ХI Международная дистанционная олимпиада «Эрудит» Математика 6 класс 2 тур

ХI Международная дистанционная олимпиада «Эрудит»
Математика
6 класс
2 тур
Решения
Задача 1
Новикова Владислава, г. Оренбург, МОБУ «Лицей №8», куратор Отрыванкина
Татьяна Михайловна
Обозначим a и b стороны исходного прямоугольника. Тогда 2(a+b)=P.
Если Леонардо разрезал его поперек пополам, то получились два
прямоугольника со сторонами a/2 и b. Значит, 2(a/2+b)=40, т.е. a/2+b=20 или
a+2b=40.
Если Леонардо разрезал его вдоль пополам, то получились два
прямоугольника со сторонами a и b/2. Значит, 2(a+b/2)=50, т.е. a+b/2=25 или
2a+b=50.
Сложим равенства
Значит, 2(a+b)=P=60.
a+2b=40
и
2a+b=50:
3a+3b=90
Рафаэль
Леонардо
Ответ: Р = 60 см
Задача 2
Доценко Данила, МБОУ «СОШ №36», г. Норильск
Количество фигур во всех горизонталях может
быть любым целым числом от 0 до 8. Сумма всех
этих чисел, взятых по одному разу, равна 36. Если в
любых двух горизонталях
разное количество
фишек, то отсутствует одно из этих девяти чисел.
Так как при этом во всех восьми вертикалях
поровну фишек, то
сумма оставшихся чисел
должна быть кратна 8. Следовательно, не должно
быть горизонтали, в которой ровно 4 фишки.
или
a+b=30.
Задача 3
На оставшиеся 6 бросков приходится 90 – 4 * 10 = 50 очков. Учитывая, что из
6 раз 7, 8 и 9 очков выпадает хотя бы по одному разу, вычисляем, что на
оставшиеся 3 броска остается 50 – (7 +8 +9) = 26 очков, т.е. 9 + 9 + 8 очков.
Ответ: Леонардо попал в семёрку 1 раз, в восьмёрку 2 раза и в девятку 3
раза.
Задача 4
Храпов Иван
Для наглядности решения задачи составим
таблицу, отображающую результаты игр в
шахматном турнире.
Сразу можно заполнить все ячейки с
результатами игр, в которых принимал участие
Леонардо. По условию он окончил все партии
вничью, соответственно всем его противникам
достается по ½ балла, и ему за все партии по ½ балла.
С
Л
0,5
С
2
Л
0,5
Д
½
0,5
Р
½
0,5
М
½
Д
Р
М
½
½
½ ½ ½
Далее по условию Рафаэль проиграл
Сплинтеру. Рафаэлю ставим ноль, Сплинтеру –
1,5 С
единицу. Так как Рафаэль сыграл вничью только
2 Л
одну партию, эта игра была с участием Леонардо,
1,5 Д
и она уже отмечена в таблице. В двух оставшихся
0,5 Р
партиях Рафаэль либо выигрывает, либо
0,5 М
проигрывает.
Донателло выигрывает у Микеланджело. Донателло получает 1, а
Микеланджело – ноль.
С Л Д Р М
½
1
½
½ ½ ½
½
1
0 ½
½ 0
Микеланджело не выиграл ни одной партии,
то есть либо проиграл, либо сыграл вничью. В
1,5 С
партии с Рафаэлем Микеланджело не может
получить ½ балла, потому, что в оставшихся двух 2 Л
играх, как уже известно, Рафаэль либо 1,5 Д
выигрывает, либо проигрывает. Но если 1,5 Р
Микеланджело не выигрывает у Рафаэля и не 0,5 М
добивается ничей, значит, он проигрывает Рафаэлю.
Микеланджело – 0.
С Л Д
½
½
½
½
0 ½
½ 0
Рафаэль
Р М
1
½ ½
1
1
0
– 1;
Как видно из уже полученной таблицы
С Л Д Р М
наибольшее количество баллов, которое может
2 С
½
1 ½
получить Микеланджело, это один. Но это уже
2 Л ½
½ ½ ½
меньше, чем имеющиеся баллы у остальных
1,5 Д
½
1 участников турнира (минимум 1,5). Значит
1,5 Р 0 ½
1 Микеланджело – игрок, занявший последнее
1 М ½ ½ 0 0
место в турнире. А по условию задачи Сплинтер
сыграл вничью с игроком, занявшим последнее место. И тому и другому
ставим по ½ балла.
У Сплинтера, кроме ничей с Микеланджело, должна быть и ничья с
игроком, занявшим первое место. Это либо Леонардо, либо Донателло. У
Леонардо, как следует из таблицы, за весь турнир два балла и больше быть
уже не может. У Донателло есть 1,5 балла отмеченные уже в таблице, да еще
одну партию он выиграл у игрока, занявшего четвертое место по условию
задачи, которая еще не отмечена. Таким образом,
С Л Д Р М
известно как минимум о 2,5 баллах в копилке
½ ½ 1 ½
Донателло, что больше чем у Леонардо. 2,5 С
½ ½ ½
Значит, Леонардо не может быть игроком, 2 Л ½
1
занявшим первое место. По строчке Сплинтера 2 Д ½ ½
наблюдаем, кто может быть победителем:
1,5 Р 0 ½
1
1) не Леонардо (как только что выяснилось); 1 М ½ ½ 0 0
2) не Рафаэль (результат не вничью, как
этого требует условие задачи);
3) не Микеланджело (он на последнем месте). Вывод: Донателло –
игрок, занявший первое место в турнире и сыгравший вничью со
Сплинтером. Ставим обоим по ½ балла.
У Донателло одна незаполненная игра. Да и
С Л Д Р М
по условию задачи кроме игры с Микеланджело
½ ½ 1 ½
он выиграл еще одну партию у игрока, занявшего 2,5 С
½ ½ ½
четвертое место. Да и по баллам в таблице 2 Л ½
1 1
получается, что Рафаэль претендует на четвертое 3 Д ½ ½
1
место. Ставим Донателло 1 балл; Рафаэль – 0. И 1,5 Р 0 ½ 0
подсчитываем баллы.
1 М ½ ½ 0 0
Ответ: 1 место – Донателло;
2 место – Сплинтер;
3 место – Леонардо;
4 место – Рафаэль;
5 место – Микеланджело.
Задача 5
Андреев Андрей, Республика Коми, город Ухта, МОУ «СОШ №22», куратор Лопатина
Марина Владимировна
Пусть Рафаэль подписал х открыток, тогда Донателло – 5х, а Микеланджело –
5х – 10
Всего открыток:
5х + х + 5х – 10 = 11х – 10
Половина
Так как Донателло подписал более половины, то
5х >
10x > 11x – 10
x < 10
Значит х = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Но 1 и 2 не подходят по условию задачи. У Микеланджело: 5х – 10 подписано
открыток.
Затем все открытки они поделили поровну, т.е.
натуральное число
Подбором убеждаемся, что х = 5, 8
Если х = 5, то Донателло – 25 открыток, Рафаэль – 5 открыток, Микеланджело
– 15 открыток. Всего 45, но если 45 : 3 = 15, что не удовлетворяет условию
задачи (Микеланджело ничего не отдал)
Если х = 8, то все получается.
Донателло – 40 открыток, Рафаэль – 8 открыток, Микеланджело – 30
открыток
Ответ: Донателло – 40 открыток, Рафаэль – 8 открыток, Микеланджело – 30
открыток
Задача 6
Если бы ни одна встреча не происходила у бортика, то всего было бы 19
встреч (на каждой дорожке, кроме первой). Любая встреча у бортика
экономит нам одну встречу. Таким образом, всего у бортика произошло 4
встречи. Очевидно, что они происходили через равные промежутки времени,
поэтому они произошли через 5, 10, 15 и 20 дорожек Микеланджело. Если
бы они произошли через 4 или менее дорожек, то встреч было бы не менее
5, а если через 6 и более, то встреч было бы не менее 3. За то время, пока
Микеланджело проплывает 5 дорожек, Донателло должен проплыть
нечетное число дорожек, меньшее 5, то есть 1 или 3, отсюда ответ.
Ответ: 5 или 5/3.