(закон) динамики вращательного движения

Лекция 4
ДИНАМИКА
1. ДИНАМИКА ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
Динамика изучает движение тел совместно с причинами этого движения.
1.1. Законы Ньютона.
1.1.1. Закон инерции (первый закон Ньютона)
В формулировке Ньютона этот закон гласит:
Всякое тело продолжает удерживаться в своем состоянии покоя или равномерного и
прямолинейного движения, пока и поскольку оно не понуждается приложенными силами изменить это состояние.
Системы отсчета, в которых выполняется данный закон, называют инерциальными. В
этих системах для сохранения состояния равномерного прямолинейного движения тела не
требуется прикладывать к нему какие-либо силы; как говорят, движение тела происходит
по инерции.
Поэтому часто этот закон формулируют так: «В природе существуют инерциальные системы отсчёта».
Принцип равноправия всех инерциальных систем (принцип относительности Галилея):
«Все механические процессы протекают одинаково во всех инерциальных системах
отсчета. Иначе говоря, законы механики не зависят от выбора той или иной инерциальной
системы отсчета.»
Отсюда следует, в частности, что нельзя указать преимущественную систему отсчета
и, значит, не существует абсолютного покоя или абсолютного движения тел; можно говорить
только об относительном движении тел в той или иной инерциальной системе отсчета.
В 1905 году Альберт Эйнштейн сформулировал более общий принцип равноправия
всех инерциальных систем. Согласно принципу относительности Эйнштейна, во всех
инерциальных системах протекают одинаково не только механические процессы, но и другие - тепловые, электромагнитные, оптические и т. п. Кратко принцип относительности
Эйнштейна можно сформулировать следующим образом: «Во всех инерциальных системах
отсчета все законы природы одинаковы.»
1.1.2. Связь между ускорением и силой (второй закон Ньютона)
Силой, приложенной к телу, называется векторная физическая величина, которая
служит мерой (количественной характеристикой) действия на данное тело другого тела.
Сила определена полностью, если заданы её модуль, направление в пространстве и точка
приложения.
Понятие силы относится к двум телам (не к одному и не ко многим!) — к телу, на которое
действует данная сила, и к телу, со стороны которого эта сила действует. Примеры: сила
тяжести камня действует на камень со стороны Земли; сила трения скольжения санок действует на санки со стороны снежного покрытия дороги.
Из первого закона Ньютона следует, что рассматриваемое в инерциальной системе отсчета тело само по себе не может изменить своей скорости.
Второй закон Ньютона утверждает, что причиной изменения модуля или направления скорости тела в инерциальной системе отсчета является действие на него другого тела
(других тел), т. е. сила, которая приложена к данному телу. Этот закон называют основным
законом динамики. Его можно сформулировать следующим образом: «Ускорение тела в
данный момент времени прямо пропорционально равнодействующей всех сил, приложенных к телу в данный момент, обратно пропорционально массе тела и направлено так
же, как равнодействующая сил.»
Лекция 4
⃗𝑭
⃗ (1)
или ⃗𝑭 = 𝒎𝒂
𝒎
Этот закон применим только в инерциальных системах отсчёта.
⃗⃗
𝒅𝝑
⃗ =𝒑
⃗ = ⃗𝝑 ́ = , 𝒎𝝑
⃗ , формула (1) будет иметь вид:
Учитывая, что 𝒂
𝒅𝒕
⃗⃗
⃗
⃗
𝒅𝝑
𝒅𝒑
∆𝒑
⃗ =
𝒂
⃗𝑭 = 𝒎
или
𝒅𝒕
, ⃗𝑭 =
𝒅𝒕
, ⃗𝑭 =
∆𝒕
⃗ 𝒅𝒕 = 𝒅𝒑
⃗ ∆𝒕 = ∆𝒑
⃗ , 𝑭
⃗
𝑭
⃗𝑭∆𝒕 – импульс силы, ∆𝒑
⃗ - изменение импульса тела.
Т.о., другая формулировка второго закона Ньютона: «Импульс силы равен изменению импульса тела.»
или «Скорость изменения импульса тела равна действующей на него силе.»
Выражение
⃗𝑭 = 𝒅𝒑⃗ называют уравнением движения материальной точки.
𝒅𝒕
1.1.3. Третий закон Ньютона — закон равенства действия и противодействия.
Всякие действия тел друг на друга носят характер взаимодействия.
Силы, с которыми два тела действуют друг на друга, равны по модулю и направлены
вдоль одной прямой в противоположные стороны.
Эти силы приложены к разным материальным точкам (телам), всегда действуют парами и являются силами одной природы.
1.2. Законы Ньютона в неинерциальных системах отсчета
Существование инерциальных систем отсчета лишь постулируется первым законом
Ньютона. Реальные системы отсчета, связанные, например, с Землей или с Солнцем, не обладают в полной мере свойством инерциальности в силу их кругового движения. Вообще говоря, экспериментально доказать существование ИСО невозможно, поскольку для этого
необходимо наличие свободного тела (тела на которое не действуют никакие силы), а то, что
тело является свободным, может быть показано лишь в ИСО. Описание же движения в неинерциальных системах отсчета, движущихся с ускорением относительно инерциальных,
требует введения т. н. фиктивных сил, таких как сила инерции, центробежная сила или сила Кориолиса. Эти «силы» не обусловлены взаимодействием тел, то есть по своей природе не
являются силами и вводятся лишь для сохранения формы второго закона Ньютона:
где
— сумма всех фиктивных сил, возникающих в неинерциальной системе отсчета.
1.3. Силы в механике
Все многообразие встречающихся в природе взаимодействий сводится всего лишь к
четырем типам. Это гравитационное, электромагнитное, ядерное (или сильное) и слабое взаимодействие. В механике Ньютона можно рассматривать только гравитационное и электромагнитное взаимодействия. В отличие от короткодействующих ядерного и слабого взаимодействия, гравитационное и электромагнитное взаимодействия – дальнодействующие: их
действия проявляются на очень больших расстояниях.
Лекция 4
Название
силы
Природа взаимодействия
Зависимость
силы от расстояния или
относительной
скорости
Является функцией расстояния между взаимодействующими телами
Является функцией расстояния (зависит от
деформации)
Формула для
расчета силы
Сила тяготения
гравитационная
Сила упругости
электромагнитная
𝐹упр = −𝑘𝑥
Сила трения
а) сухого
б) жидкого
электромагнитная
𝐹тр = 𝜇𝑁
𝐹сопр = 𝛼𝜗отн
2
𝐹сопр = 𝛽𝜗отн
𝐹т = 𝐺
𝑚𝑀
𝑅2
Является функцией скорости
относительного
движения
Зависит ли
сила от массы
взаимодействующих тел
Прямо пропорциональна
массам взаимодействующих тел
Не зависит
Не зависит
Как направлена сила
Вдоль прямой,
соединяющей
взаимодействующие тела
Противоположно направлению
перемещения
частиц при деформации
Противоположно направлению
вектора скорости
2. ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
Вращательное движение - движение, при котором траектории всех точек вращающегося тела являются окружностями, центры которых лежат на одной оси, называемой осью вращения. Ось вращения может располагаться
как внутри тела, так и за его пределами.
Динамические величины, характеризующие вращательные движения, различны для точек, находящихся на разных расстояниях от оси вращения. Поэтому при описании
вращательного движения мы не можем использовать понятие
силы, а должны использовать понятие момента силы. Вместо
импульса следует использовать момент импульса, вместо
массы – момент инерции.
2.1. Момент силы.
Момент силы относительно центра О величина векторная. Его модуль Mo = Fd, где F - модуль силы, a d - плечо, т. е. длина перпендикуляра, опущенного из О на линию действия силы
(см. рис.); направлен вектор M перпендикулярно плоскости, проходящей через центр О и силу, в сторону, откуда поворот, совершаемый силой, виден против хода часовой стрелки (в
правой системе координат).
⃗⃗ в общем случае равен векторному произведению 𝐹 и 𝑟:
Вектор момента силы 𝑀
⃗⃗⃗ = [𝑭
⃗ ×𝒓
⃗]
𝑴
Лекция 4
2.2. Момент импульса.
Момент импульса
частицы относительно некоторого начала отсчёта определяется
векторным произведением её радиус-вектора и импульса:
⃗𝑳 = ⃗𝒓 × ⃗𝒑
где — радиус-вектор частицы относительно выбранного неподвижного в данной системе отсчёта начала отсчёта, — импульс частицы.
2.3. Момент инерции.
Момент инерции материальной точки обозначается J и равен произведению массы
точки m на квадрат расстояния от оси вращения до точки:
𝑱 = 𝒎𝒓𝟐 .
Моментом инерции системы (тела) относительно оси вращения называется физическая величина, равная сумме произведений масс n материальных точек системы на квадраты
их расстояний до рассматриваемой оси:
Лекция 4
2.4. Уравнение динамики вращательного движения твердого тела
Уравнение (закон) динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси: производная момента импульса твердого тела относительно оси равна моменту сил относительно той же оси.
или
где: JZ - момент инерции тела относительно оси Z;  -угловое ускорение.
2.5. Закон сохранения момента импульса:
Момент импульса замкнутой системы сохраняется, т.е. не изменяется с течением времени.
Общими законами для поступательного и вращательного движения твердого тела служат:
Закон сохранения механической энергии: полная механическая энергия системы тел остается неизменной при любых движениях тел системы.
Общефизический закон сохранения энергии: энергия не может возникнуть из ничего и не
может в никуда исчезнуть, она может только переходить из одной формы в другую.
2.6. Теорема Штейнера
Если твердое тело вращается относительно некоторой неподвижной оси, то его момент
инерции I можно выразить через момент инерции IC этого тела относительно оси, проходящей через центр масс тела и параллельной первой.
К доказательству теоремы о параллельном переносе оси вращения
Лекция 4
Рассмотрим сечение твёрдого тела произвольной формы, изображенное на рис. выше. Выберем координатную систему XY с началом координат O в центре масс C тела. Пусть одна из
осей вращения проходит через центр масс C, а другая через произвольную точку P, расположенную на расстоянии d от начала координат. Обе оси перпендикулярны плоскости чертежа.
Пусть Δmi – некоторый малый элемент массы твердого тела. По определению момента инерции:
𝐼𝐶 = ∑ ∆𝑚𝑖 (𝑥𝑖2 + 𝑦𝑖2 ),
𝐼𝑃 = ∑ ∆𝑚𝑖 [(𝑥𝑖 − 𝑎)2 + (𝑦𝑖 − 𝑏)2 ].
Выражение для IP можно переписать в виде:
Поскольку начало координат совпадает с центром масс C, последние два члена обращаются в
нуль (суммарный импульс тела будет равен нулю). Это следует из определения центра масс.
Следовательно,
IP = IC + md2,
где m – полная масса тела.
Этот результат называют теоремой Штейнера (теоремой о параллельном переносе оси вращения).
Теоре́ма Ште́йнера: момент инерции тела I относительно произвольной оси равен сумме
момента инерции этого тела Ic относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно рассматриваемой оси, и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между
осями:
𝑰𝒏𝒆𝒘 = 𝑰𝒄 + 𝒎𝒅𝟐
где
m – масса тела, и
d – расстояние между осями.
Второй вариант доказательства:
Момент инерции, по определению:
Радиус-вектор
можно расписать как разность двух векторов:
,
где — радиус-вектор расстояния между старой и новой осью вращения. Тогда выражение
для момента инерции примет вид:
Вынося за сумму
, получим:
Поскольку старая ось проходит через центр масс, то суммарный импульс тела будет равен
нулю:
Тогда:
Лекция 4
Откуда и следует искомая формула:
где
,
— известный момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс тела.
Пример
Момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его центр и перпендикулярной стержню, (назовём её осью ) равен
Тогда согласно теореме Штейнера его момент относительно произвольной параллельной оси
будет равен
где — расстояние между искомой осью и осью . В частности, момент инерции стержня
относительно оси, проходящей через его конец и перпендикулярной стержню, можно найти
положив в последней формуле
:
Лекция 4
Сопоставим основные величины и уравнения, определяющие вращение тела вокруг
неподвижной оси и его поступательное движение (табл.1).
Таблица 1
По табл.1 можно проследить аналогию между поступательным и вращательным движениями. Из сопоставления формул, приведенных в табл.1, видно, что от уравнений и законов поступательного движения можно формально перейти к уравнениям и законам вращательного
движения, производя замену аналогичных параметров.
Таблица 2