08-10-04

08-10-04. Тригонометрические формулы
1. Синус, косинус, тангенс и котангенс острого угла имеют общее название:
Тригонометрические функции острого угла  .
Тригонометрические функции удовлетворяют многим тождественным равенствам,
которые называются тригонометрическими формулами. Некоторые из них уже
рассматривались. Например, мы установили равенство
cos   sin(90   )
в пункте 2.2 и равенство
sin 2   cos 2   1
в пункте 2.7.
В этом параграфе мы рассмотрим некоторые новые тригонометрические формулы и
проверим их справедливость на примере тех углов, для которых известны значения
тригонометрических функций. Напомним эти углы.

30
15
45
60
2
2
3
2
2 ( 3 1)
4
3
2
2 ( 3 1)
4
sin 
2 ( 3 1)
4
cos 
2 ( 3 1)
4
3
2
1
2
2 3
1
3
1
tg
1
2
3
75
2 3
2. Проверим справедливость формулы
sin 2  2sin   cos 
на примере угла   15 .
Имеем sin15 
cos15 
2 ( 3 1)
4
2 ( 3 1)
4
(1)
,
sin(2 15 )  sin 30  12 . Отсюда
,
2sin15 cos15 

2( 3  1)  2( 3  1) 2  2(3  1)


44
44
1
 sin 30  sin(2 15 )
2
3. Проверим справедливость формулы
cos(   )  cos   cos   sin   sin 
на примере углов   75 ,   30 . Имеем
cos 75 cos 30  sin 75 sin 30 

(2)
2( 3  1) 3


4
2
2( 3  1) 1
2(3  3  3  1)
2 4
2
 



4
2
8
8
2
 cos 45  cos(75  30 )
4. Проверим справедливость формулы
sin 3  3sin   4sin 3 
(3)
на примере угла   15 . Имеем
3sin15  4sin 3 15 

3  2( 3  1)
4
4  ( 2)3 ( 3  1)3 3  2( 3  1)


43
4

2(( 3)3  3( 3) 2  3 3  1) 3  2( 3  1)


42
4

2(6 3  10) 3  2( 3  1)
2(3 3  5)



42
4
4

2(3 3  3  3 3  5)
2

 sin 45  sin(3 15 )
4
2
5. Проверим справедливость формулы
tg (   ) 
tg  tg 
1  tg  tg 
на примере   45 ,   30 . Имеем
1  13
tg 45  tg 30


1  tg 45 tg 30 1  1  13

(4)
 
 
3 1
3
3 1
3
3 1
( 3  1) 2
3  2 3 1


 2 3 
3 1
3  1 ( 3  1)( 3  1)
 tg 75  tg (45  30 )
6. Проверим справедливость формулы
cos   cos   2 cos
 
2
 cos
 
2

при   60 ,   30 . Имеем
cos
cos
60  30
2
 cos 45 

2
2
60  30
2( 3  1)
 cos15 

2
4
cos 60  cos 30 
1
3


2 2
Отсюда
2 cos
60  30
60  30
2  2 2( 3  1)
 cos



2
2
2
4
(5)
3 1 1
3
 
 cos 60  cos 30 
2
2 2

Контрольные вопросы
1. Что понимают под тригонометрическими функциями острого угла  ?
2. Докажите следующие тригонометрические формулы:
cos   sin(90   ) sin   cos(90   ) ctg  tg (90   ) tg  ctg (90   )
sin 2   cos 2   1 1  tg 2 
1
1
 1  ctg 2 

2
cos 
sin 2 
tg  ctg  1
Задачи и упражнения
1. В прямоугольном треугольнике известны гипотенуза c и острый угол  . Найдите
высоту h , опущенную на гипотенузу.
2. В прямоугольном треугольнике известны острый угол  и противолежащий катет a .
Найдите другой катет b , гипотенузу c и высоту h , опущенную на гипотенузу.
3. В прямоугольном треугольнике известны гипотенуза c и острый угол  . Найдите
радиус вписанной окружности.
Указание. Выразите площадь треугольника через полупериметр p и радиус r
вписанной окружности.
4. Вычислите cos18 и tg18 .
5. Проверьте равенство
cos 2  cos 2   sin 2 
при   15 .
6. На судне имеются две мачты высотой 13 м и 20 м. Прямая, соединяющая их вершины,
составляет с горизонтом угол в 34 . Определите расстояние между основаниями этих
мачт.
7. Найдите радиус окружности, если хорда этой окружности видна из центра под углом
  30 .
8. Вычислите длину хорды окружности, если она видна из центра под острым углом  , а
ее расстояние от центра равно d .
9. В прямоугольном треугольнике с полупериметром p один из острых углов равен  .
Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
10. В прямоугольный треугольник с острым углом  вписана окружность радиуса r .
Найдите радиус R окружности, описанной около этого треугольника.
Ответы и указания к решению наиболее трудных задач.
Задача 1. Указание. Пусть в треугольнике ABC угол C прямой, CH - высота, AB=c
и CAB= (рис.19). Рассматривая прямоугольный треугольник ABC, находим
AC  ccos  . После этого можно рассмотреть прямоугольный треугольник ACH, откуда
CH  AC sin  c sin cos  .
Задача 3. Указание. Зная гипотенузу и острый угол, нетрудно вычислить катеты и
получить c sin  и c cos . Далее можно продолжать разными способами.
Первый способ. Проведем из центра вписанной окружности перпендикуляры к
сторонам (рис. 20). В результате получим OM=OK=OL=CK=CL=r, AK=AM, BL=BM.
Поэтому 2r  AC  BC  AB  c(sin   cos   1 ) .
Второй способ. Вспомним формулу S=pr для площади треугольника, где p полупериметр, r - радиус вписанной окружности. В данной задаче
1
1
c sin  cos 
S  c 2 sin   cos  , p  c(sin   cos   1 ) , а поэтому r 
.
2
2
sin   cos   1
Задача 6. Указание. Основания и вершины мачт являются вершинами
прямоугольной трапеции.
Задача 9. Указание. Радиус окружности, описанной около прямоугольного
треугольника, равен половине гипотенузы.
Задача 10. Указание. Из решения задачи 3 следует, что 2r  c(sin   cos   1 ) .
1
r
Поэтому R  c 
.
2
sin   cos   1