09-04-03_Metricheskie_sootnoshenija_v_treugolnike

Тема 4. Метрические соотношения в треугольнике
09-04-03. Решение треугольников
Теория
3.1. Основными элементами треугольника называются его стороны a , b , c и
противолежащие им углы  ,  ,  . К неосновным элементам причисляются: высоты,
биссектрисы, медианы, радиусы вписанной и описанной окружностей, периметр и так
далее.
Основные задачи на решение треугольников состоят в нахождении по некоторым
известным основным элементам треугольника его остальных основных элементов.
Выделяют четыре основных случая, которые по очереди разберем.
Случай 1. Даны три стороны a , b и c .
Косинус угла  можно найти из теоремы косинусов:
b2  c 2  a 2
cos  

2bc
Аналогично можно вычислить косинус угла  и косинус угла  .
Задача имеет решение, если большая из сторон меньше суммы двух других.
Единственность решения следует из третьего признака равенства треугольников.
Пример 1. Пусть a  6 см, b  7 см, c  8 см. Найдите sin  .
Решение. Запишем теорему косинусов для квадрата стороны, лежащей против угла  :
a 2  b 2  c 2  2bc  cos  
Подставляя известные значения, получим
62  72  82  2  7  8  cos  
откуда
49  64  36
77
11
cos  

 
2  7 8
2  7  8 16
Поэтому
(16  11)(16  11) 3 15
 11 
sin   1    


16
16
 16 
3.2. Разберем второй случай решения треугольников.
Случай 2. Даны две стороны a , b и угол между ними  .
Сторону c можно найти по теореме косинусов:
c 2  a 2  b2  2ab  cos  
После этого косинус угла  находится, как указано в предыдущем пункте:
b2  c 2  a 2
cos  

2bc
Наконец, можно записать   180     , и тем самым угол  становится
известным.
Таким образом, во втором случае задача всегда имеет решение, и притом только одно.
Пример 2. Пусть a  3 см, b  4 3 см и   150 . Найдите tg  .
Решение. По теореме косинусов
2
 
c 2  a 2  b2  2ab  cos   9  48  2  3  4 3  
 9  48  36  93 , откуда c  93 (см).
3
2
Далее, b2  a 2  c 2  2ac  cos  ,
48  9  93  2  3 93  cos  
54
9
cos  


2  3 93
93
sin   1 
tg  2
3
9
81
12 2 3



93
93
93

3.3. Разберем третий случай решения треугольников.
Случай 3. Даны сторона a и два угла  и  . Тогда   180     . Следовательно,
sin   sin(    ) cos    cos(    )
Запишем теорему синусов:
a
b
c



sin  sin  sin
Отсюда
a  sin 
a  sin 
b


sin 
sin(    )
a  sin 
a  sin 
c


sin 
sin(    )
Таким образом, если в этом случае     180 , то задача имеет единственное
решение.
Пример. Пусть a  6 см,   30 ,   75 . Найдем сторону b .
Решение.   180      75   .
Следовательно, треугольник равнобедренный, а поэтому c  6 см. После этого, как в
случае 2, находим

3
b2  a 2  a 2  2a 2 cos   2a 2 (1  cos  )  2  36 1 

2 

откуда b  6 2  3 (см).
3.4.** Разберем четвертый случай решения треугольников.
Случай 4. Даны две стороны и угол, лежащий против одной из них, например, даны
стороны a , b и угол  .
Из теоремы синусов можем записать равенство
a
sin    sin 
(1)
b
Стоящее в правой части этого равенства выражение ba  sin  может принимать
различные значения в зависимости от заданных величин a , b и  . При этом возможны
три следующих случая.
I. ba  sin   1 , то есть sin   ba . Тогда равенство (1) невозможно ни при каком
значении угла  , а поэтому треугольника с такими основными элементами не
существует.
Геометрически условие sin   ba означает, что если построить AC  b и с центром в
точке C и радиусом a провести окружность, то луч, проведенный из точки A под углом
 к лучу AC , не пересекается с построенной окружностью (рисунок 1).
II. ba  sin   1 , то есть sin   ba . Тогда равенство (1) возможно лишь при   90 , а
поэтому существует только прямоугольный треугольник с такими основными элементами,
откуда сторона c вычисляется единственным образом.
Геометрически условие sin   ba соответствует рисунку 2.
III.
a
b
 sin   1 , то есть sin   ba . Тогда равенство (1) возможно в двух случаях: угол 
острый и угол  тупой. При     180 мы можем найти угол   180  (   ) и
sin 
вычислить sin   sin(   ) , а затем из теоремы синусов найти c  asin
 .
В третьем случае задача может не иметь решения (например, при a  b и a  120 ),
иметь одно решение (например, при a  b и   90 ) и иметь два решения (рисунок 3).
3.5. Задачи решения треугольников возникают при измерениях на местности. При
этом предполагается, что имеются инструменты, позволяющие с достаточной точностью
измерять расстояние и углы.
В этом пункте разберем наиболее часто встречающийся случай.
Разберем как можно вычислить расстояние от доступной точки A до некоторой
недоступной точки B .
Для вычисления расстояния AB выбирают вторую доступную точку C , из которой
видны точки A и B . Измеряют расстояние AC и углы CAB   и ACB  
(рисунок 4).
Решая треугольник ABC по стороне AC и двум углам  и  , находят сторону AB .
3.6.* Разберем, как можно вычислить расстояние между двумя недоступными точками
A и B.
Для этого выбирают две доступные точки C и D , из которых видны A и B .
Измеряют расстояние CD и углы ADC   , BDC   , ACD   , BCD   (рисунок 5).
Решая треугольник ACD по стороне CD и углам  ,  и треугольник BCD (по
стороне CD и углам  ,  ), находят стороны AC и BC .
Решая треугольник ABC по двум сторонам AC и BC и углу между ними    ,
находят расстояние AB .
3.7.** Разберем, как можно на местности вычислить расстояние между двумя
далекими точками A и B .
Вычисление ведут способом триангуляции, который состоит в следующем.
Соединяют точки A и B сетью треугольников AA1 A2 , A1 A2 A3 , A2 A3 A4 , A3 A4 A5 , A4 A5 B
(рисунок 6), а, возможно и большим числом треугольников.
Вершины треугольников выбирают так, чтобы из каждой вершины треугольника были
видны две другие его вершины, а первый треугольник AA1 A2 выбирают так, чтобы
сторона AA1 была доступна непосредственному измерению.
Измерив сторону AA1 и углы AA1 A2 и A1 AA2 , находят, как в примере из пункта 4.5,
стороны AA2 и A1 A2 у треугольника AA1 A2 .
Затем, зная сторону A1 A2 следующего треугольника A1 A2 A3 и измерив его углы при
вершинах A1 и A2 , вычисляют другие его стороны и так далее.
Найдя все стороны сети треугольников AA1 A2 , A1 A2 A3 ,..., A4 A5 B , переходят к
рассмотрению сети вспомогательных треугольников AA2 A3 , AA3 A4 , AA4 A5 , AA5 B .
В треугольнике AA2 A3 по найденным сторонам AA2 и A2 A3 и углу AA2 A3 , который
равен сумме AA2 A1  A1 A2 A3 , находят сторону AA3 и угол AA3 A2 . Аналогично, в
треугольнике AA3 A4 по сторонам AA3 , A3 A4 и углу AA3 A4 , который равен сумме
AA3 A2  A2 A3 A4 , находят сторону AA4 и угол AA4 A3 и так далее.
Решая таким образом один за другим вспомогательные треугольники, находят,
наконец, сторону AB последнего из этих треугольников (на рисунке 6 – треугольника
AA5 B ).
Контрольные вопросы
1. Какие элементы треугольника называют основными?
2. Как решить треугольник по трем сторонам?
3. Как решить треугольник по двум сторонам и углу между ними?
4. Как решить треугольник по стороне и двум углам?
5.** Как решить треугольник по двум сторонам и углу, противолежащему одной из
этих сторон?
Задачи и упражнения
1. Решите треугольник, если даны:
а) a  20 ,   75 ,   60 ;
б) a  7 , b  23 ,   130 ;
в) a  27 , b  9 ,   138 ;
г) a  7 ; b  2 , c  8 .
2.* Выразите площадь параллелограмма через его стороны m , n и острый угол 
между его диагоналями.
3. В треугольнике ABC проведены биссектрисы BD и AE . Найдите отношение
площадей треугольников ABC и BDE , если AB  5 , BC  8 , AC  13 .
4. Треугольный участок земли ABC был обмерен так называемым полярным
способом. Из точки O , выбранной внутри участка, были измерены расстояния OA , OB ,
OC и углы AOB , BOC . Найдите длину изгороди для ограждения участка при OA  28 м,
OB  43 м, OC  50 м, AOB  152 , BOC  94 .
5.* Найдите неизвестные стороны четырехугольника ABCD , если известно, что:
а) AB  3 , BC  4 , CD  5 , ABC  110 , BCD  130 ;
б) AB  5 , CD  6 , BAC  40 , ABD  50 , ACD  60 .
6. В окружность радиуса R вписана трапеция. Одно основание совпадает с диаметром
окружности, а другое стягивает дугу с центральным углом в 120 . Найдите площадь
трапеции.
Ответы и указания
Задача 2 . Выразите площадь параллелограмма через его стороны m , n и острый угол
 между его диагоналями.
Указание. Рассмотрим сначала случай, когда m  n . Обозначим длины диагоналей
параллелограмма через 2 p и 2q , его площадь через S . Тогда m2  p 2  q 2  2 pq cos  ,
n2  p 2  q 2  2 pq cos  , откуда 4 pq cos   m2  n2 . Поэтому
1
1
1
S   (2 p)  (2q) sin    (4 pq cos  )    m 2  n 2    
2
2
2
2
2


Аналогично, при m  n получается S  12  n  m    . При m  n задача становится

неопределенной.
Задача 3. В треугольнике ABC проведены биссектрисы BD и AE . Найдите отношение
площадей треугольников ABC и BDE , если AB  5 , BC  8 , AC  10 .
Указание. По свойству биссектрисы треугольника получаем,
5
AD
AB
BE
AB
1
DC  BC  8 , EC  AC  2 ,
откуда
DC
8
BE
1
AC  13 , BC  3 .
После
S
S
ABC
BDE
этого
можно
найти
отношение
площадей:
S
S
ABC
BDC

AC
DC
 138 ,
S
S
BDC
BDE

BC
BE
 13 ,
 138  13  398 .
Задача 5  . Найдите неизвестные стороны четырехугольника ABCD , если известно,
что:
а) AB  3 , BC  4 , CD  5 , ABC  110 , BCD  130 ;
б) AB  5 , CD  6 , BAC  40 , ABD  50 , ACD  60 .
Указание. а) Сначала рассмотрим треугольник ABC (рис. 7). По теореме косинусов
AC 2  9  16  24cos110  25  24cos 20 
откуда AC  5 76 . Далее с помощью теоремы косинусов находим
33 2  16  9
cos ACB 
 0 87
2  5 76  4
и тогда
sin ACB  0 48
После этого рассмотрим треугольник ACD .
cos ACD  cos(BCD  ACB) 
 cos130  cos ACB  sin130  sin ACB 
 0 64  0 87  0 77  0 48  019
По теореме косинусов
AD 2  AC 2  CD 2  2 AC  CD cos ACD 
 33 21  25  2  5 76  5  019  69 2
откуда AD  8 32 .
б) Эта задача проще предыдущей, так как из условия следует, что диагонали AC и BD
перпендикулярны (рис. 8). Поэтому
DM  3 3 ,
откуда
BM  5  sin 40  3 21 ,
AM  5sin 50  3 88 ,
CM  3 ,
BC  BM 2  MC 2  4 38 , AD  AM 2  MD2  6 48 .
Задача 6. В окружность радиуса R вписана трапеция. Одно основание совпадает с
диаметром окружности, а другое стягивает дугу с центральным углом в 120 . Найдите
площадь трапеции.
Указание. У этой трапеции высота R2 , основания R 3 и 2R .