bilety7 - Филипповская школа

Ф И Л И П П О В С К А Я
Ш К О Л А
БИЛЕТ №1
1. Сформулируйте аксиомы о точках и прямых. Докажите теорему: две
различные прямые не могут иметь более одной общей точки.
2. Точки А, В, С, D лежат на одной прямой. Известно, что АВ = 20, BС = 19,
СD = 15. Найдите AD. Сделайте чертёж.
3. Сформулируйте определение равнобедренного треугольника. Приведите
примеры его свойств (не менее четырёх) и докажите одно из них.
4. Докажите, что если в прямоугольных треугольниках ABC и A`B`C `
AC  A`C `, AB  A`B`, то ABC  A`B`C`. Разберите все возможные случаи.
Ф И Л И П П О В С К А Я
Ш К О Л А
БИЛЕТ №2
1. Сформулируйте аксиомы а) об откладывании отрезка заданной длины и б)
об откладывании угла заданной величины. Докажите теорему: через точку,
лежащую на прямой можно провести к ней перпендикуляр, причём только
один.
2. На плоскости заданы четыре различные прямые. Нарисуйте все возможные
случаи взаимного расположения этих прямых. На сколько частей эти
прямые могут разделить плоскость?
3. Сформулируйте определение смежных и вертикальных углов. Докажите
свойство смежных углов. Докажите свойство вертикальных углов. Чему
равны величины смежных углов, если они относятся как 2 : 3 ?
4. Докажите, что медиана равнобедренного треугольника, проведённая к его
основанию, является также высотой и биссектрисой.
Ф И Л И П П О В С К А Я
Ш К О Л А
БИЛЕТ №3
1. Сформулируйте определения а) треугольника, нарисуйте различные виды
треугольников; б) высоты треугольника; в) биссектрисы угла и биссектрисы
треугольника; г) медианы треугольника. Сделайте рисунки.
2. Часы со стрелками показывают 12.20. Вычислите наименьший угол между
часовой и минутной стрелками этих часов?
3. Докажите, что если в прямоугольных треугольниках ABC и A`B`C `
ACB  A`C `B` 90 , AC  A`C `, B  B`, то ABC  A`B`C`.
4. Докажите, теорему: медиана равнобедренного треугольника, проведённая к
его основанию, является также его высотой и его биссектрисой.
Ф И Л И П П О В С К А Я
Ш К О Л А
БИЛЕТ №4
1. Сформулируйте определение высоты треугольника; объясните, в каких
случаях высота треугольника лежит вне этого треугольника; совпадает с его
стороной; лежит во внутренней области треугольника? Докажите теорему:
если
в
треугольнике
две
высоты
равны,
то
этот
треугольник
равнобедренный.
2. Точки А, В, С, D лежат на одной прямой. Известно, что АВ = 19, BС = 18,
СD = 17. Найдите AD. Сделайте чертёж.
3. Сформулируйте свойства равнобедренного треугольника.
С
Докажите: биссектриса равнобедренного треугольника,
Т
проведённая к его основанию является его медианой.
4. В
треугольнике
ABC
известно,
что
AC  AB, CAX  BAY , XP  AB, YT  AC . Докажите,
что XP  YT .
Х
Y
А
В
Р
Ф И Л И П П О В С К А Я
Ш К О Л А
БИЛЕТ №5
1. Сформулируйте определение медианы треугольника. Докажите теорему: в
равнобедренном треугольнике существуют две медианы равные между
собой.
2. Нарисуйте ABC  150 , ABD  10 . Постройте биссектрисы этих углов и
вычислите угол между ними.
3. Сформулируйте определение равенства треугольников и три основных
признака равенства треугольников. Объясните, как при помощи циркуля и
линейки построить треугольник по трём заданным его сторонам. В каких
случаях эта задача имеет решение?
4. Периметр равнобедренного треугольника АВС равен 80 см. Известно, что
АВ=30 см. Найдите длины сторон АС и СВ в сантиметрах. Сколько решений
имеет задача?
Ф И Л И П П О В С К А Я
Ш К О Л А
БИЛЕТ №6
1. Через точку О проведены три прямые, при этом два из шести
образовавшихся углов равны 50 и 20 . Найти остальные углы.
2. Сформулируйте определение равенства треугольников и три основных
признака равенства треугольников. Докажите, признак равенства
треугольников «по стороне и двум прилежащим к ней углам».
3. Сформулируйте определение равнобедренного треугольника. Докажите, что
биссектрисы, проведённые к его боковым сторонам равны между собой.
4. Точка М, лежит на прямой АВ и AM : MB  5: 4 . Известно, что длина
отрезка АВ равна 27 см. Найдите длину отрезков АМ в сантиметрах.
Сделайте чертёж.
Ф И Л И П П О В С К А Я
Ш К О Л А
БИЛЕТ №7
1. На плоскости проведены три прямые линии. Нарисуйте все возможные
случаи взаимного расположения этих прямых. На сколько частей эти
прямые разделили всю плоскость?
2. Сформулируйте определение равенства треугольников и три основных
признака равенства треугольников. Докажите, признак равенства
треугольников «по двум сторонам и углу между ними».
3. Сформулируйте определение равнобедренного треугольника. Докажите, что
медианы, проведённые к его боковым сторонам равны между собой.
4. Точка М, лежит на прямой АВ и AM : MB  6 :1. Известно, что длина
отрезка АВ равна 35 см. Найдите длину отрезков ВМ в сантиметрах.
Сделайте чертёж.
Ф И Л И П П О В С К А Я
Ш К О Л А
БИЛЕТ №8
1. Сформулируйте определение равенства треугольников и четыре основных
признака равенства прямоугольных треугольников. Докажите, признак
равенства прямоугольных треугольников «по катету и гипотенузе».
2. Сформулируйте определение равнобедренного треугольника. Докажите, что
медиана, проведённая к его основанию является биссектрисой и высотой.
3. Периметр равнобедренного треугольника АВС равен 50 см. Известно, что
АВ=20 см. Найдите длины сторон АС и СВ в
С
сантиметрах.
4. Дан треугольник ABC , CP  CR, QP  QR . Докажите,
что OP  OR .
P
О
R
А
В
Q
Ф И Л И П П О В С К А Я
Ш К О Л А
БИЛЕТ №9
1. Сформулируйте определение смежных углов. Докажите теорему:
биссектрисы смежных углов перпендикулярны.
2. Сформулируйте определение равенства треугольников и четыре основных
признака равенства прямоугольных треугольников. Докажите, признак
равенства прямоугольных треугольников «по гипотенузе и острому углу».
3. Точка М, лежит на прямой АВ и AM : MB  11: 4 . Известно, что длина
отрезка АВ равна 105 см. Найдите длины отрезков АМ и МВ в сантиметрах
Сделайте чертёж.
4. Периметр равнобедренного треугольника АВС равен 100 см. Известно, что
АВ=20 см. Найдите длины сторон АС и СВ.
Ф И Л И П П О В С К А Я
Ш К О Л А
БИЛЕТ №10
1. Сформулируйте определение перпендикулярных прямых. Докажите
теорему: из точки, не лежащей на прямой, можно опустить ровно один
перпендикуляр к данной прямой.
2. Сформулируйте определение равенства треугольников и четыре основных
признака равенства прямоугольных треугольников. Докажите, признак
равенства прямоугольных треугольников «по катету и гипотенузе».
3. Нарисуйте ABC  50 , ABD  10 . Постройте биссектрисы этих углов и
вычислите угол между ними. Сделайте чертёж.
4. Дан
треугольник
ABC
,
AC  BC , OA  OB
С
,
AOQ  75 . Найдите BOQ .
R
А
P
О
В
Q
Ф И Л И П П О В С К А Я
Ш К О Л А
БИЛЕТ №11
1. Сформулируйте определение перпендикулярных прямых. Докажите
теорему: из точки, не лежащей на прямой, можно опустить ровно один
перпендикуляр к данной прямой.
2. Сформулируйте определение равенства треугольников и четыре основных
признака равенства прямоугольных треугольников. Докажите, признак
равенства прямоугольных треугольников «по катету и гипотенузе».
3. Точка М, лежит на прямой АВ и AM : MB  9 : 5 . Известно, что длина
отрезка АВ равна 56 см. Найдите длины отрезков АМ и
МВ в сантиметрах. Сделайте чертёж.
С
4. Дан треугольник ABC , AP  BR, AR  BP , PAR  15 .
Найдите RBP .
P
R
О
В
А
Ф И Л И П П О В С К А Я
Q
Ш К О Л А
БИЛЕТ №12
1. Сформулируйте аксиомы о точках и прямых. Докажите теорему: две
различные прямые не могут иметь более одной общей точки.
2. На плоскости заданы четыре точки и прямые, причём на каждой из этих
прямых есть хотя бы две из заданных точек. Нарисуйте все возможные
случаи расположения этих точек и соответствующих прямых.
3. Сформулируйте определение равнобедренного треугольника. Приведите
примеры его свойств (не менее трёх) и докажите два из них.
4. В
треугольнике
AC  AB, CAX  BAY
ABC
,
известно,
XP  AB, YT  AC
что
С
.
Т
Х
Докажите, что AP  AT .
Y
А
В
Р
Ф И Л И П П О В С К А Я
Ш К О Л А
БИЛЕТ №13
1. Сформулируйте аксиомы а) об откладывании отрезка заданной длины и б)
об откладывании угла заданной величины. Докажите теорему: через
заданную точку можно провести перпендикуляр к данной прямой, причём
только один.
2. На плоскости заданы четыре различные прямые. Нарисуйте все возможные
случаи взаимного расположения этих прямых. На сколько частей эти
прямые могут разделить плоскость?
3. Дан треугольник ABC , AC  BC , OA  OB . Докажите,
С
что CQ  AB .
4. Докажите,
что
треугольника,
медиана
проведённая
R
равнобедренного
к
его
P
О
основанию,
А
является также высотой и биссектрисой.
Ф И Л И П П О В С К А Я
В
Q
Ш К О Л А
БИЛЕТ №14
1. Сформулируйте определения биссектрисы угла. Дан угол АВС, меньший
развёрнутого угла. Пусть точка M лежит во внутренней области ABC и
отрезки MA и MB перпендикулярны сторонам этого угла и равны между
собой: MA  MB . Докажите, что ВМ – биссектриса ABC .
2. На плоскости заданы четыре различные прямые. Нарисуйте все возможные
случаи их взаимного расположения. На сколько частей эти прямые могут
разделить плоскость?
3. Сформулируйте определение смежных и вертикальных углов. Докажите
свойство смежных углов. Докажите свойство вертикальных углов.
4. Точка М, лежит на прямой АВ и AM : MB  7 : 3 . Известно, что длина
отрезка АВ равна 100 см. Найдите длины отрезков АМ и МВ в сантиметрах.
Сделайте чертёж.