a2=(-12-16)/2=-28/4=-14
t2=-14; -14 <0 корней нет
t1=1; t2=-1
x=t-2
x=t-2
x=1-2
x=-1-2
x=-1
x=-3
Ответ: -1; -3.
№9.
(x2-x)/(x2-x+1)-(x2-x+2)/(x2-x-2)=1
пусть x2-x=a
a/(a+1)-(a+2)/(a-2)=1
О. З. (a+1)(a-2)
32
a(a-2)-(a+2)(a+1)=(a-2)(a+1)
a2-2a-a2-a-2a-2a-2-a2-a+2a+2=0
-a2-4a=0
a+4a=0
a(a+4)=0
a=0;
a=-4
x2-x=0
x2-x=-4
x(x-1)=0
x2-x+4=0
x=0 или
x-1=0
D=1-16=-15
x=1
D <0, корней нет
Ответ: 0; 1
№10
Выделение квадрата двучлена.
х2+(8+x2)/(x+9)2=40
х2+81x2/(x+9)2+2x(9x/x+9)-2x(9x(x+9))=40
(x-9x(x+9))2+18(x2/x+9)=40
x-(9x/x+9)=(x2+9x-9x)/(x+9)=x2/x+9
(x2/x+9)2+18(x2/x+9)=40
пусть x2/x+9=a
a2+18a-40=0
D=324+160=484
а1=(-18+22)/2=2;
a2=(-18-22)/2=-20
x2/(x+9)=2
x2/(x+9)=-20
x2+-2x-18=0
x+9 ≠0
x2+20x+180=0
x+9 ≠ 0
D=4+72=76
D=400-720=-320, корней нет
X1, 2=(2±2 19 )/2=1± 19
Ответ: 1± 19 .
№11.
33
х2+(x/x-1)2=8
х2+(x/x-1)2+2x(x/x-1)-2x(x/(x-1)=8
(x-x/x-1)2-(x2/х-1)=8
x+(x/x-1)=x2/x-1
(x2/x-1)2-2(x2/x-1)
пусть x/x-1=a
a2-2a-8=0
D=4+32=36
а1=(2+6)/2=4;
a2=(2-6)/2=-2
х2-4x+4=0
x2+2x+2=0
x-1 ≠0
x-1 ≠0
x=2
D=4-8=-4,
корней нет
Ответ: 2.
№12.
х3+1/x3+x2+1/x2+x+1/x=6; x=0 – не корень.
х+1/x=a
(x+1/x)2=a2
x2+1/x2+2x(1/x)=a2
x2+1/x2=x2-2
(x+1/x)3=a3
x3+3x2 (1/x)+3x(1/x2)+1/x3=a3
x3+1/x3=a3-3x-3/x
x3+1/x3=a3-(3x+1/x)
x3+1/x3=a3-3a
a3-3a+a2-2+a-6=0
a3+a2-2a-8=0
делители числа -8: ±1; ±2; ±4.
а1=2; 23+22-2*2-8=0; 2 – корень.
34
Разделим на (a-2)
a3+a2-2a-8
a-2
a3-2a2
а2+3a+4
3a2-2a
3a2-6a
4a-8
4a-8
0
(a-2)(а2+3a+4)=0
или
a-2=0
а2+3a+4=0
D=9-16=-7; корней нет
a=2
x+1/x=2
x2-2x+1=0
(x-1)2=0
x=1
Ответ: 1.
№13.
(x+4)/(x-1)+(x-4)/(x+1)-(x+8)/(x-8)-(x-8)/(x+2)=-8/3
(x-1+5)/(x-1)+(x+1-5)/(x+1)-(x-2+10)/(x-2)-(x+2-10)/(x+2)=-8/3
1+5/(x-1)+1-5/(x+1)-1+10/(x-2)-1-10/(x+2)=-8/3
5/(x-1)-5/(x+1)+10/(x-2)-10/(x+2)=-8/3
5/(x-1)-5/(x+1)=10/(x+2)-10/(x-2)-8/3
10/(x2-1)-40/(x2-4)+8/3=0
Пусть x2=a
О.Д.З.: а≠1;4.
10/(a-1)-40/(a-4)+8/3=0
(4a2-65a+16)/(a-1)(a-4)=0
4a2-65a+16=0
D=3969
а1, 2=(65+-63)/8
35
а1=16;
a2=1/4;
х2=16 ;
x2=1/4;
х1=4; x2=-4; x3=-1/2; x4=1/2.
Ответ: ±4; ±1/2.
№14.
2x/(x2-4x+2)+3x/(x2+x+2)=-5/4
x=0 – не корень
2x/x(x-4+2/x)+3x/x(x+1+2/x)=-5/4
Пусть x+2/x=a
О.Д.З : a ≠ -1; 4
D=729+1040=1769
2/(a-4)+3/(a+1)=-5/4;
8(a+1)+12(a-4)+(5a-20)(a+1)=0
8a+8+12a-48+5a2-20a-20=0
5a2+5a-60=0
a2+a-12=0
D=1+48=49
а1=(-1+4)/2=3;
a2=(-1-7)/2=-4
х+2/x=3
x+2/x=-4
х2-3x+2=0
x2+4x+2=0
D=9-8=1
D=16-8=8
X1=(3+1)/2=2; x2=(3-1)/2=1
x1, 2=(-4±2 2 )/2=-2± 2
Ответ: 1; 2; -2± 2 .
36