Квантование энергии электрона в атоме

Квантование энергии электрона в атоме
Некоторые физические величины, относящиеся к микрообъектам, изменяются не
непрерывно, а скачкообразно. О величинах, которые могут принимать только вполне
определенные, то есть дискретные значения (латинское "дискретус" означает
разделенный, прерывистый), говорят, что они квантуются.
В 1900 г. немецкий физик М. Планк, изучавший тепловое излучение твердых тел, пришел
к выводу, что электромагнитное излучение испускается в виде отдельных порций квантов - энергии. Значение одного кванта энергии равно
ΔE = hν,
где ΔE - энергия кванта, Дж; ν - частота, с-1; h - постоянная Планка (одна из
фундаментальных постоянных природы), равная 6,626·10−34 Дж·с.
Кванты энергии впоследствии назвали фотонами.
Идея о квантовании энергии позволила объяснить происхождение линейчатых атомных
спектров, состоящих из набора линий, объединенных в серии.
Еще в 1885 г. швейцарский физик и математик И.Я. Бальмер установил, что длины волн,
соответствующие определенным линиям в спектре атомов водорода, можно выразить как
ряд целых чисел. Предложенное им уравнение, позднее модифицированное шведским
физиком Ю.Р. Ридбергом, имеет вид:
1 / λ = R(1 / n12 − 1 / n22),
где λ - длина волны, см; R - постоянная Ридберга для атома водорода, равная 1,097373·105
см−1, n1 и n2 - целые числа, причем n1 < n2.
Первая квантовая теория строения атома была предложена Н. Бором. Он считал, что в
изолированном атоме электроны двигаются по круговым стационарным орбитам,
находясь на которых, они не излучают и не поглощают энергию. Каждой такой орбите
отвечает дискретное значение энергии.
Переход электрона из одного стационарного состояния в другое сопровождается
излучением кванта электромагнитного излучения, частота которого равна
ν = ΔE / h,
где ΔE - разность энергий начального и конечного состояний электрона, h - постоянная
Планка.
Дискретность энергии электрона является важнейшим принципом квантовой механики.
Электроны в атоме могут иметь лишь строго определенные значения энергии. Им
разрешен переход с одного уровня энергии на другой, а промежуточные состояния
запрещены.
Зонная теория твердого тела - приближенная теория движения электронов в
периодическом поле кристаллической решетки, согласно которой:
Все физические свойства твердых тел определяются внешними (валентными)
электронами, которые перемещаются по всему объему кристалла от одного атома к
другому и возможные уровни энергии которых образуют энергетические зоны.
1. Металлы, хорошо проводят электрический ток.
Диэлектрики (изоляторы) плохо проводят ток.
Электропроводность металлов 106 – 104 (Омсм)-1
Электропроводность диэлектриков менее 10-10 (Омсм)-1
Твердые тела с промежуточной электропроводностью называются полупроводниками.
2. Различие полупроводников и металлов проявляется в характере зависимости
электропроводности от температуры.

полупроводник
металл
0
T
Рис.1
С понижением температуры проводимость металлов возрастает, и для чистых металлов
стремится к бесконечности при приближении к абсолютному нулю. У полупроводников,
напротив, с понижением температуры проводимость убывает, а вблизи абсолютного нуля
полупроводник становится изолятором.
3. Ни классическая электронная теория электропроводности, ни квантовая теория,
основанная на модели свободных фермианов, не может дать ответа на вопрос, почему
одни тела являются полупроводниками, а другие проводниками или диэлектриками.
4. Для ответа на вопрос необходимо методами квантовой механики рассмотреть вопрос
взаимодействия валентных электронов с атомами кристаллической решетки.
5. Решить уравнение Шредингера с числом переменных порядка 1023 – это математическая
задача безнадежной трудности.
Поэтому современная квантовая теория твердого тела основывается на ряде упрощений.
Такой теорией является теория твердого тела. Название связано с характерной
группировкой энергетических уровней электронов в кристаллах в зоны уровней.
В основе зонной теории лежат следующие предположения:
При изучении движения валентных электронов положительные ионы кристаллической
решетки, ввиду их большой массы, рассматриваются как неподвижные источники поля,
действующего на электроны.
Расположение положительных ионов в пространстве считается строго периодическим:
они размещаются в узлах идеальной кристаллической решетки данного кристалла.
Взаимодействие электронов друг с другом заменяется некоторым эффективным силовым
полем.
Задача сводится к рассмотрению движения электрона в периодическом силовом поле
кристалла.
Потенциальная энергия электрона U(r) периодически изменяется.
распределение электронов по энергетическим уровням атома
Запись, отражающая распределение электронов в атоме химического элемента по
энергетическим уровням и подуровням, называется электронной конфигурацией этого
атома. В основном (невозбужденном) состоянии атома все электроны удовлетворяют
принципу минимальной энергии. Это значит, что сначала заполняются подуровни, для
которых:
Главное квантовое число n минимально;
Внутри уровня сначала заполняется s- подуровень, затем p- и лишь
затем d- (l минимально);
В пределах одного подуровня электроны располагаются таким образом,
чтобы их суммарный спин был максимален, т.е. содержал наибольшее
число неспаренных электронов (правило Хунда).
При заполнении электронных атомных орбиталей выполняется принцип
Паули. Его следствием является, что энергетическому уровню с
номером n может принадлежать не более чем 2n2 электронов,
расположенных на n2 подуровнях.
Состояние каждого электрона в атоме обычно описывают с помощью четырех квантовых
чисел: главного (n), орбитального (l), магнитного (m) и спинового (s). Первые три
характеризуют движение электрона в пространстве, а четвертое - вокруг собственной оси.
Главное квантовое число (n). Определяет энергетический уровень электрона, удаленность
уровня от ядра, размер электронного облака. Принимает целые значения (n = 1, 2, 3 ...) и
соответствует номеру периода. Из периодической системы для любого элемента по
номеру периода можно определить число энергетических уровней атома и какой
энергетический уровень является внешним.
Пример.
Элемент кадмий Cd расположен в пятом периоде, значит n = 5. В его атоме электроны
раcпределены по пяти энергетическим уровням (n = 1, n = 2, n = 3, n = 4, n = 5); внешним
будет пятый уровень (n = 5).
Орбитальное квантовое число (l) характеризует геометрическую форму орбитали.
Принимает значение целых чисел от 0 до (n - 1). Независимо от номера энергетического
уровня, каждому значению орбитального квантового числа соответствует орбиталь особой
формы. Набор орбиталей с одинаковыми значениями n называется энергетическим
уровнем, c одинаковыми n и l - подуровнем.
Для
l=0 s- подуровень, s- орбиталь – орбиталь сфера
l=1 p- подуровень, p- орбиталь – орбиталь гантель
l=2 d- подуровень, d- орбиталь – орбиталь сложной формы
f-подуровень, f-орбиталь – орбиталь еще более сложной формы
На первом энергетическом уровне (n = 1) орбитальное квантовое число l принимает
единственное значение l = (n - 1) = 0. Форма обитали - сферическая; на первом
энергетическом только один подуровень - 1s. Для второго энергетического уровня (n = 2)
орбитальное квантовое число может принимать два значения: l = 0, s- орбиталь - сфера
большего размера, чем на первом энергетическом уровне; l = 1, p- орбиталь - гантель.
Таким образом, на втором энергетическом уровне имеются два подуровня - 2s и 2p. Для
третьего энергетического уровня (n = 3) орбитальное квантовое число l принимает три
значения: l = 0, s- орбиталь - сфера большего размера, чем на втором энергетическом
уровне; l = 1, p- орбиталь - гантель большего размера, чем на втором энергетическом
уровне; l = 2, d- орбиталь сложной формы.
Таким образом, на третьем энергетическом уровне могут быть три энергетических
подуровня - 3s, 3p и 3d.
Магнитное квантовое число (m) характеризует положение электронной орбитали в
пространстве и принимает целочисленные значения от -I до +I, включая 0. Это означает,
что для каждой формы орбитали существует (2l + 1) энергетически равноценных
ориентации в пространстве.
Для s- орбитали (l = 0) такое положение одно и соответствует m = 0. Сфера не может
иметь разные ориентации в пространстве.
Для p- орбитали (l = 1) - три равноценные ориентации в пространстве (2l + 1 = 3): m = -1,
0, +1.
Для d- орбитали (l = 2) - пять равноценных ориентаций в пространстве (2l + 1 = 5): m = -2,
-1, 0, +1, +2.
Таким образом, на s- подуровне - одна, на p- подуровне - три, на d- подуровне - пять, на fподуровне - 7 орбиталей.
Спиновое квантовое число (s) характеризует магнитный момент, возникающий при
вращении электрона вокруг своей оси. Принимает только два значения +1/2 и –1/2
соответствующие противоположным направлениям вращения.
собственные и примесные полупроводники
Собственный - полупроводник, в котором можно пренебречь влиянием примесей при
данной температуре. Ранее было показано, что для полупроводников характерно наличие
не очень широкой запрещенной зоны в энергетической диаграмме.
При T=00К у собственного полупроводника валентная зона полностью заполнена
электронами, а зона проводимости абсолютно свободна, а вследствие наличия
запрещенной зоны, собственный полупроводник при T=00К является идеальным
диэлектриком.
При T>00К имеется конечная вероятность того, что за счет тепловых флуктуаций
(неравномерного распределения тепловой энергии между частицами) некоторые из
электронов преодолеют запрещенный барьер и перейдут в зону проводимости. В
собственном полупроводнике каждый переход электрона в зону проводимости
сопровождается образованием дырки в валентной зоне. Понятие дырки введено, чтобы
устранить отрицательную эффективную массу mn*, т.к. в середине зоны Бриллюэна mn*
положительна, а вблизи потолка валентной зоны отрицательна.
Благодаря дыркам электроны валентной зоны также принимают участие в процессе
электропроводности за счет эстафетных переходов под действием электрического поля на
более высокие энергетические уровни. Совокупное поведение электронов валентной зоны
можно представить как движение дырок, обладающих положительным зарядом и
некоторой эффективной "положительной" массой.
Введение понятия "эффективная масса электрона" позволяет рассматривать е- в зоне
проводимости как частицу с положительной массой, (аналогично - "дырку" в валентной
зоне) и используются для математического описания поведения электронов в зоне
проводимости, т.к. электроны в этом случае нельзя считать абсолютно свободными. Такие
электроны обязательно будут взаимодействовать с периодическим потенциальным полем
кристаллической решетки.
Введение понятия эффективной массы было вызвано необходимостью описать движение
свободного электрона в периодическом поле кристалла, когда на него действует внешнее
электрическое поле. Смысл введения понятия эффективной массы состоит в том, что
электрон с фактической массой, движение которого невозможно описать точно (т.к.
децствует принцип неопределенности Гейзенберга), при действии внешнего поля ведет
себя в кристаллической решетке в соответствии со следующими случаями:
Почти вся работа, совершенная электрическим полем, расходуется на увеличение
потенциальной энергии e-. Поэтому его скорость почти не изменяется, что соответствует
ситуации, когда масса e- очень велика - больше массы покоя электрона.
Изменение движения e- может быть таким, что его потенциальная энергия уменьшится, а
увеличение его кинетической энергии за счет потенциальной энергии будет больше
работы, совершенной полем. Электрон ведет себя так, как если бы его масса была меньше
массы покоя.
При движении электрона, его скорость уменьшается в результате увеличения
потенциальной энергии, в которую превращается часть его кинетической энергии. При
этом увеличение потенциальной энергии больше, чем работа силы электрического поля.
Электрон ведет себя как частица с отрицательной массой.
Понятие эффективной массы позволяет описать движение электронов и дырок в
полупроводниках только в ограниченной области энергетических состояний, а именно:
для электронов вблизи нижней границы зоны проводимости и для дырок вблизи верхней
границы валентной зоны.
Для электронов с энергией из области, близкой к нижней границе зоны проводимости,
эффективная масса положительна и может быть как больше, так и меньше фактической
массы. Электроны с энергией, близкой к верхней границе валентной зоны, имеют
отрицательную эффективную массу, так как их движение в направлении поля не
ускоряется, а замедляется. Дырки же в этой области энергий ускоряются электрическим
полем, а поэтому имеют положительную эффективную массу.
Отношение m*/me зависит от структуры кристалла и его диэлектрической проницаемости,
а в анизотропном кристалле и от направления движения.
Не следует, однако, думать, что внутри кристалла электрон обладает другой реальной
массой, иным весом. Присутствие в полупроводнике e- с очень большой m* нисколько не
увеличивает его веса.
Следовательно, эффективная масса не определяет ни инерционных, ни гравитационных
свойств электрона, как в случае фактической массы. Если фактическая масса является
всегда величиной скалярной, эффективная масса в анизотропных решетках зависит от
направления и выражается тензором. В этом случае направления действия силы и
вызванного ею ускорения не должны обязательно совпадать.
Таким образом, чтобы описать сложные законы движения электрона в кристалле с
помощью соотношений, совпадающих по форме с законами классической механики,
можно учесть влияние внутренних сил на электрон, изменив соответствующим образом
значение его массы, т.е. вводят понятие некоторой эффективной массы. Эффективная
масса mn* свободного электрона "положительна" и может во много раз отличаться от
массы m0 свободного электрона. Это объясняется тем, что переход электронов в зону
проводимости проходит как правило с верхних уровней валентной зоны, для которых
характерна отрицательная me*, поэтому mp* - положительна.
Таким образом, mn* и mp* равны по величине и противоположны по знаку на данном
валентном или свободном энергетическом уровне. У свободных частиц, т.е. частиц
движущихся, mn* - "+", mp* - "+". Чем выше t0 и меньше Э (ширина запрещенной зоны),
тем выше скорость тепловой генерации носителей заряда (электронов и дырок).
Одновременно с генерацией в полупроводнике непрерывно идет и обратный процесс рекомбинация носителей заряда, т.е. возвращение электронов в валентную зону с
исчезновением пары носителей заряда.
р-n переход
Выпрямление токов и усиление напряжений можно осуществить с помощью
полупроводниковых устройств, называемых полупроводниковыми (или кристаллическими) диодами и триодами. Полупроводниковые триоды называют также транзисторами.
Полупроводниковые устройства можно подразделить на две группы: устройства с
точечными контактами и устройства с плоскостными контактами. Мы ограничимся
рассмотрением плоскостных диодов и транзисторов.
Основным элементом плоскостных устройств является так называемый р—n-переход. Он
представляет собой тонкий слой на границе между двумя областями одного и того же
кристалла, отличающимися типом примесной проводимости. Для изготовления такого
перехода берут, например, монокристалл из очень чистого германия с электронным
механизмом проводимости (обусловленным ничтожными остатками примесей). В
вырезанную из кристалла тонкую пластинку вплавляют с одной стороны кусочек индия.
Во время этой операции, которая осуществляется в вакууме или в атмосфере инертного
газа, атомы индия диффундируют в германий на некоторую глубину. В той области, в
КОТОРУЮ про
Рис.8
никают атомы индия, проводимость германия становится дырочной. На границе этой
области возникает р— n-переход.
На рис. 8 показан ход концентрации примесей в направлении, перпендикулярном к
граничному слою. В р-области основными носителями тока являются дырки,
образовавшиеся в результате захвата электронов атомами примеси (акцепторы при этом
становятся отрицательными ионами); кроме того, в этой области имеется небольшое
число неосновных носителей — электронов, возникающих вследствие перевода тепловым
движением электронов из валентной зоны непосредственно в зону проводимости (этот
процесс немного увеличивает и число дырок). В n-области основные носители тока—
электроны, отданные донорами в зону проводимости (доноры при этом превращаются в
положительные ионы); происходящий за счет теплового движения переход электронов из
валентной зоны в зону проводимости приводит к образованию небольшого числа, дырок
— неосновных носителей для этой области. Диффундируя во встречных направлениях
через пограничный слой, дырки и электроны рекомбинируют друг другом. Поэтому р—nпереход оказывается сильно обедненным носителями тока и приобретает большое
сопротивление. Одновременно на границе между областями возникает двойной
электрический слой, образованный отрицательными ионами акцепторной примеси, заряд
которых теперь не компенсируется дырками, и положительными ионами- донорной
примеси, заряд которых теперь не компенсируется электронами {рис; 9; кружки—ионы,
черные течки — электроны, белые точки—дырки) . Электрическое поле
Рис.9
в этом слое направлено так, что противодействует дальнейшему переходу через слой
основных носителей. Равновесие достигается при такой высоте потенциального барьера,
при которой
Рис.10
уровни Ферми обеих областей располагаются на одинаковой высоте (рис. 10). Изгибание
энергетических зон в области перехода вызвано тем, что потенциал р-области в состоянии
равновесия ниже, чем потенциал n-области; соответственно потенциальная энергия
электрона в р-области больше, чем в n-области. Нижняя граница валентной зоны дает ход
потенциальной энергии электрона Wpэ в направлении, перпендикулярном к переходу.
Поскольку заряд дырок противоположен заряду электронов, их потенциальная энергия
Wрд больше там, где меньше Wpэ, и наоборот.
Равновесие между р- и п-областями является подвижным. Некоторому количеству
основных носителей удается преодолеть потенциальный барьер, вследствие чего через
переход течет небольшой ток Iосн.
Этот ток компенсируется обусловленным неосновными носителями встречным током
Iнеосн. Неосновных носителей очень мало, но они легко проникают через границу
областей, «скатываясь» с потенциального барьера. Величина Iнeocн определяется числом
рождающихся ежесекундно неосновных носителей и от высоты потенциального барьера
почти не зависит. Величина Iосн, напротив, сильно зависит от высоты барьера. Равновесие
устанавливается как раз при такой высоте потенциального барьера, при которой оба тока
Iосн и Iнеосн компенсируют друг друга. Подадим .на кристалл внешнее напряжение
такого направления, чтобы «+» был подключен к р-области, а «—» был подключен к nобласти) (такое напряжение называется прямым). Это приведет к возрастанию потенциала
(т.е. увеличению Wрд и уменьшению Wpэ) р-области и понижению потенциала (т.е.
уменьшению Wpд и увеличению Wpэ) n-области. В результате высота потенциального
барьера уменьшится и ток Iосн возрастет. Ток же Iнеосн останется практически без
изменений (он, как отмечалось, от высоты барьера почти не зависит). Следовательно,
результирующий ток станет отличен от нуля. Понижение потенциального барьера
пропорционально приложенному напряжению (оно равно eU). При уменьшении высоты
барьера ток основных носителей, а следовательно и результирующий ток, быстро
нарастает. Таким образом, в направлении от p-области к n-области р — n-переход
пропускает ток, сила которого быстро нарастает при увеличении приложенного
напряжения. Это направление называется прямым (или пропускным, или проходным).
Возникающее в кристалле при прямом напряжении электрическое поле «поджимает»
основные носители к границе между областями, вследствие чего ширина переходного
слоя, обедненного носителями, сокращается. Соответственно уменьшается и
сопротивление перехода, причем тем сильнее, чем больше напряжение. Таким образом,
вольт-амперная характеристика в пропускной области не является прямой (рис. 11).
Рис.11
Теперь приложим к кристаллу напряжение такого направления
чтобы «+»'был подключен к n-области, а «—» был подключен к р-области (такое напряжение называется обратным). Обратное напряжение приводит к повышению потенциального
барьера и соответственному уменьшению тока основных носителей Iосн. Возникающий
при этом результирующий ток (называемый обратным) довольно быстро достигает
насыщения (т. е. перестает зависеть от U, рис. 11) и становится равным iнеосн. Таким
образом, в направлении от n-области к р-области (которое называется обратным или
запорным) р — n-переход пропускает слабый ток, целиком обусловленный неосновными
носителями. Лишь при очень большом обратном напряжении сила-тока начинает резко
возрастать, что обусловлено электрическим пробоем перехода. Каждый р—n-переход
характеризуется своим предельным значением обратного напряжения, которое он
способен выдержать без разрушения. Поле, возникающее в кристалле при наложении
обратного напряжения; «оттягивает» основные носители от границы между областями,
что приводит к возрастаниюширины переходного слоя,обедненного носителями. Соответственно увеличивается и сопротивление перехода. Следовательно, р—n-переход обладает
в обратном направлении гораздо большим сопротивлением, чем в прямом.
Из сказанного вытекает, что р — n-переход может быть
Рис.12
использован для выпрямления переменного тока. На рис. 12 показан график тока,
текущего через переход, в том случае, если приложенное напряжение изменяется по
гармоническому закону. В этом случае ширина слоя, обедненного носителями, и
сопротивление перехода пульсируют, изменяясь в такт с изменениями напряжения.
заполнение зон электронами
Заполнение разрешенных зон электронами в Т. Т (твёрдом теле). происходит
последовательно в порядке возрастания энергетич. уровней в зонах. Согласно принципу
Паули для Т. т., содержащего N атомов, в каждой энергетич. зоне могут находиться 2N
электронов. Вероятность заполнения уровня с энергией E определяется соотношением
Ферми-Дирака: f = 1/{1 + ехр[(E — EF)/kT]}, где k-константа Больцмана, EF-уровень
Ферми-энергетич. уровень, вероятность заполнения к-рого при Т . 0 К равна 0,5 (м. б.
интерпретирован как хим. потенциал электрона). Изоэнергетич. пов-сть, соответствующая
ЕF, наз. Ферми-пов-стью. В зависимости от числа валентных электронов верхняя из
заполненных зон (в а-лентная зона) м.б. занята полностью или частично. Степень
заполнения валентной зоны электронами играет важную роль в формировании электрич.
св-в Т.т., т.к. электроны полностью заполненной зоны не переносят ток.
Зонная теория справедлива для кристаллических Т. т. В случае аморфных Т. т. вследствие
разупорядоченности их структуры разработка строгой теоретич. зонной модели
сталкивается со значит. трудностями. Обычно оперируют понятием квазизапрещенных
зон, разделяющих разрешенные зоны, края к-рых вследствие возмущений, вызванных
структурной разупорядоченностью, в сравнении с кристаллическим Т. т. несколько
сдвигаются и размываются.
Электрич. проводимость  T. т. определяется в первую очередь характером заполнения
электронами энергетич. зон (см. рис.). Т. т. с металлич. типом хим. связи (металлы)
характеризуются высокой степенью обобществления валентных электронов (электронов
проводимости), перекрыванием разрешенных энергетич. зон и частичным заполнением
разрешенных зон электронами. Такие Т. т. являются хорошими проводниками. В
отличие от них полупроводники и диэлектрики при Т=0 К имеют полностью
заполненные либо пустые, неперекрывающиеся, разрешенные зоны. Для диэлектриков
характерны большие значения ширины запрещенной зоны E между валентной
(заполненной) и незаполненной зоной (зоной проводимости), вследствие чего в обычных
условиях они практически не содержат своб. электронов и не проводят электрич. ток.
Полупроводники, принципиально не отличаясь от диэлектриков по зонному строению,
имеют меньшую ширину запрещенной зоны (условной границей между ними принято
считать значение E = 3 эВ). Вследствие теплового возбуждения при обычных т-рах часть
валентных электронов переходит в зону проводимости (электроны проводимости),
поэтому полупроводники, как правило, имеют промежуточную между металлами и
диэлектриками  (10-8  104 См·см-1). Известны т. наз. бесщелевые полупроводники
с E = 0. Т. т. с аномально малым перекрытием разрешенных зон (напр., Sb, Bi) относят к
полуметаллам.
Схема заполнения зон в диэлектриках и полупроводниках (а), металлах (б)и
полуметаллах (в).
контакт 2 полупроводников с различными типами проводимости
"p-n" переход (или электронно-дырочный переход) - область контакта двух
полупроводников, где происходит смена проводимости с электронной на дырочную (или
наоборот).
В кристалле полупроводника введением примесей можно создать такие области. В зоне
контакта двух полупроводников с различными проводимостями будет проходить
взаимная диффузия. электронов и дырок и образуется запирающий электрический
слой.Электрическое поле запирающего слоя препятствует дальнейшему переходу
электронов и дырок через границу. Запирающий слой имеет повышенное сопротивление
по сравнению с другими областями полупроводника.
Внешнее электрическое поле влияет на сопротивление запирающего слоя.
При прямом (пропускном) направлении внешнего эл.поля эл.ток проходит через границу
двух полупроводников.
Т.к. электроны и дырки движутся навстречу друг другу к границе раздела.Электроны,
переходя границу заполняют дырки. Толщина запирающего слоя и его сопротивление
непрерывно уменьшаются.
При запирающем (обратном направлении внешнего эл.поля эл.ток через область контакта
двух полупроводников проходить не будет.
Т.к. электроны и дырки перемещаются от границы в противоположные стороны..
Запирающий слой утолщается, его сопротивление увеличивается.
Таким образом, электронно-дырочный переход обладает односторонней проводимостью.
Вырожденный газ
Вырожденный газ — газ, на свойства которого существенно влияют
квантовомеханические эффекты, возникающие вследствие тождественности его частиц. У
ферми-газа (к которому относится электронный газ в металле) при полном вырождении
(при
) заполнены все нижние энергетические уровни вплоть до некоторого
максимального, называемого уровнем Ферми, а все последующие остаются пустыми.
Повышение температуры лишь незначительно изменяет такое распределение электронов
металла по уровням: малая доля электронов, находящихся на уровнях, близких к уровню
Ферми, переходит на пустые уровни с большей энергией, освобождая таким образом
уровни ниже фермиевского, с которых был совершен переход.
При вырождении газа бозонов из частиц с отличной от нуля массой (такими бозонами
могут быть атомы и молекулы) некоторая доля частиц системы должна переходить в
состояние с нулевым импульсом; это явление называется Бозе — Эйнштейновской
конденсацией. Чем ближе температура к абсолютному нулю, тем больше частиц должно
оказаться в этом состоянии. Однако, системы таких частиц при понижении температуры
до очень низких значений переходят в твёрдое или жидкое (для гелия) состояния, к
которым неприменимо приближение идеального газа.
Для газа из бозонов нулевой массы, к которым относятся фотоны, температура
вырождения равна бесконечности; поэтому фотонный газ всегда вырожденный, и
классическая статистика к нему не применима. Фотонный газ является единственным
вырожденным идеальным бозе-газом стабильных частиц. Однако Бозе-Эйнштейновской
конденсации в нём не происходит, так как не существует фотонов с нулевым импульсом
(фотоны всегда движутся со скоростью света).
Явление вырождения Ферми-газов играет важную роль в эволюции звёзд: так, давление
электронного вырожденного газа уравновешивает тяготение в белых карликах, а давление
нейтронного вырожденного газа уравновешивает тяготение в нейтронных звёздах.
Обозначения узлов и плоскостей
Множеству компланарных трансляций отвечает кристаллографическая плоскость. Вследствие
трансляционной симметрии, в кристалле существует бесконечное множество параллельных
идентичных плоскостей. Это множество плоскостей называют семейством плоскостей. В
дальнейшем
мы не будем различать понятия плоскости и семейства плоскостей, говоря о плоскости мы будем
иметь
ввиду семейство плоскостей.
Каждую плоскость в кристалле можно охарактеризовать нормалью. Возьмем две произвольные
Трансляции t1 и t2, векторное произведение этих трансляций будет параллельно нормали к
кристаллографической плоскости. Таким образом, вектор h = (t1*t2)/V будет характеризовать
кристаллическую плоскость. Так как вектор h можно определить для любой пары трансляций, то
каждой плоскости отвечает бесконечный набор параллельных векторов {hi}.
В каждой плоскости можно выделить две непараллельные трансляции u1 и u2, такие что
произвольная трансляция плоскости может быть представлена как линейная комбинация этих двух
трансляций. Для выбранных трансляций t1 и t2 имеем
t1 = t11u1 + t12u2
t2 = t21u1 + t22u2
Учитывая это,
t1*t2 = [(t11u1 + t12u2)*(t21u1 + t22u2)] = (t11t22 – t12t21)[u1*u2] = n[u1*u2]
где n - целое число. Так как величина векторного произведения векторов равна площади
параллелограмма, образованного этими векторам, число n показывает, сколько параллелограммов,
образованных векторами u1 и u2 лежит в параллелограмме, ограниченном векторами t1 и t2.
Таким образом, мы получили, что каждой плоскости отвечает набор параллельных векторов,
длины которых отличаются в целое число раз. Если вершины этих векторов обозначать узлами, то
каждой плоскости отвечает набор узлов, расположенных на одинаковом расстоянии друг от друга.
Расстояние между этими узлами равно длине вектора h = (u1*u2)/V. Величина (u1*u2)
равна площади элементарного параллелограмма на плоскости, V- объему элементарного
параллелепипеда между двумя соседними параллельными плоскостями семейства. Величина
V/(u1*u2) равна высоте этого параллелепипеда, или кратчайшему расстоянию между плоскостями
семейства плоскостей d. Таким образом, каждому семейству плоскостей мы поставили в
соответствие набор параллельных векторов {hi}, нормальных к плоскостям семейства и обратно
пропорциональных расстоянию между плоскостями семейства, или межплоскостным расстояниям.
Вектора h для каждого семейства плоскостей можно целочисленно разложить по трем
некомпланарным векторам, при этом вершины векторов-нормалей ко плоскостям образуют
решетку узлов, подобную трансляционной. Верно и обратное: каждому узлу этой решетки можно
однозначно сопоставить кристаллографическую плоскость.
Все вектора {hi} называют векторами обратной решетки, вектора {e}называют элементарными
векторами обратной решетки, или базисом обратной решетки. Узлы, образованные векторами
обратной решетки, называют обратной решеткой. Коэффициенты разложения векторов обратной
решетки называют индексами узла обратной решетки. Общее обозначение (HKL). Очевидно, что
семейству плоскостей соответствует множество узлов с кратными индексами. Приведя
эти индексы к взаимно-простому целому виду, мы получаем индексы семейства плоскостей (hkl).
Формулы (1.2) позволяют определить индексы плоскости по индексам двух направлений, лежащих
в этой плоскости. Индексами семейства кристаллографических плоскостей называют три целые
взаимно простые числа, пропорциональные коэффициентам разложения вектора обратной
решетки, построенной для этого семейства, по обратному базису.
Формула 1.2 : h = (t1*t2)/V = ∑u1u2 * (ei*ej)/V = ∑hkek