Математика 5 класс Сколько весит один утенок.

Математика
5 класс
1. Четыре утенка и пять гусят весят 4 кг 100 г, а пять утят и четыре гусенка весят 4 кг.
Сколько весит один утенок.
2. Папа, Маша и Яша вместе идут в школу. Пока папа делает 3 шага, Маша делает 5 шагов.
Пока Маша делает 3 шага, Яша делает 5 шагов. Маша и Яша посчитали, что вместе они
сделали 400 шагов. Сколько шагов сделал папа?
СИНИЦА
3. Расшифровать числовой ребус: 
СИНИЦА
ПТИЧКИ .
4. Некоторые жители Острова Разноцветных Лягушек говорят только правду, а остальные
всегда лгут. Трое островитян сказали так:
Бре: На нашем острове нет синих лягушек.
Ке: Бре лгун. Он же сам синяя лягушка!
Кекс: Конечно, Бре лгун. Но он красная лягушка.
Водятся ли на этом острове синие лягушки?
5. В клетках квадрата переставьте числа так, чтобы их сумма по любой вертикали,
горизонтали и диагонали была одна и та же.
6. Просыпаясь, каждое утро в 8.30, истопник набивает печку углем до упора. При этом он
кладет ровно 5 кг угля. Каждый вечер, ложась спать(а ложится он также в одно и то же
время), он опять набивает печку углем до упора и кладет при этом ровно 7 кг угля. В какое
время истопник ложится спать?
6 класс
1.Решить числовой ребус:
ПЧЕЛКА 7  ЖЖЖЖЖЖ
2.17 учеников собрали 100 арбузов. Доказать, что какие-то два из них собрали одинаковое
число арбузов
3.Найти наименьшее число, которое при делении на 2 дает остаток 1, при делении на 3 – 2, на 4
– 3, на 5 – 4, на 6 – 5, 7 – 6, на 8 – 7, на 9 – 8, на 10 – 9.
4.Папа, Маша и Яша вместе идут в школу. Пока папа делает 3 шага, Маша делает 5 шагов.
Пока Маша делает 3 шага, Яша делает 5 шагов. Маша и Яша посчитали, что вместе они
сделали 400 шагов. Сколько шагов сделал папа?
5.Волшебным считается момент, в который число минут на электронных часах совпадает с
числом часов. Чтобы сварить волшебное зелье, его надо и поставить на огонь, и снять с огня в
волшебные моменты. А чтобы оно получилось вкусным, его надо варить от полутора до двух
часов. Сколько времени варится вкусное волшебное зелье?
6. Одноклассники Аня, Боря и Вася живут на одной лестничной клетке. В школу они идут с
постоянными, но различными скоростями, не оглядываясь и не дожидаясь, друг друга. Но если
кто-то из них успевает догнать другого, то дальше он замедляется, чтобы идти вместе с тем, кого
догнал.
Однажды первой вышла Аня, вторым Боря, третьим Вася, и какие-то двое из них пришли в
школу вместе. На следующий день первым вышел Вася, вторым Боря, третьей Аня. Могут ли
все трое прийти в школу вместе?
7 класс
1. Вычислить значение 3x 4  2 y 4  5x 2 y 2  y 2 , если x 2  y 2  1 .
2. Ученику прислали задание, состоящее из 20 задач. За каждую верно решенную задачу ему
ставят 8 баллов, а за каждую неверно решенную – минус 5 баллов, за задачу, которую он не брался
решать – 0 баллов. Ученик получил в сумме 13 баллов. Сколько задач он брался решать?
3. Торт имеет форму равнобедренной трапеции, у которого
верхнее основание и боковые стороны в 2 раза меньше нижнего
основания. Можно ли торт разделить на 4 равные части?
4. Решить числовой ребус:
КОКА
 КОЛА .
ВОДА
5. Дама сдавала в багаж: диван, чемодан, саквояж, корзину, картину, картонку и малень-кую
собачонку. Диван весил столько же, сколько чемодан и саквояж, вместе взятые, и столько же,
сколько картина, корзина и картонка, вместе взятые. Картина, корзина и картонка весили поровну
и каждая из них больше, чем собачонка. Когда выгружали багаж, дама заявила, что собака не той
породы. При проверке оказалось, что собака перевешивает диван, если к ней на весы добавить
саквояж и чемодан. Покажите, что в претензиях дама справедлива.
6. В некотором году три месяца подряд содержали всего 4 воскресенья. Какие это месяцы?
8 класс
1. Ученик за 5 лет изучил 31 предмет. В каждом следующем году он изучал предметов
больше, чем в предыдущем, а на 5 году изучил втрое больше предметов, чем на первом. Сколько
предметов он изучил на 4 году?
2. Заменить буквы цифрами так, чтобы равенство ВЕСЫ=(В+Е+С+Ы)4 оказалось верным.
3. В коробке находится 30 черных и белых шаров. Определить, сколько белых и сколько
черных шаров в коробке, если среди любых 12 шаров хотя бы 1 белый, а среди любых 20 шаров
хотя бы 1 черный.
4. Доказать, что выражение 48n  2  6 n  13n кратно 7 при любом целом неотрицательном n .
5. Показать, что площадь прямоугольного треугольника с острым углом в 15
составляет восьмую часть квадрата гипотенузы.
6. Известно,
что
положительные числа a, b, c удовлетворяют неравенству
Пусть число x равно отношению наибольшего из чисел a, b, c к
наименьшему числу. Найдите наименьшее возможное значение x.
a 2  b2  c 2  2(ab  bc  ac) .
9 класс
1. По определению, n ! = 1 · 2 · 3 · … · n . Какой сомножитель нужно вычеркнуть из
произведения 1! · 2! · 3! · … · 20!, чтобы оставшееся произведение стало квадратом некоторого
натурального числа?
2. Доказать, что tg127  30' 6  3  2 есть целое число.
3. Решить уравнение 5  5  x  x .
4.
Найдите многочлен с целочисленными коэффициентами, корнем которого является число
√2 +√3.
5. Угол между радиусом АО окружности, описанной около треугольника АВС, и стороной АС
равен 400. Найдите угол А треугольника АВС, если угол С равен 300.
6. Известно, что положительные числа a, b, c удовлетворяют неравенству a 2  b2  c2  2(ab  bc  ac) .
Пусть число x равно отношению наибольшего из чисел a, b, c к наименьшему числу. Найдите
наименьшее возможное значение x.
10 класс
1. Решить уравнение x4– 4x3 + 12x2 – 24 x +24 = 0.
2. Дан многочлен 2011-й степени f(x) с целочисленными коэффициентами. Докажите, что
существует не менее 2011 различных простых чисел таких, что для каждого из них существует
целое число x0 такое, что f(x0) делится на это простое число.
3. Хорда удалена от центра окружности на расстояние h. В каждый из двух сегментов круга,
стягиваемый этой хордой, вписан квадрат так, что пара его соседних вершин лежит на хорде, а
другая пара соседних вершин – на соответствующей дуге окружности. Найдите разность длин
сторон квадратов.
4. Назовем натуральные числа «близкими», если их десятичная запись содержит одно и то
же число значащих цифр и отличается ровно в одном разряде на величину, по модулю равную
1. Докажите, что если трехзначное число не начинается с 1 и не содержит в своей записи
нулей и девяток, то либо оно само, либо одно из близких ему чисел, делится на 7.
1 2 3
2010
   ... 
.
2! 3! 4!
2011!
6. Найти все тройки чисел a, b, c  N , являющихся длинами сторон треугольника с диаметром
описанной окружности, равными 6,25.
5. Вычислить
11 класс
1. Найти функцию f ( x ) , удовлетворяющую уравнению
1
1
5 f ( x)  3 f ( ) 
, где x  0 .
x
x
2. Дан многочлен 2011-й степени f(x) с целочисленными коэффициентами. Докажите, что
существует не менее 2011 различных простых чисел таких, что для каждого из них
существует целое число x0 такое, что f(x0) делится на это простое число.
3. Существует ли многогранник (не обязательно выпуклый), у которого столько же ребер,
вершин и граней, сколько их у куба, но у которого нет четырехугольных граней?
4. В каждую клетку квадратной таблицы 25 x 25 вписано произвольным образом одно из
чисел 1 или -1. Под каждым столбцом пишется произведение всех чисел, стоящих в этом
столбце. Справа от каждой строки пишется произведение всех чисел, стоящих в этой
строке. Докажите, что сумма 50 написанных произведений не может оказаться равной
нулю.
5. В пространстве даны девять точек с целочисленными координатами. Докажите, что
середина хотя бы одного из отрезков с концами в этих точках имеет целочисленные
координаты.
6. Изобразить на координатной плоскости  p; q  все точки с координатами  p; q  , для
которых имеет решение уравнение cos2 x  p cos x  q  0 , и все его положительные
решения образуют арифметическую прогрессию.
Ключи
5 класс
Решение № 1. Условие задачи коротко запишем так:
4 у  5г  4100 ,
5 у  4 г  4000 .
Вес 9 утят и 9 гусят будет равен 8100 г, значит вес 1 утенка и 1 гусенка равен 8100:9=900 г,
тогда вес 4 утят и 4 гусят будет 3600 г. Сравнение полученного результата со вторым условием
показывает, что 1 утенок весит 4000-3600=400. Ответ. 400 г. ( 5 баллов)
Решение № 2. По условию, пока папа делает 3 шага, Маша делает 5 шагов, значит, пока
папа делает 9 шагов, Маша делает 15 шагов. Пока Маша делает 15 шагов, Яша делает 25 шагов
(оба числа в 5 раз больше, чем данные в условии задачи). Значит, пока папа делает 9 шагов, Маша
с Яшей вместе делают 40 шагов. По условию задачи они вместе прошли 400 шагов, то есть в 10
раз больше, чем 40. Значит, и папа пройдет в 10 раз больше, то есть 90 шагов. ( 6 баллов)
№ 3 Ответ. 
342457
.
342457
684914
(5 баллов)
Решение № 4.
Ке и Кекс, говоря о цвете Бре, противоречат друг другу, значит, по крайней мере один из них
лжец. Следовательно, высказывание «Бре – лгун» неверно. Значит, Бре всегда говорит правду,
и на острове нет синих лягушек. Ответ. Не водятся. (8 баллов)
Решение № 5.
( 6 баллов)
Решение № 6. Так как утром в печку влезает 5 кг угля, а вечером – уже 7 кг, то за время
бодрствования истопника сгорает 7 кг угля (5 кг тех, которые были положены утром, и ещё 2
кг, уже лежащие в печке). Вечером в печку кладут 7 кг, следовательно, за время сна 5 кг из них
(чтобы утром можно было положить ровно 5 кг угля).
Таким образом, моменты засыпания
и пробуждения истопника делятся на две части, длины которых относятся как 7 к 5. Пусть 7 x
часов истопник бодрствует, а 5 x часов – спит. Тогда 12 x =24, откуда x =2. Таким образом,
истопник бодрствует 14 часов, следовательно, он ложится спать 22 часа 30 минут.
Ответ. 22.30. ( 8 баллов)
6 класс
№ 1 Ответ. 142857  7=999999.
( 5 баллов)
Решение №2. Допустим обратное, т.е. ученики собрали разное количество арбузов, тогда они
собрали всего не больше, чем 0  1  2  ...  15  16  136  100 . Получили противоречие, что и
доказывает утверждение задачи (8 баллов)
Решение № 3. Если прибавить к исходному числу 1, то полученное число будет делиться на 2, на
3, на 4, на 6, на 7, на 8, на 9, на 10. Таким наименьшим числом является 10  9  7  4  2520 . Значит
искомое число 2519.
Ответ. 2519.
(6 баллов)
Решение № 4. По условию, пока папа делает 3 шага, Маша делает 5 шагов, значит, пока папа
делает 9 шагов, Маша делает 15 шагов. Пока Маша делает 15 шагов, Яша делает 25 шагов (оба
числа в 5 раз больше, чем данные в условии задачи). Значит, пока папа делает 9 шагов, Маша с
Яшей вместе делают 40 шагов. По условию задачи они вместе прошли 400 шагов, то есть в 10 раз
больше, чем 40. Значит, и папа пройдет в 10 раз больше, то есть 90 шагов.
Ответ. 90 шагов.
(6 баллов)
Решение № 5. Число часов на электронных часах равно числу минут 23 раза в сутки: 00:00, 01:01,
02:02, …, 21:21, 22:22, 23:23.
Если мы находимся в пределах одних суток, то разница между этими числами равно либо 1 часу 1
минуте, либо 2 часам 2 минутам и так далее. То есть, если зелье варится без «перехода через
полночь», то оно не может быть вкусным. При «переходе через полночь» можно двумя способами
получить разницу времени от полутора до двух часов: 1) если начать в 22:22 и закончить 00:00; 2)
если начать в 23:23 и закончить в 01:01. В обоих случаях зелье нужно варить 1 час 38 минут.
Ответ. 1 час 38 минут. (8 баллов)
Решение № 6. Пусть Аня ходит медленнее Бори, а Вася намного медленнее их обоих. Тогда в
первый день Боря догонит Аню, дальше они пойдут со скоростью Ани, но медленный Вася их
все равно не догонит. На следующий день Боря догонит Васю, поэтому дальше они пойдут с
его скоростью, после чего их может догнать Аня, ходящая быстрее Васи.
Ответ: да, могут. (10 баллов)
7 класс
Решение № 1.
3x 4  2 y 4  5 x 2 y 2  y 2  3x 4  3x 2 y 2  2 x 2 y 2  2 y 4  y 2  3 x 2 ( x 2  y 2 )  2 y 2 ( x 2  y 2 )  y 2 
 3x 2  2 y 2  y 2  3.
Ответ. 3.
(5 баллов)
Решение №2 . Пусть х – количество правильно решенных задач, y – неправильно решенных.
Тогда 8х-5у=13. Переписав это уравнение в виде
8(х+у)=13(1+у),
мы видим, что число х+у делится на 13. С другой стороны, по условию х+у не больше 20.
Поэтому х+у=13.
Ответ.13 (7 баллов)
Решение № 3
Ответ. Можно.
Решение №4
(5 баллов)
( 5 баллов)
3930
Ответ.  3980 .
7910
Решение № 5. Обозначим массы предметов их первыми буквами: Д (диван), Ч (чемодан), С
(саквояж), К (картина, корзина и картонка), а массу маленькой собачки – М. Из условия задачи
Д=Ч+С (1); Д=3К (2); К>М(3); М+С>Д (4); М+Ч>Д (5). Сложив неравенства (4) и (5) и
воспользовавшись уравнением (1), найдем, что 2M>Д; с другой стороны, подставив условие (3) в
(2), найдем, что Д>3М. Эти неравенства противоречивы, получается, что 2М >3М.
( 10 баллов)
Решение №6. Из условия следует, что указанные три месяца содержали 12 воскресений. А
поскольку один из любых семи подряд идущих дней является .воскресеньем, то эти месяцы
насчитывали вместе меньше, чем 13  7  91 день. Остается заметить, что любые три подряд
идущих месяца, среди которых нет февраля, насчитывают вместе не меньше, чем 91 день.
Ответ. Декабрь, январь, февраль; январь, февраль, март; февраль, март, апрель ( 8 баллов)
8 класс
Решение №1: Пусть xi - количество предметов, изученных на i -том году. Тогда
x5  3x1 , x1  x2  x3  x4  x5 .
Оценим сумму x1  x2  x3  x4  x5 снизу:
31  x1  x2  x3  x4  x5  x1   x1  1   x1  2   x1  3  3x1  7 x1  6 , откуда x1 
25
.
7
А теперь сверху: 31  x1  x2  x3  x4  x5  x1   3x1  3   3x1  2   3x1  3  3x1  13x1  6, то
есть x1 
37
.
13
Таким образом, x1  3, x5  9 и x1  x2  x3  19, 3  x2  x3  x4  9 . Простейший перебор
позволяет сделать вывод, что существует только 2 возможности:
x2  4, x3  7, x4  8 и x2  5, x3  6, x4  8 .
Ответ: x4  8 . ( 5 баллов)
Решение №2. Поскольку четвертая степень числа x =В+Е+С+Ы является четырехзначным
числом, то само число x , то само число x не меньше 6 и не больше 9, так что ВЕСЫ – одно из
чисел 1296, 2401, 4096, 6561. Перебором получаем, что 2401 удовлетворяет данному условию.
Ответ. 2401. ( 6 баллов)
 x  y  30,

Решение №3. Пусть x – белых
и y – черных шаров, тогда  x  19,
 y  11.

 x  30  y ,
 x  30  y  30  11  19  x  19,

x  19.
  y  11, 

x  19.
 x  19.
 x  19. 

Ответ. 19 белых и 11 черных шаров. ( 6 баллов)
Решение №4. Перепишем выражение в виде 6n (8n  1n )  (13n  6n ). Поскольку разность
одинаковых степеней делится на разность их оснований, выражение кратно 7.
( 8 баллов)
Решение №5. Пусть ВС= a , АС= b , АВ= с . B  15 , тогда a  c cos 15 , b  c sin 15 .
S ACB 
1
1
1
1
ab  c 2 sin 15 cos 15  c 2 sin 30  c 2 . ( 7 баллов)
2
2
4
8
Решение № 6. Пусть a  b  c . Перепишем неравенство в виде a 2  2(b  c)a  b2  c 2  2bc  0 .
Корнями
квадратного
уравнения
являются
числа
a 2  2(b  c)a  b2  c 2  2bc  0
a1,2  b  c  (b  c)2  b2  2bc  b  c  2 bc  ( b  c )2 . Следовательно, либо
либо a  ( b  c ) 2 .
a  ( b  c )2 ,
Поскольку ( b  c ) 2  b то a  ( b  c ) 2  (2 c ) 2  4c и x 
Значение x  4 достигается, например, при a  4, b  1, c  1 .
Ответ. 4 ( 10 баллов)
a
 4.
c
9 класс
Решение № 1. Заметим, что1! · 2! · 3! · 4! ·…· 20! = (1! · 2!) · (3! · 4!) ·…· (19! · 20!) =
= (1! · 1! · 2) · (3! · 3! · 4) · (5! · 5! · 6) ·…· (17! · 17! · 18) · (19! · 19! · 20) =
= (1!)2 · (3!)2 · (5!)2 ·…· (19!)2 · (2 · 4 · 6 · 8 ·…· 18 · 20) =
= (1!)2 · (3!)2 · (5!)2 ·…· (19!)2 · (2 · (2 · 2) · (3 · 2) ·…· (10 · 2)) =
= (1! · 3! ·…· 19!)2 · 210 · (1 · 2 · 3 ·…· 2 · 10) = (1! · 3! ·…· 19!)2 (25)2 · 10! Мы видим, что первые два
множителя – квадраты, поэтому, если вычеркнуть 10!, то останется квадрат. Таким образом,
вычеркивание других множителей, указанных в ответах, не дает желаемого результата. Ответ: 10!
( 5 баллов)
Решение № 2. Заметим, что tg12730'  tg(180  5230' )  tg5230'.
Используя формулу tg
cos(60  45 )  1
x 1  cos x

, получим tg12730'  tg52 30' 

2
sin x
sin( 60  45 )
2
6

1
cos 60 cos 45  sin 60 sin 45  1
4
4


 3  2  6  2 . Тогда исходное выражение
sin 60 cos 45  cos 60 sin 45
6
 2
4
примет вид tg127  30' 6  3  2  3  2  6  2  6  3  2  2 , ч.т.д. (6 баллов)




 x  0,
 x  0,


Решение № 3: Уравнение равносильно системе 
 
2
2
5  5  x  x ;
 5  x  x  5.


Так как при x  0 функция y  x 2  5 монотонна, то она имеет обратную функцию
y  5  x . Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой y  x (и все
их общие точки лежат на этой прямой), поэтому x  x 2  5 , откуда x 
x  0, получаем x 
1  21
1  21
. Ответ: x 
.
2
2
1  21
. Учитывая условие
2
(9 баллов)
Решение № 4. Обозначим √2 + √3 =a. Тогда a2 = 5 + 2√6, а (a2 – 5)2 = (2√6)2или a4 – 10a2 + 25 = 24,
которое равносильно a4 – 10a2 + 1 = 0. А это и означает, что, а является корнем многочлена x4 –
10x2 + 1.
Ответ: x4 – 10x2 + 1. (6 баллов)
Решение № 5:
В
В
С
А
А
О
O
О
D
D
С
Рис. 1
Рис.2
Может быть один из следующих случаев:
1) АО и АВ по одну сторону от АС (рис.1). Проведем диаметр AD, тогда, очевидно:
1
САD  400 , ACB  300 ,   DC  800 ,  AB  600 ,  BAC  1800  800  600   200 АО и
2
АВ по разные стороны от АС (рис.2).
1
ACB  300   AB  600 ,  BAD  1800  600   600 , BAC  600  400  1000
2
Ответ: 200 или 1000 . ( 7 баллов)
Решение № 6. Пусть a  b  c . Перепишем неравенство в виде a 2  2(b  c)a  b2  c 2  2bc  0 .
Корнями
квадратного
уравнения
a 2  2(b  c)a  b2  c 2  2bc  0
являются
a1,2  b  c  (b  c)2  b2  2bc  b  c  2 bc  ( b  c )2 . Следовательно, либо
либо a  ( b  c ) 2 .
a  ( b  c )2 ,
Поскольку ( b  c ) 2  b то a  ( b  c ) 2  (2 c ) 2  4c и x 
Значение x  4 достигается, например, при a  4, b  1, c  1 .
Ответ. 4
числа
a
 4.
c
(10 баллов)
10 класс
Решение № 1. Уравнение x4 – 4x3 + 12x2 – 24x + 24 = 0 преобразовать к виду (x2 – 2x)2 + 8(x –
1,5)2 + 6 = 0, которое не имеет решений.
Ответ. Нет решений. (5 баллов)
Решение № 2. Докажем от противного. Допустим, что количество таких простых чисел
ограничено, в частности, меньше 2011. Тогда любое значение многочлена представимо в виде
произведения 2010 различных простых чисел в некоторых степенях:
n2009
n2010
f ( x )  p1n1  p2n2  ... p2009
 p2010
, где p1 , p2 ,... p2010 – различные простые числа, не зависящие
от x ; n1 , n2 ,...n2010 – целые неотрицательные числа (могут быть нулями). Пусть
f ( x )  a 2011  x 2011  a 2010  x 2010  ...a 2  x 2  a1  x  c .
Возможны два случая.
1) c  0 . Тогда f ( x )  a 2011  x 2011  a 2010  x 2010  ...a 2  x 2  a1  x 
 x ( a 2011  x 2010  a 2010  x 2009  ...a 2  x  a1 ) . Многочлен может делиться на любое простое
число, достаточно взять число x , равное этому числу.
2) c  0 .
Будем рассматривать только те x , которые а) делятся на с б) больше максимального корня
многочлена, так что f ( x )  0 .
n2009
n2010
a2011  c 2011  y 2011  a2010  c 2010  y 2010  ...  a1  c  y  c  p1n1  p2n2  ... p2009
 p2010
.
Вынесем с за скобку:
n2009
n2010
с( a2011  c 2010  y 2011  a2010  c 2009  y 2010  ...  a1  y  1)  p1n1  p2n2  ... p2009
 p2010
. Так как
значение выражения, стоящего в скобках, всегда целое число, правая часть равенства должна
делиться на с . При делении на с справа остается такое же произведение простых чисел, только
показатели степеней изменяется.
n '2009
n '2010
a2011  c 2010  y 2011  a2010  c 2009  y 2010  ...  a1  y  1  p1n1 '  p2n2 '  ... p2009
 p2010
. Возьмем
y  p1  p2  ...  p2009  p2010 . Тогда левая часть равенства не будет делиться на все p i . Так как правая
часть делиться на все p i , получаем противоречие. (10 баллов)
Решение № 3. Обозначим длины сторон большого и малого квадратов через 2х и 2у
соответственно, радиус окружности – через R. Тогда расстояния от центра окружности до
вершин вписанных квадратов, лежащих на окружности дают выражения (2 – h)2 + x2 = R2, (2y
+ h)2 + y2 = R2. Отсюда получим x - y = (4/5)h. Тогда, разность длин сторон квадратов будет
равна (8/5)h.
Ответ. (8/5)h. ( 6 баллов)
Решение № 4: Пусть а – данное трехзначное число. Так как по условию оно не начинается
с 1 и не содержит в своей записи нулей и девяток, то «близкими» для него числами будут числа
a  1, a  1, a  10, a  10, a  100, a  100 . Все эти числа и число а имеют разные остатки при
делении на 7, среди них есть остаток 0, а значит, одно из этих чисел делится на 7, что и
требовалось доказать. (8 баллов)
n
(n  1)  1 1
1
,тогда данное выражение примет вид

 
(n  1)! (n  1)!
n ! (n  1)!
1
Ответ. 1 
(5 баллов)
2011!
Решение № 5. Поскольку
1
1
.
2011!
Решение № 6. Пусть a, b, c  N – длины сторон треугольника с диаметром 2 R  6,25
1
описанной окружности. Пусть S – площадь и p  ( a  b  c ) – полупериметр треугольника.
2
abc
 abc  4RS 
Заметим, что a, b, c  2R , тогда a, b, c  {1;2;3;4;5;6} . Известно, что S 
4R
abc 2  4 RS 2  p( p  a )( p  b)( p  c)4 R 2 откуда
64a 2 b 2 c 2  625(a  b  c)( a  b  c)( b  c  a )( a  c  b) . Значит, число 64a 2 b 2 c 2 делится на 625,
тогда, по крайней мере два из трех чисел a, b, c равны 5. Пусть для определенности a  b  5 ,
тогда имеем: 64c 2  (10  c)c 2 (10  c) т.е. c  6 . Итак, имеем тройку чисел (5;5;6),
удовлетворяющие условию задачи.
Ответ. (5;5;6).
( 8 баллов)
11 класс
1
1
получим 5 f ( )  3 f ( x )  x , где x  0 . Решая полученное
x
x
1
уравнение с данными, имеем систему относительно f ( x ) и f ( ) :
x
Решение № 1. Заменяя x на
1
1

5 f ( x )  3 f ( x )  x
.

 5 f ( 1 )  3 f ( x)  x
x

Умножим обе части первого уравнения на 5, а второго на (-3), затем почленно сложим и
5  3x
5  3x
получим f ( x ) 
. Ответ. f ( x ) 
(5 баллов)
16 x
16 x
Решение № 2. . Докажем от противного. Допустим, что количество таких простых чисел
ограничено, в частности, меньше 2011. Тогда любое значение многочлена представимо в виде
произведения 2010 различных простых чисел в некоторых степенях:
n2009
n2010
f ( x )  p1n1  p2n2  ... p2009
 p2010
, где p1 , p2 ,... p2010 – различные простые числа, не зависящие
от x ; n1 , n2 ,...n2010 – целые неотрицательные числа (могут быть нулями). Пусть
f ( x )  a 2011  x 2011  a 2010  x 2010  ...a 2  x 2  a1  x  c .
Возможны два случая.
1) c  0 . Тогда f ( x )  a 2011  x 2011  a 2010  x 2010  ...a 2  x 2  a1  x 
 x ( a 2011  x 2010  a 2010  x 2009  ...a 2  x  a1 ) . Многочлен может делиться на любое простое
число, достаточно взять число x , равное этому числу.
2) c  0 .
Будем рассматривать только те x , которые а) делятся на с б) больше максимального корня
многочлена, так что f ( x )  0 .
n2009
n2010
a2011  c 2011  y 2011  a2010  c 2010  y 2010  ...  a1  c  y  c  p1n1  p2n2  ... p2009
 p2010
.
Вынесем с за скобку:
n2009
n2010
с( a2011  c 2010  y 2011  a2010  c 2009  y 2010  ...  a1  y  1)  p1n1  p2n2  ... p2009
 p2010
. Так как
значение выражения, стоящего в скобках, всегда целое число, правая часть равенства должна
делиться на с . При делении на с справа остается такое же произведение простых чисел, только
показатели степеней изменяется.
n '2009
n '2010
a2011  c 2010  y 2011  a2010  c 2009  y 2010  ...  a1  y  1  p1n1 '  p2n2 '  ... p2009
 p2010
. Возьмем
y  p1  p2  ...  p2009  p2010 . Тогда левая часть равенства не будет делиться на все p i . Так как правая
часть делиться на все p i , получаем противоречие. (9 баллов)
Решение № 3. Достаточно «выпилить» маленький тетраэдр из большой треугольной
пирамиды так, как сделано на картинке.
Ответ: Да. ( 6 баллов)
Решение № 4. Найдем произведение всех 25 чисел, записанных под каждым
столбцом и всех 25 чисел, записанных справа от строчек. Так как в этом
произведении каждое из чисел квадратной таблицы входит по два раза, то
произведение этих 50 произведений, в каждом из которых стоит по 25
множителей, будет положительным, т. е. равно 1. А так как произведение 50
чисел положительно, то отрицательных сомножителей будет четное число (2,
4, …, 50). Сумма же 50 произведений может быть нулем лишь в случае, когда 25 слагаемых
равно 1, а 25 слагаемых равно - 1, т. е. слагаемых с - 1 должно быть нечетное число. А это
значит, что сумма 50 написанных произведений не может равняться нулю. ( 7 баллов)
Решение № 5.
Середина отрезка будет иметь целочисленные координаты, если соответствующие
координаты его концов имеют одинаковую «четность». Существует всего 8 различных
комбинаций четности (ч) и нечетности (н) координат точек в пространстве: ннн, ннч, нчн, нчч,
чнн, чнч, ччн, ччч. Поэтому, можно подобрать только 8 точек, любые две из которых будут иметь
координаты, отличающиеся «четностью» хотя бы в одной позиции. Однако, девятая точка
неизбежно будет иметь координаты, совпадающие по своей «четности» с соответствующими
координатами одной из 8 точек, что и доказывает утверждение.
( 6 баллов)
Решение № 6. Очевидно, что уравнение cos2 x  p cos x  q  0 имеет решение, если
уравнение t 2  pt  q  0 имеет хотя бы одно решение, удовлетворяющее условию t  1.
Может быть 2 случая:
Случай 1. Уравнение имеет 2 совпавших корня, удовлетворяющих условию t  1 . Корни
уравнения t  cos x образуют арифметическую прогрессию только тогда, когда t  0,  1, 1
(простейшая интерпретация на единичной окружности). Рассмотрим эти варианты:
02  p  0  q  0,
а) t  0, тогда  2
и p  q  0.
 p  4q  0;
 12  p   1  q  0,
б) t  1, тогда 
и p  2, q  1.
2
 p  4q  0;
2
1  p 1  q  0,
в) t  1, тогда  2
и p  2, q  1.
 p  4q  0;
Случай 2. Уравнение имеет 2 корня, но только один из них удовлетворяет условию t  1.
Пусть t1  1, так как t1  t2  p, то t2  p  t1 , тогда p  t1  1. Аналогично предыдущему случаю
получаем следующие варианты:
q  0, q  0,
а) t1  0, t2  p  1. Получаем: 

 p  1;  p  1;
1  p  q  0,
q  p  1,
б) t  1, p  1  1, откуда 
Получаем: 
 p  1  1.
 p  0;
q  p  1,

 p  2.
1  p  q  0,
 q  1  p,  q  1  p,
в) t  1, p  1  1, откуда 
Получаем 

 p  1  1.
 p  2;
 p  0.
Случай 3. Уравнение имеет 2 корня, удовлетворяющих условию t  1.
Простейшая интерпретация на единичной окружности позволяет сделать вывод, что корни
уравнения t  cos x образуют арифметическую прогрессию только в одном из следующих случаев:
2
2
1
1
, t2 
.
а) t1  1, t2  1; б) t1   , t2  1; в) t1  , t2  1; г) t1  
2
2
2
2
Рассмотрим эти случаи:
q
а) t1  1, t2  1. В этом случае p  0, q  1 .
1
1
1
б) t1   , t2  1. В этом случае p  , q  .
2
2
2
1
1
1
в) t1  , t2  1. В этом случае p   , q  .
2
2
2
г) t1  
2
2
1
, t2 
. В этом случае p  0, q  .
2
2
2
1
-1
1
p
Ответ: изображен на рисунке (10 баллов)