Электростатика
реклама
8. ЭЛЕКТРОСТАТИКА Начинать обсуждение электричества легче всего с опытов по электризации. Если потереть авторучку (пластмассовую) о волосы, то она станет притягивать кусочки бумаги со стола, хотя до этого не притягивала. Мы говорим, что ручка зарядилась* при трении, и это один из примеров ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ЗАРЯЖЕННЫХ ТЕЛ (хотя бумагу в этом случае не заряжали, об этом чуть дальше). Более удобным объектом, изучая который можно говорить о количественных результатах, служат шарики, подвешенные на нитях. Дотрагиваясь до них потертыми предварительно палочками, можно видеть в одних случаях притяжение шариков, в других - отталкивание. Шарики действуют друг на друга на расстоянии, и это похоже на всемирное тяготение. Аналогия еще более усиливается, когда узнаем, что сила взаимодействия падает как квадрат расстояния между шариками, точно так же, как в законе Ньютона. Но вот отталкивания в тяготении не было, да и величина электрической силы для тел не астрономических масштабов бывает намного больше. Тяготению тела подвержены в любом состоянии, а шарики на нитях могут и не взаимодействовать. Если шарики отталкиваются или притягиваются, мы будем говорить, что они заряжены, и приписывать им заряд q, равный нулю при отсутствии взаимодействия. Опыт показывает, что шарики, заряженные от одной палочки (например, стеклянной, потертой о шелк), отталкиваются друг от друга, а если один шарик зарядить от стеклянной палочки, а другой - от эбонитовой, потертой о мех, они притягиваются. (Если зарядить оба от эбонитовой - тоже увидим отталкивание.) *) Похожие слова произносят всевозможные кудесники. Один "заряжает" воду словами, другой берется "информационным полем" воздействовать на изотопный состав вещества. Реальных экспериментальных фактов за таким псевдонаучным словоблудием нет. Удобно считать заряд алгебраической величиной, т.е. говорить о положительных и отрицательных зарядах. Принято считать, что при электризации стеклянной палочки возникают положительные заряды, а эбонитовой - отрицательные. При такой договоренности можно сформулировать утверждение: одноименно заряженные тела отталкиваются, разноименно притягиваются. Основной закон, устанавливающий силу взаимодействия неподвижных точечных зарядов q1 и q2, - ЗАКОН КУЛОНА записывается так: (56) | q || q | F k 1 2 2 , r 9 2 2 где k = 9 10 Н м /Кл ; r - расстояние между зарядами. Часто вместо коэффициента k используют электрическую 1 постоянную ε0 , связанную с k соотношением k , где 4πε 0 ε0 = 8,85 10-12 Ф/м. Зависимость силы от расстояния r между зарядами принципиально установить нетрудно, для этого нужно изменить расстояние и посмотреть, как изменится сила. Сложнее с зависимостью силы от величины зарядов q1 и q2. Ведь мы не сказали, как измерить эти величины. Ш. Кулон вышел из положения следующим образом. Он допустил, что если к шарику с зарядом q прикоснуться таким же шариком по размеру, но не заряженным, то заряд поделится поровну между ними. Так ему удалось получить заряды, отличающиеся в 2, 4, 8, 16 раз, и понять, что сила взаимодействия пропорциональна величине заряда. Вопрос о числовом значении q - это вопрос об единице измерения заряда. В СИ таковой является кулон, т.е. заряд, переносимый током в 1 ампер за 1 с. 1 Кл = 1А 1с = 1 А с. Для электростатики это очень крупная единица, в том смысле, что во всех опытах с неподвижными зарядами возникают малые доли кулона. (Действительно, если, к примеру, q1=q2=1 Кл, r =1 м, то F 1010 H !!). Сегодня мы знаем, что носителями заряда являются электроны и протоны. Они имеют заряд 1,6 10-19 Кл. Меньше этого заряда в свободном состоянии в природе не существует. Все заряды кратны этому. Фундаментальный закон природы - ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЗАРЯДА - гласит: в изолированной системе полный заряд не может измениться. Возможны две точки зрения на взаимодействие зарядов, порождающие две теории: дальнодействие и близкодействие. Согласно первой, заряды непосредственно действуют друг на друга, несмотря на то, что находятся на расстоянии. По теории близкодействия картина взаимодействия совершенно иная. Считается, что каждый заряд создает вокруг себя ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ, простирающееся от данного заряда до бесконечности. Другой заряд, попав в это поле, испытывает силовое воздействие со стороны поля. При этом заряд «чувствует» поле только в той точке, где он находится, и ничего «не знает» о поле в другом месте. Отсюда и название «близкодействие». Сегодня физика считает, что только теория близкодействия реальна. Основным аргументом в пользу этой точки зрения является запаздывание взаимодействия между зарядами, т.е. если передвинуть один заряд, другой еще некоторое время испытывает прежнюю силу. Ответ на вопрос, что такое электрическое поле, должен сводиться к перечислению его свойств. Основное свойство: поле действует на заряды. Величина воздействия характеризуется НАПРЯЖЕННОСТЬЮ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ E - векторной величиной, измеряемой силой, с которой поле действует на единичный положительный заряд: (57) F E , q где F - сила, действующая на положительный заряд q. В частности, из этого определения и закона Кулона вытекает выражение для напряженности ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ ТОЧЕЧНОГО ЗАРЯДА Eтз: (58) Q Eтз k 2 , r где r - расстояние от заряда Q, создающего поле, до точки наблюдения. Если поле создается не одним зарядом, а многими Q1, Q2, …, On, то его напряженность E можно найти как векторную сумму напряженностей, созданных каждым зарядом: (59) E E1 E2 ... En . В этом состоит ПРИНЦИП СУПЕРПОЗИЦИИ ПОЛЕЙ. Проводниками называются вещества, в которых имеются свободные носители заряда, скажем, электроны, способные перемещаться на макроскопические расстояния. При помещении ПРОВОДНИКА В ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ часть его свободных зарядов уходит из объема и распределяется по поверхности таким образом, чтобы поле внутри оказалось точно равным нулю. ДИЭЛЕКТРИКИ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ ведут себя по-другому. В них свободных носителей заряда нет, и они не могут полностью компенсировать внешнее поле внутри своего объема. Но тенденция к этому имеется. Молекулы диэлектрика, оставаясь электричеки нейтральными, деформируются во внешнем поле, и в итоге на границе диэлектрика возникает заряд, уменьшающий поле в объеме, хотя и не до нуля, как это бывает в металле. Отношение напряженности поля в вакууме Е0 к напряженности поля в диэлектрике Е называется ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПРОНИЦАЕМОСТЬЮ данного материала ε : (60) E ε 0. E При ПЕРЕМЕЩЕНИИ ЗАРЯДА в электрическом поле оно совершает над ним РАБОТУ. Самое важное свойство этой работы - независимость от формы пути. Отношение величины работы поля к заряду не зависит от заряда и является энергетической характеристикой поля, относящейся к двум конкретным точкам, - разностью потенциалов. Итак, РАЗНОСТЬЮ ПОТЕНЦИАЛОВ АВ между двумя точками А и В называется величина, равная работе, которую совершает электрическое поле над единичным положительным зарядом, когда заряд перемещается из А в В: (61) A АВ . q Потенциалом точки называют величину, равную работе, которую совершает поле над единичным положительным зарядом, когда заряд перемещается из данной точки поля в бесконечность. Потенциал и разность потенциалов измеряются в СИ в вольтах. Для потенциала точечного заряда Q справедлива формула: (62) Q тз k . r В однородном поле существует простая связь между напряженностью поля и разностью потенциалов: (63) Ed , где d - расстояние между точками с разностью потенциалов (формула эта совершенно понятна, так как кратко это работа, Е - сила, и не удивительно, что работа равна силе, умноженной на перемещение). ЭЛЕКТРОЕМКОСТЬЮ проводника Спров называют величину, равную отношению заряда q, сообщенного проводнику, к его потенциалу : (64) q Спров . В СИ емкость измеряется в фарадах. КОНДЕНСАТОРОМ называют систему из двух разноименно заряженных проводников, электрическое поле которой не выходит во внешнее пространство. Емкостью конденсатора Cкон называют отношение заряда одной из обкладок к разности потенциалов между обкладками: (65) q . Скон Емкость плоского конденсатора: (66) ε 0 εS , d где S - площадь пластины; d - расстояние между пластинами. Параллельно соединенные несколько конденсаторов эквивалентны одному конденсатору с суммарной емкостью. При последовательном соединении конденсаторов на обкладках каждого из них заряды одинаковы, а по знаку чередуются. Это приводит к формуле для емкости системы последовательно соединенных конденсаторов: (67) 1 1 1 1 ... . С С1 С2 Сn Если замкнуть обкладки заряженного конденсатора проводником, то пойдет ток и выделится тепло. Поэтому можно говорить, что заряженный конденсатор обладает энергией. Ее можно вычислить разными способами: (68) 1 1 1 q2 1 Wэ qU CU 2 ε 0εE 2V wV . 2 2 2C 2 Последнее соотношение позволяет говорить об ЭНЕРГИИ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ, т.е. считать энергию конденсатора сосредоточенной в объеме V между обкладками 1 с объемной плотностью w ε 0εE 2 . 2 Такое представление об энергии поля справедливо не только для конденсатора. Полезные формулы: (69) q , S где - поверхностная плотность заряда. (70) σ Eпл , 2ε 0ε Спл где Eпл - поле заряженной плоскости. σ Eкон , ε 0ε где Eкон - поле внутри плоского конденсатора. (70а) ЗАДАЧИ С КОММЕНТАРИЯМИ И РЕШЕНИЯМИ 1. Два точечных заряда находятся в парафине на расстоянии r = 20 см. На каком расстоянии они должны находиться в воздухе, чтобы сила взаимодействия была такой же? Диэлетрическая проницаемость парафина Ответ: 29 см. = 2,1. 2. С какой силой F притягиваются электрон и ядро атома водорода, если расстояние между ними r = 5 10-9 см, а заряд ядра атома водорода q = 1,6 10-19 Кл. Ответ: 0,92 10-7 Н. 3. На поверхности металлического изолированного шара радиусом R = 5 см помещен электрический заряд q = 1,1 10-4 Кл. Чему равна поверхностная плотность электрического заряда ? Ответ: 3,5 107 Кл/см 2 . . 4. Два точечных одноименных заряда q1 = 3 10-8 Кл и q2 = 3,7 10-8 Кл расположены в вакууме в точках, удаленных друг от друга на расстояние l = 30 см. В какой точке на прямой, соединяющей эти заряды, напряженность поля равна нулю? Ответ: 14, 21 см. 5. К шелковым нитям одинаковой длины L = 20 см, точки подвеса которых находятся на одном уровне, на расстоянии l = 10 см друг от друга, подвешены два одинаковых маленьких шарика массой m = 50 г. При сообщении им одинаковых по абсолютному значению, но противоположных по знаку зарядов шарики сблизились до расстояния r = 2 см. Определить величины сообщенных им зарядов. Ответ: 6.6 108 Кл. 6. Электрон со скоростью 0 = 4 109 см/с влетает в плоский конденсатор, вектор его скорости параллелен пластинам. На сколько сместится точка вылета электрона из конденсатора, если к конденсатору приложить разность потенциала U = 300 В? Расстояние между пластинами d = 1 см, длина конденсатора L = 5 см. Пластины горизонтальны. Силой тяжести пренебречь. Заряд электрона равен q = 1,6 10-19 Кл, его масса m = 9,1 10-31 кг. Ответ: 0,41 см. 7. Плоский конденсатор с расстоянием между пластинами d = 0,5 мм заряжен до разности потенциалов U = 10 В и отключен от источника. Какова будет разность потенциалов, если пластины раздвинуть до расстояния d1 = 5 мм? Ответ: 100 В. 8. Отрицательный точечный заряд расположен на прямой, соединяющей два одинаковых точечных положительных заряда. Расстояния между отрицательным зарядом и каждым из положительных относятся между собой как 1 : 3. Во сколько раз изменится сила, действующая на отрицательный заряд, если его поменять местами с ближайшим положительным? Ответ: 1,2; 0,675. 9. Поток электронов, получивших свою скорость в результате прохождения ускоряющей разности потенциалов Uус = 5000 В, влетает в середину между пластинами плоского конденсатора. Какое наименьшее напряжение U1 нужно подать на конденсатор, чтобы электроны не вылетали из него? Длина конденсатора L = 5 см, расстояние между пластинами d =1 см. Ответ: 400 В. 10. В вершинах равностороннего треугольника расположены три одинаковых заряда величиной q каждый. Найти напряженность электрического поля E в точке пересечения высот треугольника. Какой заряд Q нужно поместить в эту точку, чтобы результирующая сила, действующая на каждый из трех зарядов, оказалась равной нулю? q Ответ: . 3 11.Тонкое проводящее электрический заряд q, равномерно. В центре кольца величиной Q, причем Q » растянуто кольцо. Qq Ответ: k . 2πR 2 кольцо радиуса R несет распределенный по кольцу расположен одноименный заряд q. Определить силу, с которой 12. Найти поверхностную плотность заряда , возникающего на внешней поверхности проводящей сферы радиуса R = 20 см, при помещении в центр сферы шарика с зарядом q = 50 10-19 Кл. Будет ли меняться поверхностная плотность заряда при перемещении шарика внутри сферы? Ответ: 10-7 Кл/м2. 13. Во сколько раз уменьшится сила притяжения двух маленьких шариков, один из которых заряжен, а другой нейтрален, если расстояние между шариками увеличить вдвое? Ответ: в 32 раза. 14. Плоский конденсатор имеет площадь пластин S =2000 см2. Расстояние между пластинами d = 0,5 мм. К одной из обкладок прилегает пластина диэлектрика толщиной d1 = 0,3 мм с диэлектрической проницаемостью = 7. Остальное пространство между обкладками воздухом. Найти емкость конденсатора C. Ответ: 7,3 10-9 Ф. заполнено 15. Определить общую емкость системы конденсаторов на рис. 87 Соб. Емкость каждого конденсатора С. Рис.87 Ответ: 2C. 16. Два одинаковых проводящих диска радиусом R каждый, один из которых несет заряд +q1, другой – отрицательный заряд -q2, сначала соединяются так, что их оси совпадают, а потом слегка раздвигаются вдоль осей. С какой силой взаимодействуют диски после разведения? ( q q )2 Ответ: 1 2 2 . 8πε 0 R 17. Какой заряд q пройдет через источник тока при переключении ключа К из положения А в положение В на рис.88 ? U A C B K C 2 C 3 Рис.88 Ответ: 1 CU . 3 КОММЕНТАРИИ К ЗАДАЧАМ №1. Записываем по Кулону силы взаимодействия в воздухе и в парафине и приравниваем их. ε п = 2,1. №2. Считаем по закону Кулона. №3. По определению поверхностная плотность σ q . S Площадь сферы определяется формулой S 4πR 2 . №4. x + +q q2=3,7 10-8 Кл - A q1=3 10-8 Кл l = 30 см Рис. 89 В искомой точке А (рис.89) нулевая напряженность. Это значит, что пробный заряд +q, помещенный в эту точку, не испытывает никакой силы. Так может случиться лишь тогда, когда левый и правый заряды действуют на пробный заряд с одинаковой по модулю силой. Выражая эти силы по Кулону и приравнивая, получаем уравнение для определения х. №5. После сближения заряды находятся в равновесии. Значит, сумма сил, действующих на каждый заряд, равна нулю. Это позволяет, зная геометрию задачи (рис.90), выразить Fк через mg, а затем по Fк вычислить заряд. 10 см 20 см α T 2 см FK mg Рис.90 №6. L v0 0 x A ∆y FK y Весьма распространенная задача, в той или иной модификации присутствующая на всех экзаменах. Траектория электрона в этой задаче - парабола (рис.91). Вся картина движения полностью аналогична картине движения тела, брошенного параллельно поверхности Земли с некоторой высоты. Рис.91 На электрон действует только одна сила, направленная перпендикулярно пластинам. Значит, только вдоль оси y движение будет с ускорением, а по оси х электрон движется равномерно. Схема расчета (рис.92): U Формула для разности E Формула для электриче m q d F 2-й закон Ньютон a Переме щение t Путь при равномер ном L Рис.92 №7. Конденсатор отключен от источника, это значит, что заряд на его пластинах не может измениться.. Тем самым не может измениться и напряженность поля в конденсаторе –она однозначно определяется зарядом на пластинах. Разность потенциалов, конечно, изменится - она определяется напряженностью поля и расстоянием между обкладками. №8. +q1 q f1 I f2 f2 -q II f1 +q1 Рис.93 +q2 Расстояние от отрицательного заряда до ближайшего положительного в три раза меньше, чем до более удаленного заряда. Обозначим силу, с которой притягивает ближайший положительный заряд f1. Удобно полную силу, действующую на заряд в ситуациях I и II (рис.93), выразить через f1, помня, что силы обратно пропорциональны квадратам расстояний. А почему два ответа? №9. Задача аналогична задаче №6. Только другой вопрос и не задана начальная скорость 0 . Зато известно, что перед попаданием в конденсатор, электрон прошел ускоряющую разность потенциалов Uус = 5000 В (рис.94). Это позволяет из закона сохранения энергии определить 0 , и далее воспользоваться результатами задачи №6. - 5000 В + Траектория полета попадает на край Сетки пластины по условию задачи Ускоряющий промежуток Рис.94 №10. F0 -q0 1. Используем принцип суперпозиции для отыскания поля в центре. Из соображений симметрии трудно ожидать, что суммарный вектор напряженности поля в центре Рис.95 равностороннего треугольника (рис.95) отличен от нуля, хотя тренировки ради можно в этом убедиться с помощью расчета. 2. Если заряды в вершинах треугольника положительные, то удерживать их должен отрицательный заряд - Q. Помещаем его в центре, находим силу, действующую на заряд в вершине треугольника со стороны двух других положительных зарядов и искомого отрицательного, приравниваем ее к нулю и находим величину отрицательного заряда. №11. Выделим маленький участок кольца (говорят элемент кольца) и расставим действующие на него силы (рис.96). Этих сил три: FК – кулоновская сила со стороны заряда Q и силы упругости Т1 и Т2, одинаковые по модулю, приложенные со стороны соседних участков кольца. В задаче требуется отыскать модуль силы упругости Т. Запишем векторное условие равновесия элемента кольца: T1 T2 FК 0 . y FK T2 T1 +Q Рис. 96. Удобно работать с проекцией этого уравнения на ось у. Заряд элемента кольца q, входящий в кулоновскую силу, нужно выразить через угол и воспользоваться соотношением sin = , справедливым для малых углов. №12. E=0 +q +q -q Задачи на проводящие сферы встречаются довольно часто. Поэтому напомним некоторые относящиеся к ним результаты: 1. Если по сферической поверхности радиуса R (рис.97) равномерно распределить заряд q, электрическое поле вне сферы, т.е. при расстояниях от центра r R, не отличается от поля точечного заряда q, расположенного в центре Рис.97 сферы. Внутри же сферы во всех точках (не только в самом центре!!) Е = 0. 2. В реальных условиях, когда вокруг сферы или внутри нее имеются заряженные тела, распределение заряда на сфере неравномерное, оно автоматически устанавливается таким, чтобы в толще сферы, в ее металле, не было электрического поля. Теорема единственности - ключ к решению многих задач, утверждает, что существует только одно распределение заряда на проводниках, при котором E = 0 внутри всех проводников. (Считается, что заданы полные заряды проводников, либо их потенциалы.) Благодаря теореме единственности можно использовать метод отгадки – если удалось подобрать распределение заряда так, что в металле Е = 0 и на проводниках правильные суммарные заряды, то это и есть ответ. А теперь перейдем к задаче. Распределим равномерно по внутренней поверхности сферы заряд – q. Вместе с центральным зарядом +q такое распределение обеспечит нулевое поле внутри металла. В нашей задаче сфера нейтральна, поэтому надо еще распределить заряд +q так, чтобы он не создал поля внутри металла. Заряд при этом может располагаться только на поверхностях проводников. Очевидно, что если распределить +q на внешней поверхности сферы равномерно, то поле внутри металла не почувствует этот заряд и останется равным нулю. Отсюда и получается ответ задачи. Теперь переместим заряд +q из центра. Поле внутри сферы (в пустоте) станет другим. А вне сферы? Вне сферы ничего не изменится! Чтобы убедиться в этом, можно рассуждать так. Возьмем сначала сферу, у которой r как у нашей, а R , т.е. это полость в сплошном металле. Если мы в такой полости сдвинем заряд из центра, равномерное распределение заряда на внутренней поверхности радиуса r нарушится так, чтобы обеспечить нуль поля в толще металла. Т.е. нуль обеспечивается без участия внешней поверхности, как и раньше, когда заряд был в центре. Поэтому надо и сейчас сделать так, чтобы внешняя поверхность не портила этот нуль, т.е. распределить на ней заряд равномерно, а это и ведет к тому, что вне сферы поле одинаковое при любом положении заряда +q внутри сферы. №13. F1 -q r Почему вообще F2 притягивается +q незаряженный правый шарик (рис.98) ? (Помните, у нас, в начале разговора об электричестве, бумажки Рис.98 тоже были не заряжены, а притягивались к авторучке.) Дело в поляризации нейтрального шарика. Его левый бок под влиянием заряженного шарика станет отрицательным, а правый – положительным. Возникнут силы притяжения и отталкивания, как видно из рисунка. Если бы поле заряженного шарика было однородное, эти силы оказались бы равными и не проявляли себя. Но в реальности поле у ближнего левого края больше, и наблюдается притяжение. Теперь вопрос в том, какая степень расстояния между шариками входит в силу притяжения. Рассмотрение показывает, что не вторая, как в случае двух заряженных шариков, а пятая и это нужног доказать при решении задачи. . Пусть на краях шарика возникли заряды ±q . Как зависит от расстояния до заряженного шарика эти заряды? Как зависят от расстояния силы притяжения и отталкивания? №14. d1 d2 Счет здесь простой. Нужно смотреть на эту систему как на два конденсатора, соединенных последовательно (рис.99), один заполненный диэлектриком (d1 = 0,3мм), второй - пустой (d2 = 0,2 мм) . Но, конечно, до или после такого расчета его нужно обосновать. 0,2 0,3 Рис.99. №15. 6 3 B 1 4 D 2 5 C 3 A C 5 2 D A 1 Рис.100 6 B 4 Справа на рис. 100 перерисованная схема в виде, более удобном для анализа. (Все конденсаторы пронумерованы.) На таком рисунке хорошо просматривается симметрия схемы, а именно полная эквивалентность точек С и D (их никак нельзя различить, измеряя электрические величины). А это значит, что разность потенциалов между ними отсутствует. Ведь, иначе потенциал точки С или точки D оказался бы выше. Какой точки? Поэтому конденсатор 5 не заряжается, и его можно при желании отсоединить или замкнуть накоротко, емкость системы от этого не изменится. №16. +q1 -q2 После касания дисков на них q q окажется одинаковый заряд q 1 2 q и они будут отталкиваться друг от друга (рис.101). Рис.101 Можно использовать формулы для заряженной плоскости, так как радиус диска R много больше расстояния между дисками. №17. + U - A q 2 q 1 2 B K 2 q 2 Замкнем ключ в положение А и рассчитаем заряд на конденсаторе 1. На рис.102 изображено -q распределение заряда при таком положении ключа. Чтобы найти +q 3 величину заряда q на конденсаторе 3 напеишем напряжения уранение для Рис.102 q q 2CU q . C 2C 3 Переключим в положение В и аналогично найдем новый заряд на 1-м конденсаторе. Он мог измениться только за счет заряда, прошедшего через источник тока. U РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ № 1. 2 2 kq kq 2 rвозд rп п 20 2 ,1 29 см. . 2 r rвозд №2. Силу притяжения электрона и ядра вычисляем по закону Кулона 19 2 q2 ) 9 (1, 6 10 F k 2 9 10 0.92 107 Н. 11 2 r (5 10 ) №3. q q 1,1 104 3,5 107 Кл/см 2 . . 2 2 S 4 R 4 R 4 25 №4. Приравниваем силы, действующие на пробный заряд со стороны первого и второго зарядов. q1 l qq qq2 k 21 k ; q1 ( l x ) q2 x; x 2 x (l x ) q1 q2 3 108 30 3 108 3,7 108 14, 21 см. x q1 l ( q1 q2 ) ; . №5. Из рис.90 видно, что в состоянии равновесия кулоновская сила, действующая на шарик FК mgtg . Запишем эту силу по закону Кулона и найдем искомый заряд. q2 mgtg l r 4 k 2 mgtg ;q r ; tg sin ; r k 2 L 20 q 2 102 50 103 9,8 4 6.6 108 Кл. 9 9 10 20 . №6. Начнем расчет с конца. Нам нужно найти вертикальное смещение элетрона при пролете через конденсатор (рис.91). По вертикальной оси электрон движется ускоренно без начальной скорости (начальная скорость, данная в задаче, горизонтальная). Если обозначить время пролета электроном конденсатора t , а его ускорение а, то смещение y at 2 / 2 . Время пролета определяется начальной скоростью t L / 0 . Ускорение электрона находим по II-му закону Ньютона, зная силу, действующую на него электрическую силу F U qU qU a ; F qE; E ; ; a . m d md md at 2 L2qU 25 104 1,6 1019 300 y 0, 41 см. 14 31 2 . 2 2 2 md 2 16 10 9,1 10 10 0 №7. Разность потенциалов U и напряженность поля E, когда поле однородное, то есть во всех точках одинаковое, как это имеет место в плоском конденсаторе, связаны простым соотношени ем U Ed . Напряженность поля не изменяется от раздвижки пластин, а разность потнциалов растет пропорционально расстоянию между пластинами, то есть возрастает в 10 раз. №8. Сила, действующая на отрицательный заряд со стороны 2 1 болкк удаленного положительного заряда f 2 f1 . 3 Равнодействующая сила при I –ом расположении зарядов: 1 8 f1 f1 . 9 9 В ситуации II сила, действующая со стороны ближайшего положительного заряда (q1), не изменилась, а со стороны уда FI f1 f 2 f1 2 1 ленного стала меньше - f1 . Новая равнодействующая 4 1 17 FII f1 ( )2 f1 f1 , то есть оказывается больше, чем была 4 16 раньше. Отношение равнодействующих дает ответ задачи FII 17 8 17 9 f1 / ( f1 )= 1, 2. FI 16 9 16 8 Второй ответ получится, если положительные заряды исходно расположить по одну сторону от отрицательного. №9. Используем результат задачи № 6 для отклонения от прямолинейной траектории электрона при пролете в конденсторе y и пишем для искомого минимального напряжения U1: 2 2 md y U1 0 2 . qL В этой формуле неизвестна только начальная скорость 0 ; отклонение y известно из условия попадания электрона на край пластины - y = d/2. Начальную скорость найдем, приравняв кинетическую энергию электрона работе электрического поля над электроном в ускоряющем промежутке 2qU ус m0 2 qU ус 0 2 . 2 m Окончательно для минимального напряжения получаем U1 2U ус d2 1 2 5000 400 В . 2 L 25 №10. Диагональ ромба на рисунке дает суммарную силу F0, действующую на заряд q3 со стороны зарядов q1 и q2. По теореме косинусов величину этой силы можно связать с величиной силы, действующей на выделенный заряд со стороны одного положительного заряда F1 2 q F0 2 F1cos600 k 2 3 . Отрицательный заряд – Q должен a действовать с такой же силой, но в другую сторону. Записываем это равенство сил и находим ответ Qq 3q 2 q 3 k k Q . 2 2 a 3 a . 0 2cos30 №11. Полный заряд кольца q распределен по дуге, величина которой 2π радиан, соответственно заряд элемента Δq – по дуге 2α радиан. Отсюда q 2 ; q q . q 2 Проецируя уравнение равновесия дуги на ось y , получаем окончательно FК 2Тsinα 0; T FК Qq Qq Qq k 2 k k . 2 2sinα 2 R sinα 2 R sinα 2 R 2 №12. См. обсуждение в «Комментариях» . Расчетня часть задачи простая q . 4 R 2 №13. Заряды q тем больше, чем сильнее электрическое поле в том месте, где расположен незаряженный (поляризующийся) шарик, то есть эти заряды пропорциональны напряженности поля q E 1 / r 2 . Оценим суммарную силу силы притяжения и силы отталкивания F F1 F2 q( E1 E2 ) , где E1 kq0 / r 2 и E2 kq0 /( r d )2 напряженности поля у ближнего и дальнего краев шарика диаметром d. 1 r 2 d 2 2dr r 2 1 F qq0 k 2 . 2 r 2 ( r d )2 r (r d ) Теперь учтем, что размер шарика невелик по сравнению с r и опустим d там, где можно. Получим: q 1 F 2kdq0 3 5 . r r Это значит, что при изменении расстояния вдвое, сила изменяется в 25 раз. №14. Емкость С двух последовательно соединенных конденсато ров с емкостями С1 и С2 определяется соотношением S S СС С 1 2 ; С1 0 ; С2 0 С1 С2 d1 d2 . 12 4 0 S 8,85 10 7 2000 10 С 7 ,3 109 Ф. 3 3 d ( 1)d1 7 0,5 10 (7 1)0,3 10 №15. Без пятого конденсатора схема совсем простая – три параллельных цепочки. Емкость параллельно соединенных конденсаторов складывается. Емкость двух последовательно соединенных одинаковых конденсаторов вдвое меньше, чем одного. В итоге имеем Соб = 2С. №16. Каждый диск создает напряженность поля, определяемую поверхностной плотностью заряда (формула 70а) σ q E . 2ε 0 2ε 0 πR 2 Это поле отталкивает второй диск с силой ( q1 q2 )2 . F qE 8 0 R 2 кваква№17. + U - A +Q -Q 1 B Q 2 Q 2 Q 2 2 Q 3 2 Если замкнуть ключ в положение В (рис.103), то распределение заряда будет как на рисунке. Можно как и раньше написать уравнение для напряжения и найти новый заряд Q на конденсаторе 1. Q Q 2 U Q CU , C 2C 3 т.е. Q = q Рис.103 Раньше на верхней обкладке конденсатора 1 был заряд q + , теперь - +Q. Дополнительный заряд пришел через 2 источник и поэтому ответ дается разностью q 2 1 1 CU CU CU . 2 3 3 3 Можно и сразу без расчета, сравненивая схемы с ключом в положениях A и B, сказать, что Q = q и получить тот же ответ. q Q ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ 1. Определить полный заряд Земли, если известно, что напряженность электрического поля у ее поверхности 130 В/м. Ответ: 6 105 Кл. 2. Металлический шар радиусом 2,4 см заряжен до отрицательного потенциала -2 В. Сколько электронов находится на поверхности шара? Ответ: 3,3 107. 3. Электрон влетает в однородное электрическое поле с напряженностью 120 В/м. Скорость электрона 103 см/с и направлена перпендикулярно полю. На сколько изменится его кинетическая энергия за 1 мкс пребывания в поле? Ответ: 2,84 10-17 Дж. 4. Три одинаковых положительных заряда q расположены в вершинах равностороннего треугольника со стороной а. Найти напряженность поля в вершине правильного тетраэдра, для которого этот треугольник служит основанием. q Ответ: k 6 2 . a 5. Электрический заряд q равномерно распределен по тонкой жесткой металлической сфере радиуса R. Какая сила действует на единицу поверхности сферы со стороны остального заряда? Ответ: k q2 . ( 8 r 4 ) 6. Сколько капелек ртути, заряженных до потенциала 4 В каждая, надо слить в одну большую каплю, чтобы потенциал капли стал равен 64 В? Ответ: 64. 7. Какой заряд пройдет через источник тока с ЭДС при переключении ключа К из положения А в положение B (рис.104)? + A B C K C 2C 3C ε Ответ: 32 . 105 С Рис.104 8. Во сколько раз по отношению к первоначальной изменится емкость конденсатора, если в него вставить кусок металла, толщина которого равна 1/3 расстояния между обкладками? 3 Ответ: . 2 + 1 2 3 4 - 9. Четыре одинаковые металлические пластины расположены в воздухе на равных расстояниях d друг от друга (рис.105). Площадь каждой из пластин S. Пластина 1 соединена проводником с пластиной 3, Рис.105 Ответ: S 3d а от пластин 2 и 4 сделаны выводы. Определить емкость такого сложного конденсатора. . 10. Шарик массой т, имеющий заряд q, подвешен на нити длиной l. Под ним на расстоянии d находится шарик с зарядом Q противоположного знака. Нить отклоняют от вертикального положения на 90° и отпускают. Каково наибольшее натяжение нити? 3kQq 1 1 Ответ: 3mg . l d l 2 ( l d )2 11. Маленький шарик, имеющий массу 2 г и заряд 10 Кл, движется из удаленной точки, где он покоился, к, сферической оболочке радиуса Зсм, заряженной таким же по величине зарядом, но другого знака. Через небольшое отверстие в оболочке шарик проходит внутрь сферы. Какую скорость имеет шарик в центре сферы? Ответ: 10 м/с. 12. Мальчик потерял одну миллионную долю электронов, имеющихся в его теле, а девочка их нашла. В результате мальчик стал положительным, а девочка отрицательной и между ними возникло притяжение. Какой толщины стальной трос необходимо использовать для удержания мальчика, если расстояние до девочки 10 км, а трос диаметром 1 см выдерживает силу 63000 Н? Масса мальчика 70 кг. Расчет выполнить с точностью 50%. Ответ: 1,6 106 м.
