22 borisov

БУДІВНИЦТВО, РЕКОНСТРУКЦІЯ ТА ЕКСПЛУАТАЦІЯ КОНСТРУКЦІЙ І
СПОРУД ЗАЛІЗНИЧНОГО ТРАНСПОРТУ
БУДІВНИЦТВО, РЕКОНСТРУКЦІЯ ТА ЕКСПЛУАТАЦІЯ
КОНСТРУКЦІЙ І СПОРУД ЗАЛІЗНИЧНОГО ТРАНСПОРТУ
УДК 625.111
Борисов Э.А., к.т.н., доцент (ДонИЖТ)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ КООРДИНАТ ТОЧЕК КРУГОВЫХ КРИВЫХ
Проблема. На криволинейных участках проектируемых дорог все
основные точки (главные, пикеты и некоторые плюсовые) должны иметь
координаты в системе координат трассы.
Анализ известных решений. Для координирования точек круговых
кривых используют несколько способов [1,2].
Первый способ основан на известных координатах центра кривой
(точка О, рисунок 1), длине радиуса R и центральных углах γі для
соответствующих участков кривой длиной Кі. Координаты і-х точек
находят по формулам
cos(α нк  270   γ )
х
x
і ,
      R 
sin(α нк  270   γ ) 
 у i  y  o
і 

(1)
где
cos(α нк  90)
х
x
    
 R
;
sin(α нк  90) 
 у  о  y  нк
К
γ  і ρ,
і R
где ρ – радиан.
Збірник наукових праць ДонІЗТ. 2010 №22
182
(2)
БУДІВНИЦТВО, РЕКОНСТРУКЦІЯ ТА ЕКСПЛУАТАЦІЯ КОНСТРУКЦІЙ І
СПОРУД ЗАЛІЗНИЧНОГО ТРАНСПОРТУ
Во втором способе координаты точек на кривой находят по длине ві и
направлению хорд, стягивающих дуги между началом кривой (НК) и і-той
точкой (рисунок 1)
х
 
 у i
где
γ 

cos(α нк  і )
x
2 
  
 в 
і
γ  ,
 y  НК

і
sin(α нк  ) 
2 

(3)
γ
в  2Rsin i .
і
2
(4)
11 φ
5В
У
2
2
1
2
ck
2
αНК
13 318 С
К
15 2
4
14 1
17 4
в
16 N
4
3 в
19 Н
К
N2
а
12 K
K
20 R
21 R
9
γ
84 γ
7 3γ
62 γ
О
10 φ
1
Рисунок 1 – Схема кривой для 1-го и 2-го способов
Збірник наукових праць ДонІЗТ. 2010 №22
183
БУДІВНИЦТВО, РЕКОНСТРУКЦІЯ ТА ЕКСПЛУАТАЦІЯ КОНСТРУКЦІЙ І
СПОРУД ЗАЛІЗНИЧНОГО ТРАНСПОРТУ
В третьем способе “прямоугольных координат” применяют методику
расчета элементов (координат) разбивок (рисунок 2), согласно которой
координаты равны
хі  Rsinγ ;
і
уі  R(1- cosγ ),
і
(5)
где углы γ вычисляют по формуле (2).
Для некоторых значений R и γ составлены таблицы [3], по которым
координаты (5) определяются с точностью до сантиметров.
Указанные способы выполнения задачи дают одинаково точные
решения.
ВУ
K2
x2
2
y2
К1
K1
x1
1
y1
К1
R
НК
Рисунок 2 – Способ прямоугольных координат
Постановка задачи. Дополним рассмотренные способы четвертым
вариантом расчета координат по внутренним хордам, расположенным
между соседними точками кривой.
Основной материал. По рисунку 3 видно, что в каждом
равнобедренном треугольнике для дуги длиной Кі центральный угол βі и
длина хорды dі определяется формулами (2) и (4). Дирекционные углы этих
Збірник наукових праць ДонІЗТ. 2010 №22
184
БУДІВНИЦТВО, РЕКОНСТРУКЦІЯ ТА ЕКСПЛУАТАЦІЯ КОНСТРУКЦІЙ І
СПОРУД ЗАЛІЗНИЧНОГО ТРАНСПОРТУ
хорд получают последовательным суммированием углов βі/2 к начальному
дирекционному углу αнк для тангенсной линии НК-ВУ.
ВУ
ВУ
αНК
1а
1
2
К2
1б
1
2
2
2
2
в2
в3
1
1в
2
2
2б
К3
3
в1
3
2
а
НК
R
2а
β1
β2
КК
β3
φ
1O
Рисунок 3 – Определение координат по внутренним хордам
β
1 к
2
линии тангенса, поскольку для этой хорды угол между ней и касательной в
точке НК равен половине её центрального угла.
Тогда дирекционный угол первой хорды будет равен
Первая хорда в1, стягивающая дугу К1, расположена под углом
β
α α
 1.
1
НК 2
(6)
Для определения дирекционного угла следующих хорд продлим
линию первой хорды в направлении НК-1-1а. Через точку 1 проведем
Збірник наукових праць ДонІЗТ. 2010 №22
185
БУДІВНИЦТВО, РЕКОНСТРУКЦІЯ ТА ЕКСПЛУАТАЦІЯ КОНСТРУКЦІЙ І
СПОРУД ЗАЛІЗНИЧНОГО ТРАНСПОРТУ
касательную 1-1б и вторую хорду 1-2. В равнобедренном треугольнике Оβ
НК-1 углы при точках НК и 1 равны 90  1 . Касательная 1в-1-1б к точке 1
2
перпендикулярна к радиальной линии 0-1, откуда угол между ней и хордой
β
β
1-НК, а также между 1-1а и 1-1б равен 90°-( 90  1 )= 1 .
2
2
Хорда в2 (линия 1-2) аналогично первой хорде расположена под
β
углом 2 относительно касательной 1-1б к точке 1. Теперь дирекционный
2
угол второй хорды отстоит от дирекционного угла первой хорды на сумму
β β
углов 1 2 и равен
2
β β
α α  1 2,
2
1
2
где α1 вычисляют по формуле (6).
Распространив этот метод на последующие хорды, найдем
обобщенную формулу нахождения дирекционных углов для всех хорд до
конца кривой КК:
β 
β  β β  β

β
β 
α n   α  1    1  2    2  3   ...   n - 1  n  
нк 2
2   2
2 
2 

  2
 2
(7)
β

β
β β
β β β
β  βn
n
α
 1  1 2  2 3  ...  n-1
α
  n -1 n .
НК 2
НК
2
2
2
2
1
Тогда координаты точек кривой будут равны
n cosα n 
х
x
    
 d 
,
 у  n  y  НК 1 n sinα n 
(8)
где αn вычисляют по формуле (7).
Расчеты, проведенные для круговой кривой с углом поворота 90° и
радиусом 1000м по всем точкам от НК до КК, показали полную
идентичность результатов по всем приведенным способам, включая
предложенный.
Збірник наукових праць ДонІЗТ. 2010 №22
186
БУДІВНИЦТВО, РЕКОНСТРУКЦІЯ ТА ЕКСПЛУАТАЦІЯ КОНСТРУКЦІЙ І
СПОРУД ЗАЛІЗНИЧНОГО ТРАНСПОРТУ
Выводы. Сравнивая эти способы с предложенным, отметим
достоинство последнего в том, что вычисления дуг одинаковой длины
ведутся последовательно по единым исходным данным (например, длинам
дуг, равным 100м между пикетами). К недостаткам отнесем возможность
накопления погрешностей при последовательном вычислении координат
от точки к точке. Данный способ можно использовать как контролирующий
массовые вычисления в ходе проектных и полевых работ.
Список литературы
1. Левчук Г.П. и др. Прикладная геодезия. Геодезические работы при
изысканиях и строительстве инженерных сооружений. – М.: Недра, 1983.
2. Муравлев А.В., Гойдышев Б.И. Инженерная геодезия. – М.: Недра, 1982.
3. Таблицы для разбивки кривых на железных дорогах. Власов Д.И., Логинов
В.И. – М.: Транспорт, 1968.
Збірник наукових праць ДонІЗТ. 2010 №22
187