 Ряды. Дифференциальные уравнения.  

Ряды. Дифференциальные уравнения.

А=а1+а2+а3+…=
a
n 1
n
Определение: Числовой ряд – бесконечная упорядоченная сумма чисел.
Примеры рядов:
1
1 1 1
   ... Гармонический ряд.
2 3 4
 ( )  1 
1
1
1
     ... Дзета функция Риммана.

2
3
4
1-1+1-1+1-1+1-1+…
Аn=а1+а2+а3+…+аn – частичная сумма ряда.
{An}–последовательность частичных сумм.
Определение: Числовой ряд А сходится, если  lim A n  A – сумма сходящегося
n 
 lim A n , то ряд А расходится.
числового рядя. Если 
n 
1+2+3+4+5+… (расходится к бесконечности)
В целом по рядам существует несколко типов задач:
1) Исследование сходимости ряда.
2) Нахождение суммы.
Критерий Коши сходимости ряда.
lim A n  A
n 
 >0  n0 , такое, что n>mn0: |An-Am|<.
Тогда говорят, что последовательность An – фундаментальна.
An=a1+a2+…+an
Am=a1+a2+…+am, следовательно, An-Am=am+1+…+an
 >0  n0, такое что n>mn0 => | am+1+…+an |<.
Пример:
 1
1 1 1
1     ...  
2 3 4
n 1n
Гармонический ряд.
Зафиксируем =0.5, mn0, n=2m
| am+1+…+an |=
1
1
1
1
1

 .... 
 m*
 =>ряд расходится.
m 1 m  2
2m
2m 2
Всего m слагаемых
lim a n  0 – необходимый признак сходимости числового ряда.
n 
Доказательство: n=m+1
>0,  n0 => nn0 => |an|< => lim a n  0
n 
Следствие 1

А=  a n
n 1

В=  b n
n 1
Если  n1: nn1 => an=bn, тогда A~B (либо оба сходящиеся либо оба расходящиеся)
Доказательство: n0n1 | am+1+…+an |=| bm+1+…+bn |
Следствие 2

A=  a n B=
n 1

 b n , Если bn = kan, n1, k0, тогда A~B.
n 1


n 1
n 1
Если  | a n | сходится, то  a n сходится.
Доказательство: По критерию Коши:
| am+1+…+an |≤|am+1|+|am+2|+…+|an|<
Достаточные признаки сходимости знакопостоянных рядов.
Признаки сравнения.
1) A=


n 1
n 1
 an , B=  bn
0  a n  b n

B  сходится  А  сходится
Для доказательства применим критерий Коши:
| am+1+…+an | = am+1+am+2+…+an≤bm+1+bm+2+…+bn<
2) предельный
an
 k, k  0  A ~ B
n  b n
lim
Доказательство: из существования предел lim
n
an
 k следуют неравенства:
bn
k an

 2k , n  n 0
2 bn
kb n
 a n  2b n тогда по признаку сравнения (1) ряд сходится.
2
Пример.

(α)=
1
 n
n 1
, рассмотрим как ведёт себя этот ряд в зависимости от α. При α=1 ряд
расходится (гармонический). Было доказано ранее.
Для α<1 =>
Для α>1
1
1
1



расходится по признаку сравнения 1.
n n
n
n
dx
 1 тогда по теореме о среднем выполняются неравенства

n 1 x

n dx
1
x1
 

n  n 1 x  1  
n

n 1
1 
1
1 



  1  (n  1) 1 n  1 
1
1 
1
1 





 1
 1 



1
n
n 
 (n  1)
 
1
1 

B   

 1
n  2  ( n  1)
n  1 

1   1
1 
1
1 
1


B n  1   1     1   1   ...  


1

 1
3 
n  1 
n  1
 2  2
 (n  1)
1 

lim 1   1   1 , т.е. В – сходится, значит по признаку сравнения (α) при α>1 то
n 
n 
же сходится.
Таким образом
  1, расходится
1 
(α) =    
n 1 n
  1, сходится


Признак Даламбера.
a n 1
  , тогда
n  a n
Пусть lim
<1 =>A сходится
>1 =>A расходится
=1 =>вопрос о сходимости остаётся открытым
Доказательство:
an
1) <1, –<1,
  
a n 1
 an
 a n 1     Перемножая все эти неравенства, получим:
 a n 1
an
  

 (   ) n n 0 значит an<c(+)n,n>n0
a
n 2

a n0
a
n 0 1

  
 a n 0
т.к. +<1 то ряд сходится (по признаку сравнения 1).
2) >1 => an+1>an=> an не стремится к нулю => ряд расходится, т.к. не выполняется
необходимый признак сходимости ряда.
Признак Коши (радикальный).
Пусть А=

a
n 1
и  lim
n 
n
n
, an>0
a n   тогда при <1 А сходится, >1 А расходится, при =1 вопрос о
сходимости ряда остаётся открытым.
Доказательство:
1)<1
Выберем  : +<1 тогда из определения предела:
    n an     , n  n0 , значит an<(+)n, nn0 получена геометрическая
прогрессия с q<1, следовательно, ряд сходится (q=+).
2)>1
n
an  1, n  n0
an>1, n n0 значит, lim a n  0 , следовательно, не выполнен необходимый признак
n 
сходимости числового ряда.
Признак Коши более общий, чем признак Даламбера, однако применять его сложнее.
Пример:
 2n

n 1 n!
ряд сходится (по Даламберу)
a n 1
2

 0  1 
an
n  1 n 
Признак сравнения 3.
Пусть А=

a
n 1

n
, В=  bn , an>0, bn>0.
n 1
a n 1 b n 1

n  n 0
an
bn
тогда, если ряд B сходится, то и ряд A сходится.
Доказательство:
bn
 an
 a n 1  b n 1
 a n 1 b n 1


a
n 2
b n 2

a
2
b
2
 
 a 1 b1
После почленного перемножения получим:
a n bn

a 1 b1
так как a1/b1=const, и B сходится,
a1
то и А сходится.
a n  bn
b1
Признак Куммера.

Пусть A   a n , an>0 ( nn0), и {bn} последов-ть чисел, bп>0 и
n 1

1
an
, и  lim (b n
 b n 1 )   , тогда, если δ>0, то ряд сходится, если δ<0, то ряд
n 
n 1b n
a n 1

расходится, если δ=0, то вопрос о сходимости ряда остаётся открытым.
Доказательство:
1)δ>0, выберем =δ/2 тогда, по определению предела,
bn*an/an+1-bn+1>δ-=δ/2 nn0
обозначим cn=anbn-an+1bn+1>δ*an+1/2
и докажем сходимость ряда

c
n 1
n
, так как cn=anbn-an+1bn+1= δ*an+1/2>0, то
anbn>an+1bn+1   lim a n bn , значит, {anbn} монотонно убывающая, ограниченная нулём
n
последовательность.
Sn = c1+…cn = (a1b1-a2b2)+(a2b2-a3b3)+…+(anbn-an+1bn+1) =
= a1b1-an+1bn+1   lim S n
n 


n 1
n 1
значит, ряд  c n сходится,  a n 1 / 2 тоже сходится (по признаку
сравнения 1), т.к. δ/2=const, то и исходный ряд сходится => A сходится.
2) δ<0 тогда,
1
a n 1
b n a n 1
bn*an/an+1-bn+1<0 =>
,


/(1 / b n ) nn0, значит
an
b n 1 a n
b n 1
по условию ряд 1/bn – расходится, а значит по признаку сравнения 3 расходится и
исследуемый ряд A.
Следствие 1 (признак Даламбера).
Возьмём bn=1, тогда
an
a n 1
1
lim (
 1)  
lim


n  a n 1
n  a n
1 
Если δ>0~<1
δ<0~>1
an
  1
n  a n 1
lim
Следствие 2 (признак Раабе)
a
Если lim n ( n 1)  1 , то
a n 1
n 
  0 ряд сходится

  0 ряд расходится
Пусть bn=n
an
an
an
n
 n    1  (1) , lim (n (
 1)  1)   , lim (n
 n  1)  
n 
n 
a n 1
a n 1
a n 1
an
обозначим α=δ+1, тогда
 1   / n  (1 / n ) , значит при α>1 (δ>0) ряд сходится,
a n 1
при α<1 (δ<0) расходится.
Следствие 3.
an
1
c
 1    n ,  n  2 => A – расходится.
a n 1
n
n
Применим к исследуемому ряду признак Куммера (bn=n*ln(n) (доказательство
расходимости данного ряда см. ниже)). Тогда
bnan/an+1–bn+1=n*ln(n)*(1+1/n+n)–(n+1)ln(n+1)=
(n+1)(ln(n)–ln(n+1))+n*ln(n)*n= -n*ln(1+1/n)–ln(1+1/n)+n*ln(n)*n  -1, т.к. первое из
слагаемых стремится (при n стремящемся к бесконечности) к -1, второе к 0, и 3 к
нулю (т.к.ln(n)/n-> к 0).
Из доказанных выше признаков Даламбера, Раабе и следствия 3 получаем:
Признак Гауса. (без доказательства)
Пусть
an

c
    n, n  2
an1
n
n
Тогда,
1) β<1 A – расходится.
2) β>1 A – сходится.
3) β=1 α≤1 A – расходится.
α>1 A – сходится. Доказательство следует из следствий 1- 3.
Пример:
  (  1)...(  n  1)

n!
n 1
an
n 1 n   1
1
1
 (  1)


 1
 1
n,
n 
a n 1 n  
n 
n 
n
n (n   )
1-α>1 ~ α<0, A – сходится.
1-α<1 ~ α>0, A – расходится.
При α = 0 ряд состоит только из нулевых слагаемых, а следовательно сходится.
Интегральный признак. (Коши-Маклорена)
Пусть f x  - непрерывная, неотрицательная, монотонно убывающая функция,


n 1
1
определенная при x  1(начиная с некоторого x). Тогда ряд  f n  ~  f x dx
Доказательство:
Лемма. Пусть An=a1+…+an — частичная сумма.Тогда ряд сходится тогда, когда
An<c c=const. Эта лемма верна, так как в этом случае получается монотонно
убывающая и ограниченная последовательность.
n
n
1
1
Тогда f (2)  ...  f (n )   f x dx  f (1)  ...  f (n  1) , или Sn  f (1)   f x dx  Sn 1 .

Поэтому если  f x dx сходится, то
1
X
n 1
1
1
c : X  f x dx  C . Тогда n Sn 1  a 1   f x dx  C и Sn 1  C  a 1 ,  ряд
сходится.
Пусть теперь наоборот, известно, что ряд сходится. Тогда C : n Sn  C . Взяв
X
n 1
1
1
произвольное X , выберем n так, чтобы X  n  1. Тогда  f x dx   f x dx  Sn  C .

Значит,  f x dx сходится.
1
Пример:
 dx
 1
~
 p  p
n 1n
1x
=> ряд сходится при α>1, и расходится при α≤1.
Расходимость ряда n*ln(n)
 dx
 dt

1
~ t  ln x ~    => ряд расходится.
~

n 2 n ln n
2 x ln x
2 t
Знакопеременные ряды

Пусть A   a n и ряд
n 1

 an
сходятся одновременно, то А также и при этом говорят,
n 1
что ряд A сходится абсолютно.

Если A   a n сходится,
n 1

 an
– расходится, то А сходится условно.
n 1
Признак Лейбница.

A   (1) n a n , a n  0, a n  0 (монотонно стремится к 0), тогда A сходится.
n 1
Доказательство:
n
A n   (1) k a k , A 2n  (a 1  a 2 )  (a 3  a 4 )  ...  (a 2n 1  a 2n ).
k 1
Т.к.  a 1  a 2  0,  a 3  a 4  0 ...  a 2 n 1  a 2 n  0 и
A 2 n 1  a 1  (a 2  a 3 )  ...  (a 2 n  a 2 n 1 )
.
0
0
A 2 n 1  A 2 n  a 2 n 1  A 2 n , A 2 n , A 2n 1  , то есть последовательность частичных
сумм A2n убывает, а A2n+1 возрастет.
A 2 n  a1  (a 2  a 2 )  ...  (a 2 n 2  a 2 n 1 )  a 2 n  a1  ограничена снизу
0
0
  lim A 2n  A.
n 
Каждая из последовательностей A2n и A2n+1 ограничена и
A 2 n 1  A 2 n  a 2 n 1  0.
Следовательно,  lim A n  A .
n 
A 2n 
A 2 n 1 
Заметим, что:
A n  A  A n 1  A n  a n 1 .
Пример:
Ряд Лейбница:
1 1 1
1     ...  ln 2
2 3 4
сходится условно (неабсолютно), так как
1 1 1
гармонический ряд 1     ... расходится.
2 3 4
1
(1) n 1
1
1
(1) n 1
 ... 
 ... ;
1

 ... 
2
n
ln 2 ln 3
ln n
сходится еще медленнее с точностью до a n 1.
ln 2  1 
Пример (расходящийся знакочередующийся ряд):
a n  0 не монотонно: 1  1 
1
1 1 1 1 1 1
1 
      ...     2   расходится.
2 4 3 9 4 16
n 1 n
n 
Вообще, если ряд представим в виде суммы рядов:
1) Если оба ряда сходятся, то их сумма сходится.
2) Если один из рядов сходится, а другой расходится, то их сумма расходится.
Признак Дирихле.
Пусть дан ряд:

1) a 1  ...  a n  C, n
n 1
2)b n  0 (или b n  0)
 a n bn :

тогда  a n b n сходится.
n 1
Доказательство: По критерию Коши:
n
ε  0 n 0 : m  n  n 0   a k b k  ε .
A k  a 1  a 2  ...  a k , a k  A k  A k 1 по условию A k  C.
Используя преобразование Абеля, получим неравенство:
k m
a m b m  a m1b m1  a m 2 b m 2  ...  a n 1b n 1  a n b n 
 b m (A m  A m1 )  b m1 (A m1  A m )  b m 2 (A m  2  A m1 )  ...
 b n 1 (A n 1  A n 2 )  b n (A n  A n 1 ) 
Следов
  b m A m1  (b m  b m 1 )A m  (b m 1  b m 2 )A m1  ...  (b n 1  b n )A n 1  b n A n 
 b m C  (b m  b m1 )C  ...  (b n 1  b n )C  b n C  2bmC  ε, m  n 0 .
ательно, критерий Коши выполнен, поэтому ряд сходится.
Из признака Дирихле следует признак Лейбница:

Если a n  (1) n   (1) n b n .
n 1
Признак Абеля.

  a n сходится

тогда  a n b n сходится
n 1
n 1
b n  монотонна и ограничена

 a n bn ;
n 1
Доказательство:
 lim b n  b, b n  b


 a n b n   a n ( b n  b) 
n 1
n
1
 

сходится по
Дирихле

b an
1
n
Доказано.
сходится по
условию признака
Пример 1:

sin nx
,
n 1 n

x  фикс., x  πk :
a n  sin nx; b n 
1
0
n
sin x  sin 2x  ...  sin nx 


2 sin x2 sin x  2 sin x2 sin 2x  ...  2 sin x2 sin nx
2 sin x2
cos x2  cos 32 x  cos 32 x  cos 52 x  ...  cosn  12 x  n  12 x
2 sin x2


cos x2  cosn  12 x
2 sin x2
 Дока
 sinnx
 cosnx
1


x
сходится
,
аналогично
ряд
сходится.


sin x2
n 1 n
n 1 n
жем, что эти ряды сходятся условно:

sin nx
sin nx sin 2 nx

расходится. Так как
, рассмотрим
n
n
n
n 1
Докажем, что ряд 
следующий ряд:
sin 2 nx  1  cos 2nx
1 1
1  cos 2nx
.



  
n
2
2 n
n
n 1
n
1
n 
1n
1
n






расходится

sin nx
n 1
n
Значит, ряд 
расходится
сходится

sin nx
сходится условно.
n 1 n
 расходится  ряд 
Пример 2:
При произвольной перестановке членов условно сходящегося ряда его сумма может
изменяться:
1 1 1
ln 2  1     ... ;
2 3 4
1 1 1
 1 1 1 1 1 1 1  1
1     ...  1               ... 
2 3 4
 2  4  3 6  8  5 10  12

1 1 1 1 1 1
1  1   1 1   1 1 
 1
      ...  1            ...  ln 2  ln 2.
2 4 6 8 10 12
2  2   3 4   5 6 
 2
Теорема Римана (без доказательства).

Теорема: Пусть дан условно сходящийся ряд  a n . Тогда:
n 1
C   (и для C  )  перестановка слагаемых, такая, что

 a nk
 C.
k 1
Теорема Дирихле о перестановке членов абсолютно сходящегося числового
ряда.
Теорема: Пусть ряд
перестановки ряда


n 1
n 1
 a n сходится абсолютно,  a n  A . Тогда, для любой

 a nk
 A' новый ряд сходится. При этом, ряд A сходится
k 1
абсолютно и его сумма равна сумме исходного ряда, то есть A = A.
Доказательство:
1) a n  0


n 1
k 1
A   a n ; A'   a n k
A n  a 1  ...  a n

A ' k  a n1  ...  a nk 
k – фикс., n  max( n 1 , ..., n k ) , тогда A n  A' k , A n  C  A' k  C;   lim A k
n 
и lim A n  lim A' k  A  A' .
n 
n 
Аналогично рассматривается ряд А, как полученный перестановкой
членов A' :
A  A'  A  A' .
Доказано.
2) an – произвольного знака. Пусть тогда:
a n , a n  0
0  a n  
и
0
,
a
n

0

0, a n  0
0  a n  
 a n , a n  0

 a n – сходится,
n 1



n 1
n 1
n 1
a n
a n
a n  
 
 a n  a n  a n
  an  an
a n 
2
 
;
a
n

a
n
a n 

2

 a n – сходится, так как ряд A сходится абсолютно
n 1
 a n   a n   a n .
Применяя к


n 1
a n
и

 a n
результат из 1), получим полное доказательство.
n 1
Доказано.
Функциональные ряды

 f n (x)  f (x) – функциональные ряды, fn(x), f(x) – функции от x D   , где D –
n 1
область сходимости ряда.
Примеры функциональных рядов:

1)  a n x n – степенной ряд
n 1

2)  (a n cos nx  b n sin nx ) – тригонометрический ряд Фурье
n 0

1
, x  0 D  (1;1)
1 x
n 0
 ( 1) n 1 x n
x2 x3
x

 ... D  (1;1]

n
2
3
n 1
n
x 
Равномерная сходимость функциональной последовательности и
функционального ряда.
Определение (равномерной последовательности на множестве E D
функциональной последовательности):
E


Fn ( x )
F( x ) :   0 n 0 : n  n 0 : x  E  Fn ( x )  F( x )  
равномерно
сходится на E
Пример:
x 
n
E1
E1  [0; 12 ] x n  0
E2
x n   12     n  log 12 
n
E 2  [0;1) x n  0 (неравномерно)
xn  
n  фикс., n  n 0 , x  [0;1), x n  1
( x  1)
Критерий Коши:
E
Fn (x)  F(x)    0  n 0 : n  m  n 0 : x  E  Fn (x)  Fm (x)   .
Определение равномерной сходимости функционального ряда на множестве E:

E
 f n ( x )  f ( x ), E  D.
n 1
E
  0 n 0 : x  E  f ( x )  S( x )   или ~ R n ( x )    R n ( x )  0.

S( x )  f1 ( x )  f 2 ( x )  ...  f n ( x ), R n ( x )   f n ( x )
k  n 1
Критерий Коши:

E
n
 f n ( x )  f ( x )    0  n 0 : n  m  n 0 ,  x  E   f k ( x )   .
n 1
k m

Следствие. Если {x n }, x n  E : f n ( x ) 
 0   f n ( x) не сходится равномерно.
n 1
Примеры:

1)  x
n 0
n
n
1  1
1
E  (1;1) x n  1  ; 1     сходится неравномерно.
n  n
e
2) E  [ ;  ], 0    1

R n (x)   x k 
k  n 1

nx
4 4
n 11  n x
x n 1  n 1

   сходится равномерно.
1 x 1
E  [0;  ); x  0
3) 
n
1
n
nx
nx
1
1
1


,
x
n 
f
n (x) 

0
n
2
1  n 4 x 4 n 4 x 4 n 3x 3
4 1
1 n 4
n
 сходится неравномерно.
Признак равномерной сходимости.
1) Признак Вейерштрасса (мажорантный признак)


n 1
n 1
Пусть дан функциональный ряд  f n ( x ), x  E, f n ( x )  a n , x  E и если  a n –

сходится, то функциональный ряд  f n ( x ) сходится равномерно на E.
n 1
Доказательство (по критерию Коши):
n
n
k 1
k m
 f k ( x )   a k    x  E , так как a k  0 и a n  f n x 
Примеры:

x
n
n 1
x [ ; ], 0    1;

x n   n ,   n  сходится 
n 1

  x n сходится равномерно.
n 1

sin nx
2
n 1 n
sin nx
1
 2  сходится равномерно.
2
n
n


sin nx
– признак Вейерштрасса неприменим.
n 1 n
К ряду 
2) Признак Абеля – Дирихле.

Пусть дан функциональный ряд  a n (x )b n ( x) , xE D.
n 1
Признак Абеля
Если:
Признак Дирихле
Если:

E
1)  a n ( x )  a ( x )
n 1
2) b n ( x )  C
bn(x) – монотонная по n
1) a 1  ...  a n  C
2) b n ( x )  0 ( 0)
по n монотонно, по равномерно
последовательность при
фиксированном x.

То ряд  a n (x )b n ( x ) сходится равномерно на E. (без доказательства)
n 1
Примеры:
1) E  [ ; 2   ]  (sin x  ...  sin nx ) 
1
1

;
sin x2 sin 2
 sin nx E
1
 0  

n
n 1 n
2) E  R
  n 0 : n  m  n 0 : x  E  [0; 2 ] 
n  2m, x 

sin kx  sin k 


2
.
2
4m
4m
 sin kx
2 m
2



 равномерно не сходится.

k
2 2m
4
k n
y
 x
2

sin nx
, x(0; 2) (без доказательства).
n 1 n
= f(x) = 
Теорема о непрерывности суммы функционального ряда.
Теорема: Пусть

E
 f n ( x )  f ( x ); f n ( x )  C(E)  f ( x )  C(E).
n 1
Доказательство:
x 0  E. Докажем, что f ( x )  C( x 0 ) :

f ( x )  f ( x 0 )  0


f ( x )  Sn ( x )  R n ( x )


Sn ( x )  f1 ( x )  ...  f n ( x ), R n ( x )   f k (ч)

k  n 1
f ( x )  f ( x o )  Sn ( x )  Sn ( x 0 )  R n ( x )  R n ( x 0 )  Sn ( x )  Sn ( x 0 )  R n ( x )  R n ( x 0 )   .



3


3

3
Доказано.
Теорема об интегрировании функционального ряда.

E
b
 b
Теорема:  f n ( x )  f ( x ), x  E  [a; b]; f n ( x )  C[a; b]   f ( x )dx    f n ( x ).
n 1
n 1 a
a


числовой ряд
Доказательство:
S n ( x )  f1 ( x )  ...  f n ( x ); f ( x )  S n ( x )  R n ( x )  С[a , b],
b
b
a
a
b
 f ( x )dx   S n ( x )dx   R n ( x )dx,
a
b
 R n ( x )dx  R n ( x )
( т.к. R n ( x )0 )

a

ba


ba
(b  a )   .
Теорема доказана.
Дифференцирование функциональных рядов

Теорема: Пусть

n 1
fn(x) → f(x), x  O(a),
fn’(x)  C(O(a)),

'
fn
n 1
O(a )
x   gx 

Тогда f(x)  D(O(a)) и f’(x)=g(x),
x  O(a)
Доказательство (на основании теоремы об интегрировании функционального
ряда):



fn’(t)=g(t), t  [a,x] – непрерывная функция, так как ряд  fn’(t) равномерно сходится на
n 1
n 1
O(a). На основании теоремы об интегрировании функционального ряда этот ряд можно
проинтегрировать почленно.
x
x 
 f n  ( t ) dt   x f n' t dt   f n x   f n a    f n x    f n a   f x   f a 
g
(
t
)
dt






 


n 1a
n 1
n 1
n 1
a
a  n 1
x
 gt dt  f x   f a 
a
 по теореме о диифференцировании интеграла по верхнему пределу
f ' x   gx , x  O(a )
Теорема доказана.
Степенные ряды
Степенными рядами называются ряды вида
 a x  x0  , где an, x0 –постоянные, x –

n 0
n
n
переменная.

Мы будем рассматривать ряды с x0 = 0, т.е.  a n x n , a n R
n 0

1 теорема Абеля. Пусть  a n x 0n сходится при некотором x0. Тогда для любого
n 0
h< x 0 ряд

a
n 0
n
x n сходится равномерно на [-h;h]

Доказательство: Так как  a n x 0n сходится, то a n x 0n  0  a n x 0n  M , где M>0 –
n 0
некоторая постоянная.
n
n
x
 h 
n
n
anx  anx0 
 M 
 , x   h; h , n  1,2,....
x0
 x0 
[h;h ]


n 
 h 
f (x)
 M  сходится  по признаку Вейерштрасса  a n x

n 0
n 1  x 0 
Следствие: 1) Область сходимости степенного ряда D может быть одним из
следующих множеств:
n
D= 0,  R; R ,  R; R ,  R; R ,  R; R ,  ;   , где R – радиус сходимости.
Любой степенной ряд сходится в точке x=0. В остальных случаях ряд сходится при
всех x  R , если R – радиус сходимости (точная верхняя грань множества x, для
которых ряд сходится)-существует. Если точной верхней грани нет, то полагают
R   - ряд сходится на всей числовой прямой.
Приведём примеры:

n
 n! x , D  0;
n 1
xn
 2 , D   1;1;
n 1 n
n

n x
, D   1;1;
 (1)
n
n 1
 xn
 , D   1;1;
n 1 n


n
 x , D   1;1
n 0
xn
 , D   ; 
n  0 n!
Чтобы найти радиус сходимости, можно воспользоваться признаками сходимости
знакопостоянных рядов Даламбера, либо Коши.
Признак Даламбера:

a n 1  x
n
a n 1 x n 1
  1
 anx



1
lim
an
n 
т 0
anxn

an
R
n  a n 1
an
R  lim
n  a n 1
x  lim
Признак Коши: lim
n 
x  lim
n  n
1
an
R
n
anxn 1
R  lim
n  n
1
an
Примечание. Если ни один из указанных пределов не существует, то нужно положить
радиус сходимости равным нижнему пределу (наименьшему частичному пределу)
выражения для R.
2   1 

n n

Пример:
3n
n 1
1
lim
2   1 
n n
n 
n

 lim
n 
k 03
3

1
 xn  
 x 2 k 1   x 2 k
2 k 1
k 0
1
не существует, но lim
2   1
n
2   1 
n n
n 
n
=1 => => R = 1
3n
3n


n 0
n 0
2 теорема Абеля: Ряд  a n x n сходится в точке x=x0 . Тогда ряд  a n x n сходится
равномерно на отрезке [0;x0] (или [x0;0] если x0<0).
n
n
n  x 
Доказательство: a n x  a n x 0   
 x0 
  a n x n [ 0,x o ] по условию
0 
n1


n
x
x


0 
 1    невозрастающая по n функция.

xo
 xo 

[ 0, x o ]
n 1

n
=> По признаку Абеля  a n x  f ( x )
Следствия:
1) Непрерывность суммы степенного ряда

f x    a n x n , D – область сходимости
n 1
f x   C( D )
2) Интегрирование суммы степенного ряда

f t    a n t n , D – область сходимости
n 1
a n x n 1
F( x )   f t dt   a n  t dt  
n 0
n 0 n  1
0
0
a n n  2
an
– радиус сходимости не меняется.
R  lim
 lim
n  n  1a n 1
n  a n 1
2) Дифференцирование суммы степенного ряда

x
x
n


f x    a n nx n 1 , x   R; R 
n 1

f x   C (R ; R ) , радиус сходимости при дифференцирование не меняется.
Ряды Тейлора
Применяя последовательно теорему о почленном дифференцировании степенного
ряда, получим соотношение для n-го коэффициента ряда.

Пусть f ( x )  a n x n , R  0, R  0, R   , R – радиус сходимости. Тогда
n 0
n
f (0)
, n  0,1,...
n!
Доказательство:
x  0  f ( 0)  a o
an 

f ( x )   a n nx n 1
n 1
x  0  f (0)  a 1

f ( x )   a n n (n  1) x n 2
n 1
x  0  f (0)  2!a 2 , a 2 
f ( x )
2!
.
.
.
f ( n ) (0)  n!a n
f ( n ) 0
an 
n!
- коэффициенты степенного ряда Тейлора
Если f x   C  (D), то в общем случае
f ( n ) 0  n
x
n!
n 0
совпадает с самой функцией.

f x   
, т.е. ряд Тейлора для функции f(x) не всегда
Пример:
0, x  0

f x     1
e x 2 , x  0
f x   C  ( R )
f n (0) n
=> 
x  0  f (x)
n 0 n!
f ( n ) 0  0, n  1,2,...
Теорема: Пусть f x   C  (D), D  (R ; R )

f ( n ) 0 n
x ,x D
n 0 n!

и f ( n ) x   c, c  0, x  D ; тогда f x   
Доказательство: По формуле Тейлора с остатком в форме Лагранжа получим:
f ( k ) (0) x k
f ( n 1) ( ) n 1
f (x)  
 rn , rn 
x ,   (0; x ) 
k!
(n  1)!
k 0
n
C  R n 1
 rn 
 0 ( n  )
(n  1)!
Теорема доказана.
Ряды Тейлора для основных элементарных функций
Приведем разложения основных элементарных функций в ряд Тейлора.
1) e x , x  c
e    e
x
n
x
e  
 ec ,
x
n
x 0
1
xn
,xR
n 0 n!
 ln a n
x
x ln a
a e

xn
n!
n 0
2) sin x :

=> e x  
sin x n 
 sin( x 

2
n)  1
0, n  четное
(sin x ) (xn)0  
k
 1 , n  2k  1  нечетное
x 2 k 1
sin x    1
,xR
(2k  1)!
k 0

k
3) cos x :
 

 cos x  n   1
2 

0, n  нечетное
(cos x ) xn0  
k
 1 , n  2k  четное
cos x n 
x 2k
cos x    1
,xR
2k !
k 0
4) ln(1  x ) :

k
n

x2 x3
n 1 x

 ....    1
, x  (1;1]
2
3
n
n 1
1
f x   1  x  x 2  x 3  ... 
, x  1(геометрическая.прогрессия)
1 x
dx
f x   
 ln(1  x )  c
1 x
x2 x3
ln(1  x )  c  x 

 ...
2
3
x  0, ln 1  0, c  0
f (x)  x 

ln(1  x )    1
n 1
n 1

5) 1  x   1  

xn
, x   1;1
n
   1  ...    n  1
n 1
  0  x   1;1
 1    0  x   1;1
  1  x   1;1
n!
1  x   f x     f x 
f x 

f x 
dx

;
dx  
f  x  1  x f x 
1 x
ln f x    ln 1  x   f ( x )  (1  x )
x n  f x 
e x  e  x  x 2 n 1
6) shx 

2
n 0 2n  1!
e x  e x  x 2n
7) chx 

2
n 0 2n !

1

n 2n
2
4


8) arctgx  

1

x

x

...


1
x , x   1;1

n 0
1  x2
Проинтегрировав в пределах от 0 до x, получим:
2 n 1

x3 x5
n x
arctgx  x 

 ....    1
3
5
2n  1
n 0
сходится при x   1;1, в частности:

4
1
1 1 1
   ...
3 5 7
arcctgx 

2
 arctgx
arctgx  arcctg
1
x

9) arcsin x  
1
1  x2

 1

1
2 2
x

 1    1
n 1
n

1  1 
 1

    1  ...     n  1
2  2 
 2
x 2n 
n!
2n  1!!x 2n  1   2n  1!!  x 2n

n
n 1 2  n!
n 1 2n !!

2n  1!! x 2n 1
arcsin x  1 

1 

n 1(2n )!!(2n
 1)
Тригонометрические ряды Фурье
a0 
  a n cos nx  b n sin nx , x    ;  , далее функция периодическая с
2 n 1
периодом 2π.
 sin nx
Ряд Дирихле 
сходится при всех x.
n 1 n
1 
1 
a n   f x  cos nxdx b n   f x  sin nxdx
 
 
f x  

 a0



  a n cos nx  cos kx  b n sin nx cos kx dx


f
x
cos
kxdx

cos
kx
dx




 



  2
  n 1

0, n  k
 cos nk  cos kxdx  

 , n  k
f x   четная  b n  0  a n 
f x   нечетная  a n  0
 x
f x  
, x  0; 
2
f  x   f x , x    ;0
2
 f x cos nxdx

0
π/2
π
2π
нечетная функция, an=0

2 x
1 
1 
 1
bn  
sin nxdx      x d(cos nx )     x  cos nx 0   cos nxdx  
0 2
n 0
n 
0
 n
 sin nx
f x   
n 1 n
(signx)
1,0  x  
f x   
 1,  x  0
a n  0, b n 


2
2
2
n

 sin nxdx   cos nx 0    1  1
0
n
n
0, n  четное

bn   4
т , n  нечетное
4  sin( 2k  1) x
f x   
 k  0 2k  1
x
1

2
4

, sin( 2k  1)


 1k ; 
k  0 2k
1 4

 
k
  1 , f    1
2
2

 
 1k
k  0 2k
1
Дифференциальные уравнения
Определение: Дифференциальным уравнением называется уравнение вида
F x , y, y,..., y n   0 , где Ft 0 , t 1 ,..., t n 1  - функция, определенная в некоторой области
n 
D пространства R n  2 , x - независимая переменная, y - функция от x , y ,..., y
- ее
производные.
Определение: Порядком уравнения n называется наивысший из порядков
производных y , входящих в уравнение.
Определение: Функция f  x  называется решением дифференциального уравнения
на промежутке a; b  , если для всех x из a; b выполняется равенство:
F x, f  x , f  x ,..., f n   x   0 . Дифференциальному уравнению удовлетворяет
бесконечное множество функций, но при некоторых условиях решение такого
уравнения единственное.
Определение: Интегральная кривая – это график решения дифференциального
уравнения, т.е график функции, удовлетворяющей этому уравнению.
Пример 1: Решить уравнение y   0 . Его решение: f ( x )  const
определено на  ;  . Отметим, что эта постоянная – произвольная и решение – не
единственное, а имеется бесконечное множество решений.


рис.1
y  f ( x )  y   f ( x)dx  F ( x)  C Таким образом, серия графиков получена
параллельным переносом на константу С.
рис.2
Пример 2:
Выведем закон движения тела, брошенного с начальной скоростью V под углом α
к горизонту.
V1  V cos
V2  V sin 
y(0)  x (0)  0
x ( t )  V1  t  V cos  t
y( t )  g
y( t )  gt  C
y(0)  V2  V2  gt  C  C  V2
y( t )  gt  V2
1
y( t )   gt 2  V2 t  C1
2
gt 2
 V2t
Но по условию y(0) = 0 → C2 = 0 → y (t )  
2
Найдем время подъема: y(t )  0  t 
Найдем высоту подъема: ymax  
V2
g
2
V22 V2
V2

 2
2g
g
2g
Дальность полета xmax (при y(t) = 0 )
t  0
2V2
V
y(t) = 0  

2V2  xmax  V1

g
t  g


V2
при   , xmax 
4
g
2
sin 2
g
Пример 3:
y
x
Решить уравнение y  :
dy y
 ,
dx x
dy dx
, интегрируя обе части уравнения,

y
x
получим
d(lny) = d(lnx)  ln y  ln x  ln C .
Потенциируя обе части уравнения, получаем общее решение y = Cx, которое
изображается серией линейных интегральных кривых, проходящих через точку (0,0).
При этом из графика (рис.3) видно, что через любую точку, не принадлежащую (0,0),
проходит только одна интегральная кривая (решение).
Рис.3
Пример 4:
x
y
Рассмотрим уравнение y   :
dy
x

dx
y
 2 ydy  2 xdx  0  d ( x 2  y 2 )  0
интегрируя, получаем: x2 + y2 = C = R2 (рис.4)
– множество окружностей с центром в начале координат
рис.4
Определение: Общее решение – множество решений дифференциального
уравнения y  f ( x , y) есть совокупность функций F(x, y, C)=0, C.
Определение: Частное решение получают при подстановке конкретного значения
константы в общее решение
Особые решения не входят в общие решения через каждую точку особого
решения проходит более одной интегральной кривой.
Пример 5:
 y  ( x  C) 2  общее
y  2 y  
см. рис.5 (через каждую точку на оси Ох
y

0

особое

проходит два решения (две интегральные кривые): частное и особое).
Рис.5
Можно построить интегральную кривую в каждой точке, используя понятие о
геометрическом смысле производной: tgα = f(x,y) (рис.6). Таким образом
задают поле направлений, т.е. задают прямую в каждой точке, а потом
проводят кривую касательную ко всем прямым в этих точках и получают
интегральную кривую (одно из решений).
рис.6
Сформулируем важнейшую теорему.
Теорема (О существовании и единственности решения задачи Коши
дифференциального уравнения y’=f(x ,y)):
Пусть f x, y  - непрерывная функция (рис.7) в области D  ( x, y; a  x  b; c  y  d) ,
причем
f
x, y  - также непрерывна в D . Тогда существует единственное решение
y
y=y(x) дифференциального уравнения y’=f(x, y) с начальным условием y(x0)=y0,
(x0,y0) принадлежит D. Следовательно, через точку  x 0 , y 0   D проходит только одна
интегральная кривая.
Рис.7
(без доказательства).
Пример 7:
Рассмотрим подробнее уравнение y  2  y :
f ( x, y)  2  y
df
1

dy
y
Так как производная функции f(y) неопределена при у = 0 (разрыв вдоль оси
Ох), то при у = 0 есть еще одно решение (особое).
Основные тины дифференциальных уравнений
1) Уравнения с разделяющимися переменными. Уравнениями с
разделяющимися переменными называются уравнения вида y   f x  g  y  , где f x  -
непрерывна на некотором a; b , а g  y  непрерывна на c; d  , причем g  y   0 на c; d  .
dy
dy
 f  x g  y  
 f  x dx (метод разделения переменных). Интегрируя обе части,
dx
gy
dy
1
получаем 
, а F x    f  x dx . Обозначая G y  любую первообразную для
gy
gy
любую первообразную для f x  , перепишем это уравнение в виде неявно
выраженной функции G y   F x   C . Это – общее решение.
Рассмотрим пример такого уравнения
1  y2
dy

dx
1  x2
dy
1  y2

dx
1  x2
интегрируя, получим arcsin y  arcsin x  C .
2) Однородные уравнения. Под однородными уравнениями понимаются
y
уравнения вида y   f   . Для их решения требуется сделать замену y  tx , после чего
x
получится уравнение с разделяющимися переменными: y  t x  t
dt
 f (t )  t
dx
dt
dt
 .
f (t )  t
x
t x  f (t )  t

t x  t  f (t )
x
Пример 1: Рассмотрим параболическое зеркало. Расположим начало координат в
фокусе параболы (рис.8). Такое зеркало имеет интересное свойство: при помещении
источника света в фокус зеркала лучи, радиально расходящиеся в разные стороны ,
после отражения становятся параллельными (так получают плоские световые
волны), причем по закону отражения угол падения равен углу отражения.
рис.8
tg  ctg  y
x
2 tg
tg 2  

y 1  tg 2
x
2 y

y 1  ( y) 2
1  ( y) 2 
2y
y
x
2y
( y) 
y  1  0
x
=>
2
y
y2
y  
1
x
x2
Введем замену: y = zx  y  xz  z и рассмотрим один случай,
когда xz  z  z  z 2  1
Сокращая на z, получаем x
dz

dx
z 2  1 интегрируем равенство:
ln( z  z 2  1)  ln x  ln C
z  z 2  1  Cx
z 2  1  Cx  z
Возводим в квадрат z2 – 1 = C2x2 – 2Cxz + z2  z 
Cx
1
Cx 2
1

 y  zx 

2 2Cx
2
2C
Таким образом, получено уравнение параболы.
Пример 2 (уравнение химической реакции):
dx
dx
1)
 (a  x )( b  x )
 dt
dt
(a  x )(b  x )
Разложим на множители:
1
A
B
1  A(b  x)  B(a  x )


(a  x )(b  x ) a  x b  x
при x =a 1=A(b–a )  A=–1/(a–b)
при x = b 1= B(a–b)  B=1/(a–b)
dx
1
1
  dt 
ln( a  x ) 
ln( b  x )  C  t
(a  x )(b  x )
ab
ab
1
a
В точке (0,0) частное решение исходного уравнения:
ln  C  0 
ab b

1
b(a  x )
1
1
1
a
ln( a  x ) 
ln( b  x ) 
ln  t 
ln
t
ab
ab
ab b
a  b a (b  x )
Пример 3:
Найдем закон Т(t) остывания кипящей воды до комнатной температуры
(tкомн=200) и время достижения 400, если до 600 вода остывает за 20 мин. Известно, что
мгновенная скорость остывания линейно зависит от разницы Т и tкомн.
dT
dT
Составим дифференциальное уравнение:
 k (T  20)
 kdt
dt
T  20
ln( T  20)  kt  ln C
T  20  Ce kt
0

C  80
T( t )  20  80  2 0.05 t
T  100  20  Ce
  20k

k
0.05
20 k
 T( t )  40  t  40 минут

60

20

80
e
e  0.5  e  2

Пример 4:
Найти количество соли в растворе через время t, если известно, что изначально
было 10 кг соли в 100 л воды, но каждую минуту в резервуар поступает 20 л воды,
а выливается 30 л раствора.
Vр-ра(t) = 100 + 30t –20t = 100 + 10t
x(0)=0, x(t)– количество соли
x(t)
x
x
;
20t  x ;

100  10 t
V( t ) 100  10 t
2xdt
dx
2dt
 dx 

10  t
x
t  10
C
ln x  2 ln( t  10)  ln C;
; при t = 0 x(0)=10  C = 1000
x(t) 
( t  10) 2
1000
x(t) 
( t  10) 2
Пример 5:
Найти точный закон радиоактивного распада, если t0–период полураспада., а
x0– начальное количество. Причем известно, что мгновенная скорость распада
линейно зависит от мгновенного количества вещества.
dx
dx
x ( t )  Ce kt
ln x  kt  ln C
 kx
 kdt
dt
x
1

x0
kt 0
k
t
 x 0e  e  2 0
Задано, что х (0)=х0; x(t0)= х0/2  x 0  C ;
2
Таким образом, закон распада: x ( t ) 
t
t
xo 2 o
Линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка.
y   p( x ) y  q ( x )
Такие уравнения в общем виде могут быть представлены как:
Пусть y = UV, где U, V– некоторые функции от х, тогда подставляя, получаем:
U V  (V U  pUV)  q
U V  U(V   pV)  q
Выберем V(x) так, чтобы она удовлетворяла условию:
dV
dV
V  pV  0 
 pV 
 pdx
dx
V
ln V    p( x )dx Берем любую функцию, удовлетворяющую этому уравнению,
например, V = V(x) и подставляем в исходное уравнение
q( x )
q( x )
UV( x )  q( x )  U 
U
C
V( x )
V( x )
Пример:
y
 e x Замена: y = UV
x
UV
V
dV
V
dV
dx
U V  ( UV  
)  e x  V   0 
 

x
x
dx
x
V
x
Так как ищем одно любое решение, то при интегрировании не надо добавлять
1
константу: ln V   ln x  V 
Подставим в исходное уравнение:
x
1
U  e x  U   xe x dx   xd (e x )  xe x   e x dx  xe x  e x  C
x
1
ex C

Следовательно, y  ( xe x  e x  C)  e x 
x
x x
k
Этот метод применим и для нелинейного уравнения: y  p( x ) y  q( x ) y , где к–
константа
Пусть y = UV, где U, V– некоторые функции от х, тогда подставляя получаем
U V  (V U  pUV)  qU k V k
y 
U V  U(V   pV)  qU k V k
Выберем V(x) так, чтобы она удовлетворяла условию:
dV
dV
V  pV  0 
 pV 
 pdx
dx
V
ln V    p( x )dx Берем любую функцию, удовлетворяющую этому уравнению,
например, V = V(x) и подставляем в исходное уравнение
U
q( x )
U V( x )  q( x ) U k V k  k 
dx  из последнего уравнения
U
(V( x ))1k
интегрированием находим U, а затем уже зная V(x) находим у.
Пример:
Решим дифференциальное уравнение, описывающее прохождение по цепи
переменного тока, чтобы найти зависимость мгновенной силы тока от времени i(t).
L – индуктивность, R – сопротивление
di
 Ri  
dt
   0 cost
Сделаем замену переменных: i  UV и подставим
LU V  (LV   RV) U   cost
dV
R
dV
LV   RV  0 
 V
 dt  V  e t
dt
L
V
R
Где: α=
L
t
LUe   0 cost 
0
U  et cost 
L
0
U   et costdt
L
 0 t
 0 t  cost   sin t
U
C
 e costdt  e
L
L
 2 2
 0  cost   sin t
 Ce t
i( t ) 
2
2
L
 
L
Всегда можно ввести ω0 (собственная частота): cos 0 
sin  0 
i (t ) 
Ce t

 2 2
 0 cos(t  o )

 2 2
 Ce t При больших t стремится к нулю
L  2  2
 o cos(t  o )
 i( t ) 
L  2  2
Уравнение Клеро: y  xy   y . Вводя параметр y  p , получаем y  xp   p  .
dy  pdx  xdp  pdx   p dp или  p   x dp  0 . Тогда, если dp  0 , то p  C и
y  Cx   C – это общее решение уравнения Клеро (прямые линии). Если же
 p   x  0 , то p   x  . Тогда y  x x     x  – особое решение (проверяется
подстановкой в исходное уравнение) .
Пример:
y  xy  ( y) 2 Общее решение уравнения будет: y  Cx  C 2 ; особое решение :
0=x + 2C
x
x2
C y
Проверим, что последняя функция действительно является
2
4
x2
x
x
  x  ( ) 2
решением исходного уравнения: 
4
2
2
Дифференциальное уравнение n-ного порядка


F x , y k  ,..., y n   0
Общее решение в неявном виде (должно содержать n произвольных независимых
постоянных): Фx, y, C1 ,..., C n   0
Либо общее решение может быть найдено в явном виде: y  yx , y, C1 ,..., C n 
Пример:
y( t )  g
y( t )  gt  C
Если задать начальные условия: y (0) = y0 , V(0)=V0 , то V0=С1
1
y( t )   gt 2  C1 t  C 2
2
y0=С2
1
 y(t )   gt 2  V0 t  y 0
2
Чтобы решить задачу Коши для дифференциального уравнения 1-го порядка:
y  f ( x , y) , т.е. найти функцию-решение (интегральную кривую), проходящую через
данную точку, достаточно задать 1 условие: y(х0)= y0.
Теорема: Пусть функция f x, t 0 , t 1 ,..., t n 1  определена и непрерывна в области
f
f
,...,
непрерывны в D . Тогда задача Коши, состоящая в
D  R n 1 . Пусть
t 0
t n 1
нахождении решения уравнения y n   f x, y, y,..., y n 1 с начальными условиями




yx 0   y 0 , yx 0   y 01 ,..., y n 1 x 0   y 0n 1 (где точки x 0 , y 0 , y 01 ,..., y 0n 1
принадлежат области D ) имеет, притом единственное решение y = y(x), в
окрестности x=x0. (без доказательства).
Линейные дифференциальные уравнения
Линейным дифференциальным уравнением называется уравнение вида:
y n   p1 x y n 1  p 2 x y n 2  ...  p n x y  qx  (1)
При q=0, уравнение называется однородным, q0 неоднородным.
y+py=q –дифференциальное уравнение первого порядка.
Обозначим левую часть уравнения (1) при q(x)=0 L(y)=>L(y)=0.
Отметим два свойства L(y).
1) L(y1+y2)=L(y1)+L(y2)
2) L(Cy)=CL(y) => множество решений линейно однородного дифференциального
L(y) = 0 есть линейное пространство.
Линейная зависимость функций
Функции y1,…,yn называются линейно зависимыми, если  λ1,…,λn (|λ1|+…+|λn|0)
такие что 1 y1  ...  m y m  0 соответственно функции называются линейно
независимыми если не удовлетворяют уравнению (1) при любом (1 ,...,2 )  (0,...,0) .
Множество решений n-мерного дифференциального уравнения образуют базис,
состоящий из линейно независимых функций.
Определитель Вронского.
y1  y n


y1  y n
W ( y1 ,...,.y n )  
y1n 1  y nn 1
Теорема 1:
Если функции y1(x),…,yn(x)(все функции и их производные непрерывны и
существуют до n-1 го порядка) линейно зависимы, то W ( y1 ,...,.y n ) =0.
Доказательство:
Так как функции линейно зависимы, то 1 y1  ...  m y m  0 после
дифференциирования получим:
1 y1  ...  n y n   0
1 y1  ...  n y n   0 ,
...
1 y1n 1  ...  n y nn 1  0
Эта система имеет ненулевое решение 
когда определитель этой системы равен 0. А этот определитель и есть
определитель Вронского.
Если W0, то функции линейно независимы.
Пример 1:
Покажем, что если определитель равен нулю, то функции необязательно
 0, x  0
f1 f 2  0
x2 , x  0
W (f1 , f 2 ) 
линейно зависимы. f1 ( x )  
, f 2 (x)   2
f1 ' f 2 '  0
 0, x  0
x , x  0
Рассмотрим произвольную точку x0>0.
Теорема 2: Пусть y1 ,..., y n решения уравнения y n   p1 x y n 1  ...  p n x y  0 и
p1 ( x ),...,p n ( x )  C(a , b) W ( y1 ( x 0 ),..., y n ( x 0 ))  0, x 0  a; b  тогда
W( y1 ( x ),..., y n ( x ))  0, x  a; b 
Следствие: если W ( y1 ( x 0 ),..., y n ( x 0 ))  0 хотя бы в одной точке (a,b) тогда  x (a,b)
W(x)0 и функции y1 ,..., y n линейно независимы.
Доказательство:
y1 ( x 0 )  y n ( x 0 )


y1 ( x 0 )  y n ( x 0 )
Так как W=0 в x0, то 
 0 так как определитель =0 то его
y1n 1 ( x 0 )  y nn 1 ( x 0 )
столбцы линейно зависимы (их линейная комбинация равна 0). Значит
1 y1 x 0   ...  n y n x 0   0



1 y1 x 0   ...  n y n x 0   0

...
1 y n 1 x 0   ...  n y n 1 x 0   0
n
 1
Рассмотрим функцию y= 1 y1  ...  n y n  0 L(y)=0, т.е. y- решение
 y x 0   0
 y x 0   0

дифференциального уравнения. С условиями: 
...
 y n 1 x 0   0
Решение y  0 удовлетворяет (1) но начальным условиям удовлетворяет только одно
решение (по теореме Коши о существовании единственного решения). y(x)  0 и
y1 ,..., y n – линейно зависимы => W = 0.
Пример 1:
y(n)=0 Решения:y1=1, y2=x, y3=x2,…,yn=xn-1
1 x x 2  x n 1
0 1 2x
n 2
 (n  1) x
W (1, x, x 2 ,..., x n 1 )  
0
0 0 0  (n  1)!
следовательно, функции линейно независимы.
Пример 2:
sin( x ) cos(x )
W (sin x, cos x ) 
 1 Значит функции sinx и cosx линейно
cos(x )  sin( x )
независимы.
Пример 3:
y1  e1x ,..., yn  e n x , i   j
e1x
1e1x
 e n x
  n e n x
 0  e (1  ... n ) x *  ( i   j )  0
W
(1 ) n 1 e1x
 ( n ) n 1 e n x
 e1x ,...,en x  линейно независиы.
i j
Фундаментальная система решений линейного
однородного уравнения
L( y)  y ( n )  p1 y ( n 1)  ...p n y  0
Определение: Любые n линейно независимых решений линейного однородного
дифференциального уравнения n-ного порядка называется фундаментальной
системой решений этого уравнения. Из доказанных выше теорем следует:
Теорема: Решения y1 ,..., y n уравнения образуют фундаментальную систему
решений этого уравнения тогда и только тогда, когда их определитель Вронского
Wx  отличен от 0 хотя бы в одной точке x o  (a , b) .
Теорема: Для любого линейного однородного дифференциального уравнения
существует фундаментальная система его решений.
Доказательство: Пусть
y1 ( x 0 )  1, y'1 ( x 0 )  ...  y1( n 1)  0
y 2 ( x 0 )  0, y' 2 ( x 0 )  1, y' ' 2 ( x 0 )  ...  y (2n 1)  0

y n ( x 0 )  ...  y (nn 2) ( x 0 )  0, y (nn 1)  1.
Тогда определитель Вронского запишется так:
W( y1 ( x 0 ) ... , y n ( x 0 )) 
1
0
0
1
0
0
0
0


0
0
     
0 0 0 0  1
1 0
Система функций y1 ,..., y n решений дифференциального уравнения
L(y) = 0 линейно независима, поэтому она образует фундаментальную систему
решений:
y1(x), ... ,y n (x)  фундамента льная система решений.
y  C1 y1 (x )  ...  C n y n ( x)  обшее решение.
Теорема: Пусть y(x) – любое решение дифференциального уравнения L(y) = 0 и
y1(x), ... ,y n (x)  фундамента льная система решений. Тогда
C1 , ... , C n : y( x )  C1 y1 ( x )  ...  C n y n ( x ) ( линейная комбинация базисной системы ) Д
оказательство: Рассмотрим систему линейных уравнений относительно неизвестных
C1 , ... , C n :
C1 y1 ( x 0 )  ...  C n y n ( x 0 )  y( x 0 )
C1 y'1 ( x 0 )  ...  C n y' n ( x 0 )  y' ( x 0 )

, W  0  !решение   (C1 , ... , C n ).


C1 y1( n 1) ( x 0 )  ...  C n y (nn 1) ( x 0 )  y ( n 1) ( x 0 )
Обозначим: ~y( x )  C1 y1 ( x )  ...  C n y n ( x ). Тогда :
~y( x 0 )  y( x 0 )
~y' ( x 0 )  y' ( x )

y( x )  ~y( x ) в силу теоремы Коши


~y ( n 1) ( x 0 )  y ( n 1) ( x 0 )
Теорема доказана.
Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными
коэффициентами
L( y)  y ( n )  a 1 y ( n 1)  ...  a n y  0; a 1 , ... , a n  R
Частные случаи:
n = 2:
y' 'a 1 y'a 2 y  0 (1)
y  e x
y '   e x
y' '  2 e x . Подставим в (1) 
2 e x  a 1e x  a 2 e x  0  2  a 1  a 2  0 (2)
1) 1  2 . Дискриминант уравнения (2) равен
D  a 12  4a 2  0 фундамента льная система для (1) :
1x

y1 ( x )  e
 любое общее решение запишется так :

2 x

y 2 ( x )  e
y  C1e 1x  C 2 e 2x
Пример:
y' '3y'2 y  0  2  3  2  0  1  1; 2  2.
y  C1e x  C 2 e 2 x
2) 1  2
В таком случае : D  a 12  4a 2  0 и 2  a 1  a 2  0
(  1 )  0 
a 1  21
 y' 'a 1 y'a 2 y  0
a 2  12
y1 ( x )  e 1x
y 2 ( x )  x  e 1x  решения уравнения y  a 1 y  a 2 y  0
y'2  e 1x  x1e 1x
y' '2  x12 e 1x  21e 1x
 Исходное уравнение примет вид :


x12 e 1x  21e 1x  a 1 e 1x  x1e 1x  a 2 xe 1x  e 1x  x (12  a 11  a 2 )  2

1

a
   0

0

1


Поэтому определитель Вронского запишется так:
e 1x
W( y1 , y 2 ) 
1e 1x
x
xe 1x
2 1x 1

e
 e 21x  0  y1 ( x ).c, y 2 ( x )
1x
1x
1 1  x1
e  x1e
фундаментальная система решений
Общее решение:
y  C1e 1x  C 2 xe 1x
a1
 i  D  комплексное число :
2
1    i
a1
   ;   D  
2
2    i
3) D  a 12  4a 2  0  1, 2  
e 1x  ex ix  ex  e ix  ex (cos x  i sin x )
Т. к. e  cos x  i sin x  2 x
 Решения :
e  ex ix  ex (cos x  i sin x )
ix
1
y1 (x)  (e 1x  e 2x )  ex  cos x
2
y 2 (x) 
1 1x
(e  e 2x )  ex  sin x
2i
– фундаментальная система решений
ex cos x
ex sin x
W ( y 1 , y 2 )  x

e cos x  ex sin x ex sin x  ex cos x
 e x
cos x
sin x
  1 e x  0
 cos x   sin x  sin x   cos x
Общее решение:
y  ex (C1 cos x  C 2 sin x )
В общем виде:
L( y)  y ( n )  a 1 y ( n 1)  ...  a n y  0 Решение надо искать в виде y  e x :
y ( k )  k e  x :
n e x  a 1n 1e x  ...  a n e x  e x (
n
a 1n 1  ...  a n )  0  P( )  e x  0.

P( )
кратность
корня
P( )  (  1 )

m1
 (  2 ) m2  ...  (  3 ) ms  характеристический многочлен
k   k   k i, а также к   k   k i, k  1,...,s.
Утверждение: Если следующие m функций (решения уравнения L(x))
y1  e 1x ; y 2  xe 1x ; ... ; y m  x m1 1e 1x – линейно независимы, т.к.
C1e 1x  C 2 xe 1x  ...  C m1 x m1 1e 1x

не может
выполняться
дляx
0
P( )e 1x  (  1 ) m g( )
P( )  m1 (  1 ) m11 g( )  (  1 ) m1  g' ( )
P(1 )  0


P(1 )   0
;







P(1 ) ( m1 1)  0



Следовательно, функции x k e i x , i  1,...,s; k  0,1,..., mi  1 – есть фундаментальная
система решений дифференциального уравнения
L(y) = 0.
Общее решение имеет вид:
s mi 1
y    Cik x k e i x
i 1 k 0
Решение неоднородного линейного дифференциального уравнения n-го
порядка
(n)
( n 1)
 ...  p n ( x ) y  q( x )
L(y)= y  p1 ( x ) y
(1)
Предположим, что найдена ф.с.р. соответствующего однородного уравнения
(L(y)=q(x)=0): y1 ,..., y n
Пространство решений неоднородного уравнения уже не является линейным
пространством.
Теорема *: Пусть y 0 x  - решение уравнения Ly   qx  (1). Тогда любое другое
решение этого уравнения yx  имеет вид
yx   yx 0   Yx  , где Yx  - решение уравнения Ly   0 , т.е. однородного.
(n )
( n 1)

 ...  p n ( x ) y  q
y  p1 ( x ) y
 (n)
( n 1)

 ...  p n ( x ) y 0  q
y 0  p1 ( x ) y 0
 ( y  y 0 ) ( n )  p1 ( x )( y  y 0 ) ( n 1)  ...  p n ( x )( y  y 0 )  0
Любое решение Y однородного уравнения представляется в виде линейной
комбинации ф.р.
Y=y–y0 = c1 y1  ...  c n y n , т.е. y = y0 + c1 y1  ...  c n y n (общее решение неоднородного
уравнения).
Нахождение частного решения неоднородного уравнения.
Оно почти всегда находится, если известна ф.с.р. соответствующего однородного
уравнения.
Метод вариации постоянных
Вернемся к неоднородному уравнению Ly   qx  (1). Предположим, что мы
можем найти фундаментальную систему решений y1 ,..., y n соответствующего
однородного уравнения Ly   0 (2). Тогда, любое решение Y этого уравнения имеет
вид: Y  c1 y1  ...  c n y n . Предположим также, что нам удалось найти некоторое
решение y 0 уравнения (1). По теореме *, любое решение y этого уравнения имеет
вид: y  y 0  Y  y 0  c1 y1  ...  c n y n (3). Итак, для нахождения всех решений
уравнения (1) требуется найти какое-то одно его решение y 0 . Для этого можно
использовать метод вариации постоянных, который состоит в том, что решение
уравнения (1) ищется в виде y o  c1 x y1 x   ...  c n x y n x  (4), где y1 ,..., y n фундаментальная система решений уравнения (2).
c1 y1  ...  c n  y n  0

c1 y1  ...  c n  y n   0


  n  2 

 ...  c n y nn  2   0
c1 y1
  n 1
c1 y1  ...  c n  y nn 1  qx 
Тогда:
p n (x)
c1 ( x ) y1  ...  c n ( x ) y n  y 0
p n 1 ( x )

c1 ( x ) y1  ...  c n ( x ) y n   [c1 ( x ) y1  ...  c n  y n ]  y 0




 ( n 2)
 ( n 2)
( n 1) p1 ( x )
( n 1)
 ...  c n ( x ) y (nn 1)  [c1 y1
 ...  c n y n
]  y0
c1 ( x ) y1

c1 ( x ) y1( n )  ...  c n ( x ) y (nn )  [c1 y1( n 1)  ...  c n  y n ( n 1) ]  y 0 ( n )
1
(домножаем и складываем уравнения.)
Пусть выражения в квадратных скобках равны нулю, кроме последней скобки,
равной q. Тогда при сложении в первом столбце( и в последующих) получится ноль,
но в последнем будет q(x).
(n)
( n 1)

 ...  p n 1 ( x ) y 0  p n y 0  q( x ) Но это равенство выполняется
 y 0  p1 ( x ) y 0
только в случае выполнения принятой нами системы условий, т.е. если найдены
функции Сk (x), удовлетворяющие этой системе условий(*), то функция y0 есть
частное решение неоднородного уравнения.
Получили, таким образом, обычную систему (*) линейных уравнений, которая имеет
единственное решение, если не равен нулю определитель системы, т.е. определитель
Вронского. Для того, чтобы отыскать c1 ,..., c n следует воспользоваться системой (*),
рассматривая ее как систему линейных уравнений относительно неизвестных


c1 ,..., c n с определителем Wx   0 .
y1  y n


y1  y n
W
≠0 Решения системы (*) можно найти по формулам Крамера.
y1n 1  y nn 1
c1  d1 ( x )

 
интегрируем и находим искомые C1,…,Cn.
 
c n  d n ( x )
Пример:
y  3y  2 y  x
y  3y  2 y  0  2  3  2  0  1  1; 2  2 
y1  e x
y 2  e 2 x  Y  C1 e x  C 2 e 2 x




C1 e x  C 2 e 2 x  0  Вычтем одно уравнение из другого: C 2 e 2 x  x  C1   xe  x


C1 e x  2C 2 e 2 x  x

C 2  xe  2 x
C1    xe  x dx   xde  x  xe  x   e  x dx  ( x  1)e  x
1
1
1
C 2   xe 2 x dx    xde 2 x   ( xe 2 x   e 2 x dx)   (2x  1)e 2 x
2
2
4
1
1
3
 y 0  ( x  1)e  x e x  (2x  1)e 2 x e 2 x  x  –частное решение неоднородного
4
2
4
уравнения
1
3
 y  C1e x  C 2 e 2 x  x  –общее решение неоднородного уравнения.
2
4
Метод неопределенных коэффициентов для нахождения частного решения
неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.
Представим неоднородное уравнение в виде:
y ( n )  a 1 y n 1  ...  a n y  Px ex cos x  Qx ex sin x , (1)
где P(x) и Q(x) - многочлены, причем max deg P( x ), deg Q( x )   m .
Частное решение уравнения (1) можно искать в виде:


y 0  R x ex cos x  Sx ex sin x x k , где R(x) и S(x) – многочлены степени m, k –
кратность корня     i уравнения n  a 1n 1  ...  a n  0
Пример: y  3y  2 y  x
1  1,
2  2
2  3   2  0
В данном случае   0,   0 и частное решение ищется в виде:
y 0  ax  b ;


y 0  a, y 0  0


Подставляем выражения для y 0 , y 0 и y 0 в исходное уравнение:
2  ax  b   3a  x;
2ax  2b  3a  x;
1
a ;
2
b
3
4
Решение исходного уравнения:
1
3
y  C1e x  C 2 e 2 x  x 
2
4
Решение систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными
коэффициентами
Рассмотрим систему
x  ax  by
,


y

cx

dy

dx
;
dt
dy
y 
dt
x 
где
a, b, c, d - произвольные постоянные
x  x t, C1 , C 2 
Решение представляет собой систему 
y  yt, C1 , C 2 
 x 
x
a b
 системы.
   A  , где A – матрица из коэффициентов A  

c
d
y
y


 
 
x
 x1 
Введем невырожденную матрицу B замены    B 
 y
 y1 
 x 
 x 1 
   B 
 y 
 y 1 
 x 1 
 x1 
B   A  B 
 y 1 
 y1 
 x 1 
 x1 
   A1   , где A1  B 1AB
 y 1 
 y1 
Пусть 1, 2 – собственные значения матрицы A. Тогда можно найти такую матрицу
B, что
Матрица A1 запишется в виде A1   1 0  , где 1 , 2 – собственные значения
 0 2 


характеристического многочлена матрицы A (собственные числа):
Тогда:
x 1  1x1
=>


y
1

1

2
y
1

 1
B  
 2
1t

x1  C1e

2 t

 y1  C 2 e
1 
 , где
 2 
=>
 C1e 1t 
x
;
   B
2 t 
y
C
2
e
 


 1   1 
  и   - собственные векторы матрицы A.
 2    2 
 C1e 1t 
x
1t   1 
2 t  1 

   B

 

C
1e 

C
2e


2 t 
y

2
 
 
 2 
 C2e 
Пример:
1  2  R 
x  2x  y

y  3x  4 y
 2 1

A  
3
4


Собственные числа матрицы A:
P  
2
1
3
4
 2  6  8  3  2  6  5
1  1
 1 1   1   0 

    
3
3

  2   0 
Нетрудно найти, что
2  5
  3 1  1   0 

    
3

1

  2   0 
 1  1,
 2  1
1  1
2  3
Общее решение системы уравнений:
x
1
1
   C1e t    C 2 e 5t  
 y
  1
 3
t
5t

x  C1e  C 2 e

t
5t

y  C1e  3C 2 e
Пример 2: Рассмотрим случай, когда корни характеристического многочлена
совпадают.
x  2x  y
 2 1
(1)

A  


y


x

4
y

1
4



P   2  6  9
  1 1
1  2  3 , матрица A  1E примет вид 
 .
  1 1
 x 1  1 3t
    e , другое решение нужно искать в виде:
 y1  1
3t

x 2  a  bt e
(1’) , где a,b,c,d – неопределенные коэффициенты.

3t

y
2

(
c

dt
)
e

Найдем их, продифференцировав уравнения системы (1’) и подставив выражения для
x , y в уравнение (1)
x 2  (b  3(a  bt))e 3t
y 2  (d  3(c  dt))e 3t
3t
3t

b  3a  bt e  2a  bt   c  dt e

3t
3t

d  3c  dt e   a  bt   4c  dt e
Разделив на e 3 t оба уравнения, получим систему, связывающую неизвестные
коэффициенты:
3b  2b  d
3a  b  2a  c

, отсюда b  d, b  c  a (система вырожденная).

3
d


b

4
d

3c  d  a  4c
Положим b  d  1, c  1, a  0 .
 x 2   t  3t
   
e .
y
2
1

t
  

Проверим систему на линейную зависимость.
x1 x 2
1 t
 e 6t
 e 6t  0
y1 y 2
1 1 t
Таким образом, общий вид решения:
x
1
 t  3t
   C1  e 3t  C 2 
e
 y
1
1  t 
В случае кратных корней одно решение находится сразу, второе – методом
неопределенных коэффициентов.
Пример3: Решение систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными
коэффициентами, имеющих комплексно-сопряженные корни.
x  x  y

y  2x  3y
P  
 1 1

A  

2
3


1 
1
2
3
 2  4  5  0
1,2  2  i
  2i
 i  1 1  1   0 

    
  2 1  i  2   0 
x
1  i 
1  i 
   e 2 t it 
  e 2 t cos t  i sin t 

 y
 1 
 1 
x  e 2 t cos t  sin t   ie 2 t cos t  sin t 
y  e 2 t cos t  i sin t 
 x1 
 cos t  sin t 
   e 2 t 

y
1
cos
t
 


x2 
 cos t  sin t 
   e 2 t 

y
2
sin
t
 


Общее решение:
x
 cos t  sin t 
 cos t  sin t 
   C1e 2 t 
  C 2 e 2 t 

 y
 cos t 
 sin t 
Рассмотрим еще один пример, который иллюстрирует решение системы трех
линейных дифференциальных уравнений.
Даны две последовательные химические реакции A  B и B  C . Скорость каждой
из реакций пропорциональна концентрации реагирующего вещества. Константы
скорости реакций равны a и b.
Обозначим x,y,z концентрации веществ A,B и C соответственно.
Система уравнений примет вид:
x  ax

 y  ax  by
z  by

  a 0 0


A   a  b 0
 0
b 0 

 a  

P    a
 0

1  0
0
b
b
0 

0    a    b     
  
  a 0 0     0 

   
 a  b 0      0  
 0
b 0     0 

0
 
собственный вектор  0  .
1
 
0
0     0 
0

   
2  a  a  b  a 0      0  
0
b
 a     0 

a  (a  b)   0
находится из системы 
.
b  a  0
b  a


собственный вектор  a 
 b 


  a  b 0 0     0 

   
3   b  a
0 0      0   собственный вектор
 0
b b     0 

0
 
 1 .
 1
 
x
 0
b  a
0
 
 


 
at
 bt
 y   C1  0   C 2 e  a   C 3 e  1 
z
1
 b 
  1
 
 


 
x  C 2 (b  a )e  at

at
 bt
 y  C 2 ae  C 3e

at
 bt
z  C1  C 2 be  C 3e
Константы С1,С2 и С3 определяются из начальных концентраций веществ A,B и C.