Логарифм числа допустимых состояний

05 Две системы в тепловом контакте. Определение понятий энтропии и температуры
Логарифм числа допустимых состояний называется энтропией, которая служит ключевым понятием при выяснении тепловых свойств системы. Рассмотрим случай обмена
энергией между двумя системами. Две системы находятся в тепловом контакте, если
они соприкасаются друг с другом и обмениваются только энергией, по не частицами.
Что приводит к возникновению потока энергии от одной системы к другой? Ответ на этот
вопрос лежит в основе понятия температуры. Направление потока энергии определяется
не просто тем, что энергия одной системы больше энергии другой, так как системы могут
очень сильно различаться по размерам и строению. При постоянстве общей энергии эта
суммарная энергия U == U1+ U2 может распределяться между двумя системами самыми
разными способами. Первая задача статистической термодинамики состоит в исследовании наиболее вероятного распределения энергии между двумя системами.
Наиболее вероятное распределение энергии определяется как такое ее распределение,
при котором объединенная система имеет максимальное число допустимых состояний.
Будем всегда считать, что по крайней мере одна из контактирующих систем состоит из
сколь угодно большого числа частиц; такую систему называют резервуаром. Тогда можно
заменить среднее значение физической величины по всем допустимым конфигурациям
на среднее только по одной наиболее вероятной конфигурации.
числа допустимых состояний g(N, U) объединенной системы из двух систем, находящихся
в тепловом контакте есть
(15)
где суммирование производится по всем значениям энергии U1 которые меньше или равны U. Здесь g1(N1,U1) — число допустимых состояний системы 1 при энергии U1. Конфигурация объединенной системы определяется значениями U1 и U2. Число допустимых состояний в конфигурации есть попарная комбинация индивидуальных состояний при энергиях U1 и U2, то есть произведение
Если хотя бы в одной из двух систем число частиц очень велико, то можно показать, что
по отношению к изменениям mi этот максимум оказывается исключительно резким. Наличие резкого максимума означает, что статистические свойства объединенной системы
определяются относительно небольшим числом конфигураций. Указанное свойство характерно для большой системы любого типа, для которой удается получить точное решение. Эту характеристику (резкий максимум) мы будем использовать во всех случаях, когда отклонения от наиболее вероятной конфигурации считаются малыми и когда предполагается, что усредненные свойства системы в тепловом контакте с резервуаром в точности определяются свойствами наиболее вероятной конфигурации.
Определение энтропии
Будем говорить, что две системы находятся в тепловом равновесии друг с другом, когда
объединенная система находится в наиболее вероятной конфигурации, т. е. в конфигурации, для которой число допустимых состояний максимально.
число состояний g обычно очень велико. Поэтому удобнее работать с меньшим числом,
которое определяется как натуральный логарифм g и называется энтропией:
Это определение ошеломляет своей простотой: энтропия есть логарифм числа допустимых состояний системы. Так как логарифм — число безразмерное, то и энтропия
является безразмерной величиной.
Температура
Величина, называемая температурой, определяется таким образом, чтобы две системы,
находящиеся в тепловом равновесии друг с другом, имели одно и то же значение этой
величины. Мы установили, что две системы находятся в равновесии по отношению к обмену энергией, когда
Таким образом, температуры двух систем одинаковы, когда выполняется это условие.
Теперь мы можем дать о бщее определе ние температуры системы. С использованием
понятия энтропии условие (20а) записывается в виде
В результате мы приходим к следующему определению фундаментальной температуры, или просто температуры:
Величина, обратная температуре, равна производной энтропии по энергии. Фундаментальная температура пропорционально общепринятой абсолютной температуре,
которая измеряется в градусах Кельвина. Подчеркнем, что при взятии частной производной в (21) все внешние параметры (например, объем) сохраняются неизменными.
Величина σ безразмерна, и поэтому % имеет размерность энергии. Мы определили
(dσ/dU) через 1/т, а не через т в соответствии с представлением о том, что энергия переходит от системы с высокой температурой к системе с более низкой температурой. Проиллюстрируем теперь эту мысль.
Стремление энтропии к возрастанию
Можно ожидать, что при установлении теплового контакта между двумя произвольными
системами полная энтропия увеличится. Это случится, если произведение gi{Ui)gz(Uz),
вычисленное при начальных значениях энергии U\ и U2, окажется меньше максимального
значения произведения g\(O\)g2(O2), которое может достигаться при ином разбиении той
же полной энергии U на части О\ и 0%. Наиболее вероятным состоянием объединенной
системы является такое, для которого gig2 максимально. Таким образом, если после
установления контакта объединенная система переходит в наиболее вероятное состояние, то
g{ (конечн.) g2 (конечн.) > g{ (нач.) g2 (нач.).
Так как In х возрастает с увеличением х, то это неравенство сохраняется при взятии логарифма от обеих его сторон, и поэтому
(ji (конечн.) -f--f- а2(конечн.) > о{ (нач.) +-Ъ<г2 (нач.). (22)
Конечная энтропия больше (или равна) начальной. Когда между двумя системами устанавливается тепловой контакт, полная энтропия стремится к возрастанию. Равенство имеет место только тогда, когда вначале системы находились при одинаковой температуре. Интуитивно стремление энтропии к возрастанию можно понять: в каждой из
обеих изолированных систем имеется свое ограничение на значение энергий U\ или U2y
тогда как объединенная система имеет лишь одно ограничение на энергию U = U\ -j- U2.
Таким образом, вместо двух ограничений теперь оказывается только одно. Снятие одного
ограничения может привести только к возрастанию полного числа допустимых состояний.