2.3

2.6. Работа и мощность электрического тока
2.6.1. Электрическая цепь состоит из
трёх резисторов R1 = 200 Ом, R2 = 100
Ом, R3 = 100 Ом идеального диода D и
источника переменного тока с действующим значением напряжения U = 20 B.
Определить среднюю мощность, выделяемую на резисторе R3.
Решение
1. Поскольку ток переменный, то диод в одном из полупериодов будет закрыт и через включенный с ним последовательно резистор R3 ток
протекать не будет, т.е. мощность не выделяется W1 = 0. Во втором полупериоде диод открыт и через R3 течёт ток. Эквивалентные схемы для
двух полупериодов будут выглядеть следующим образом.
2. Определим эквивалентное
сопротивление цепи в случае
открытого диода
R 3R 2
R 01  R 1 
 250 Ом . (1)
R3  R2
3. Эквивалентное сопротивление цепи при закрытом диоде
(2)
R 02  R 1  R 2  300 Ом .
4. Найдём амплитудную силу тока через резистор R3
U
20
I 01 

 80 мА .
(3)
R 01 250
5. Падение напряжения на резисторе R1
U1  I 01R 1  8 10 2  200  16 B .
(4)
6. Падение напряжения на резисторе R3
(5)
U 2  U 3  U  U1  4 B .
7. Если бы ток был постоянным, то на резисторе R3 выделялась бы
мощность
U2
W3  3 .
(6)
R3
8. Для переменного тока мощность представится следующим образом
(7)
W3  0,5W3  80 мВт .
142
2.6.2. Резисторы R1 = 100 Ом и R2 = 200
Ом включены последовательно одинаковым
идеальным диодам D1, D2. Цепь питается идеальным источником переменного тока с действующим значением напряжения U = 120 В.
Определить среднюю величину мощности, выделяемой в цепи.
Решение
1. Встречное включение диодов обеспечивает прохождение тока
через один диод, когда один диод открыт, второй  закрыт.
2. Определим мощности выделяемые в цепи в течение положительного и отрицательного полупериода
U2
U2
W 
, W 
,
(1)
R1
R2
W 
W  W R 1  R 2 U
300 120


 0,9 Вт .
2
2R 1 R 2
2 100  200
(2)
2.6.3. Электрический нагревательный элемент сопротивлением R2 =
10 Ом включается параллельно с индикатором в виде лампочки накаливания c сопротивлением нити накала R1 = 300 Ом и мощностью W1 =
10 Вт. Нагревательный элемент соединён с идеальным источником
постоянного тока медной двухпроводной линией длиной L = 10 м. Определить электрическую мощность нагревателя и потери мощности в
проводах, если их диаметр равен d = 3 мм.
Решение
1. Составим эквивалентную схему цепи, в которую введём сопротивление соединительных проводов R3 и определим
силу тока I1, протекающего через лампочку
W1  I12 R 1 ,  I1 
W1
 0,18 А
R1
(1)
2. Нагревательный элемент и лампочка
соединены параллельно, из этого следует, что
R
300
I1R 1  I 2 R 2 ,  I 2  I1 1  0,18
 5,4 A .
(2)
R2
10
3. Определим далее мощность нагревательного элемента
143
W2  I 22 R 2  5,4 2 10  292 Вт .
(3)
4. Сила тока через источник определится в виде суммы
(4)
I 0  I1  I 2  5,6 A .
5. Мощность, выделяемая на соединительных проводах
2L 2
W  R 3 I 02  
I0 ,
(5)
s
где  = 1,610  8 Омм  удельное электрическое сопротивление меди, s
= d2/4 = 6,710  7 м  площадь поперечного сечения проводника
20
(6)
W  1,6 10 8
5,6 2  15 Вт .
6,7 10 7
2.6.4.К проводящему кольцу радиусом r = 2
м в точках, показанных на рисунке, подсоединен идеальный источник тока с ЭДС  = 4 В .
Что произойдёт с кольцом, если оно изготовлено из проволоки с диаметром d = 2 мм и
удельным сопротивлением = 110  6 Ом м,
сопротивление соединительных проводов считать равным нулю.
Решение
1.Проволочное кольцо представим в виде
двух сопротивлений R1 и R2, включенных параллельно, если сопротивление всего кольца
принять за R, то
1
2
R0  R  R .
(1)
3
3
2. Определим величину R
2r  4
8r
2
R 

   1 10 7 Ом .
(2)
d 2
4r 2
r
3. Величины параллельно включенных сопротивлений
1
2
R 1  R  3,3 `10 8 Ом , R 2  R  6,7 10 8 Ом .
(3)
3
3
4. Общее сопротивление цепи R0
R 1R 2
3,3 10 8  6,7 10 8
R0 

 2,2 10 8 Ом .
(4)
R1  R 2
10 8
5. Сила тока I0 через источник
144

4

 1,8 10 8 A .
(5)
R 0 2,2 10 8
6. Мощность выделяемая при подключении кольца к источнику тока
W  I 02 R 0  1,4 10 8 Вт ,
(6)
другими словами, в первую секунду после подключения в кольце выделится энергия, преимущественно тепловая, около Q = 140 МВт. Кольцо
при этом мгновенно нагреется и расплавится.
7. Оценим количества тепла необходимое для нагревания и плавления стального кольца. Определим массу кольца с учётом того, что плотность стали m  8103 кг/м3
d 2
 2 rd 2
10  2  4 10 6
m   m V   m  2r 
 m
 8 10 3
 0,16 кг . (7)
4
4
4
8. Оценим количество тепла, необходимого для нагревания и плавления полученной массы стали. Удельная теплоёмкость стали составляет с = 500 Дж/кгК, температура плавления Т1  1800 К, удельная теплота плавления  = 2,7105 Дж/кг
Q  cmT1  T0   m  mcT1  T0     
.
(8)
 0,16500 1800  300   2,7 10 5   1,6 10 5 Дж
Как видно из проведенного оценочного расчёта, W >> Q, т.е. энергии
выделяемой при нагреве стального кольца электрическим током вполне
достаточно, чтобы расплавить кольцо.
I0 
2.6.5. Спираль электрического нагревателя укоротили вдвое и подали на неё прежнее напряжение. Во сколько раз изменится потребляемая мощность?
Решение
1. Электрическую мощность, как известно, можно определять, используя уравнения: W  IU, W  U 2 R , W  I 2 R . В рассматриваемом
случае целесообразно использовать формулу мощности, выраженную
через напряжение и сопротивление, потому что напряжение в данном
случае остаётся неизменным и при сравнении мощностей эта величина
сократиться
U2
U2
W1 
, W2 
.
(1)
R1
R2
2. Запишем уравнения для R1 и R2


R1   1 , R 2   2 ,
(2)
s
s
145
где   удельное сопротивление материала, из которого изготовлена
спираль,   длина проводника, s  площадь поперечного сечения спирали.
3. Изменение мощности можно определить, подставив значения сопротивления спирали в уравнения (1), что даст отношение мощностей
W2
 1s
1
(3)


2.
W1   0,5 1s 0,5
2.6.6. Застрявший в снегу автомобиль массой m = 1,5 т вытаскивают с помощью бортовой электрической лебёдки с напряжением питания постоянным током U = 12 В. Определить силу тока в обмотке
электродвигателя лебёдки, коэффициент полезного действия которого
составляет  =06 если на расстояние  = 5 м при коэффициенте сопротивления движению  = 0,8 автомобиль переместился за время  =
5 мин.
Решение
1. Определим величину механической работы, которую необходимо
произвести для перемещения автомобиля на заданное расстояние, будем
считать, что трос параллелен поверхности земли и автомобиль посредствам лебёдки движется прямолинейно и равномерно
(1)
A  mg .
2. Электрическая мощность лебёдки определится уравнением
(2)
W  UI ,
с учётом КПД электродвигателя предельное соотношение между необходимой работой и электрическими возможностями лебёдки представится следующим образом
mg  0,8 1,5 10 3 10  5
(3)
IU  mg ,  I 

 28 А .
U
0,6 12  300
2.6.7. Получить аналитическую и графическую зависимость коэффициента полезного действия замкнутой цепи от соотношения между
внутренним сопротивлением источника тока и величиной внешнего
сопротивления.
Решение
1. Коэффициент полезного действия для любой механической, термодинамической или электрической системы, по определению, является
отношением производимой системой работы к величине энергии, характеризующей систему в целом. В случае электрической замкнутой цепи
146
КПД можно представить, как отношение мощности рассеиваемой во
внешней цепи WR к мощности, потребляемой всей цепью (WR +Wr)
WR
I2R
R
.
(1)

 2

WR  Wr I R  r  R  r
2. Для получения графической зависимости  =
f(r/R), числитель и знаменатель уравнения (1) целесообразно поделить на
R
1

,
(2)
1 r R
естественно, что максимальный
КПД
будет
иметь место в случае идеального источника, у которого r = 0.
2.6.8. К источнику тока с ЭДС  = 10 В и внутренним сопротивлением r = 2 Ом подключают переменный резистор, сопротивление которого можно менять от Rmin = 0 до Rmax = 20 Ом. Получить зависимость мощности, рассеиваемой на резисторе от его сопротивления.
Решение
1. Для получения расчётной зависимости воспользуемся уравнением (1) предыдущей
задачи
2
100 R
W
R
. (1)
R  r 2
R  22
2. Проведём вычисления
для: R1 = 0,1r; R2 = 0,5r; R3 = r;
R4 = 2r; R5 = 5r; R6 = 10r. Результаты расчётов приведены
на графике, из которого следует, что максимальная мощность на резисторе будет выделяться при R = r.
2.6.9. К источнику тока поочерёдно подключаются два резистора
R1= 10 Ом и R2 = 15 Ом, при этом на них выделяется одинаковая элек147
трическая мощность W1 = W2. Определить внутреннее сопротивление
источника и коэффициент полезного действия цепи 1, 2 в каждом
случае.
Решение
1. Запишем условие равенства мощностей
при поочерёдном подключении резисторов к
источнику
W1  W2 , I12 R 1  I 22 R 2 .
(1)
2. Силы токов через резисторы определяются законом Ома для полной цепи


I1 
, I2 
.
(2)
R1  r
R2  r
3. Подставим значения сил токов из уравнения (2) в уравнение (1)
2
2
R

.
(3)
1
R 1  r 2
R 2  r 2
4. Извлечём из правой и левой части уравнения (3) квадратный корень, сократив предварительно уравнения на 
R1
R2

,
R 1 R 2  r   R 2 R 2  r  ,
(4)
R 1  r  R 2  r 
r R 2  r r1  R 2 R 1  R 1 R 2 .
(5)
5. Уравнение (5) позволяет найти величину внутреннего сопротивления источника r
r
R 1R 2
R
 R2

R 1R 2  150  12,25 Ом .
R1  R 2
6. Определим далее КПД цепи для каждого резистора
R1
10
1 

 0,45 45 % ,
R 1  r 10  12,25
2 
1
R2
15

 0,55 55 % .
R 2  r 15  12,25
(6)
(7)
(8)
2.6.10. Сила тока в проводнике сопротивлением R = 100 Ом возрастает по линейному закону I = f() от I0 = 0 до Imax = 10 A в течение
времени  = 30 с. Найти количество тепла, выделившееся в проводнике
за это время.
148
Решение
1. В течение бесконечно малого промежутка времени в соответствии
с законом Джоуля  Ленца в проводнике выделится тепло
(1)
dQ  I 2 Rdt .
2. В данном случае сила тока является возрастающей линейной
функцией времени I = kt, поэтому необходимо определить величину
коэффициента пропорциональности k
I I max  I min
k

.
(2)


3. С учётом уравнения (2) закон Джоуля  Ленца примет вид
(3)
dQ  k 2 t 2 R .
4. За конечный промежуток времени количество тепла определится
интегралом

I I 
Q   max min  R t 2 dt ,


 0
2

(4)
2
1I 
1
1
Q   max  R3  I 2max R  100 100  30  100 кДж .
3  
3
3
(5)
2.6.11. По проводнику сопротивлением R = 3 Ом течёт ток, сила
которого линейно возрастает от нуля. Количество тепла, выделившегося за время  = 8 с, равно Q = 200 Дж. Определить количество электричества, прошедшее через поперечное сечение проводника.
Решение
1. По аналогии с предыдущей задачей, представим силу тока в виде
уравнения I = kt. С другой стороны силу тока можно выразить через
прошедший через проводник заряд
dq
I
,  dq  Idt  ktdt .
(1)
dt
2. Конечную величину заряда представим интегралом вида

q  k  tdt .
(2)
0
3. Поскольку по условию задачи пределы изменения силы тока не
заданы, то значение коэффициента k можно определить по количеству
выделившегося тепла. Воспользуемся уравнением (3) предыдущей задачи
dQ  I 2 Rdt  k 2 Rt 2 dt .
(3)
149
4. Проинтегрируем последнее уравнение, и разрешим его относительно коэффициента пропорциональности k

1
Q  k 2 R  t 2 dt  k 2 R 3 ,
(4)
3
0
3Q
.
(5)
3R
5. Подставим в уравнение (2) значение коэффициента k из последнего уравнения
k

q
3Q
1 3Q 2 1 3Q 1 3  200  8
 tdt 
 

 20 Кл .
3
R 0
2 3 R
2 R
2
3

(6)
2.6.12. Почему электрические лампы накаливания перегорают чаще
всего в момент их включения?
Решение
1. Для ответа на этот вопрос необходимо установить зависимость
сопротивления нити накала от температуры
(1)
R  R 0 1  T  ,
где R0  сопротивление «холодной» спирали,   температурный коэффициент сопротивления, Т  абсолютная температура спирали. Как
видно из уравнения (1), сопротивление нити накаливания имеет минимальное значение в «холодном» состоянии нити, другими словами,
именно в момент включения нить накала потребляет максимальный ток.
2. Рассмотрим в качестве примера лампочку мощностью W = 100 Вт,
рассчитанную на стандартное напряжение сети U = 220 В и с рабочей
температурой вольфрамовой спирали T  2000 К и   310  3 К  1. Оценим сопротивление спирали при рабочей температуре
U2
U2
W
, R 
 484 Ом .
(2)
R
W
3. Величина сопротивления нити накала в «холодном» состоянии R0
при Т0 = 293 К
R
484
R0 

 70 Ом .
(3)
1  T 1  3 10 3  2000
4. Сила тока в рабочем режиме и «холодном» состоянии
U 220
U 220
I 
 0,45 A, I 0  
 3,1 A ,
(4)
R 484
R
70
таким образом, сила пускового тока в семь раз превышает силу рабочего тока.
150
2.7. Электрический ток в металлах
2.7.1. Сила тока в металлическом проводнике I = 0,8 А, сечение проводника s = 4 мм2. Концентрация носителей заряда, электронов в металле составляет n = 2,510 22 см3. Определить среднюю скорость упорядоченного движения электронов.
Решение
1. Плотность электрического тока в металлическом проводнике
определяется уравнением


I
j  ne v ,
 ne v ,
(1)
s
из которого средняя скорость <v> направленного движения электронов
е определится как
I
0,8
м
(2)
v 

 5 10 5 .
nes 2,5 10 30 1,6 10 19  4 10 6
с
2.7.2. Определить среднюю скорость упорядоченного движения
электронов <v> в медном проводнике при протекании в нём тока силой
I = 10 А при поперечном сечении s = 1 см2. Считать, что на каждый
атом мед (Cu) приходится два свободных электрона.
Решение
1. Количество атомов меди в единице объёма определим, используя
понятие количества вещества
VN A
m
N
V
N
 


, N 
,
(1)
 NA

NA

где V = 1 м3  объём,  = 7,42103 кг/м3  плотность проводника, NA 
610 23 моль  1  число Авогадро,   6410  3 кг/моль
7,4 10 3  6 10 23
1
n  2
 14 10 28 3 .
(2)
64 10 3
м
2. Воспользуемся далее уравнением (2) предыдущей задачи
I
10
м
(3)
v 

 4,4 10 6 .
nes 14 10 28 1,6 10 19 110 4
с
2.7.3. Плотность тока в алюминиевом проводнике составляет j =
110 6 А/м2. Определить среднюю скорость упорядоченного движения
электронов, полагая что их число в 1 см3 равно числу атомов.
151
Решение
1. Для определения концентрации электронов в алюминии воспользуемся уравнением (1) предыдущей задачи, записанным для объёма V =
1 м3. Плотность алюминия  = 2,7103 кг/м3, молярная масса  = 2710  3
кг/моль
N A 2,7 10 3  6 10 23
1
(1)
n

 6 10 28 3 .
3

27 10
м
2. Определим скорость упорядоченного движения электронов, которую часто называют дрейфовой скоростью


j
10 6
м
(2)
j  ne v ,  v 

 110 4 .
ne 6 10 28 1,6 10 19
с
2.7.4. Плотность тока в медном проводнике составляет j = 3
МА/м2. Определить напряжённость электрического поля, вызывающего
направленное движение электронов.
Решение
1. Плотность тока с напряжённостью электрического поля, поддерживающего его, связаны законом Ома в дифференциальной форме


j
(1)
j  E,  E  ,

где  = 6,1107 м/Ом  удельная проводимость меди.
2. Определим напряжённость электрического поля
3 10 6
В
E
 0,05 .
(2)
7
6 10
м
2.7.5. В медном проводнике длиной L = 2 м площадью поперечного
сечения s = 410  7 м2 течёт электрический ток, при этом ежесекундно
выделяется Q = 0,35 Дж тепла. Какое количество электронов проходит в одну секунду через поперечное сечение?
Решение
1. Определим электрическое сопротивление проводника, полагая
удельное сопротивление меди  = 1,610  8 Омм
L
2
R    1,6 10 8
 0,08 Ом .
(1)
s
4 10 7
2. Запишем закон Джоуля  Ленца и определим силу тока
Q
Q  I 2 R,  I 
 2,1 A .
(2)
R
152
3. Вычислим количество электронов, проходящих через поперечное
сечение проводника, используя определение силы постоянного тока
dq eN
I
2,11
(3)
I

, N  
 1,3 10 19 .
dt
dt
e 1,6 10 19
2.7.6. В медном проводнике объёмом V = 610  6 м3 при хождении по
нему электрического тока в течение  = 60 с выделилось Q = 216 Дж
теплоты. Найти величину напряжённости электрического поля Е в
проводнике.
Решение
1. Запишем закон Джоуля  Ленца в дифференциальной форме
  E 2 ,
(1)
7
где   объёмная плотность тепловой мощности,   6,110 м/Ом 
удельная электрическая проводимость меди, Е  напряжённость электрического поля.
2. Определим объёмную плотность тепловой мощности
Q

.
(2)
V
3. Подставим уравнение (2) в уравнение (1)
Q
 E 2 ,  E 
V
Q

V
216
В
 0,1 .
6
6,110  60  6 10
м
7
(3)
2.7.7. По стальному и золотому проводникам одинаковых размеров
пропускают ток равной силы. Во сколько раз будут отличаться средние скорости упорядоченного движения электронов, если на каждый
атом металла приходится по три свободных электрона?
Решение
1. Воспользовавшись уравнением (2) задачи 2.7.2 определим концентрацию электронов
 N
9 10 3  6 10 23
1
n Cu  Cu A 
 8,6 10 28 3 ,
(1)
3
 Cu
63 10
м
 Au N A 19 10 3  6 10 23
1

 5,8 10 28 3 .
(2)
3
 Au
197 10
м
2. По уравнению (2) задачи 2.7.3 определим искомое отношение
v Au
n
 Cu  1,5 .
(3)
v Cu
n Au
n Au 
153
2.8. Классическая теория электропроводности металлов
2.8.1. Металлический проводник движется с ускорением а = 100
м/с2. Используя модель свободных электронов, определить напряжённость электрического поля.
Решение
1. Электрон обладает массой m  110  30 кг, поэтому его ускоренное
движение свидетельствует о наличии действующей на нё силы, а с другой стороны, электрон несёт элементарный отрицательный заряд е 
1,610  19 Кл, т.е. испытывает на себе действие силы Кулона
m a 110 30 100
пВ
.
(1)
m e a  eE,  E  e 
 625
19
e
1,6 10
м
2.8.2. Медный диск радиусом R = 0,5 м
равномерно вращается с угловой скоростью  = 104 рад/с относительно неподвижной оси, перпендикулярной плоскости
диска и проходящей через его центр. Определить разность потенциалов U между
центром диска и его периферийными мочками.
Решение
1. Электроны, в классической электродинамике представляются частицами с массой m  110  30 кг и отрицательным зарядом е  1,610  19
Кл. Поскольку в металлах электроны считаются свободными, т.е., не
связанными с конкретными элементами кристаллической решётки, то в
случае вращающегося диска на них будет действовать нормальное
ускорение аn.
2. Электроны, таким образом, находятся под действием двух сил:
электрических и механических
me v2
m e 2 R 2
 eE,
 eE .
(1)
R
R
3. Разрешим уравнение (1) относительно напряжённости электрического поля Е
m 2 R
E e
.
(2)
e
4. Определим разность потенциалом между осью вращения диска,
где нормальное ускорение равно нулю и его периферийными точками,
154
где нормальное ускорение максимально
m 2 R 2 10 30 10 8  0,25
U
E  ,  U  ER  e

 1,56 10 4 B .
R
e
1,6 10 19
(3)
2.8.3. Металлический стержень
движется вдоль своей оси со скоростью v = 200 м/с. Определить заряд
Q, который протечёт через гальванометр, подключенный к концам
стержня, при его резком торможении. Длина стержня L = 10 м, электрическое сопротивление всей цепи составляет R = 110 2 Ом.
Решение
1. Определим величину ускорения электронов в стержне в предположении, что они пройдут расстояние равное L
L
v v2
 , a 
,
(1)
v
 L
где а  ускорение электронов,   время в течение которого электроны
проходят расстояние L.
2. Определим напряжённость электрического поля, создаваемого
движущимися замедленно электронами
ma
E e ,
(2)
e
где me  1 10  30 кг  масса электрона, е  1,610  16 Кл  заряд электрона. Напряжённость электрического поля, разность потенциалов на концах стержня и сила возникающего при этом тока связаны следующими
соотношениями
E
U
E
Qv
E  UL,  U  , I  

.
(3)
L
R LR
L
3. Определим величину заряда Q, используя уравнения (1), (2), (3)
m v 2  m e vL 110 30  200 10
(4)
Q  e


 1,25 мкКл .
eR
eR
1,6 10 19 10 2
2.8.4. Удельная проводимость металла равна  = 10 МС/м. Определить среднюю длину свободного пробега электронов  , если концентрация свободных электронов  n = 1028 м  3, средняя скорость их теплового движения составляет <u> = 10 Мм/с.
155
Решение
1. Удельная электрическая проводимость при наличии в веществе
свободных электронов определяется уравнением
2
1en
,
(1)

2 me u
откуда
 
2m e u
e2n

2 10 30 10 7 10 7
1,6 10 
19 2
10 28
 7,8 10 8 м .
(2)
2.8.5. Используя модель свободных электронов, определить число
соударений z, электрона в течение времени  = 1 с в металлическом
проводнике при концентрации свободных электронов n = 10 29 м  3.
Удельная проводимость металла принять равной  = 10 МС/м.
Решение
1. Запишем уравнение удельной электрической проводимости металла
e2n 
.
(1)

2m e u
где   длина свободного пробега электронов, u  скорость хаотического теплового движения электронов, me  110  30 кг  масса электрона, е  1,610 19 Кл  заряд электрона.
2. Величина u   z представляет собой частоту столкновения
электронов, поэтому
z 
e2n
2,56 10 38 10 29
1

 1,3 10 14 .
30
7
2m e 
2 10 10
c
(2)
2.8.6. Исходя из представлений классической теории электропроводности металлов, определить величину средней кинетической энергии электронов <> в металле, если отношение теплопроводности к
удельной проводимости / = 6,710  6 Вт2 /К.
Решение
1. Запишем уравнение закона Видемана  Франца
k2

   3 2B T ,

e
156
(1)
где k B  1,410  23 Дж/К  постоянная Больцмана, Т  абсолютная температура, е  1,610  19 Кл  заряд электрона.
2. Выразим из уравнения (1) величину абсолютной температуры
e 2
(2)
e 2  3k 2B T,  T  2 .
3k B
3. Определим среднюю кинетическую энергию поступательного
движения электрона
3
3
e 2 e 2
  k BT  k B 2 

2
2 3k B 2k B
.
(3)
6,7 10 6  2,56 10 38
21

 6,110 Дж  0,038 эВ
2,8 10 23
2.8.7. Определить объёмную плотность тепловой мощности  в
металлическом проводнике, если плотность тока j = 1107 A/м2,
напряжённость электрического поля Е = 110  3 В/м.
Решение
1. Запишем уравнения законов Ома и Джоуля  Ленца в дифференциальной форме
j  E,   E 2 .
(1)
2. Выразим далее удельную электропроводность из уравнения закона Ома и подставим эту величину в уравнение закона Джоуля  Ленца
j
Вт
  E 2  jE  10 7 10 3  110 4 3 .
(2)
E
м
2.8.8. В германии, который относится к полупроводникам, при комнатной температуре концентрация электронов проводимости составляет n1 = 31019 м  3. Какую часть составляет число электронов проводимости N1 от общего числа атомов N?
Решение
1. Определим концентрацию атомов германия в некотором фиксированном объёме вещества V

n
,
(1)
m0
где   5,4103 кг/м3  плотность германия, m0  масса одного атома
германия, которую можно определить, воспользовавшись соотношением молекулярной физики
157

,
(2)
NA
здесь   7310  3 кг/моль  молярная масса германия, NA  61023 моль  1
число Авогадро.
2. Совместим уравнения (1) и (2)
N A
.
(3)
n

3. Определим искомое отношение числа электронов проводимости к
общему числу атомов
N N A 5,4 10 3  6 10 23
(4)


 1,5 10 9 .
N1
n 1 3 10 19  73 10 3
m0 
2.8.9. Никелиновый стержень длиной L = 5 м подключён к источнику постоянного тока с ЭДС  = 12 В. Температура проводника равна Т
= 813 К. Определить плотность тока j и объёмную плотность тепловой мощности .
Решение
1. Запишем закон Ома в дифференциальной форме
E
E
j  E  
,
  0 1  T 
(1)
где 0  410  7 Омм  удельное сопротивление никелина,   110  4 К  1
 температурный коэффициент сопротивления.
2. Выразим напряжённость электрического поля в стержне через
разность потенциалов на его концах

E .
(2)
L
3. Подставим значение напряжённости поля в уравнение (1)

12
А
j

 3 10 7 2 .
(3)
7
L 0 1  T  5  4 10 1  0,813 
м
4. Объёмная плотность тепловой мощности в стержне определится
как
1
2
144
Вт


 8 10 6 3 .
(4)
 0 1  T  L2 25  4 10 7 1  0,813 
м
158
2.9. Электрический ток в жидкостях
2.9.1. В электролитической ванне при силе тока I = 5 A в течение
времени  = 600 с выделился двухвалентный металл массой m = 1,02г.
Определить относительную атомную массу металла.
Решение
1. Запишем уравнение объединенного закона Майкла Фарадея
1
(1)
m
I ,
FZ
где   молярная масса металла, Z = 2  валентность, F = 96,5103
Кл/моль  постоянная Фарадея.
2. Определим молярную массу металла
mFZ 1,02 10 3  96 ,5 10 3  2
кг


 65,62
,
(2)
I
5  600
моль
3. В соответствии с периодической таблицей Д.И. Менделеева металлом является цинк с относительной атомной массой Мr = 65,38.
2.9.2. В результате электролиза при нормальном давлении и температуре Т = 300 К выделяется кислород объёмом которого составляет
V = 1 л. Процесс протекает при напряжении U = 10 В с коэффициентом полезного действия  = 0,75. Электрохимический эквивалент кислорода равен k = 8,310  8 кг/Кл.
Решение
1. Определим работу электрического тока при его прохождении через раствор электролита
(1)
A  IU .
2. Произведение силы тока I на время его протекания  возможно
определить из закона Фарадея
m
Um
m  kI,  I  ,  A 
.
(2)
k
k
3. Массу кислорода определим, воспользовавшись уравнением Клапейрона  Менделеева
m
pV
.
(3)
pV  RT ,  m 

RT
4. Подставим значение массы m из уравнения (3) в уравнение работы
159
UpV
.
(1)
kRT
5. Коэффициент полезного действия равен отношению величины
полезной работы к энергии, затраченной на процесс, что даёт возможность определить искомую величину энергии
A
UpV
10 10 5 10 3  32 10 3
(3)

, W 

 0,2 МДж .
W
kRT  8.3 10 8  8,31  300  0,75
A
2.9. 3. В результате электролиза за время  = 600 с на катоде выделилась медь в виде равномерной плёнки толщиной h = 1 мкм. Определить плотность тока j, если выход то току равен  = 0,8. Электрохимический эквивалент меди Cu2+ принять равным k  710  7 кг/Кл.
Решение
1. На практике, в силу ряда причин, количество выделяемого на катоде, металла отличается от предсказываемого законом Фарадея. В этой
связи было введено понятие выхода по току
m практ.
(1)

100 % .
m теор.
2. Практическую массу выделившейся меди mпракт. Определим следующим образом
m пр акт.  hs ,
(2)
где   9103 кг/м3  плотность меди, s  площадь катода.
3. Теоретическую массу mтеор. найдём, воспользовавшись уравнением закона Фарадея
m теор.  kI   kjs  .
(3)
4. Подставим найденные значения масс в уравнение (1)
hs
h
9 10 3 10 6
кА

100 %,  j 
100 
100  2,7 2 .
kjs 
k
7 10 7  0,8  600
м
(4)
2.9.4. Электролиз серной кислоты производится в течение времени
 = 60 мин при электрической мощности Р = 50 Вт, при этом на электроде выделяется m = 0,5 г двухвалентного водорода. Определить
электрическое сопротивление электролита.
Решение
1. Определим силу тока при электролизе, воспользовавшись объединённым законом Фарадея
160
1
mFZ
,
(1)
I,  I 
FZ

где  = 2.10  3 кг/моль  молярная масса водорода, Z = 2  валентность
водорода, F = 9,6104 Кл/моль  число Фарадея.
2. Сила тока и сопротивление цепи, как известно, определяют электрическую мощность нагрузки, т.е.
P
R
P  I2R,  R  2 
,
(2)
2
I
 mFZ 


  
m
 2 10 3  3 10 3
  
R  P
  50
4
4
 mZF 
 5 10  2  9,6 10
2
2

  0,2 Ом .

(3)
2.9.5. Гремучий газ выделяется при электролизе воды, производимом
в нормальных условиях, током силой I = 100 А. Какое количество газа
выделится в течение  = 2 мин, если электрохимический эквивалент
водорода равен kH  110  7 кг/Кл, электрохимический эквивалент кислорода  kO  810  7 кг/Кл.
Решение
1. Гремучий газ представляет собой смесь кислорода с водородом,
которые занимают общий объём V. Определим, воспользовавшись
Уравнением Клапейрона  Менделеева, парциальные давления этих
газов
m
m
p H V  H RT , p O V  O RT ,
(1)
H
O
где pH, pO  давления газов, mH, mO  массы выделившихся газов, Н =
210  3 кг/моль, О = 3210  3 кг/моль  молярные массы газов, R  8,3
Дж/мольК  универсальная газовая постоянная, Т = 273 К  нормальная
температура.
2. Массы выделившихся в результате электролиза водорода и кислорода можно выразить из первого закона Фарадея
(2)
m H  k H I, m O  k O I .
3. Подставим значения масс газов в уравнения Клапейрона  Менделеева
k I
k I
p H V  H RT , p O V  O RT .
(3)
H
O
4. Сумма парциальных давлений газов в соответствие с законом
161
Дальтона должна быть равна внешнему, т.е. атмосферному давлению р
 105 Па
RTI   k H k O 

,
(4)
p  pH  pO 

V   H  O 
откуда искомый объём определится как
RTI   k H k O 

,
V

p   H  O 
8,3  273 100 120  10 7
8 10 7 
3

V

 2 10 3 32 10 3   0,02 м .
10 5


(5)
(6)
2.9.6. Две электролитические ванны соединены последовательно. В
первой ванне выделилось mZn = 3,9 г цинка, а во второй за то же время
mFe = 2,24 г железа. Валентность цинка ZZn = 2. Определить валентность железа ZFe.
Решение
1. Через последовательно включенные ванны будет протекать одинаковый ток. В этой связи запишем для выделяющихся на катодах металлов объединённый закон Фарадея
1  Zn
1  Fe
m Zn 
I. m Fe 
I ,
(1)
F Z Zn
F Z Fe
где Zn = 65,310  3 кг/моль  молярная масса цинка, Fe = 55,810  3
кг/моль  молярная масса железа.
2. Разрешим уравнения (1) относительно силы тока и приравняем их
m FZ
m Z
m Zn FZ Zn
m Zn Z Zn
 Fe Fe ,
 Fe Fe .
(2)
 Zn
 Fe
 Zn
 Fe
3. Определим из уравнения (2) валентность железа ZFe
m Z 
m Zn Z Zn  Fe   Zn m Fe Z Fe ,  Z Fe  Zn Zn Fe ,
(3)
 Zn m Fe
Z Fe 
3,9 10 3  2  55,8 10 3
 3.
65,3 10 3  2,24 10 3
(4)
2.9.7. Электролитическая ванна с раствором медного купороса соединена с источником постоянного тока, обладающего ЭДС  = 4 В и
внутреннего сопротивления r = 0,1 Ом. Определить массу меди, выделившейся на катоде за время  = 10 мин, если ЭДС поляризации равна 1
= 1,5 В, а сопротивление раствора R = 0,5 Ом. Медь двухвалентна.
162
Решение
1. Определим силу тока, поддерживающего процесс электролиза,
воспользовавшись законом Ома для полной цепи
  1
I
(1)
Rr
2. Запишем уравнение объединённого закона Фарадея
1     1 
1
63,5 10 3
4  1,5
m

 600 
 0,82 г .
(2)

3
F Z  R  r  96 ,5 10
2
0,1  0,5
2.9.8. Определить толщину слоя меди h, выделившейся за время  =3
мин при пропускании тока плотностью j = 80 A/м2 через раствор медного купороса.
Решение
1. Запишем уравнения для массы выделившейся меди, исходя из её
объёма (V = sh) и обобщённого закона Ома
1
m  sh, m 
js  ,
(1)
FZ
где   9103 кг/м3  плотность меди, Z  её валентность,   63,510  3
кг/моль  молярная масса меди.
2. Приравняем уравнения (1) и разрешим получившееся соотношение относительно толщины h
1
j
63,5 10 3  80 180
(2)
sh 
js ,  h 

 53 мкм .
FZ
FZ 8,93 10 3  96,5 10 3  2
2.9.9. Сила тока, проходящего через электролитическую ванну с
раствором медного купороса, равномерно возрастает в течение времени  = 20 с с Imin = 0 до Imax = 2 A. Определить массу меди, выделившейся за это время на катоде.
Решение
1. Сила тока в данном случае является функцией времени I =kt, причём постоянный коэффициент определяется как
I I
k  max min .
(1)

2. Уравнение объединённого закона Фарадея представится следующим образом

1
1   I max  I min   2
1 
m
ktdt

I max  ,
(2)

 

FZ0
F Z

 2 2F Z
163
где Z = 2  валентность меди, F = 96,5 103 Кл/моль т число Фарадея, 
 63,510  3 кг/моль  молярная масса меди, с учётом этого
63,5 10 3  2  20
(3)
m
 6,6 мг .
2  96,5 10 3  2
2.9.10. Через электролитическую ванну проходит заряд Q = 193 Кл,
при этом на катоде выделяется  = 1 моль металла. Определить валентность металла Z.
Решение
1. С учётом того, что электрический заряд равен произведению силы
тока I на время его протекания , уравнение обобщённого закона Фарадея можно записать следующим образом
1
m
I, ,
(1)
FZ
m 1 I Q
Q
193
(2)


, Z 

2.
 F Z FZ
F 1 96,5 10 3
2.9.11. Определить количество вещества  и число атомов металла,
отложившегося на катоде электролитической ванны при прохождении
через нё в течение  = 5 мин тока силой I = 2 А.
Решение
1. Выразим из уравнения обобщённого закона Фарадея количество
выделившегося металла
1
m
I
N
m
I,


,
(1)
FZ

FZ N A
где N  количество выделившихся на катоде атомов, NA  61023 моль  1
 число Авогадро.
2. Определим численные значения количества вещества  и числа
выделившихся атомов N
I
2  300
(2)


 3,110 3 моль ,
FZ 2  96,5 10 3
N  N A  3,110 3  6 10 23  1,86 10 21 .
(3)
164
2.10. Электрический ток в газах
2.10.1. Молния состоит из отдельных электрических разрядов, длящихся, в среднем,  = 110  3 с, причём по каналу разряда проходит
электрический заряд порядка Q = 25 Кл при напряжении на концах
шнура U = 3109 В. Определить энергию W, выделяющуюся при N = 10
разрядах и силу тока в канале одной молнии I1.
Решение
1. Электрическая энергия, выделяющаяся при разряде, определяется
величиной заряда и напряжением, при котором это явление происходит
W1  QU , W  NQU  10  25 10 9  25 10 11 Вт .
(1)
2. Сила тока в канале одного разряда
Q
25
I   3  2,5 10 4 A .
(2)
 10
2.10.2. Концентрация ионизированных молекул в атмосферном воздухе при давлении р0 = 105 Па и температуре Т = 300 К составляет ni =
310 22 м  3. Определить процент ионизированных молекул в воздухе .
Решение
1. В соответствии с основным уравнением молекулярно  кинетической теории
(1)
p 0  nk B T ,
 23
где n  концентрация молекул воздуха, kB  1,410
Дж/К  постоянная Больцмана, Т  абсолютная температура.
2. Определим из уравнения (1) величину концентрации
p
n 0 .
(2)
k BT
3. Процент ионизированных молекул определится как
n
n k T 3 10 22 1,4 10 23  300
 i  i B 
100 %  0,126 % .
(3)
n
p0
10 5
2.10.3. Стеклянный баллон, в котором на расстоянии d = 0,1м расположены электроды, заполнен парами ртути. Самостоятельный разряд в трубке наступает при напряжении U = 600 В, энергия ионизации
паров ртути составляет Wi = 1,710  18 Дж. Определить среднюю длину свободного пробега электронов.
165
Решение
1. Длина свободного пробега электрона в газе <>представляет собой расстояние, проходимое между двумя столкновениями. Величину
<> можно найти из уравнения работы, совершаемой полем при перемещении частицы
(1)
A  FK    eE    .
2. Величина работы, в свою очередь, определяет энергию ионизации
(2)
Wi  A  eE    ,
откуда
W W d 1,7 10 18  0,1
(3)
   i  i 
 1,77 10 3 м .
19
eE
eU 1,6 10  600
2.10.4.
В
электронно-лучевой
трубке поток электронов, движущийся с кинетической энергией Wk =
10 кэВ, пролетает пространство d =
10 мм между вертикальными отклоняющими пластинами длиной L = 0,02
м. На какое расстояние у сместится
поток электронов, если на пластины
подано напряжение U = 10 кВ
Решение
1. Проанализируем движение электрона в электрическом поле конденсатора без учёта влияния силы гравитации (me  110  30 кг). Вдоль
горизонтальной оси движение равномерное, поэтому время действия на
электрон силы Кулона определится как  = L/v. По вертикальной оси
движение ускоренное
a 2 av 2
y

,
(1)
2
2L
где а = FK/me  ускорение электрона.
2. Время  определим, воспользовавшись уравнением кинетической
энергии
m v2
me
2Wk
.
(2)
Wk  e ,  v 
,   L
2
me
2Wk
3. Перепишем уравнение (1) с учётом значения времени 
UeL2 10 4 1,6 10 19  4 10 4
y

 1мм .
4dWk
4  0,110 4 1,6 10 19
166
(3)
 18
2.10.5. Энергия ионизации атома водорода составляет Wi = 2,1810
Дж. Определить потенциал ионизации Ui водорода.
Решение
1. Процесс ионизации атома представляет собой удаление электрона
от ядра, чтобы такое произошло, необходимо приложить энергию, равную или превышающую потенциальную энергию взаимосвязи отрицательно заряженного электрона и положительно заряженного ядра
W 2,18 10 18
(1)
Wi  eU,  U i  i 
 13,6 B .
e
1,6 10 19
2.10.6. До какой температуры необходимо нагреть атомарный водород, чтобы при столкновении атомов происходила их ионизация?
Решение
1. Потенциал ионизации для водорода Ui = 13,6 B и энергия ионизации были определены в предыдущей задаче. Чтобы произошёл акт
ионизации атомов при их столкновении, кинетическая энергия поступательной составляющей теплового движения электрона должна быть
равна или должна превышать энергию ионизации
2eU i 4 1,6 10 19 13,6
3
2eU i  k B T,  T 

 2 10 5 K ,
(2)
2
3k B
3 1,4 10 23
что соответствует условиям термоядерного взрыва.
2.10.7. В центральную часть межэлектродного пространства параллельно поверхности плоских электродов влетает   частица (дважды
ионизированный атом гелия), которая
образует на своей траектории цепочку
ионов. Разность потенциалов между
пластинами  U = 5 кВ, расстояние
между ними  d = 4 см, подвижность
ионов обоих знаков составляет b = 2 см2/(Вс). Через какое время после
пролёта частицы ионы достигнут поверхности электронов?
Решение
1. Подвижность ионов определяется средней скоростью движения
<v> и напряжённостью электрического поля
(1)
bv E,
167
где E = U/d  напряжённость электрического поля.
2. Средняя скорость движения, таким образом, запишется следующим образом
bU
 v  bE 
.
(2)
d
3. Время движения до поверхности плоских электродов определится
следующим образом
dv
d2
4 10 4



 2 10 4 c .
(3)
2
2bU 2  2 10 4  5 10 3
2.10.8. Азот ионизируется рентгеновским излучением. Определить
проводимость азота , если в каждом кубическом сантиметре содержится N = 107 пар ионов. Подвижность положительных ионов равна
b+ = 1,27 см2/(Вс), отрицательных  b = 1,81 см2/(Вс).
Решение

1. Плотность тока равна j  nqv , где n  концентрация ионов, q 
заряд ионов, при обычной ионизации принимается равным заряду элек
трона, т.е. j  n e v . Если на ионы массой m действует постоянная сила
Кулона, то уравнение второго закона Ньютона примет вид


dv 
v
m
 FK  m .
(1)
dt

2. Подставим в уравнение (1) значение средней скорости движения
ионов



2
d  j  
1  j  
d j n e  FK
,
(2)
m
 FK  m
, j 
dt  n e 
  n e 
dt
m e
ne 
2
   называется проводимостью или электропроводm
ностью. Уравнение (2) перепишем в виде


FK 
(3)
j
 j0 exp  t  .
e
величина
3. Если инерционное время  больше времени движения ионов, то




FK
j
 E  e n b   b  E,    n e b   b   ,
(4)
e
  10 13 1,6 10 19  3,1 10 4  5 10 10 См .
168
(5)