Физический факультатив НЕЦЕНТРАЛЬНЫЙ УПРУГИЙ УДАР Давыдов В.И., Чухланцев А.А. Лицей научно-инженерного профиля города Королева Московской области Аннотация Задачи на непрямой упругий удар практически не рассматриваются в курсе школьной физики. В то же время такие задачи встречаются в заданиях олимпиад различного уровня, в том числе вузовских олимпиад, включаемых в перечень Министерства образования, призеры которых имеют право засчитывать свой результат как высший балл по ЕГЭ. В связи с этим представляется целесообразным рассматривать задачи на непрямой упругий удар на школьном факультативе по физике, что в течение ряда лет и делается в Лицее научно-инженерного профиля города Королева. Кроме того, на факультативе имеется возможность систематизировано изложить подходы к решению данных задач, разбросанных по различным задачникам и учебным пособиям. Представляется, что данная статья может быть полезной как для учителей физики школ с углубленным изучением предмета, так и для абитуриентов. Примеры задач Задача 1. На покоящийся шар налетает шар такой же массы. Найдите угол разлета шаров после нецентрального упругого удара. [1,2] Решение. Используя теорему косинусов для треугольника импульсов, представленного α p 1 на рисунке, запишем закон сохранения импульса p2 в виде: φ p02 p12 p22 2 p1 p2 cos p0 (1) где p0 – модуль импульс налетающего шара до удара, p1 – модуль импульса налетающего шара после удара, p2 – модуль импульса покоящегося шара после удара, α – угол разлета шаров. Закон сохранения энергии запишем также через импульсы шаров: p02 p12 p22 2m1 2m1 2m2 Если m1 = m2, то из уравнений (1) и (2) следует, что cosα = 0 и α = π/2. (2) Ответ: α = π/2. Задача 2. Тяжелая частица массы m1 сталкивается с покоящейся легкой частицей массы m2. На какой наибольший угол может отклониться тяжелая частица в результате упругого удара? [1] Решение. Запишем закон сохранения импульса в виде (рисунок к задаче 1): p22 p12 p02 2 p1 p0 cos (1а) где p0 – модуль импульса налетающей частицы до удара, p1 – модуль импульса налетающей частицы после удара, p2 – модуль импульса покоящейся частицы после удара, φ – искомый угол отклонения налетающей частицы. Закон сохранения энергии запишем также через импульсы частиц: p02 p12 p22 2m1 2m1 2m2 (2) Из второго уравнения выразим p22 m2 2 ( p0 p12 ) m1 (3) И подставим в (1а). Тогда p12 (1 m2 m ) 2 p1 p0 cos p02 (1 2 ) 0 m1 m1 (4) Детерминант уравнения (4) должен быть больше или равен нуля: D 4 p02 cos2 4 p02 (1 m22 )0 m12 (5) Отсюда получаем ограничение на угол отклонения налетающей частицы: m22 cos 1 2 m1 (6) Максимальный угол отклонения имеет место, когда детерминант равен нулю. m Для этого угла sin 2 . m1 Ответ: sin m2 . m1 Важным обстоятельством при упругом нецентральном ударе является то, что ввиду отсутствия сил трения, силы взаимодействия соударяющихся тел направлены по нормали к поверхности их соприкосновения. Задача 3. На горизонтальном столе покоится клин массой М = 4 кг. Сверху на клин падает шарик массой m = 1 кг. Определить угол при основании клина α, если известно, что после упругого удара о клин шарик отскочил под углом β = 45° к вертикали. Трением пренебречь.[3] Решение. Поскольку смещения шарика и клина за время соударения пренебрежимо малы (удар, как обычно, считается мгновенным), а также из-за отсутствия трения, силы взаимодействия шарика и клина направлены по нормали к наклонной плоскости. Следовательно, изменение импульса шарика при ударе также будет направлено по нормали к наклонной плоскости клина (смотри рисунок, где через V0 и V обозначены скорости шарика до и после удара соответственно, U — скорость клина после удара). Из рисунка видно, что tg V sin V0 V cos Используя закон сохранения импульса в проекции на горизонтальное направление и закон сохранения кинетической энергии при упругом ударе, получаем следующие равенства: mV02 mV 2 mU 2 mV sin MU , 2 2 2 Отсюда U V m m sin , V0 V 1 sin 2 M M Объединяя записанные выражения, получаем ответ. Ответ: sin tg 0,4; arctg 0,4 22 m cos 1 sin 2 M Задача 4. Два одинаковых шара радиусами R летят навстречу друг другу с одинаковыми скоростями как показано на рисунке. Расстояние между линиями движения центров шаров S = R. На какой угол β повернется вектор скорости каждого из шаров после удара? Удар считать упругим, шары - идеально гладкими. [3] Решение. Обозначим через V1 и V2 скорости шаров после удара. Используя законы сохранения импульса и энергии mV12 mV22 mV1 mV2 0, mV 2 , 2 2 находим, что V1 = V2 = V, т.е. модули скоростей шаров после удара останутся прежними. Из предположения о кратковременности удара вытекает, что приращение импульса каждого из шаров направлено по линии, соединяющей центры шаров в момент удара. Из рисунка видно, что 2 , sin Ответ: 2 arcsin S 2R S 2 2R 3 Задачи для самостоятельного решения. 1. [1] Частица массы m1 налетает на шар массы m2. Направление ее движения составляет угол α с нормалью к поверхности шара. Под каким углом к этой нормали отскочит от шара частица, если шар сначала покоился, а удар упругий? m m2 Ответ: tg tg 1 m2 m1 2. [1] При упругом столкновении налетающей частицы с покоящейся первая полетела под углом α к направлению первоначального движения, а вторая - под углом β. Найдите отношение масс этих частиц. m1 sin 2 ( ) sin 2 Ответ: , m1 – масса налетающей частицы. m2 sin 2 3. [1] Частица массы m1 налетела со скоростью v на неподвижную частицу массы m2, которая после упругого удара полетела под углом α к первоначальному направлению движения налетающей частицы. Определите скорость частицы массы m2 после удара. 2m1v cos m1 m2 4. [2] По центру неподвижного кубика, лежащего на гладкой горизонтальной поверхности, наносят удар шариком той же массы, так, что начальная скорость шарика v направлена под углом α к оси симметрии кубика. Определить скорость v1 и v2 шарика и кубика после удара. Под каким углом β к оси симметрии кубика полетит шарик после удара? Ответ: v1 v sin ; v2 v cos ; / 2 Ответ: u 5. [2] Шариком массой m наносят удар по клину. Масса клина M, угол при основании α. Удар абсолютно упругий. Трением можно пренебречь. Определить скорость шарика v и скорость клина u после удара, если скорость шарика перед ударом равна v0 и направлена: а) перпендикулярно поверхности клина; б) по вертикали; в) по горизонтали. Ответ: M m sin 2 2m sin а) v v ; u u v0 0 0 M m sin 2 M m sin 2 M б ) u u0 cos ; v v02 u02 cos2 m M в) u u0 sin ; v v02 u02 sin 2 m Литература. 1. Задачи по физике: Учеб. пособие/ И.И. Воробьев, П.И. Зубков, Г.А. Кутузова и др.; Под ред. О.Я. Савченко. − 2-е изд., перераб. − М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. 1988. - 416 с. 2. Дмитриев С.Н., Васюков В.И., Струков Ю.А. Физика: Сборник задач для поступающих в вузы. Изд. 7-е, доп. М: Ориентир. 2005. – 312 с. 3. Драбович К.Н., Макаров В.А., Чесноков С.С. Физика. Практический курс для поступающих в университеты. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. – 544 с. - ISBN 5-9221-0652-Х.