11_modul_15_urok_3

(Класс 11, модуль XV, практикум, урок 3)
Урок 3. Геометрические пропорции
План урока






3.1. Теорема Фалеса и подобие треугольников
3.2. Задачи на применение подобия треугольников
3.3. Применение подобия при вычислении отрезков и площадей
3.4. Применение свойства биссектрисы треугольника
Тесты
Домашнее задание
Цели урока:
Напомнить о теореме Фалеса, о подобии, о свойствах медиан, высот и биссектрис
треугольника и рассмотреть примеры решений задач, основанных на применении этих
свойств.
3.1. Теорема Фалеса и подобие треугольников
В этом разделе будут рассмотрены примеры задач по планиметрии, при решении которых
приходится вычислять отношения длин некоторых отрезков или отношения площадей
некоторых фигур. При этом, важным элементом в решении рассматриваемых задач
является использование подобия треугольников и теоремы Фалеса о параллельных
прямых, пересекающих стороны угла.
Теорема Фалеса. Если через точки, расположенные на одной стороне угла
провести параллельные прямые, пересекающие другую сторону угла, то получающиеся
при этом на второй стороне угла отрезки пропорциональны соответствующим отрезкам на
первой стороне угла.
Иногда параллельные прямые или подобные треугольники возникают на чертеже,
сделанном непосредственно по условию задачи. Однако в некоторых случаях требуется
выполнить дополнительные построения, чтобы получить полезные для решения
параллельные прямые или подобные треугольники.
Напомним, что два треугольника подобны, если можно установить такое
соответствие между их вершинами, что углы при соответственных вершинах равны, а
соответственные стороны пропорциональны. Например, если A  A1 , B  B1 ,
C  C1 и AAB
 AAC
 BBC
 k , то ABC A1B1C1 .
1B1
1C1
1C1
Число k называется коэффициентом подобия треугольника ABC треугольнику
A1B1C1 . Для краткости k называют также коэффициентом подобия треугольников ABC и
A1 B1C1 .
Для доказательства подобия треугольников применяются признаки, которые мы
постепенно напомним.
Первый признак подобия треугольников. Если два угла одного треугольника
соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Вопрос. Какие признаки подобия треугольников вы знаете?
3.2. Задачи на применение подобия треугольников
Часто подобие треугольников устанавливают, сравнивая их углы.
Пример 1. На сторонах BC и CD параллелограмма ABCD выбраны точки M и N .
Прямые BN
и AM
пересекаются в точке K , при этом DN  2CN ,
KN  3BK . Найти отношение BM  MC .
Решение. Сделаем чертеж (рисунок 1). На этом чертеже нет ни одной пары подобных
треугольников. Теперь продолжим прямую BN до пересечения с прямой AD в точке L
(рисунок 2). В результате такого простого дополнительного построения получим
подобные треугольники BCN и DNL , так как CBN  NLD и BNC  DNL .
Треугольники BMK и AKL тоже подобны, так как MBK  KLA и BKM 
KL
BKM  AKL . Коэффициент подобия треугольников AKL и BKM равен BK
 11bb  11 .
3a
AL
Поэтому 11  BM
, BM  113 a . Но тогда MC  BC  BM  118 a и BM  MC  113  118  3  8 .
 BM
Ответ: BM  MC  3  8 .
Пример 2. Прямоугольный треугольник ABC с катетами AC  3 и BC  2 вписан в
квадрат. Известно, что вершина A совпадает с вершиной квадрата, а вершины B и C
лежат на его сторонах, не содержащих точку A . Найти площадь этого квадрата.
Решение. Сделаем чертеж (рисунок 3). Обозначим сторону квадрата AA1 A2 A3 через x .
Если мы найдем x , то после этого найдем и площадь квадрата.
Заметим, что треугольники AA1C и CA2 B подобны. Действительно,
AA1C  CA2 B  90 
ACA1  CBA2 
так как, с одной стороны,
CBA2  90  BCA2 
а с другой стороны,
ACA1  A1CA2  BCA2  ACB 
 180  BCA2  90  90  BCA2 
Коэффициент подобия треугольников AA1C и CBA2 равен
AC
CB
 32 . Значит,
AA1
CA2
 32 , откуда
CA2  23 x . Тогда A1C  x  23 x  13 x , и для нахождения x достаточно записать теорему
Пифагора для треугольника AA1C :
1
81
AA12  A1C 2  AC 2  x 2  x 2  9 x 2  
9
10
2
Искомая площадь квадрата AA1 A2 A3 как раз равняется x .
Ответ:
81
10
.
Когда в задаче говорится о медианах треугольника, бывает удобно использовать
свойство точки пересечения медиан.
Медианы треугольника пересекаются в одной точке, и каждая медиана
делится точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершины треугольника.
Пример 3. В треугольнике ABC медианы AM , BN и высота AH равны соответственно
5, 72 и 3. Точка M лежит между B и H . Найдем площадь треугольника ABC .
Решение. Пусть медианы AM и BN пересекаются в точке O (рисунок 4). Тогда по
свойству точки пересечения медиан имеем OM  13 AM  53 , BO  23 BN  73 .
Опустим из точки O перпендикуляр OK к стороне BC (рисунок 5). Так как OK AH , то
MOK AMH . Поэтому
OK MO 1
1

  OK  AH  1
AH AM 3
3
В результате в прямоугольных треугольниках BOK и MOK становятся известными по
две стороны, откуда
49
2 10
BK  BO 2  OK 2 
1 

9
3
MK  MO 2  OK 2 
25
4
1  
9
3
Так как по условию точка M лежит между B и H , то точка K лежит между M и H ,
следовательно, точка M лежит между B и K . Поэтому
2( 10  2)
BM  BK  MK 

3
BC  2 BM 
S
ABC

4( 10  2)

3
1
AH  BC  2( 10  2)
2
Ответ: 2( 10  2) .
3.3. Применение подобия при вычислении отрезков и площадей
Подобие треугольников иногда устанавливают по второму признаку подобия.
Второй признак подобия треугольников. Если BAC  B1 AC
1 1
AC
AB
и A1B1  A1C1 , то ABC A1B1C1 .
Пример 4. Окружность, построенная на стороне AC треугольника ABC как на диаметре,
проходит через середину K стороны BC и пересекает сторону AB в точке D так, что
1
AD  AB . Требуется найти DK , если AC  1 .
3
Решение. Сделаем чертеж (рисунок 6). Так как AC - – диаметр, то из точек данной
окружности отрезок AC виден под углом в 90 . В частности, ADC 
 AKC  90 . Прямоугольные треугольники ABK и CBD имеют общий острый угол и
BD
DBK
поэтому подобны. Значит, BK
AB  BC . Но тогда получается, что треугольники ABC и
BD
BKD
имеют общий угол B , а BK
AB  BC . Следовательно, по второму признаку подобия
ABC .
Так как DK и AC являются соответственными сторонами треугольников BKD и ABC ,
то для получения ответа достаточно найти коэффициент подобия этих треугольников.
AB
 BK
Пусть BK  x , BD  2 y . Тогда BC  2x , AB  3 y . Так как ABK BCD , то BC
BD или
3y
2x
 2xy , x 2  3 y 2 , x  3 y . В треугольниках BKD и ABC стороны BD и BC
соответственные, поэтому их коэффициент подобия
2y
y
y
k  BD
BC  2 x  x  3 y 
1
3

Следовательно,
DK  k  AC 
Ответ:
1
3
1
3
1 
1
3

.
Пример 5. В тупоугольном равнобедренном треугольнике ABC проведена высота AH ,
пересекающая описанную около треугольника окружность в точке D . Требуется найти
площадь треугольника ABC , если AH  18 , DH  7 .
Решение. Так как треугольник тупоугольный, то основание высоты AH находится на
продолжении стороны BC . Сделаем чертеж (рисунок 7) и вычислим AD  AH  DH  11 .
Заметим, что треугольники AHB и HCD подобны. Действительно, угол AHB прямой и
общий для этих треугольников. По свойству вписанного четырехугольника
DCB  DAB  180 
Но так как
HCD  DCB  180 
то DAB  HCD . Следовательно, AHB HCD по первому признаку подобия.
Положим HC  x , CB  y . Так как AHB HCD , то
HC
DC
DH
HB  AH  AB
или
7
x
DC
x  y  18  AB 
откуда
x( x  y )  7 18 .
С другой стороны AC  CB  y . Применив к прямоугольному треугольнику AHC
теорему Пифагора, находим 182  x 2  y 2 
Итак, пара чисел ( x y ) — решение системы
 x  ( x  y )  7  18
 2
2
2
 y  x  18
Деля почленно второе уравнение на первое, получаем:
y  x 18
21
75
72  32
2
 , 7 y  25 x, x 
, x , y
.
2
x
7
4
4
4
Следовательно,
1
1
75 675
SABC  AH  CB   18  
.
2
2
4
4
Ответ:
675
4
.
Когда фигура F1 подобна фигуре F2 с коэффициентом подобия k , то каждый
отрезок фигуры F1 пропорционален соответствующему отрезку фигуры F2 с
коэффициентом k . В частности, у подобных треугольников отношения радиусов
вписанных и радиусов описанных окружностей равны коэффициенту подобия.
Пример 6. Два прямоугольных треугольника ABC и BCD имеют общую гипотенузу BC ,
длина которой равна 5, и расположены так, что катеты AB и CD пересекаются в точке O .
Известно, что радиус окружности, вписанной в треугольник DOB , в 3 раза больше
радиуса окружности, вписанной в треугольник AOC , а длина катета BD равна 3.
Требуется найти площадь треугольника BOC .
Решение. Сделаем чертеж (рисунок 8). Треугольники AOD и DOB подобны, так как по
условию BDO  OAC  90 , а DOB  AOC как вертикальные. Чтобы найти
коэффициент подобия, воспользуемся тем, что в подобных треугольниках стороны
относятся так же, как и радиусы вписанных окружностей. Поэтому коэффициент подобия
1
треугольника BOD треугольнику AOC равен 3. Значит, BD
AC  3 , AC  3 BD  1 . После
этого из треугольников BDC и BAC по теореме Пифагора получаем
DC  52  32  4
BA  52  12  2 6 
Пусть OAx , OC y . Так как
BO
OC
 DO
OA 3 , то BO3 y , DO3 x , поэтому
4  DC  DO  OC  3x  y
2 6  BA  BO  OA  3 y  x
Из первого уравнения y  4  3x . Подставляя это выражение во второе уравнение,
получаем 2 6  12  9x  x , 8x  12  2 6 , x  64 6 , y  3
искомую площадь:
1
1
S BOC  BO  AC   3 y 1 
2
2
1
3 6  2 3(3 6  2)
 3


2
4
8
6 2
4
. Теперь можно найти
Ответ: 3(3 86  2) .
Вопрос. Как доказать, что на рисунке 8 треугольники BOC и AOD подобны?
Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
Это позволяет по коэффициенту подобия и площади одного из подобных треугольников
находить площадь другого треугольника, а по отношению площадей подобных
треугольников находить коэффициент их подобия.
Пример 7. Через некоторую точку внутри треугольника площади S проведены прямые,
параллельные двум из его сторон. Площади треугольников, отсекаемых этими прямыми,
равны S1 и S 2 . Требуется найти площадь треугольника, ограниченного этими прямыми и
третьей стороной треугольника.
Решение. Сделаем чертеж (рисунок 9) и положим
S ABC  S  S ECF  S1 S GBH  S2 
Так как ECF ABC , то
S ECF  S ABC  (CF  BC ) 2 
откуда
 CF
CF  SS1 BC
BC 
Аналогично, из подобия треугольников GBH и ABC следует равенство
S1
S
BH 
Теперь легко находим
S2
S
BC
HF  CF  BH  BC 
 S

S
  1  2  1 BC
S
 S

следовательно,
HF  BC  SS1  SS2  1
Треугольники PFH и ABC также подобны, причем коэффициент подобия k равен
HF  BC . Поэтому
S PFH  k 2  S ABC 
2
 S

S
  1  2  1  S 
S
 S

 ( S1  S2  S ) 2 
Ответ: ( S1  S2  S )2 .
Вопрос. При каком соотношении между величинами S , S1 и S 2 задача имеет смысл?
Пусть треугольники ABC и ADE имеют общий угол при вершине A (рисунок 10).
Напомним, что площади таких треугольников связаны соотношением
AE
S ADE  AD
AB  AC  S ABC 
Отсюда следует, что, используя отношения отрезков площадь одного из треугольников
можно выразить через площадь другого.
Пример 8. В параллелограмме ABCD точка M — середина стороны CD . Известно, что
биссектриса угла C параллелограмма делит треугольник AMD на две части равной
площади. Необходимо найти длину стороны BC , если AB  4 .
Решение. Сделаем чертеж (рисунок 11). По условию S APK  12 S AMD . С другой стороны,
AP AK
S APK  AM
 AD  S AMD 
AP AK
 AD  12 .
Поэтому условие задачи выполняется тогда, когда AM
Положим BC  x . Так как DKC   BCK  KCD , то треугольник KCD
x4
равнобедренный и KD  CD  4 . Значит, AK  x  4 и AK
AD  x .
Для вычисления отношения AP : AM проведем ME AD (рисунок 12). Тогда
ME  12 DK  2 , и из подобия треугольников APK и PME следует, что
x4
AP
AK
PM   ME  2 .
Отсюда
2
PM 
AP
x4
AM  AP  PM 
2 
x2

 1 
AP
 AP 
x4
 x4
x4
AP  AM 

x2
Составим теперь уравнение
AP
AM
 AK
AD 
x 4
x2
 xx 4  12 
вследствие которого
2( x  4)2  x( x  2)
x 2  14 x  32  0
D  142  4  32  4 17
x1  7  17  x2  7  17 
При x  x1 точка K лежит на отрезке AD , и в этом случае биссектриса CK делит
треугольник ABM на две части.
Корень x  x2 соответствует тому, что точка K лежит вне отрезка AD .
Следовательно, корень x2 посторонний.
Ответ: 7  17 .
Вопрос. Какой геометрический смысл можно придать корню x2 , который получился при
решении квадратного уравнения?
3.4. Применение свойства биссектрисы треугольника
Иногда при решении задач оказывается полезным свойство биссектрисы угла
треугольника.
Биссектриса треугольника ABC , проведенная из вершины B , делит сторону
AC на отрезки, пропорциональные прилежащим к ним сторонам треугольника.
Пример 9. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC длина биссектрисы
ABC равна 12. Найдем угол при основании треугольника, если известно, что AB  AC и
что прямая, параллельная AB  AC и делящая площадь треугольника пополам, пересекает
треугольник по отрезку длиной 3 10 .
Решение. В случае AB  AC биссектриса CL делит треугольник на части так, что
площадь треугольника ALC меньше площади треугольника BLC . С учетом этого
замечания сделаем чертеж, на котором MN CL и S BMN  12 S ABC (рисунок 13). Положим
ABBCx , AC y , S ABC S .
По свойству биссектрисы имеем
AL
AC
AL
 xy ,
BL  BC или x  AL
откуда
2
AL  xxy y  BL  x  AL  xx y 
Поэтому
BL
S BLC  BA
 S ABC  x x y S 
Так как
S BMN  12 S и BMN BLC
причем стороне MN соответствует сторона LC , то
S BMN  S BLC  ( MN  LC ) 2
или
x y
2x

 
3 12
12
2
Отсюда 4( x  y )  5 x , x  4 y .
Для вычисления угла BAC
cos BAH 
AH
AB
 2yx  8yy  18 .
проведем высоту
BH
(рисунок 14). Тогда
AH  2y ,
Ответ: arccos 18 .
Вопрос. Чему равны стороны треугольника ABC ?
Проверь себя. Геометрические пропорции
Задание 1. Укажите правильный вариант ответа
В трапеции с основаниями 15 см и 6 см средняя линия пересекает диагонали в точках M
и N . Чему равна длина отрезка MN ?
 1. 3 см
 2. 4 см
 3. 5 см
 4. 6 см
(Правильный вариант: 2)
В трапеции с основаниями 30 см и 70 см через точку пересечения диагоналей параллельно
основаниям проводится прямая, пересекающая боковые стороны в точках M и N . Чему
равна длина отрезка MN ?
 1. 36 см
 2. 42 см
 3. 48 см
 4. 54 см
(Правильный вариант: 2)
В трапеции ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке P . Известно, что площади
треугольников ADP и BCP , равны 64 и 36 соответственно. Чему равна площадь
треугольника ABP ?
 1. 40
 2. 44
 3. 48
 4. 52
(Правильный вариант: 3)
В выпуклом четырехугольнике ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке P .
Известно, что площади треугольников ABP , BCP , CDP равны 6, 12, 18
соответственно. Чему равна площадь треугольника ADP ?
 1. 9
 2. 12
 3. 15
 4. 24
(Правильный вариант: 1)
Проверь себя. Геометрические пропорции
Задание 2. Укажите правильный вариант ответа
В остроугольном равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC к боковой
стороне BC проведена высота AH . Известно, что BH  3 , HC  2 . Чему равна площадь
треугольника ABC ?
 1. 10
 2. 15
 3. 20
 4. 25
(Правильный вариант: 1)
В остроугольном треугольнике ABC биссектриса угла B пересекает высоту AH в точке
P . Известно, что AP : PH  5: 3 . Чему равен тангенс угла ABC ?
3
4
4
 2.
3
3
 3.
5
5
 4.
3
 1.
(Правильный вариант: 2)
В треугольнике ABC биссектриса BL пересекает медиану AM в точке P . Известно, что
AL : LC  3: 2 . Чему равно отношение AP : PM ?
 1.
 2.
 3.
 4.
4:3
4 :1
3:1
2 :1
(Правильный вариант: 3)
В треугольнике ABC через вершину A и середину средней линии, которая параллельна
стороне AC , проводится прямая, пересекающая сторону BC в точке K . Чему равно
отношение BK : KC ?
 1. 1: 4
 2. 1: 3
 3. 1: 2
 4. 2 : 3
(Правильный вариант: 3)
Домашнее задание
1. На сторонах BC и AC треугольника ABC выбраны точки M и N . Прямые AM и
BN пересекаются в точке K , причем BK  2 KN , AK  3 KM . Найдите отношение
BM  MC .
2. Точки M и N выбраны на основании BC и боковой стороне CD трапеции ABCD .
Прямые AM и BN пересекаются в точке K , причем AK  3 KM , KN  2 BK . Найдите
отношение CN  ND .
3. Основания BC и AD трапеции ABCD таковы, что AD  3 BC . На сторонах AB и CD
выбраны соответственно точки M и N так, что BM  2 AM и прямая MN делит
площадь трапеции пополам. Найдите отношение CN  ND .
4. В параллелограмме ABCD диагональ AC образует со стороной AD угол в 30 . Точка
K — середина стороны CD . Отрезки AK и BD пересекаются в точке E . Найдите AC ,
если расстояние от точки E до BC равно 1.
5. В параллелограмме ABCD угол BAD равен 45 , сторона CD равна 6. Точка K —
середина стороны CD . Отрезки AK и BD пересекаются в точке E . Найдите расстояние
от точки E до прямой BC .
6. В параллелограмме ABCD со стороной AB  2 3 точка K –середина стороны CD .
Отрезки AK и BD пересекаются в точке E . Найдите углы параллелограмма, если
расстояние от точки E до прямой BC равно 2.
7. В параллелограмме ABCD угол BAD равен 60 . Точка K лежит на стороне CD .
Отрезки AK и BD пересекаются в точке E . Найдите AB , если расстояние от точки E до
прямой BC равно a и отношение CK  KD равно: а) 1:2; б) 2:1; в) m  n .
8. В прямоугольном треугольнике ABC катеты AC и BC равны 2 и 3 соответственно. К
прямой, проходящей через вершину C , проведены перпендикуляры AH и BK . Известно,
что точка H лежит между точками C и K , CK  3 CH . Найдите площадь трапеции
AHBK .
9. В прямоугольном треугольнике ABC катеты AC и BC равны 1 и 2 соответственно.
Через вершину C проведена прямая. Из вершин A и B на эту прямую опущены
перпендикуляры AH и BK . Известно, что точка C лежит между точками H и K .
Найдите площадь трапеции AHKB .
10. Прямоугольный треугольник ABC с катетами AC и BC , равными 3 и 1
соответственно, вписан в прямоугольник AEFG . Известно, что точка B лежит на GF ,
точка C лежит на EF , EC  EC  2 CF . Найдите площадь треугольника ABG .
11. В остроугольном треугольнике ABC длины медиан BM , CN и высоты AH равны
соответственно 4 см, 5 см и 6 см. Найдите площадь треугольника.
12. В остроугольном треугольнике ABC высота AH , медиана BM и сторона BC
соответственно равны 9 см, 7,5 см и 7 см. Найдите длину медианы CN .
13. В треугольнике ABC высота AH , медиана BN и сторона BC соответственно равны
5 см, 6,5 см и 10 см. Найдите длину медианы AM , если известно, что точка H лежит
между B и M .
14. В остроугольном равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC проведена
высота AH , продолжение которой пересекает описанную около треугольника окружность
в точке D . Найдите площадь треугольника ABC , если AH  9 , AD  13 .
15. В тупоугольном равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC проведена
высота AH , которая пересекает описанную около треугольника окружность в точке D .
Найдите площадь треугольника ABC , если AH  3 , DH  12 .
16. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC проведен диаметр AD
описанной около него окружности, который пересекает сторону BC в точке E . Найдите
боковые стороны треугольника ABC , если AE  25 , ED  7 .
17. В параллелограмме ABCD точка M — середина стороны AB . Известно, что
биссектриса угла C параллелограмма делит треугольник AMD на две части равной
площади. Найдите длину стороны AD , если CD  4 .
18. В треугольнике ABC точки M и N — середины сторон AB и BC соответственно.
Точка L лежит на отрезке AB , причем отрезок CL делит треугольник BMN на две части
равной площади. Найдите отношение длин отрезков AL и BL .
19. В треугольнике ABC точка M — середина стороны BC . Точка L лежит на стороне
AB , отрезок CL делит треугольник ABM на две части равной площади. Найдите
отношение длин отрезков AL и LB .
20. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC длина высоты CH равна
3 14 . Найдите стороны треугольника, если известно, что AB  AC и что прямая,
параллельная отрезку CH и делящая площадь треугольника пополам, пересекает его по
отрезку длиной 2 21 .
21. В равнобедренной трапеции ABCD угол A равен 60 , а длина диагонали AC равна
2 3 . Найдите площадь трапеции, если известно, что прямая, параллельная AC и делящая
площадь трапеции пополам, пересекает трапецию по отрезку, длина которого равна 3.
22. В тупоугольном равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC высота CH
равна 24. Найдите стороны треугольника ABC , если известно, что прямая, параллельная
CH и делящая площадь треугольника пополам, пересекает его по отрезку длиной 15.
23. Через вершину A квадрата ABCD проведена прямая l , не пересекающая стороны BC
и CD . Прямые BC , CD и BD пересекают прямую l в точках M , N , K . Определите
сторону квадрата, если MN  3 , NK  1.
24. В треугольнике ABC со сторонами AB  14 , AC  15 , BC  13 через основание
высоты CH проводятся прямые, параллельные AC и BC , которые пересекают стороны
BC и AC треугольника в точках M и N . Прямая MN пересекает продолжение стороны
AB в точке D . Найдите длину отрезка BD .
25. Диагональ AC равнобедренной трапеции ABCD является биссектрисой острого угла
A при основании AD . Перпендикуляр, проведенный к диагонали AC через ее середину,
пересекает продолжение стороны CD в точке E . Найдите длину отрезка DE , если
AB  25 , AC  40 .
26. Через вершину D ромба ABCD проведена прямая l , не пересекающая стороны AB и
BC . Прямые AB , BC и AC пересекают l в точках P , Q , R соответственно. Найдите
длину отрезка QR , если PD  6 , DQ  4 .
27. В трапецию ABCD вписана окружность. Продолжения боковых сторон трапеции AD
и BC за точки D и C пересекаются в точке E . Периметр треугольника DCE и длина
основания трапеции AB равны соответственно 60 и 20, величина угла ADC равна 120 .
Найдите радиус окружности.
Рисунки (названия файлов)
Рисунок 1. 11-3-01.CDR
Рисунок 2. 11-3-02.CDR
Рисунок 3. 11-3-03.CDR
Рисунок 4. 11-3-04.CDR
Рисунок 5. 11-3-05.CDR
Рисунок 6. 11-3-06.CDR
Рисунок 7. 11-3-07.CDR
Рисунок 8. 11-3-08.CDR
Рисунок 9. 11-3-09.CDR
Рисунок 10. 11-3-10.CDR
Рисунок 11. 11-3-11.CDR
Рисунок 12. 11-3-12.CDR
Рисунок 13. 11-3-13.CDR
Рисунок 14. 11-3-14.CDR