Теория функций комплексного переменного

Программа по курсу
"Теория функций комплексного
переменного"
Условия Коши-Римана и интегральная формула Коши
1. Алгебраические операции над комплексными числами.
2. Бесконечно удаленная точка, сфера Римана. Алгебраическая и
тригонометрические формы задания точки на комплексной
плоскости.
3. Предел и непрерывность функции комплексного переменного.
Геометрическая интерпретация.
4.
Элементарные
функции
комплексного
переменного.
Многозначные функции.
5. Производная и дифференциал. Условия Коши-Римана.
6. Восстановление аналитической функции по ее вещественной или
мнимой части. Гармонические функции.
7. Определение комплексного интеграла и его свойства.
Интегральные теоремы Коши.
8. Условия независимости интеграла от пути интегрирования.
Комплексная формула Ньютона-Лейбница. Интегральная формула
Коши.
9. Высшие производные.
10. Теорема Мореры.
Ряд Лорана и теорема Коши о вычетах
11. Комплексные функциональные ряды. Комплексные степенные
ряды, ряд Тейлора.
12. Теорема Лиувилля.
13. Ряд Лорана.
14. Связь между дифференцируемостью, интегрируемостью и
разложением в степенной ряд.
Аналитические функции, их
свойства, аналитическое продолжение.
16. Нули и особые точки аналитической функции.
17. Классификация аналитических функций по их особым точкам,
основная теорема алгебры.
18. Вычеты в изолированных особых точках. Теорема о сумме
вычетов.
19. Вычисление вычета в полюсе. Теорема Коши о вычетах,
применение вычетов для вычисления интегралов. Лемма Жордана.
20. Логарифмический вычет, его применение: теорема о
логарифмическом вычете, принцип аргумента, теорема Руше.
Конформные отображения и приложения
21. Однолистные (взаимно однозначные) отображения, теорема об
обратной функции.
22. Принципы соответствия границ, сохранения области и
максимума модуля. Лемма Шварца.
23. Геометрический смысл модуля и аргумента комплексной
производной. Конформные отображения, их свойства. Дробнолинейное отображение.
24. Комплексный потенциал плоского векторного поля.
25. Преобразование Лапласа, его свойства. Применение
преобразования Лапласа к решению задачи Коши для
дифференциальных уравнений.
СПИСОК ОСНОВНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Морозова В. Д. Теория функций комплексного переменного.
– М.: Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2000.
2. Лунц Г. Л., Эльсгольц Л. Э. Функции комплексного
переменного. – М.: Физматлит, 1958.
3. Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного
переменного. – М.: Высшая школа, 1999.
4. Волковыский Л. И., Лунц Г. Л., Араманович И. Г. Сборник
задач по теории функций комплексного переменного. – М.:
Физматлит, 2002.
5. Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Высшая
математика в упражнениях и задачах. – М.: Высшая школа,
1998.
СПИСОК ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций
комплексного переменного. – М: Наука, 1987.
2
2. Араманович И. Г., Лунц Г. Л., Эльсгольц Л. Э. Функции
комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория
устойчивости. – М.: Наука, 1968.
3. Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальные
уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного
переменного. – М.: Наука, 1985.
3