08-15-03

08-15-03. Метод исчерпывания.
1. Напомним, что при изучении арифметической прогрессии мы рассматривали
следующую формулу:
n(n  1)(2n  1)
12  22  32    n 2 

6
где n — любое натуральное число. Эта формула часто будет использоваться в
данном параграфе.
2. Построение для параболы у-.х2 на отрезке [0,2] ступенчатой фигуры,
содержащейся в криволинейном треугольнике. Вычисление площади этой ступенчатой
фигуры.
Рассмотрим фигуру F , ограниченную параболой y  x 2 и прямыми y  0 и x  2
(рисунок 1).
Разобьем отрезок [0;2] оси Ox на несколько равных частей, например, на 5 равных
частей, длиной по 52 каждая. Через точки деления x1  52 , x2  54 , x3  65 , x4  85 проведем
вертикальные отрезки до пересечения с параболой (рисунок 2). Тогда A1 B1  x12  ( 52 ) 2 ,
A2 B2  x22  ( 54 ) 2 , A3 B3  x32  ( 56 )2 , A4 B4  x42  ( 85 ) 2 , A5 B5  x52  ( 105 g ) 2 .
Построим состоящую из прямоугольников фигуру F1 , целиком содержащуюся в
фигуре F (рисунок 3). Заметим, что ширина каждого прямоугольника равна 52 . Поэтому
площадь прямоугольника A1B1M1 A2 равна A1 B1  52  ( 52 )2  52 ; площадь прямоугольника
равна
A2 B2 M 2 A3
A2 B2  52  ( 54 ) 2  52 ;
площадь
прямоугольника
A3 B3 M 3 A4
равна
A3 B3  52  ( )  52 ; площадь прямоугольника A4 B4 M 4 A5 равна A4 B4  52  ( )  52 .
6 2
5
8 2
5
Следовательно, площадь S1 фигуры F1 равна сумме
2 2 4 2 6 2 8 2
S1  ( ) 2   ( ) 2   ( ) 2   ( ) 2  
5 5 5 5 5 5 5 5
22 2
 (1  22  32  42 )
53
По формуле из пункта 1 получаем
22 4  5  9 48
S1  3 
 
5
6
25

Так как фигура F содержит фигуру F1 , то площадь фигуры F больше площади
фигуры F1 , то есть
48
 S
25
Построим теперь для фигуры F , изображенной на рисунке 1, состоящую из
прямоугольников фигуру F2 , содержащую фигуру F (рисунок 4).
Аналогично тому, как это сделано в предыдущем пункте, найдем площадь S 2 фигуры
F2 :
2 2 4 2 6 2
S2  ( )2   ( )2   ( )2  
5 5 5 5 5 5
8 2 10 2
( )2   ( )2  
5 5
5
5
22 2
22 5  6 11 88
2
2
2
2

(1

2

3

4

5
)


 
53
52
6
25
Так как фигура F содержится в фигуре F2 , то площадь S фигуры F меньше

площади S 2 фигуры F2 , то есть
S
88

25
В результате для площади S получаем следующие неравенства:
48
88
S 
25
25
88
Выбирая в качестве приближенного значения площади S середину отрезка [ 48
25  25 ] ,
получим S  68
Абсолютная погрешность этого приближенного значения не
25 .
88
4
превосходит половину длины отрезка [ 48
25  25 ] , то есть не больше 5 .
Разбиения отрезка [0;2] на все большее и большее число равных частей позволяют
получать все более точные приближенные значения для площади S рассмотренной
фигуры F .
3.* Обобщим проведенные рассуждения. Выберем произвольное натуральное число
n и рассмотрим для фигуры F разбиение отрезка [0;2] на n равных частей длиной по n2
каждая. Через точки деления
2
4
x1   x2  
n
n
6
2( n  1)
x3   xn 1 
n
n
проведем вертикальные отрезки до пересечения с параболой (рисунок 5). Тогда длины
этих отрезков в порядке возрастания равны:
2
2
2
2
4
6
x12     x22     x32    
n
n
n
 2( n  1) 


 n 
2
 x
2
n 1
Аналогично тому, как это сделано в пункте 2, построим состоящую из
прямоугольников фигуру F1 , содержащуюся в фигуре F (рисунок 6). Площадь S1
фигуры F1 равна сумме
2 2 4 2
 2( n  1)  2
S1            
  
n n n n
 n  n
2
2
2

23 2
(1  22    (n  1) 2 )
3
n
По формуле из пункта 1 имеем
12  22    (n  1) 2 
(n  1)  n(2n  1)

6
Поэтому
S1 

23 (n  1)  n(2n  1)


n3
6
23 
3
1 
 1   2  
3  2n 2 n 
8 4
4
   2
3 n 3n
Так как фигура F содержит фигуру F1 , то для площади S фигуры F выполняется
неравенство
8 4
4
  2  S
3 n 3n
Теперь аналогично тому, как это сделано в пункте 3, построим состоящую из
прямоугольников фигуру F2 , содержащую фигуру F (рисунок 7). Площадь S 2 фигуры
F2 равна сумме
2
2
2 2 4 2
S 2          
n n n n
 2(n  1)  2  2n  2

     
 n  n  n  n
2

2
23 2
(1  22    (n  1) 2  n2 ) 
3
n

23 n  (n  1)(2n  1)


n3
6

23 
3
1 
 1   2  
3  2n 2 n 
8 4
4
   2
3 3 3n
Так как фигура F содержится в фигуре F2 , то для площади S фигуры F
выполняется неравенство
8 4
4
S   2
3 n 3n
В результате мы установили, что при каждом натуральном n для площади фигуры F
выполняются неравенства
8 4
4
8 4
4
  2 S   2
3 n 3n
3 n 3n
Например, при n  100 получаем
8 4
4
8 4
4


S 


3 100 30000
3 100 30000
4.* В предыдущем пункте мы установили, что для площади S рассматриваемой
фигуры F при каждом натуральном n выполняются неравенства
8 4
4
8 4
4
  2 S   2
3 n 3n
3 n 3n
Заметим, что с ростом n слагаемые
4
n
и
4
3n 2
становятся все меньше, приближаясь к
нулю. Отсюда можно сделать вывод, что с ростом n приближенное значение площади
S по недостатку, равное 83  n4  3n42 , приближается к числу 83 . Аналогично можно сделать
вывод, что с ростом n приближенное значение
8
3
 n4  3n42 , также приближается к числу
. Следовательно, число 83 с любой точностью можно брать за приближенное значение
площади S . Но такое возможно только в том случае, когда S  83 .
8
3
5.* Мы рассмотрели фигуру F , ограниченную параболой y  x 2 , прямой y  0 ,
прямой x  2 и получили, что площадь такой фигуры равна 23 .
Возьмем теперь вместо прямой x  2 прямую x  a , где a  0 , и аналогично
предыдущему вычислим площадь фигуры Fa , ограниченной параболой y  x 2 и
прямыми y  0 и x  a . Для этого разобьем отрезок [0 a ] оси Ox на n равных частей
длины an точками
a
2a
x1   x2 

n
n
3
x3 
3a
(n  1)a
 xn 1 

n
n
В результате получаем, что для площади S a фигуры Fa при каждом натуральном n
выполняются неравенства
a3 a3 a3
a3 a3 a3

 2  Sa  


3 2n 6n
3 2n 6n 2
Теперь заметим, что с ростом n слагаемые
a3
2n
и
a3
6 n2
становятся все меньше,
приближаясь к нулю. Отсюда можно сделать вывод, что с ростом n приближенное
3
3
3
3
значение площади S a по недостатку, равное a3  2an  6an2 , приближается к числу a3 .
Аналогично можно сделать вывод, что с ростом n приближенное значение площади S a
с избытком, равное
a3
3
 2an  6an2 , также приближается к числу
3
3
a3
3
. Это означает, что число
a3
3
с любой точностью можно брать за приближенное значение площади S a . Но такое
возможно только в том случае, когда Sa  a3 .
3
6. В общем случае фигуру, ограниченную прямыми y  0 , x  a , x  b и графиком
неотрицательной на отрезке [a b] функции f ( x) , называют криволинейной трапецией.
Приближенные значения площади криволинейной трапеции можно вычислять
аналогично тому, как это рассматривалось в предыдущих пунктах данного параграфа.
Однако получать таким способом точное значение площади криволинейной трапеции
часто очень трудно, потому что приближенные значения мы получаем в виде суммы
большого числа слагаемых. Когда такие суммы удается записать в кратком виде, то и
площадь криволинейной трапеции удается найти точно. В этом пункте рассмотрим, как с
помощью формулы
 n(n  1) 
12  22    n 2  

 2 
вычислить площадь криволинейной трапеции Fa , ограниченной графиком функции
2
y  x 3 и прямыми y  0 , x  a , где a — некоторое положительное число.
Выберем произвольное натуральное число n и разобьем отрезок [0 a ] на n равных
частей длиной an каждая. Через точки деления
a
2a
3a
x1   x2 
 x3   xn 1 
n
n
n
( n  1) a

n
проведем вертикальные отрезки до графика функции и найдем в порядке возрастания
их длины:
3
3
a
 2a 
x     x23     xn31 
n
 n 
3
1
 ( n  1) a 


 n 
3
Построим состоящую из прямоугольников фигуру F1 , содержащуюся в фигуре Fa
(рисунок 11). Площадь S1 фигуры F1 равна сумме
 a  a  2a  a
 (n  1)a  a
S1            
  
n n  n  n
 n  n
3
3

3
a4 3 3
(1  2   
n4
(n  1)3 ) 
a 4 (n  1)2  n 2


n4
4
a4  2 1  a4 a4 a4
 1   2     2 
4  n n  3 2n 4n
Затем построим состоящую из прямоугольников фигуру F2 , содержащую фигуру Fa
(рисунок 12). Площадь S 2 фигуры F2 равна сумме
 a  a  2a  a
 (n  1)a  a
S 2            
  
n n  n  n
 n  n
3
3
3
3
4
 na  a a
    4 (13  23    ( n  1)3  n3 ) 
 n  n n
a 4 (n  1) 2  n 2
 4

n
4

a4  2 1  a4 a4 a4

1   ht    
4  n n 2  4 2n 4n 2
Так как фигура Fa содержит фигуру F1 и содержится в фигуре F2 , то
a4 a4 a4
a4 a4 a4

 2  Sa  


4 2n 4n
4 2n 4n 2
С ростом n слагаемые
a4
2n
и
a4
4 n2
становятся все меньше, приближаясь к нулю.
Поэтому в полученных неравенствах правая и левая чисти приближаются к одному и
4
4
тому же числу a4 . Следовательно, число a4 с любой точностью можно брать за
приближенное значение площади S a . Но это возможно только в том случае, когда
Sa  a4 .
4
7. На практике для приближенного вычисления площадей криволинейных трапеций
применяют различные методы. Один из таких методов, известный как метод трапеций,
проиллюстрируем на примере фигуры F , ограниченной параболой y  x 2 и прямыми
y  0 и x  2 . Как и на рисунке 13, разобьем отрезок на 5 равных частей. Через точки
деления проведем вертикальные отрезки A1 B1 , A2 B2 , A3 B3 , A4 B4 , A5 B5 до пересечения с
параболой y  x 2 и соединим точки O , B1 , B2 , B3 , B4 , B5 отрезками, как на рисунке 13.
Рассмотрим многоугольник OB1B2 B3 B4 B5 A5 . Этот многоугольник содержит фигуру
F и составлен из треугольника OA1B1 и трапеций A1B1B2 A2 , A2 B2 B3 A3 , A3 B3 B4 A4 ,
A4 B4 B5 A5 . Вычислив сумму площадей треугольника и трапеций, получим приближенное
значение с избытком для площади S фигуры F :
1
2 1
2
T  A1B1   ( A1B1  A2 B2 )  
2
5 2
5
1
2
 ( A2 B2  A3 B3 )  
2
5
1
2 1
2
 ( A3 B3  A4 B4 )   ( A4 B4  A5 B5 )  
2
5 2
5
1
 (2 A1 B1  2 A2 B2  2 A3 B3  2 A4 B4  2 A5 B5 ) 
5
1  2
4
6
8
 10 
  2   2   2   2   2 
5   5 
5
5
5
 5
2


2
2
2
2

 

22
(2 12  2  22  2  32  2  42  52 ) 
53
4
4  85 68
 (2  8  18  32  25)  3  
2
5
5
25
Так как точное значение S  83 известно из пункта 3, то мы можем оценить
абсолютную и относительную погрешность найденного приближения.
Абсолютная погрешность
68 8 204  200
4
d  S  T   
 
25 3
3  25
75
Относительная погрешность

d
4 68 1
 
 
T
75 25 51
Заметим, что обычно метод трапеций дает приближенное значение площади гораздо
точнее чем приближенное вычисление через прямоугольники.
Контрольные вопросы
1. Как оценить снизу (с недостатком) площадь криволинейной трапеции?
2. Как оценить сверху (с избытком) площадь криволинейной трапеции?
3. Что происходит с полученными оценками площади криволинейной трапеции при
увеличении числа точек в разбиении данного отрезка?
4. В чем состоит суть метода трапеций для приближенного вычисления площадей?
5. Какие свойства площади использованы в рассуждениях этого параграфа?
Задачи и упражнения
1. Рассмотрите прямую y  x на отрезке (0;1) и найдите площадь получившегося
треугольника методом исчерпывания.
Сравните ответ с числом 12 , которое получается по формуле площади треугольника.
2. Чему равна площадь фигуры, ограниченной параболой y  x 2 и прямыми y  0 и y  1 ?
3. Как, используя результат задачи 2, найти площадь фигуры, ограниченной кривой
y  x и прямыми x  0 , y  0 и y  1 ?
4. Как, используя результаты задач 2 и 3, найти площадь фигуры, ограниченной кривыми
y  x2 и y  x ?
5. Известно, что равенство
n2 (n  1)2
1  2    n 
4
выполняется при n  99 . Докажите, что тогда при n=100 равенство также выполняется.
6. С помощью формулы из задачи 5 для суммы 13  23    n3 найдите площадь фигуры F ,
ограниченной кривой y  3 x и прямыми:
а) x  0 , y  0 и y  1 ;
б) x  0 , y  0 и y  8 ;
в) x  0 , y  1 и y  8 .
Как получить ответ в пункте в), используя результаты пунктов а) и б)?
3
3
3
Ответы и указания к решению наиболее трудных задач.
Задача 2. Указание. Данная фигура является частью квадрата, ограниченного прямыми
x  0 , x  1 , y  0 , y  1 . Остальной частью этого квадрата является криволинейная
трапеция, площадь которой была вычислена в тексте параграфа.
Задача 3. Указание. Фигура, рассматриваемая в этой задаче, равна той фигуре, которая
была в задаче 2.
Задача 4. Указание. Квадрат, ограниченный прямыми x  0 , x  1 , y  0 , y  1 ,
разбивается указанными кривыми на три части, две из которых равны. Площадь части,
ограниченной кривой y  x 2 и прямыми y  0 , x  1 , вычисляется как площадь
криволинейной трапеции.
992 1002
Задача 5. Указание. Предположим, что верно равенство
13  23  … 993 

4
2
2
2
Тогда
13  23  … 993  1003  99 4100  1003  1004  (992  400) 
 1004  (1002  2 100  1  4 100)  1004  (1002  2 100  1)  100 4101 .
Задача 6. Указание. а) Квадрат, ограниченный прямыми
x0,
x  1,
3
y  0 , y  1 , разбивается кривой y  x на две части, одна из которых равна
криволинейной трапеции с границей y  x 3 на отрезке [01] ;
б) прямоугольник, ограниченный прямыми x  0 , x  512 , y  0 , y  8 , разбивается
2
2
2
2
кривой y  3 x на две части, одна из которых равна криволинейной трапеции с границей
y  x 3 на отрезке [0;512];
в) из фигуры, заданной в этом пункте, и фигуры, заданной в пункте а), составляется
фигура, которая задана в пункте б).