Тема 4 Изучение отношений между сторонами и углами в многоугольниках. Задание 1 Доказать что в прямоугольном треугольнике медиана , проведенная к гипотенузе , равна половину длины гипотенузы. Алгоритм управления решением: Сделать чертеж: ABC( B 90 ) , AD DC, DE BC 1.С помощью «теоремы Фалеса» определить отношение между отрезками AE, BE . 2.С помощью «теоремы о равенстве соответственных углов при параллельных прямых определить взаимное расположение отрезков DE, AB . 3.С помощью «теоремы о свойствах медианы в равнобедренном треугольнике» определить отношение между отрезками AD, BD при условии что AE BE DE AB . Задание 2 в треугольнике BC серединами сторон AB, AC соответственно. EAF EDF 1.Доказать что 2.Вычислить отношение между площадями S AD - высота к стороне ABC . Точки E, F AEDF ,S являются ABC Алгоритм управления решением: Сделать чертеж: ABC ( BC - основание треугольника); DF , DE - медианы соответственно к сторонам AC, AB . 1. 1.С помощью «теоремы о медиане , проведенной из вершины прямого угла к гипотенузе» определить отношение между углами ADF , DAF ; ADE, DAE . 2.Определить отношение между углами EAF , EDF при условии что ADF DAF ; ADE DAE 2. 1.Определить отношения между площадями треугольников S ,S ;S ,S при условии что ADF CDF BDE ADE AF FC, AE BE и каждая пара треугольников имеет общую высоту. 2.Определить отношения между площадями S ,S ;S ,S при условии что ADF ADC AED ABD S S ;S S BDE ADF CDF ADE 3.Определить отношение между площадями S S AEDF ,S ABC при условии что 1S 1S ,S S S . AEDF 2 ADC 2 ABD ABC ADC ABD Ответ: 2. S AEDF 1 S 2 ABC В прямоугольнике AE BD . ABCD Задание 3 точка E находится на стороне CD так что AD2 DE DC . 2.Доказать что BD2 DC 2 DE DC . 3. BD 20, DE 9 . Вычислить DC . 1.Доказать что Алгоритм управления решением: Сделать чертеж: прямоугольник ABCD : DC - нижнее основание , AB - верхнее основание. 1. 1.С помощью «теоремы об углах с соответственно перпендикулярными сторонами» определить отношение между углами DAE, BDC . 2.С помощью «теоремы о подобии треугольников по двум углам» определить отношении между треугольниками ADE, BDC при условии что DAE BDC . 3.Определить отношение между отрезками AD, DE, DC при условии что ADE BDC (подобен). 2. 1.С помощью «теоремы Пифагора» определить отношение между отрезками BD, DC, BC . 3. 1.Решить уравнение BD 20, DE 9 . Ответ: BD2 DC 2 DE DC при условии что CD 16 Задание 4 Четырехугольник ABCD вписан в круг. Точка E находится на продолжении стороны CD со стороны точки D . AD BC, AD BC . 1.Доказать что четырехугольник ABCD является равнобедренной трапецией. 2. AE AD . Доказать что четырехугольник ABCD является параллелограммом. 3. S 7S . Вычислить ABCD 3 ADE отношение DC . DE Алгоритм управления решением: Сделать чертеж: четырехугольник ABCD : AC, BD - диагонали; CK AB .. 1. 1.С помощью «теоремы о том что равные хорды стягивают равные дуги» определить отношение между дугами ADC , BDC . 2.С помощью «теоремы об измерении вписанного угла» определить отношение между углами DAB, CBA . 3.С помощью «теоремы об условии вписания четырехугольника в круг» определить отношение между углами ADC, CBA . 4.С помощью «теоремы о смежных углах» определить отношение между углами CDA, EDA . 5.Определить отношение между углами DAB CBA CBA ADE . ADE, DAB при условии что 6.Определить взаимное расположение отрезков CD, AB при условии что DAB ADE . 2. 1.Определить отношение между отрезками BC, AE при условии что BC AD AD AE . 2.С помощью «теоремы о свойствах равнобедренного треугольника» определить отношение между углами ADE, AED при условии что AE AD . 3.Определить отношение между углами AED, CBA при условии что CBA ADE ADE DEA . 4.С помощью «теоремы о равенстве углов , образованных параллельными прямыми» определить отношение между углами DCA, CAB . 5.С помощью «теоремы о сумме внутренних углов треугольника» определить отношение между углами CAE, ACB при условии что CEA CBA ECA CAB 6.С помощью «теоремы о параллельности прямых при равных углах , образованных при пересечении двух прямых третьей» определить отношение между отрезками AE, BC при условии что CAE ACB . 7.С помощью «теоремы о признаке параллелограмма» определить вид четырехугольника CEAB при условии что BC AE BC AE . 3. ( DC AB) CK 7 1 DE CK AB CD DE 2 3 2 DC . DE 1.Из системы отношение Ответ: 3. определить CD 2 DE 3 Задание 5 проведены три высоты ABC AD, BE, CF , которые пересекаются в точке O , находящейся внутри треугольника. ACF ABE . 1.Доказать что 2.Доказать что четырехугольники DOFB, DOEC можно вписать в кружность. ADE ADF . 3.Доказать что В треугольнике Алгоритм управления решением: 1. 1.С помощью «теоремы о сумме внутренних углов треугольника» определить отношение между углами ACF , ABE . 2. 2.С помощью «теоремы о сумме внтренних углов четырехугольника» определить значения сумм EOD ECD, FOD FBD . 3.С помощью «теоремы о вписании четырехугольника в круг» определить возможность вписания в круг четырехугольников DOFB, DOEC при условии EOD ECD 180 , FOD FBD 180 что 3. 1.С помощью «теоремы о подобии треугольников по двум равным углам определить отношение между треугольниками. ADC, BEC; ABD, CFB . 2.Определить отношение между сторонами EC, DC, BC, AC; BD, BE, AB, BC при условии что ADC BEC; ABD CFB (треугольники подобны). 3.С помощью «теоремы о подобии треугольников по двум пропорциональным сторонам и равному углу , заключенному между этими сторонами» определить отношение между треугольниками EDC, ABC; BED, ABC при словии что ECD ACB, EC DC ; FBD ABC, BD FB . BC AC AB BC 4.Определить отношение между углами EDC, FDB при условии EDC BAC; FDB BAC . 5.Определить отношение между углами ADE, ADF при условии EDC FDB . Задание 6 В треугольнике ABC отрезок DE параллелен основанию пересекает отрезок DE в точке G . 1.Доказать что BF GE DG FC . 2.Дано что DG 4, DE 2, BC 9 .Вычислить S BDGF S FGEC что что BC .Отрезок AF . Алгоритм управления решением: BF , EN FC . Сделать чертеж: GM 1. 1.С помощью «теоремы о том что прямая , проведенная в треугольнике параллельно основанию , отсекает треугольник подобный данному» определить отношения между треугольниками DAG, BAF ; GAE, FAC при условии что DG BF , GE FC . 2.Определить отношение между отрезками BF , BG, AF , AG; FC, GE, AF , AG при условии что DAG BAF ; GAE FAC . 3.Определить отношение между отрезками BF , GE, DG, FC при условии что BF AF ; FC AF . DG AG GE AG 2. 1.С помощью формулы S (a b) h 2 площади трапеции , в которой a, b, h - соответственно длина верхнего основания , длина нижнего основания, длина высоты ,S найти площадь трапеций S . BDGF FGEC 2.Определить отношение между величинами ( BF DG) GM , S ( FC GE ) EN при BDGF FGEC 2 2 GM EN BF FC при условии что 3.Решить уравнение DG GE DG 4, GE 2, BF FC 9 S BF DG 4.Определить отношение BDGF при условии что S FGEC FC GE BF 6, DG 4, FC 3, GE 2 . S Ответ: 2. S BDGF условии что 2. S FGEC Задание 7 ABCD - равнобедренная трапеция ( AB, DC - соответственно верхнее и нижнее основания трапеции). Диагонали трапеции AC, BD пересекают среднюю линию трапеции EF соответственно в точках L, K . Точки M , N находятся на нижнем DC . Известно что BM AD, MN NC, AB a, DC b(b a) . 1.Выразить с помощью a, b длину отрезка KL . 2.Доказать что четырехугольник KLCN является параллелограммом. основании Алгоритм управления решением: 1. 1.С помощью «теоремы о средней линии трапеции» найти длину средней линии EF . 2.С помощью «теоремы о средней линии треугольника» найти длины отрезков EK , LF . 3.Решить уравнение EK KL LF EF при условии что EF a b , EK b , LF b . 2 2 2 2. 1.Определить отношение между отрезками BM AD . 2.Решить уравнение AB, DM DC DM MN NC DM b , MN NC . 2 при условии что при условии что 3.С помощью «теоремы о признаке параллелограмма» определить вид четырехугольника KLNC при условии что KL NC KL NC . Ответ: KL a b 2 Задание 8 ABC, AEF - секущие к окружности. Доказать что AB AC AE AF . 2.Вычислить расстояние от точки A до центра окружности если радиус окружности равен 3 и AB AC 16 . 1. A - внешняя точка к окружности. Алгоритм управления решением: Сделать чертеж: AM , AN - касательные к окружности в точках M , N соответственно; точка O - центр окружности. 1. 1.С помощью «теоремы о равенстве прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету» определить отношения между треугольниками AMO, ANO . 2.С помощью «теоремы о равенстве сторон в равных треугольниках» определить отношение между отрезками AM , AN при условии что AMO ANO . 3.С помощью «теоремы об измерении вписанного угла и угла образованного касательной и хордой» определить отношение между углами AMB, MCB . 4.С помощью «теоремы о подобии треугольников по двум равным углам» определить отношение между треугольниками MAC, MAB . 5.Определить отношение между сторонами AM , AC, AB при условии что AMB MCB (треугольники подобны). 6.С помощью «теоремы об измерении вписанного угла и угла образованного касательной и хордой» определить отношение между углами ANE, NFE . 7.С помощью «теоремы о подобии треугольников по двум равным углам» определить отношение между треугольниками NAF , NAE . 8.Определить отношение между сторонами NAF NAE (треугольники подобны). 9.Определить отношения между отрезками AN , AF , AE при условии что AB, AC, AE, AF при условии что AM AC , AN AF , AM AN . AB AM AE AN 2. 1.Решить уравнение AM AC AB AM при условии что AB AC 16 . 2.С помщью «теоремы Пифагора» определить отношения между отрезками AM , AO, OM . 3.Решить уравнение Ответ: AO2 AM 2 OM 2 при условии что AM 4, OM 3 . AO 5 . Задание 9 Треугольник ABC вписанв окружность. Через точку C проведена касательная к окружности , которая пересекает продолжение стороны AB в точке D . Точка E находится на продолжении стороны AC в сторону вершины C так что DE BC . 1.Доказать подобие треугольников AED, DEC 2. AC 16, CE 9 .Найти DE . 3.Найти BC . Алгоритм правления решением: 1 1.С помощью «теоремы об измерении вписанного угла и угла , образованного касательной и хордой» определить отношение между углами BCD, CAD . 2.С помощью «теоремы о равенстве углов при параллельных прямых» определить отношение между углами BCD, EDC при условии что BC DE . 3.С помощью «теоремы о подобии двух треугольников , имеющих по два равных угла» определить отношение между треугольниками AED, DEC . 2 1.Определить отношение между отрезками AE, CE, DE при условии что AED DEC AE DE при DE CE AE AC CE, AC 16, CE 9 . 3.Решить уравнение условии что 3 1.С помощью «теоремы о подобии треугольников , отсекаемых параллельной прямой» определить отношение между треугольниками ACB, AED при условии что BC DE . 2.Определить отношение между отрезками AC, AE, BC, DE при условии что ACB AED . 3.Решить уравнение AE DE AC BC Ответ: 2 DE 15 ; 3. BC 9.6 при условии что AC 16, AE 25, DE 15 Задание 10 Равнобедренный треугольник ABC( AB AC b) вписан в окружность радиуса R. Выразить с помощью параметров b, R длину основания треугольника и длину высоты , проведенной к этому основанию. Алгоритм управления решением: 1.Сделать чертеж: O - центр , AD DC, OK AC . 2.С помощью «теоремы об углах с соответственно перпендикулярными сторонами» определить отношение между углами DAC, OAK при условии что AO DC, OK AC . 3.С помощью «теоремы о подобии двух треугольников , имеющих по два равных угла» определить отношение между треугольниками AOK , ADC . 4.Определить отношение между отрезками OK , DC, AO, AC при условии что AOK ADC . 5.С помощью «теоремы Пифагора» определить отношение между отрезками AO, AK , OK в AKO при условии что OK AC . 6.Решить уравнение AO2 OK 2 AK 2 при условии что AO R, AK b 2 AC DC при условии AO OK AO R, AC b, OK R2 ( b )2 2 7.Решить уравнение что 8.С помощью «теоремы Пифогора» определить отношение между отрезками AD.DC, AC ADC в 9.Решить уравнение AD DC . при условии что AD2 AC 2 DC 2 при условии что 2 2 AC b, DC b 4R b 2R Ответ: 2 b2 2 b 4 R b BC , AD R 2R Задание 11 ABC В треугольнике проведена высота продолжении высоты в сторону вершины EAC . AD .Точка E B так что AB находится на является биссектрисой BCA 2 BAC . 1.Доказать что BC ED BD EA 2.Доказать что BC ED AD BE . Алгоритм управления решением: 1.Определить отношение между углами BCA, EAC при условии что EAB BAC, BCA 2 BAC . 2.С помощью «теоремы о подобии двух треугольников , имеющих по два равных угла» определить отношение между треугольниками BDC, EAC при условии BCA EAC что 3.Определить отношение между отрезками BC, AE, BD, DE при условии что BDC EAC 2 1.С помощью «теоремы о свойстве биссектрисы» определить отношение между отрезками AE, AD, BD, BE 2.Определить отношение между отрезками BC, ED, AD, BE при условии что BC BD , AE BE AE DE AD BD Задание 12 Треугольник ABC вписан в окружность так что сторона AB - диаметр этой окружности и точка O - центр окружности. Через точку C проведена касательная к окружности. Через вершину B проведена прямая, перпендикулярно касательной, которая пересекает касательную в точке D и продолжение стороны AC (со стороны вершины C ) в точке E . 1.Доказать что AC BC AB CD 2.Доказать что BE AB Алгоритм управления решением: 1 1.С помощью «теоремы об измерении вписанных углов и иглов , образованных касательной и хордой» определить отношение между углами ABC, CBD 2.С помощью «теоремы о подобии двух треугольников, имеющих два равных угла» определить отношение между треугольниками ABC, BCD при условии что CAB CBD 3.Определить отношение между отрезками ABC AC, BC, AB, CD при условии что BCD 2 1.С помощью «теоремы об углах с соответственно перпендикулярными сторонами» определить отношение между углами BCD, CED при условии что BC CE, CD ED 2.Определить отношение между углами CAB CBD, CBD CEB CAB, CEB при условии что 3.Определить отношение между отрезками AB, BE в треугольнике AEB при CAB CEB . условии что Задание 13 ABCD a В квадрате со стороной точка E находится на диагонали AC так что CE CD .Точка F находится на стороне AD так что EF AC . 1.Доказать что 2.Доказать что 3.Доказать что DF a( 2 1) . AF a(2 2) . DF 1 . AF 2 Алгоритм управления решением: 2 1.С помощью «теоремы Пифагора» определить отношение между отрезками AC, AB, BC . 2.Решить уравнение AC 2 AB 2 BC 2 при условии что 3.Определить отношение между отрезками AE, CE, AC . 4.Решить уравнение AC AE CE при условии что AB BC a AC a 2,CE a 5.С помощью «теоремы Пифагора» определить отношение между отрезками AF , AE, EF . AF 2 AE 2 EF 2 AE EF a( 2 1) 6.Решить уравнение при условии что 1 1.Определить отношение между отрезками AD, AF , DF . 2.Решить уравнение AD AF DF при условии что AD a, AF a(2 2) 3. 1.Определить отношение между отрезками DF , AF при условии что DF a( 2 1), AF a(2 2) В трапеции ABCD( AB CD) Задание 14 (где DC, AB - соответственно нижнее и верхнее основания трапеции) диагонали трапеции AC, BD пересекаются в точке O . Через эту точкупроводят отрезок , параллельный основаниям , который пересекает боковые ребра AD, BC соответственно в точках E, F . DC 4 Ab, S Найти с S . AOB помощью S площадь S EFDC . Алгоритм управления решением: 1.Сделать чертеж: OM DC, ON AB . 2.С помощью «теоремы о равенстве углов , образемых при параллельных прямых» определить отношение между углами ODC, OBA; OCD, OAB при условии что AB DC . 3.С помощью «теоремы о подобии двух треугольников , имеющих по два равных угла» определить отношение между треугольниками DOC, AOB при словии что ODC OBA; OCD OAB . 4.С помощью «теоремы о связи отношения площадей подобных треугольников с отношением сторон в этих треугольниках» определить отношение между S ,S ; AB.DC; DO, OB; AO, OC; OM , ON при условии что AOB DOC DOC AOB DC AO ; DC DO ; DC OM ; S COD ( DC )2 AB OC AB OB AB ON S AB AOB DC 4 AB, S S. AOB 5.Решить уравнения При условии что 6.С помощью «теоремы о подобии треугольников , получаемых с помощью параллельной прямой» определить отношение между треугольниками ABD, EOD; ABC, FOC при условии что EO AB;OF AB . 7.Определить отношение между отрезками EO, OB, OM , ON ;OF , AB,OM ,ON при условии что ABD EOD; ABC FOC . 8.Решить уравнения AB ON ; AB ON EO OM FO OM 9.С помощью формулы вычисления площади треугольника площади треугольников S EOD ,S FOC ON 1 . OM 4 S ah найти 2 при условии что при условии что EO OM , OM 4ON , EO 4 AB, AB ON S ; DOE 5 2 2 S OF OM , OM 4ON , OF 4 AB, AB ON S COF 5 2 2 10.Найти площадь трапеции S при условии что DCEF S S S S ; EFDC DOC EOD FOC S 16S ,S 16 S ,S 16 S ,S S DOC AOB EOD 5 AOB FOC 5 AOB AOB S Ответ: S EFDC 22.4S Задание 15 В треугольнике BAC проведена высота AD к основанию высоте взята произвольная точка E Доказать что BC . На этой AB2 AC 2 BE 2 CE 2 . Алгоритм управления решением: 1.Определить отношение между отрезками AD, AE, ED . 2.С помощью «теоремы Пифагора» определить отношение между отрезками AB, AD, BD . 3.Определить разность AB2 AD2 при условии что AD AE ED . 4.С омощью «теоремы Пифагора» определить отношение между отрезками BE, ED, BD . AB2 BE 2 AB2 BD2 ( AE DE )2 5.Определить разность при условии что 6.С помощью «теоремы Пифагора» определить отношение между отрезками AC, AD, CD . 3.Определить разность AC 2 AD2 при условии что AD AE ED . 4.С омощью «теоремы Пифагора» определить отношение между отрезками CE, ED, CD . AC 2 CE 2 AC 2 CD2 ( AE DE )2 . 5.Определить разность при условии что 6.Определить отношение между разностями AB2 BE 2, AC 2 CE 2 . Задание 16 Три высоты треугольника ABC пересекаются в точке O , находящейся внутри треугольника. Продолжения высот , выходящих соответственно из точек A, B, C и пересекают окружность соответсвенно в точках D, E, F . DAC CBE . 1.Доказать что DFC CFE 2.Доказать что 3.Доказать что O - центр окружности , вписанной в треугольник DEF . Алгоритм управления решением: 1 1.С помощью «теоремы о равенстве углов с соответственно перпендикулярными сторонами» определить отношение между углами DAC, CBE при условии что BE AC, AD BC . 2.С помощью «теоремы об измерении вписанных углов» определить тношение DAC CBE . между дугами DC, CE при условии что 2 1.С помощью «теоремы об измерении вписанных углов» определить отношение между углами DFC, CFE при условии равенства дуг DC, CE . 3 1.С помощью «теоремы о равенстве углов с соответственно перпендикулярными сторонами» определить отношение между углами BAD, BCF при условии что FC AB, AD BC . 2.С помощью «теоремы об измерении вписанных углов» определить тношение BAD BCF . между дугами BF , BD при условии что 3.С помощью «теоремы об измерении вписанных углов» определить отношение между углами BED, FEB при условии равенства дуг FB, BD . 4.С помощью «теоремы о равенстве углов с соответственно перпендикулярными сторонами» определить отношение между углами ABE, ACF при условии что BE AC, AB FC . 5.С помощью «теоремы об измерении вписанных углов» определить тношение ABE ACF . между дугами AF , AE при условии что 6.С помощью «теоремы об измерении вписанных углов» определить отношение между углами ADF , ADE при условии равенства дуг AF , AE . 7.С помощью «теоремы о пересечении трех биссектрис треугольника в одной точке» определить положение центра вписанной окружности при условии что FEB BED, DFC CFE, ADF ADE . Задание 17 В равнобедренном треугольнике BAC(BA AC) проведена медиана AM к стороне BC . E -точка н7а продолжении стороны AC со стороны вершины C . Продолжение медианы пересекает отрезок BE в точке D и отрезок DK BC . AB CK AE EK 2. AB 8, CK 2 . Найти EK . 1.Доказать что Алгоритм управления решением: 1 1.С помощью «теоремы Фалеса» определить отношение между отрезками CK , KE, BD, DE при условии что DK BC . 2.Определить отношение между углами BAD, DAE при условии что AB AC, BM MC . 3.С помощью «теоремы о свойсте биссектрисы» определить отношение между BAD DAE . отрезками AB, AE, BD, DE при условии что 4.Определить отношение между отрезками AB, AE, CK , EK при условии что CK DB , BD AB EK DE DE AE .2 AB CK при условии AE EK AB 8, AE AB CK KE, CK 2 1.Решить уравнение Ответ: что EK 3 1 3 Задание 18 В треугольнике BAC проведена высота AD к основанию на стороне AC проведен перпендикуляр EF BC . BD 14, DE 6, EC 30 . 1.Найти отношение площадей 2.Найти отношение площадей BC . Из точки S DFC . S ABC S ADEF . S ABC E Алгоритм управления решением: 1 1.С помощью «теоремы о равных углах , образованных параллельными прямыми» определить отношение между углами CAD, CFE при условии что EF AD . 2.С помощью «теоремы о подобии двух треугольников, имеющих два равных угла» определить отношение между треугольниками ADC, EFC при условии что CAD CFE . они оба прямоугольные и 3.Определить отношение между отрезками DC, EC, AD, DF при условии что ADC EFC . EF при условии что AD EF EC , DC DE EC, DE 6, EC 30 . AD DC ah найти площади 5.С помощью формулы площади треугольника S 2 ,S треугольников S . DFC ABC 4.Определить отношение между высотами S DFC при условии что S ABC S DC EF , S BC AD , BC BD DC, BD 14, DC 36 DFC ABC 2 2 6.Найти отношение 2 1.Определить отношение между площадями S ADEF S ADEF при условии S ABC DC AD EC EF S ADRF 2 2 , EF 5 . S BC AD AD 6 ABC 2 2.Определить отношение В треугольнике ,S ADC ,S EFC . что Задание 19 проведены медианы CE, BD , которые пересекаются в BAC F , G соответственно точке M . Точки середины отрезков MC, MB . 1.Доказать (не используя свойство медиан) что четырехугольник EDGF параллелограмм. 2.Доказать свойство медиан в треугольнике. 3.Доказать что S 3S . GFCB 4 EDFG Алгоритм управления решением: 1.Сделать чертеж: ES DG, FT DG 1 1.С помощью «теоремы о средней линии треугольника» определить отношение между отрезками ED, BC;GF , BC при условии что BE EA, AD DC, MF FC, MG GB . 2.Определить отношение между отрезками ED, GF при условии что ED BC, ED 1 BC, GF BC, GF 1 BC . 2 2 3.С помощью «теоремы о признаке параллелограмма по двум сторонам четырехугольника» определить вид четырехугольника EDGF при условии что ED GF , ED GF . 2 1.С помощью «теоремы о свойствах диагоналей параллелограмма» определить отношение между отрезками EM , MF ; DM , MG . 2.Определить отношение между отрезками EM , MC; MD, BM при условии что EM MF FC, MD MG GB . S ah 2 GMF , GME, EMD, DMF . 3.С помощью формулы площади треугольника треугольников найти площади 4.Определить отношение между площадями GM FT , GM ES , MD ES , MD FT 2 2 2 2 ES FT , GM MD, EM MF . при условии что 5.С помощью «теоремы о связи между отношением площадей с отношением сторон в двух подобных треугольниках» найти отношение площадей при условии что S GMF S BMC GF 1 . BC 2 S GFBC при условии S GEDF S 4S ,S 3S . GEDF GMF BGFC GMF 6.Найти отношение площадей что Задание 20 В трапеции (имеющей AD, BC - соответственно нижнее и верхнее основание) стороны BC, CD являются хордами окружности в то время как сторона AB является касательной к окружности в точке B . DCB . 1.Доказать что ABD 2. BC 5, AD 12.8 . Найти BD . ABCD 3.Найти отношение площадей S DCB . S ABCD Алгоритм управления решением: 1 1.С помощью «теоремы о равенстве углов при параллельных прямых» определить отношение между углами DBC, BDA . 2.С помощью «теоремы об измерении вписанноо угла и угла , образованного касательной и хордой» определить отношение между углами ABD, BCD . 3.С помощью «теоремы о подобии двух треугольников , имеющих два равных угла» определить отношение между треугольниками ABD, DCB при условии что DBC BDA, ABD BCD . 2 1.Определить отношение между отрезками BD, BC, AD при условии что ABD DCB . 2.Решить уравнение AD BD BD BC при условии что BC 5, AD 12.8 . 3 1.С помощью «теоремы о связи между отношениями площадей и отношением сторон в подобных треугольниках» определить отношение что AD 12.8 . 5 BC S ABD S BCD при условии S DCB при условии что S ABCD S S S ,S 12.8 S ABCD ABD BCD ABD BCD 5 2.Определить отношение Ответ: 2. BD 8 ; 3. S DCB 25 . S ABCD 89 В прямоугольном треугольнике высота EF AB . Доказать что Задание 21 AEB из вершины прямоуго угла E проведена EF 2 AF FB . Алгоритм управления решением: 1.С помощью «теоремы об углах с соответственно перпендикулярными сторонами» определить отношение между углами FEB, EAB при условии что BE AE, EF AB . 2.С помощью «теоремы о подобии двух прямоугольных треугольников , имеющих по равному углу» определить отношение между треугольниками AEF , BEF FEB EAB . при условии что 3.Определить отношение между отрезками EF , AF , FB при условии что AEF BEF . Задание 22 В параллелограмме ABCD ( DC, AB - соответственно нижняя и верхняя противоположные стороны) диагонали AC, BD пересекаются в точке O . Точка E находится на середине отрезка AO , а точка G находится на продолжении отрезка DE так что AG BD .Отрезок CG пересекает диагональ BD в точке F. Доказать что OF FB . Алгоритм управления решением: 1.С помощью «теоремы о вертикальных углах» определить отношение между углами AEG, DEO . 2.С помощью «теоремы о равенстве углов при параллельных прямых» определить отношение между углами GAE, EOD при условии что AG BD . 3.С помощью «теоремы о равенстве треугольников по стороне и двум углам» определить отношение между треугольниками AEG, DEO при условии что AEG DEO , GAE EOD, AE EO . 4.С помощью «теоремы о равных сторонах в равных треугольниках против равных углов» определить отношение между отрезками DE, EG . 5.С помощью «теоремы Фалеса» определить отношение между отрезками GF , FC при условии что AO OC, GF AG . 6.С помощью «теоремы о средней линии треугольника» определить отношение между отрезками EF , AB при условии что DE EG, GF FC . 7.С помощью «теоремы Фалеса» определить отношение между отрезками OF , FB при условии что AE EO, EF AB . Задание 23 В треугольнике ABC ( BC - основание треугольника) проведена медтана AD . DE, DF - соответственно биссектрисы углов ADB, ADC . Доказать что EF BC . Алгоритм управления решением: 1.С помощью «теоремы о свойствах биссектрисы» определить отношение между отрезками BD, AD, BE, AE;CD, AD, CF , AF . 2.Определить отошение между отрезками BE, AE, CF , AF при условии что BD BE , CD CF , BD DC . AD AE AD AF 3.С помощью «теоремы обратной к теореме Фалеса» определить отношение между отрезками EF , BC при условии что BE CF . AE AF Задание 24 Треугольник ABC вписан в окружность. Через точку C проведена касательная к окружности , а через точку E , лежащую на стороне AC прямая параллельная касательной , пересекающая сторону BC в точке D . ABC . 1.Доказать что DEC 2. BD 2, DC 3, AC 6 .Найти CE . 3.Доказать что S DEC 1 . S 4 ABC Алгоритм управления решением: 1.Сделать в чертеже: точка K лежит на касательной справа от точки C . 1 1.С помощью «теоремы об углах при параллельных прямых» определить отношение между углами DEC, ECK при условии что DE CK . 2.С помощью «теоремы об измерении вписанного угла и об измерении угла , образованного касательной и хордой» определить отношение между углами ECK , CBA . 3.С помощью «теоремы о подобии двух треугольников по двум равным углам» определить отношение между треугольниками DEC, ABC при условии что DEC CBA . 2 1.Определить отношение между отрезками AC, BC, DC, EC при условии что DEC ABC . AC BC при условии DC EC AC 6, DC 3, BD 2, BC BD DC . 2.Решить уравнение 3 что 1.С помощью «теоремы о связи отношений площадей подобных треугольников с отношением сторон в этих треугольниках» определить отношение условии что Ответ: S DEC S ABC при DC 3 . AC 6 EC 2.5 Задание 25 В четырехугольник ABCD ( DC, AB - соответственно нижняя вписана окружность с центром O . AOB DOC AOD BOC . 1.Доказать что S S S 2.Доказать что S . AOB DOC AOD BOC 100, P 40 . Найти радиус окружности. 3. S ABCD ABCD и верхняя стороны) Алгоритм управления решением: 1.Сделать в чертеже: OM DC, ON AD, OS AB, OT BC . 1 1.С помощью «теоремы об отрезках касательных, проведенных к окружности» определить отношение между отрезками DM , DN ; AN , AS ; BS , BT ; CT , CM . 2.С помощью «теоремы о равенстве прямоугольных треугольников по катету и гипотенузе» определить отношение между треугольниками DOM , DON ; AON , AOS; BOS , BOT ; COT , COM при условии что DM DN ; AN AS ; BS BT ;CT CM . 3.С помощью «теоремы о равных углах в равных треугольниках против равных сторон» определить отношение между углами MDO, ODN ; OAN , OAS; OBS , OBT ; OCT , OCM . 4.С помощью «теоремы о сумме величин внутренних углов в треугольнике» определить значения углов COD, AOD, AOB, BOC . 5.Определить отношение между углами AOB DOC, AOD BOC при условии что AOB DOC (180 OAS OBS ) (180 ODM OCM ) , AOD BOC (180 ODN OAN ) (180 OBS OCS ) при условии что MDO ODN ; OAN OAS;OBS OBT ;OCT OCM . 2 S ah 2 DOC, AOB, AOD, BOC . 1.С помощью формулы площади треугольника найти площади треугольников 2.Определить отношение между площадями DC OM AB OS , AD ON BC OT при условии что 2 2 2 2 DC DM MC, AD AN ND, AB AS SB, BC BT TC и также DM DN ; AN AS; BS BT ;CT CM . 3 1.С помощью площадей треугольников площадь четырехугольника ABCD . DOC, AOB, AOD, BOC 1 OM ( DC AD AB BC ) 2 100, DC AD AB BC 40 . 2.Решить уравнение S ABCD Ответ: 3. OM 5. ABCD В параллелограмме на стороне BC взята точка продолжение стороны 1.Найти S 2.Найти S ECF DC найти при условии что Задание 26 ( AD, BC - соответственно нижняя и верхняя стороны) E так что со стороны BE 3 .Отрезок AE пересекает CE 2 вершины C в точке F . S 18 . ABE . ABCD . Алгоритм управления решением: 1.С помощью «теоремы о вертикальных углах» определить отношение между углами FEC, BEA . 2.С помощью «теоремы об углах , образованных параллельными прямыми» определить отношение между углами ABE, ECF при условии что AB DF . 3.С помощью «теоремы о подобии двух треугольников по двум равным углам» определить отношение между треугольниками ABE, EFC при условии что FEC BEA и также ABE ECF . 4.С помощью «теоремы о связи между отношением площадей подобных треугольников с отношением сторон в этих треугольниках» найти площадь S ECF при условии что BE 3 . CE 2 2 1.Определить отношение между отрезками CE, BC при условии что BE 3 CE 2 также BC BE EC . 2. С помощью «теоремы о связи между отношением площадей подобных треугольников с отношением сторон в этих треугольниках» найти площадь EC 2 . AFD AD 5 3.Определить площадь трапеции S при условии что AECD S S S ,S 50, S 8. AECD AFD EFC AFD EFC 4.Определить площадь параллелограмма S при условии что ABCD S S S ,S 18, S 42 . ABCD ABE AECD ABE AECD S при условии что и Ответ: 1. S EFC 8 ; 2. S ABCD 60 . Задание 27 В прямоугольном треугольнике через вершину прямого угла C проходит окружность , пересекающая гипотенузу в точках E , D причем CD - является диаметром. ABC . 1.Доказать что ACE 2.Найти EC . 3.Найти S AEC . S ABC Алгоритм управления решением: 1 1.С помощью «теоремы о подобии двух треугольников по двум углам» определить отношение между треугольниками ACE, ABC при условии что CE AE . 2 1.С помощью «теоремы Пифагора» определить отношение между отрезками AC, BC, AB . 2.Решить уравнение AB 2 AC 2 BC 2 при условии что BC a, AC b . 3.Определить отношение между отрезками Ec, BC, AC, AB при условии что ACE ABC . CE AC при BC AB BC a, AC b, AB a2 b2 . 4.Решить уравнение условии что 3 1. С помощью «теоремы о связи между отношением площадей подобных треугольников с отношением сторон в этих треугольниках» найти отношение площадей Ответ: 2. CE ab a 2 b2 S AEC S ABC ; 3. при условии что AC AB b 2 2 a b . S 2 AEC b . S 2 2 ABC a b Задание 28 Треугольник ABD вписан в окружность. Точка C находится на дуге AD , а точка E находится на хорде AD так что AE DC . Дано что AB BC . CBD . 1.Доказать равенство треугольников ABE 2.Точка M является точкой пересечения отрезка BE с окружностью. Доказать что AM DC . Алгоритм управления решением: 1 1.С помощью»теоремы об измерении вписанного угла» определить отношение между углами BAD, BCD . 2.С помощью «теоремы о равенстве треугольников по двум сторонам и углу между ними» определить отношение между треугольниками BAE, BCD при BAD BCD и также AB BC, AE CD . условии что 2 1.С помощью «теоремы о равных углах в равных треугольниках против равных сторон» определить отношение между углами ABE, CBD при условии что BAE BCD . 2.С помощью»теоремы о равных хордах стигиваемых равными дугами» определить отношение между отрезками AM , CD при условии равенства дуг AM , CD . Задание 29 Трапеция ABCD ( DC, AB - соответственно нижнее и верхнее основания) вписана в окружность. Через вершину C проведена касательная к окружности , которая встречает продолжение диагонали DB в точке E . CD - диаметр окружности. ECD . 1.Доказать что DAC 2. AC 25, DE 36 . Найти радис окружности. 3.Найти отношение площадей S DAC . S ECD Алгоритм управления решением: 1 1.С помощью «теоремы об измерении вписанного угла» определить отношение между углами CAD, DBC . 2.С помощью «теоремы о равных дугах , заключенных между параллельными хордами» определить отношение между дугами AD, BC . 3.С помощью «теоремы об измерении вписанного угла» определить отношение между углами BDC, ACD . 4.С помощью «теоремы о подобии двух треугольников по двум углам» определить отношение между треугольниками DAC, ECD . 2 1.Определить отношение между отрезками BD, BE, DE . 2.Решить уравнение DE DB BE при условии что DB AC 25, DE 36 . 3.С помощью «теоремы о секущей и касательной , проведенной из одной точки к окружности» определить отношение между отрезками DE, DE, CE . 4.Решить уравнение CE 2 DE BE при условии что DE 36, BE 11. 5.С помощью «теоремы Пифагора» определить отношение между отрезками DE, CE, DC . CD2 DE 2 CE 2 DE 36, CE 2 396 . 6.Решить уравнение при условии что 3 1.С помощью «теоремы Пифагора» определить отношение между отрезками DB, BC, CD . 2.Решить уравнение BC 2 CD2 BD2 при условии что CD 30, BD 25 . 3.С помощью формулы площади треугольника S ah 2 найти площади BDC, BEC . S DAC при условии что 4.Найти отношение S ECD S 1 BD BC, S 1 DE BC, DE 36, BC 5 11 . DAC 2 EDC 2 треугольников Ответ: 2. 1 CD 15 ; 3. S DAC 25 . 2 S 36 ECD Задание 30 Точки D, E находятся соответственно на сторонах ABC так что DE BC . 1. S ADE 1 . Найти S 3 DECB отоношение AB, AC треугольника DE . BC 2.Диагонали четырехугольника DECB пересекаются в точке O .Через эту точку проводят прямую , параллельную основанию BC , которая пересекает сторону AB в точке F . Найти 3. DE 9 . Найти отношения OF . OE , OB . BO BE Алгоритм управления решением: 1 1.С помощью отношения S ADE 1 S 3 DECB определить отношение S ADE . S ABC 2. С помощью «теоремы о связи между отношением площадей подобных треугольников с отношением сторон в этих треугольниках» найти отношение при условии что . S ADE 1 . S ABC 4 DE BC 3.С помощью «теоремы о подобии двух треугольников по двум углам» определить отношение между треугольниками DOE, BOC при условии что DOE BOC, OED OBC . 2. 1.Определить отношение между отрезками DE, BC, OE, OB при условии что DOE BOC . 2.Определить отношение между отрезками OE, OB при условии что OE DE , DE 1 . OB BC BC 2 3.Определить отношение OB BE при условии что OB 2OE, BE OB OE . 3 1.С помощью «теоремы о подобии двух треугольников, образованных параллельной прямой» определить отношение между треугольниками OFB, EBD при условии что OF DE . 2.Определить отношение между отрезками OF , DE, OB, BE при условии что OFB EBD . 3.Решить уравнение Ответ: 1. OF OB DE BE при условии что OB 2 , DE 9 . BE 3 DE 1 ; 2. OE 1 , OB 2 : 3. OF 6 . BC 2 OB 2 BE 3 Задание 31 Две окружности с центрами в точках M , N пересекаются в точках A, B . Через точку B проводят параллельную прямую , которая пересекает окружности с центрами M , N соответственно в точках C , D так что CD MN . 1.Доказать что продолжения отрезков MC, DN пересекутся в точке A 2.Доказать что MN 1 CD . 2 Алгоритм управления решением: - точка пересечения отрезков MN , AB . 1.Сделать в чертеже: K 1 1.С помощью «теоремы о равенстве треугольников по трем сторонам» определить отношение между треугольниками AMB, ANB при условии что MA MB, NA NB . 2.С помощью «теоремы о равных углах в равных треугольниках против равных сторон» определить отношение между углами AMN , BMN при условии что AMB ANB, AN BN . 3.С помощью «теоремы о свойсте медианы , биссектрисы , высоты в равнобедренном треугольнике» определить отношение между отрезками MK , AB при условии что MA MB, AMN BMN . 4.Определить отношение между отрезками CB, AB при условии что MK AB, CB MK . 5.С помощью «теоремы об измерении вписанного угла» определить величину угла AMC при условии что ABC 90 . 6.С помощью «теоремы о равных углах в равных треугольниках против равных сторон» определить отношение между углами ANM , BNM при условии ANB, AM BM . что AMB 7.С помощью «теоремы о свойсте медианы , биссектрисы , высоты в равнобедренном треугольнике» определить отношение между отрезками MK , AB при условии что NA NB, ANM BNM . 8.Определить отношение между отрезками DB, AB при условии что NK AB, DB NK . 5.С помощью «теоремы об измерении вписанного угла» определить величину угла AND при условии что ABD 90 . 2 1.С помощью «теоремы о средней линии треугольника» определить отношение между отрезками MN , CD при условии что MC AM , NC AN . Задание 32 Доказать что две хорды , пересекающиеся в окружности , делят друг друга на такие части что произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды. Алгоритм управления решением: 1.Сделать в чертеже: E - точка пересечения хорд AB, CD . 2.С помощью «теоремы о вертикальных углах» определить отношение между углами AED, BEC . 3.С помощью «теоремы об измерении вписанного угла» определить отношение между углами CDA, CBA . 2.С помощью «теоремы о подобии двух треугольников по двум углам» определить отношение между треугольниками AED, BEC при условии что AED BEC и также CDA CBA . 3.Определить отношение между отрезками AE, BE, CE, DE при условии что AED BEC Задание 33 AB, CD - две хорды окружности (с центором O ) , которые пересекаются в точке E - середине отрезка AB . Радиус AO перпендикулярен хорде CD и пересекает ее в точке F . AB 24, EF 3.5 . Найти CE . Алгоритм управления решением: 1.С помощью «теоремы о свойстве медианы , высоты , биссектрисы в равнобедренном треугольнике» определить отношение между отрезками CF , FD при условии что OC OD, OF CD . 2.С помощью «теоремы о равенстве произведений отрезков хорд» определить отношение между отрезками CE, ED, AE, BE . 3.Решить уравнение AE BE CE ED при условии что AE BE 12, CE CF EF , ED CF EF , EF 3.5 . Ответ: CE 9 Задание 34 Две окружности с центрами в точках M , N и соответствующими радиусами b, a(b a) касаются внешним образом. К эти окружностям проведена общая касательная , касающаяся большой и малой окружностей соответственно в точках A, B . 1.Найти AB 2.Найти S AMNB 1.Сделать в чертеже: 1 K Алгоритм управления решением: - точка внешнего касания двух окружностей; NP MA 1.С помощью «теоремы о расстоянии между центрами при внешнем касании» определить отношение между отрезками MP, PN , MN . 2.С помощью «теоремы о перпендикулярности радиуса касательной в точке касания» определить отношение между отрезками MA, NB, AB . 3.С помощью «теоремы о свойствах сторон прямоугольнка» определить отношение между отрезками AP, NB . 4.С помощью «теоремы Пифагора» определить отношение между отрезками MN , MP, NP . NP2 MN 2 MP2 MN a b, MP b a, NP AB . 5.Решить уравнение 2 ( x y )h ABCD 2 x a / y b, h 2 ab 1.С помощью формулы площади трапеции трапеции Ответ: 1. MABN при условии что AB 2 ab ; 2. S MABN при условии что S найти площадь ab (a b) Задание 35 Треугольник ABC ( BC - основание треугольника) вписан в окружность. Точка M находится на середине дуги BC и отрезок AM пересекает основание BC в точке K . Точка N является серединой отрезка BC . AB 40, AC 50, BC 72 . Найти KN . Алгоритм управления решением: 1.С помощью «теоремы об измерении вписанного угла» определить отношение между углами BAM , MAC при условии равенства дуг BM , MC . 2.С помощью «теоремы о свойстве биссектрисы угла» определить отношение BAM MAC . между отрезками AB, AC, BK , KC при условии что AB BK при условии что AC KC AB 40, AC 50, BK BN KN , KC NC KN , BN NC 36 3.Решить уравнение Ответ: KN 4 Задание 36 В треугольнике ABC ( BC - основание треугольника) проведены две равные между собой высоты CE AB, BD AC , которые пересекаются в точке F . 1.Доказать что AB AC . 2.Доказать что BF FC . 3.Доказать что AE AD . Алгоритм управления решением: 1 1.С помощью «теоремы о подобии двух прямоугольных треугольников, имеющих равные острые углы» определить отношение между треугольниками CEA, BDA . 2.Определить отношение между отрезками BDA . условии что CEA 3.Определить отношение между отрезками AB, AC, AE, AD, CE, BD AB, AC при при условии что AB CE , CE BD . AC BD 3 1.Определить отношение между отрезками AE, AD при условии что AE CE , CE BD . AD BD 2 1.Определить отношение между углами DBA, ECA . 2.С помощью «теоремы о свойствах углов при основании равнобедренного треугольника» определить отношение между углами ABC, ACB при условии что AB AC . 3.Определить отношение между углами FBC, FCB при условии что ABC ACB, ABD ACE . 4.С помощью «теоремы о свойствах равнобедренного треугольника» определить FBC FCB . отношение между отрезками BF , FC при условии что Задание 37 Хорды AB, CD пересекаются под прямым углом в точке F . Точка G находится на хорде BD так что AG AB . Продолжение AG пересекает DC в точке E. DFC . 1.Доказать что AEC 2. EC a, DF c, AE m . Найти FC . 3.Найти S . DFC Алгоритм правления решением: 1 1.С помощью «теоремы о свойствах равнобедренного треугольника» определить отношение между углами GAF , BAF при условии что AG AB . 2.С помощью «теоремы об измерении вписанного угла» определить отношение между углами GAB, CDB . 3.Определить отношение между углами GAF , CDB при условии что GAF BAF и также GAB CDB . 4.С помощью «теоремы об углах с соответственно перпендикулярными сторонами» определить отношение между отрезками AE, CD при условии что EAC CBD, BD AC . 5.С помощью «теоремы о подобии двух прямоугольных треугольников , имеющих равный острый угол» определить отношение между треугольниками AEC, DFC . 2 1.Определить отношение между отрезками FC, EC, AE, DF при условии что AEC DFC . 2.Решить уравнение FC AE EC DF при условии что EC a, DF c, AE m . 3 S ah найти площадь 2 S FC DF при условии что DF c, FC ca . DFC m 2 1.С помощью формулы площади треугольника треугольника Ответ: 2. 2 ac ac FC ; 3. S m DFC 2m Задание 38 Равнобедренный треугольник ABC ( AC - основание , AB BC 16 ) вписан в окружность. Через вершину C проведена касательная к окружности , а через вершину A прямая параллельная стороне BC , которые пересекаются в точке D . AD 9 . Найти P . ACD Алгоритм управления решением: 1.С помощью «теоремы об измерении вписанного угла и угла , образованного касательной и хордой» определить отношение между углами ABC, ACD . 2.С помощью «теоремы об углах , образованных параллельными прямыми» определить отношение между углами BCA, CAD при условии что AD BC . 3.С помощью «теоремы о подобии двух треугольников по двум углам» определить отношение между треугольниками ABC, ACD при условии что ABC ACD и также BCA CAD . 4.Определить отношение между отрезками AB, BC, AC, AD, CD при условии ACD . что ABC 5.Определить отношение между отрезками AC, CD при условии что AC AB , AB BC . CD BC AC AB при условии что AB 16, AD 9, AC CD . 6.Решить уравнение AD CD AC CD AD при условии что 7.Определить P ACD AC CD 12, AD 9 . Ответ: P ACD 33 .