Семинар №11

Семинар №11
Теоремы синусов и косинусов для треугольника.
Мальчик, дальше! Здесь не встретишь ни веселья, ни сокровищ!
Но я вижу – ты смеёшься, эти взоры – два луча.
На, владей волшебной скрипкой, посмотри в глаза чудовищ
И погибни славной смертью, страшной смертью скрипача.
Н. Гумилёв.
1. Дан квадрат ABCD со стороной а. Найдите радиус окружности, проходящей через
середину стороны АВ, центр квадрата и вершину С.
2. Дан ромб со стороной а и острым углом  . Найдите радиус окружности, проходящей
через две соседние вершины ромба и касающейся противоположной стороны ромба,
или её продолжения.
3. Окружность радиуса r касается некоторой прямой в точке М. На этой прямой по
разные стороны от М взяты точки А и В так, что МА = МВ = а. Найдите радиус
окружности, проходящей через точки А и В и касающейся данной окружности.
4. Дан квадрат АВСD со стороной а. Определите расстояние между серединой отрезка
АМ, где М – середина ВС, и точкой N на стороне CD, делящей её так, что CN : ND = 3
: 1.
5. Вокруг треугольника АВС, в котором ВС = а, B =  , C =  , описана
окружность. Биссектриса угла А пересекает окружность в точке К. Найдите АК.
6. Вокруг трапеции описана окружность. Основание трапеции составляет с боковой
стороной угол  , а с диагональю – угол  . Найдите отношение площади
треугольника к площади круга.
7. Найдите сумму квадратов расстояний от точки М, взятой на диаметре некоторой
окружности, до концов любой из параллельных этому диаметру хорд, если радиус
окружности равен R, а расстояние от точки М до центра окружности равно а.
8. Дан правильный треугольник АВС. Точка К делит сторону АС в отношении 2 : 1, а
точа М делит сторону АВ в отношении 1 : 2 (считая в обоих случаях от вершины А).
Доказать, что длина отрезка КМ равна радиусу окружности, описанной около
треугольника АВС.
9. Общая хорда двух пересекающихся окружностей видна из их центров под углами 90
градусов и 60 градусов. Найдите радиусы окружностей, если расстояние между их
центрами равно а.
10. Через вершины А и В треугольника АВС проходит окружность радиуса r,
пересекающая сторону ВС в точке D. Найдите радиус окружности, проходящей через
точки А, D и С, если АВ = с, АС = b.
11. В треугольнике АВС известно: АВ = с, ВС = а, B   . На стороне АВ взята точка М
так, что 2АМ = 3МВ. Найдите расстояние от точки М до стороны АС.
12. На стороне ВС треугольника АВС как на диаметре построена окружность,
пересекающая стороны АВ и АС в точках M и N. Найдите площадь треугольника
АМN, если площадь треугольника АВС равна S, а BAC   .
13. В треугольнике АВС известно: A   , ВА = а, АС = b. На сторонах АС и АВ взяты
точки М и N, где М – середина АС. Найдите длину отрезка MN, если известно, что
площадь треугольника АМN составляет треть площади треугольника АВС.
14. Во вписанном в окружность четырёхугольнике две противоположные стороны
взаимно перпендикулярны, одна из них равна а, прилежащий к ней угол делится
диагональю на части  и  (угол  прилежит к данной стороне). Определите
диагонали четырёхугольника.
15. Окружность радиуса R проходит через вершины А и В треугольника АВС и касается
прямой АС в точке А. Найдите площадь треугольника АВС, зная, что A =  , B =
.
16. В треугольнике АВС биссектриса АК перпендикулярна медиане ВМ, а угол В равен
120 градусов. Найдите отношение площади треугольника АВС к площади описанного
около этого треугольника круга.
17. В треугольнике АВС биссектриса угла АВС пересекает сторону АС в точке К.
3 2
известно, что ВС = 2, КС = 1, ВК =
. Найдите площадь треугольника АВС.
2
18. В трапеции АВСЕ основание АЕ = 16, СЕ = 8 3 . Окружность, проходящая через
точки А, В, С, вторично пересекает прямую АЕ в точке Н, AHB  60 . Найдите АС.
19. Сторона ВС треугольника АВС равна 4, сторона АВ равна 2 19 . Известно, что центр
окружности, проходящей через середины сторон треугольника, лежит на биссектрисе
угла С. Найдите АС.
20. Стороны параллелограмма равны а и b (а  b ). В каких пределах может меняться
косинус острого угла между диагоналями?