ПО СЛЕДАМ ТЕОРЕМЫ АРХИМЕДА (ОБ ОТНОШЕНИИ ПЛОЩАДИ ТРЕУГОЛЬНИКА, ОБРАЗОВАННОГО

ПО СЛЕДАМ ТЕОРЕМЫ АРХИМЕДА (ОБ ОТНОШЕНИИ
ПЛОЩАДИ ТРЕУГОЛЬНИКА, ОБРАЗОВАННОГО
КАСАТЕЛЬНЫМИ И ХОРДОЙ, К ПЛОЩАДИ
СЕГМЕНТА КРИВОЙ)
FOLLOWING ARCHIMEDES’S THEOREM (ABOUT THE
ATTITUDE OF AREA OF THE TRIANGLE FORMED BY
THE TANGENT AND THE CHORD TO THE CURVE
SEGMENT)
Научный руководитель Киреева Юлия Анатольевна,
учитель математики Муниципального бюджетного
образовательного учреждения «Лицей №15 имени академика
Юлия Борисовича Харитона» г. Саров
Работу выполнила
учащаяся 11 класса
Муниципального бюджетного образовательного учреждения
«Лицей №15 имени академика Юлия Борисовича Харитона »
г. Саров Нижегородской обл.
Халдеева Алина Николаевна
2013 год
Содержание
Введение .............................................................................. - 4 Задача Архимеда о квадратуре параболы ............................. - 5 Задача об отношении площади треугольника, образованного
касательными и хордой, к площади сегмента кривой ........... - 8 О конических сечениях ....................................................... - 13 Заключение. Итоги работы ................................................. - 18 Литература ......................................................................... - 24 -
- 3 -
Введение
Одна
из
первых
математических
работ
Архимеда
–
«Квадратура параболы». Эта работа посвящена вычислению
площади параболического сегмента и представляет, в сущности,
доказательство следующей теоремы: п лощадь параболического
сегмента
равна
двум
третьим
площади
треугольника,
образованного касательными к параболе и её хордой.
Рассмотрим четную функцию f(x), которая дифференц ируема
во всех точках (возможно, кроме 0), имеет единственный
экстремум в точке 0, и для которой существует первообразная.
Cтроим касательные к графику функции в точках A(x 0 , f(x 0 )) и
B(-x 0 , f(-x 0 )), которые пересекаются в точке C. Рассмотрим
треугольник ABC. Рассмотрим фигуру, которую ограничивает
отрезок AB и график функции f(x), где x  [ x0 ; x0 ] . Назовем эту
фигуру сегментом. Вычислим S ABC и S с е г м е н т,а найдём отношение
S сегмента к S ABC .
Постановка задачи: выяснить, для каких функций
f(x),
удовлетворяющих ранее заданным условиям, отношение S сегмента к
S ABC
не
зависит
от
выбора
точек
касания;
и сследовать
зависимость отношения S сегмента к S ABC для различных функций.
y
x
y  f  x
- 4 -
Задача Архимеда о квадратуре параболы
Рассмотрим произвольную параболу.
Две её
произвольные
точки соединим
отрезком.
Часть
плоскости,
ограниченную
этим отрезком
и дугой
параболы,
называем
сегментом
параболы.
Через концы рассматриваемого отрезка проведём касательные к
параболе. Архимед доказал, что площадь сегмента равна
удвоенной площади части плоскости, образованной этими
касательными и дугой параболы.
Доказательство основано на удивительно простом свойстве
взаимного расположения параболы и треугольника,
образованного касательными и хордой.
А именно, проведём среднюю линию этого треугольника,
параллельную хорде параболы.
Дело сводится к известному утверждению: касательная к
параболе в любой её точке делит пополам отрезок между
началом координат и проекцией на ось абсцисс точки, в которой
проведена касательная.
- 5 -
Отсюда следует, что точка касания делит среднюю линию
треугольника пополам.
Средние линии любого треугольника деля т его на четыре
конгруэнтные части. Поэтому площадь любой из этих частей
равна одной четвёртой части площади всего треугольника.
Повторим построение: проведём среднюю линию ещё одного
треугольника, образованного хордой параболы и двумя
касательными к ней. Площадь заштрихованного треугольника
равна одной четвёртой части площади треугольника, среднюю
линию которого мы только что провели.
Площадь дважды заштрихованного треугольника равна одной восьмой
части площади заштрихованного треугольника.
Поэтому его площадь равна одной тридцать второй части площади
исходного треугольника.
А в сумме со своим аналогом он составляет одну
шестнадцатую часть площади исходного треугольника.
Такие построения можно продолжить: в каждом из четырёх
треугольников, образованных касательными к параболе и её хордами,
можно провести среднюю линию.
От исходного треугольника будут отрезаны 4 треугольника.
Для наших вычислений важно, что мы всякий раз будем отрезать
вчетверо меньшую площадь, чем до этого.
Таким образом, осталось вычислить сумму геометрической прогрессии
с первым членом 1/4 и знаменателем 4.
Обозначив сумму этой прогрессии буквой x и умножив все члены
прогрессии на 4, получаем уравнение 4x = 1 + x.
Решая уравнение, получаем ответ: x = 1/3.
- 6 -
Площадь криволинейного треугольника, образованного касательными и
дугой параболы, равна 1/3 площади треугольника. А остальная площадь —
это площадь сегмента.
Таким образом, площадь сегмента равна 2/3 площади треугольника.
- 7 -
Задача об отношении площади треугольника,
образованного касательными и хордой, к площади
сегмента кривой
Рассмотрим четную функцию f(x), которая дифференцируема во
всех точках (возможно, кроме 0), имеет единственный экстремум
в точке 0, и для которой существует пер вообразная. Cтроим
касательные к графику функции в точках A(x 1 , f(x 1 )) и B(-x 1 , f(x 1 )), которые пересекаются в точке C. Рассмотрим треугольник
ABC. Рассмотрим фигуру, которую ограничивает отрезок AB и
график
функции
f(x),
где
x  [ x1 ; x1 ] .
Назовем
эту
фигуру
сегментом. Вычислим S ABC и S с е г м е н т,а найдём отношение S сегмента
к S ABC .
x2   x1
f ( x2 )  f ( x1 )
f ( x2 )   f ( x1 )
1  x1 f ( x1 ) f ( x1 )  x12 f ( x1 )2  x12 f ( x1 )2  x1 f ( x1 ) f ( x1 )  x1 f ( x1 ) f ( x1 )
S ABC  (

2
f ( x1 )  f ( x1 )
x12 f ( x1 )2  x12 f ( x1 )2  x1 f ( x1 ) f ( x1 )


f ( x1 )  f ( x1 )
f ( x1 )2  f ( x1 )2  x1 f ( x1 ) f ( x1 )  x1 f ( x1 ) f ( x1 ) f ( x1 ) 2  f ( x1 ) 2
(

f ( x1 )  f ( x1 )
x f ( x ) f ( x )  x f ( x ) f ( x )
 1 1 1 1 1 1 )) 
f ( x1 )  f ( x1 )
1 4  x12 f ( x1 )2
 (
 0)  x12 f ( x1 )
2 2  f ( x1 )
- 8 -
1
1
f ( x1 )  f ( x1 )

 ( x1  x1 )   f ( x)dx  2  x1 f ( x1 )  2  f ( x)dx 
2
 x1
0
x
Sсегмента
x
 2  x1 f ( x1 )  2F ( x1 )
Sсегмента 2  x1 f ( x1 )  2  F ( x1 )

 const  c
S ABC
x12 f ( x1 )
2  x1 f ( x1 )  2  F ( x1 )  c  x12 f ( x1 )
Введём _ обозначение
F ( x)  g ( x)
f ( x)  g ( x)
f ( x)  g ( x)
2  x1 g ( x1 )  2  g ( x1 )  c  x12 g ( x1 )
 2 g ( x)
g ( x)
cx
 2 g ( x)  2 x
0
2
x
x
Уравнение _ Коши  Эйлера
2
g ( x)  x  , _   const
2 
( x )   (  1) x   2
2
x
 
( x )   x  1
x
c 2 x   (c  2) x   2 x   0
(c 2  c  2  2) x   0, _ x  0
c 2  c  2  2  0
(  1)(c  2)  0
  1, _  
g 2 ( x)  k2 x
2
 g1 ( x)  k1 x _ где _ k1 _ k2 _ произвольная _ константа
c
2
c
2
g ( x)  g1 ( x)  g 2 ( x)  k2 x c  k1 x
2k2 2c 1
f ( x) 
x  k1
c
(1)
- 9 -
Рассмотрим функцию y  x
1
2
y
x
По _ формуле _(1) _ получим
2
1
1 
c
2
2 3
4
 c
c 2
3
Вычислим _ без _ формулы
Sсегмента
1
2
1
x1
1
2
3
2
1
4 32 2 32
 2  x1  x  2   x dx  2 x  x1  x1
3
3
0
Найдём _ координаты _ точки _ пересечения _ касательных
1
2
1
1  12
g ( x)  x  x1  x  x1 
2
1
1 1 1 1
g (0)  x12  x12  x12
2
2
 1 12 
 0; x1 
 2 
- 10 -
1
2
1
1
2
1
3
2
1
x
1
1


2

x
(
x

x
)

ABC
1
2
2
2
3
2 2
x
Sсегмента 3 1 4
 3   const
S ABC
3
x12
2
S
- 11 -
Парабола
y  x2
y
S сегмента 2

S ABC
3
x
- 12 -
О конических сечениях
Гипербола
x2 y 2
 2 1
2
a b
Перейдём в систему координат, в которой f (0)=0, график
симметричен относительно оси Oy.
y  x2  2  2
y  x2  2  2
Уравнение имеет
вид, отличный от
2k2 2c 1
f ( x) 
x  k1 ,
c
поэтому
отношение S сегмента
к S ABC не
постоянно.
Эллипс
- 13 -
Эллипс
x2 y 2
 2 1
2
a b
y
x
Из конических сечений только у параболы отношение S сегмента к
S ABC постоянно.
- 14 -
Свойство №1
y  x 1
y
S
ABC
 1  const
x
За
пишем уравнение касательной к графику функции y (x)
в точке x 1 .
y( x1 )  
1
x12
g ( x) 
1 1
 ( x  x1 )
x1 x12
g (0) 
1 1 2
 
x1 x1 x1
S
ABC
S
ABC
1
2 1
  2 x1 (  )  1  const
2
x1 x1
 1  const
- 15 -
Свойство №2
y  x 1
y
S ABCD  2ln 2  const
x
y( x1 )  
1
x12
g ( x) 
1 1
 ( x  x1 )
x1 x12
g (0) 
1 1 2
 
x1 x1 x1
Найдём _ координаты _ точки _ B
2
yB 
x1
x
2
1

 xB  1
x1 xB
2
Найдём _ площадь _ криволинейной _ трапеции _ ABCD

x

 x1 1  1 1
x1 1  
S ABCD  2      dx     
2 x1  
 2 x1  x1 x
2


x 
2x

 2  ln x1  ln 1   2 ln 1  2 ln 2  const
2
x1

Найдём _ площадь _ трапеции _ ABCD
S ABCD 
2 x1  x1  2 1  3
      const
2
 x1 x1  2
- 16 -
Рассмотрим функцию y  x
4
y  x4
g1  x14  4 x13  x  x1 
g 2  x24  4 x23  x  x2 
g1  g 2
x14  4 x13  x  x1   x24  4 x23  x  x2 
4 x  x13  x23   x24  x14  4 x14  4 x24  3x14  3x24
2
2
x12  x22  x12  x22 

3 x14  x24 3
3  x1  x2  x1  x2 
x  3 3  
 
4 x1  x2 4  x1  x2   x12  x1 x2  x22  4  x12  x1 x2  x22 
 3  x1  x2  x12  x22 


y  x14  4 x13  

x
1 
 4  x12  x1 x2  x22 





x14  x12  x1 x2  x22   3x13  x1  x2  x12  x22   4 x14  x12  x1 x2  x22 
x12  x1 x2  x22
3x13  x1  x2  x12  x22   3x14  x12  x1 x2  x22 
 3x
3
1
x
x12  x1 x2  x22
1
 x2  x12  x22   x1  x12  x1 x2  x22 
x12  x1 x2  x22



x13  x1 x22  x12 x2  x23  x13  x12 x2  x1 x22
3x13 x23
 3x
 2
x12  x1 x2  x22
x1  x1 x2  x22
3
1
2
x14  x24
x14  x24
x25  x15
4


 x2  x1    x dx 
 x2  x1  
2
2
5
x1
x
Sсегмента
5 x14 x2  5 x25  5 x15  5 x1 x24  2 x25  2 x15 5 x14 x2  3x25  3x15  5 x1 x24


10
10
- 17 -
A  x1 , x14  , B  x2 , x24  , C  x, y 
S
ABC


1
   x1  x   x24  y    x2  x   x14  y  
2

x1  x2  x12  x22    4

 
3 x13 x23
3
  x1  

x


2
2

  2 x12  x1 x2  x22  
4

x

x
x

x


1
1
2
2
1 


 
2
2
2  
3
3

3 x1 x2
3  x1  x2  x1  x2    4
   x2  

x

 1

 
4  x12  x1 x2  x22   
x12  x1 x2  x22  

 

2
2
2
2
4
2
  4 x1  x1  x1 x2  x2   3  x1  x2  x1  x2   x2  x1  x1 x2  x22   3x13 x23  



2
2
2
2


 
x

x
x

x

4
x

x
x

x


1
1
2
2
1
1 2
2
1 

 
 

2   4 x  x 2  x x  x 2   3  x  x  x 2  x 2   x 4  x 2  x x  x 2   3x 3 x 3  
2
1
1 2
2
1
2
1
2
1
1
1 2
2
1 2



2
2
2
2


 
x

x
x

x
4
x

x
x

x


1
1 2
2
1
1 2
2


 



 4 x1  x12  x1 x2  x22   3  x1  x2  x12  x22   


 x 4 x 2  x x  x 2  3x3 x3 

1 2
2
1 2
1
1
 2 1

 

2 
2
2
2
2
2
2
8  x  x x  x   4 x  x  x x  x   3  x  x  x  x   
1
1 2
2
2
1
1 2
2
1
2
1
2


 4 2

 x1  x1  x1 x2  x22   3x13 x23



  4 x13  4 x12 x2  4 x1 x22  3x13  3 x1 x22  3x12 x2  3x23   


  x12 x24  x1 x25  x26  3x13 x23  

1
1


 
8  x 2  x x  x 2 2    4 x12 x2  4 x1 x22  4 x23  3x13  3x1 x22  3x12 x2  3x23   
1
1 2
2


  x16  x15 x2  x14 x22  3x13 x23 








  x13  x12 x2  x1 x22  3x23    x12 x24  x1 x25  x26  3x13 x23   
1
1


 
8  x 2  x x  x 2 2    x23  x12 x2  x1 x22  3x13    x16  x15 x2  x14 x22  3x13 x23  
1
1 2
2


  x13  x23  x12 x2  x23  x1 x22  x23    x12 x24  x13 x23  x1 x25  x13 x23  x26  x13 x23   
1
1


 
8  x 2  x x  x 2 2    x23  x13  x12 x2  x13  x1 x22  x13    x16  x13 x23  x15 x2  x13 x23  x14 x22  x13 x23  
1
1 2
2





  x1  x2   x12  x1 x2  x22   x2  x12  x22   x22  x1  x2  



 x 2 x3 x  x  x x3 x 2  x 2  x3 x  x x 2  x x  x 2  
1 2
2
1
1
 1 2  2 1  1 2  2 1  2  2 1  1

 
2


8  x2  x x  x2    x  x   x2  x x  x2   x  x2  x2   x2  x  x  
1
1 2
2
2
1
1
1 2
2
1
2
1
1
2
1


 3 2

 x1 x2  x1  x2   x13 x2  x12  x22   x13  x1  x2  x12  x1 x2  x22  







   x  x   x  x x  x   x  x  x  x  x   x  x  x   



 x x x  x  x x x  x x  x  x x  x x  x x  x 




 

 
1
1

 

8  x  x x  x      x  x   x  x x  x   x  x  x  x  x   x  x  x   




  x x  x  x   x x  x  x  x  x   x  x  x   x  x x  x   

-18 1
2 3
1 2
2
1
1 2
2 2
2
2
1
2
2
2
3 2
1 2
3
1 2
1
2
1
1
1
1 2
2
2
2
2
1
1
1
2
2
1 2
3
1 2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
2
3
2
1
2
1
1
2
3
1
2
1
1
1
1
2
1
2
2
2
1
1 2
2
1
2
1
1 2
2
2
2
2
   x1  x2 2  x12  2 x1 x2  3x22    3x12 x23  2 x1 x24  x25   
1
1


 
8  x 2  x x  x 2 2    x  x 2  x 2  2 x x  3x 2    3x 3 x 2  2 x 4 x  x 5  
1
1 2
2
1
2
2
1 2
1
1 2
1 2
1


2
   x12  2 x1 x2  3x22    3x12 x23  2 x1 x24  x25   
x1  x2 

1


 
8  x 2  x x  x 2 2    x22  2 x1 x2  3x12    3x13 x22  2 x14 x2  x15  
1
1 2
2


2
3
2
2
2
2
  x2  x1  2 x1 x2  3x2    3x1  2 x1 x2  x2   
x1  x2 

1


 
8  x 2  x x  x 2 2   x13  x22  2 x1 x2  3x12    3x22  2 x1 x2  x12  
1
1 2
2


2
2
2
2
3
3
1  x1  x2   x2  2 x1 x2  3x1    3x2  2 x1 x2  x1  x1  x2 
 

2
8
 x2  x x  x2 
2
1
1 2
2
2
2
2
2
1  x1  x2   x2  2 x1 x2  3x1    3x2  2 x1 x2  x1 
 
8
x12  x1 x2  x22
3
4  5 x14 x2  3 x25  3 x15  5 x1 x24  x12  x1 x2  x22 
Sсегмента


3
2
2
2
2
S ABC
5  x1  x2   x2  2 x1 x2  3x1    3x2  2 x1 x2  x1 





4 5 x1 x2  x13  x23   3  x15  x25   x12  x1 x2  x22 
5  x1  x2   x  2 x1 x2  3x    3x  2 x1 x2  x
3
2
2

2
1
2
2
2
1



4  x1  x2  5 x1 x2  x12  x1 x2  x22   3  x24  x23 x1  x22 x12  x2 x13  x14   x12  x1 x2  x22 
5  x1  x2   x22  2 x1 x2  3x12    3x22  2 x1 x2  x12 
3
4  2 x2 x13  2 x22 x12  2 x1 x23  3x24  3x14  x12  x1 x2  x22 
5  x1  x2   x  2 x1 x2  3x    3x  2 x1 x2  x
2

2
2
2
1
2
2
2
1




2
2
4
4
2
2
4 2 x1 x2  x1  x1 x2  x2   3  x1  x2   x1  x1 x2  x2 
 
5  x  x 2  x 2  2 x x  3x 2    3x 2  2 x x  x 2 
1
2
2
1 2
1
2
1 2
1
- 19 -
Проанализируем функцию
4  5 x14 x2  3x25  3x15  5 x1 x24  x12  x1 x2  x22 
Sсегмента
z  x1 ; x2  

3
S ABC
5  x1  x2   x22  2 x1 x2  3x12    3x22  2 x1 x2  x12 
Используя частные производные.
x1  a
x2  b
z

a
0
(1)
0
(2)
Корни уравнения (1)
z

b
Найдём общие корни уравнения (1) и (2).
Подставим корни уравнения (1) в уравнение (2).
При подстановке были найдены общие корни уравнений (1) и (2)
- 20 -
a=-b, a=b.
a  b, _ так _ как _ z _ тогда _ не _ определена
a  b
2 z
6


a 2
5a 2
2 z
6
 2
2
b
5a
2
 z
6
 2
ab
5a
0
c  z ( a; b )  1
- 21 -
3
Аналогично рассмотрена функция y  x
Sсегмента

S ABC
1 Sсегмента

1
2
S ABC
- 22 -
Заключение. Итоги работы
1) Отношение площади сегмента к площади треугольника
остаётся постоянным для графиков функций , симметричных
относительно оси ординат, с симметричными точками касания
только для степенных функций.
2) Для графиков функций
y  x 1
4
, y  x , y  x отношение
3
площади сегмента к площади треугольника не остаётся
постоянным для произвольных точек касания.
3) Сформулировано необходимое условие постоянства
отношения площади сегмента к площади треугольника.
4) Получены три свойства графика функции
y  x 1
.
- 23 -
Литература
Бронштейн И. Н. Парабола // Квант. – 1975. №4. – С. 9-16
Никольский С. М. Курс математического анализа. Том І // Наука.
– 1983.
Демидович Б. П. Сборник задач и упражнений по
математическому анализу // Издательство Московского
университета. – 1997.
- 24 -