Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого» Институт электронных информационных систем Кафедра «Проектирование и технология радиоаппаратуры» Техническая электродинамика Дисциплина по направлению 210200 - «Проектирование и технология ЭС» и специальности 210201 – «Проектирование и технология РЭС» Методические указания для практических занятий 2 УДК 621.372.85 Техническая электродинамика: Метод. указ./ Сост. М.И.Бичурин, НовГУ - Новгород, 2005. Изложена программа и методические указания для практических занятий по направлению 210200 и специальности 210201. Табл. 4 , библиогр. 19 назв. Одобрено к изданию на заседании кафедры ПТР Протокол № от 2005 г. Зав.кафедрой М.И.Бичурин Новгородский государственный университет,2005 3 Введение Целью данного методического пособия является практическое освоение теоретических вопросов, излагаемых в первой части курса «Техническая электродинамика». Пособие выполнено в виде ряда задач по основным темам следующих разделов « Основы теории электромагнитного поля» и «Распространение электромагнитных волн в линиях передачи». Перед каждой темой приводится пример решения типовой задачи и дана сводка необходимых формул. Поскольку решение задач является необходимой практической основой при изучении курса «Техническая электродинамика»,то здесь уместно привести высказывание известного ученого Д.Пойи : «Крупное научное открытие дает решение крупной проблемы ,но и в решении любой задачи присутствует крупица открытия …. Если вы решаете её собственными силами, то вы сможете испытать ведущее к открытию напряжение ума и насладиться твердостью победы». Задачи пособия изображены таким образом,чтобы студент в результате их решения: - освоил размерности основных электромагнитных параметров; - проверил основные теоретические положения лекционного курса ; - мог применять конкретные знания при проектировании устройств СВЧ. 4 СОДЕРЖАНИЕ Тема 1 Уравнения Максвелла …………………………………………... 3 Тема 2 Поля на границах раздела сред ………………………………… 6 Тема 3 Электростатика ………………………………………………….. 7 Тема 4 Магнитостатика …………………………………………………. 9 Тема 5 Переменное электромагнитное поле …………………………... 11 Тема 6 Прямоугольные волноводы …………………………………….. 13 Тема 7 Полосковые линии передачи …………………………………… 16 Список литературы ………………………………………………………. 19 5 Тема 1. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА Основные формулы: D div D j, – уравнения Максвелла в t дифференциальной форме B , rot E div B 0 t где H – вектор напряжённости магнитного поля; E – вектор напряжённости магнитного поля; D 0 E – вектор электрической индукции; rot H B 0 H – вектор магнитной индукции; – относительная диэлектрическая проницаемость – относительная магнитная проницаемость 0 8,85 10 12 Ф/м – относительная диэлектрическая проницаемость вакуума 0 4 10 9 Гн/м – относительная магнитная проницаемость вакуума j – вектор плотности тока смещения. E , t H , rot E 0 t rot H 0 где – I и II уравнения Максвелла для вакуума 0 – диэлектрическая проницаемость вакуума ( 8,85 10 12 ф/м); 0 – магнитная проницаемость вакуума ( 1,257 10 6 гн/м); где div j 0 , – уравнение непрерывности тока t – объёмная плотность заряда. 2 Е 0, t 2 – волновые уравнения 2 H 2 H 0 0 0, t 2 где i j k – вектор Набла или оператор Гамильтона. x y z 2 Е 0 0 Элементы векторного анализа: Пусть х1 , х2 , х3 – скалярное поле , А Ах х1 , х2 , х3 Аy х1 , х2 , х3 Аz х1 , х2 , х3 – векторное поле, тогда: j k – градиент скалярного поля x y z A Ay Az – дивергенция векторного поля А div A x x y z grad i 6 i rot A x Ax j y Ay div rot A 0 ; k – ротор (изменение) векторного поля А z Az grad div A 0 ; rot , A grad , A rot A ; grad 1 , 2 1 grad 2 2 grad1 ; rot grad 0 ; div A, B A rot B B rot A ; div , A grad , A div A ; rot rot A grad div A 2 A 2 A . Задачи: Задача 1. Показать, что уравнение непрерывности тока вытекает из I и II уравнений Максвелла. Задача 2. Показать, что из уравнений Максвелла для вакуума вытекают волновые уравнения. Задача 3. Вывести из уравнений Максвелла в дифференциальной форме уравнения Максвелла в декартовой системе координат. Задача 4. Ток в среде распределён с плотностью j0 . Опыт показывает, что с приложением постоянного магнитного поля ( H 0 const ) возникает дополнительная составляющая плотности тока, определяемая: j k E , H 0 , k – постоянная Холла. Описать электропроводность среды, полагая, что магнитное поле приложено по оси z. / kH 0 Ответ: ~ kH0 0 0 . 0 0 Задача 5. Ток в среде распределён с плотностью j0 . Опыт показывает, что с приложением постоянного магнитного поля ( H 0 const ) возникает дополнительная составляющая плотности тока, определяемая: j k E , H 0 , k – постоянная Холла. Описать электропроводность среды, полагая, что магнитное поле приложено по оси х. / Ответ: ~ 0 0 0 kH 0 0 kH 0 . 7 Задача 6. Некоторый ЭМ процесс характеризуется тем, что все составляющие полей зависят лишь от координаты z. Показать, что на основании уравнений Максвелла при этом будут отсутствовать продольные составляющие Ez и Hz. Задача 7. Дано электромагнитное поле с неизменным направлением E . Показать, что вектор напряжённости электрического поля E перпендикулярен вектору магнитной индукции В . Задача 8. Найти электрическую индукцию на расстоянии r от точечного заряда q. Ответ: D q 4 r 2 . Задача 9. Какова напряжённость магнитного поля на расстоянии 1м от постоянного прямолинейного тока в 1А? Ответ: H I 2 r 0,16 А/м. Задача 10. Можно ли создать в пространстве электрическое поле с напряжённостью Е а r , где а - постоянный вектор. Ответ: нельзя. 8 Тема 2. ПОЛЯ НА ГРАНИЦАХ РАЗДЕЛА СРЕД Основные формулы: Нормальные составляющие: Dn1 Dn 2 где – поверхностная плотность свободного заряда Bn1 Bn 2 Dn1 Dn 2 – для диэлектриков ( 0 ) H n1 2 En1 2 H n 2 1 En 2 1 Тангенциальные составляющие: E 1 E 2 H1 H 2 D 1 1 D 2 2 B 1 1 B 2 2 – если на границе раздела нет поверхностного тока ( 0 ) Задачи: Задача 1. Имеется плоская граница раздела двух сред обладающих относительными диэлектрическими проницаемостями 1 и 2 . Силовые линии электрического поля в I среде образуют угол 1 с направлением нормали. Найти ориентацию силовых линий поля во II среде. Ответ: tg 2 21 tg 1 . 1 Задача 2. Электрическое поле с амплитудой Em 100 В/м падает перпендикулярно на границу раздела двух диэлектрических сред. Найти амплитуду электрического поля во II среде. Ответ: En 2 1 E n1 10 В/м. 2 Задача 3. Среды разделены заряженной поверхностью, и в одной из них поле отсутствует. Каково электрическое поле в другой среде? Ответ: E1 n 0 . Задача 4. Среды разделены плоской границей, несущей поверхностный ток. Поле в одной среде отсутствует. Показать, что в другой среде магнитное поле параллельно границе и связано с плотностью поверхностного тока соотношением: n 0 , H 0 . Пояснить этот результат рисунком. 9 Тема 3. ЭЛЕКТРОСТАТИКА Основные формулы: rot E 0 Ed l 0 E grad l div D q dV Dd S q V S D 0 E q – потенциал точечного заряда 40 r 1 1 W E 2 dV dV – энергия электростатического поля 8 2 Задачи: Задача 1. Найти потенциал и напряжённость E электрического поля шара, равномерно заряженного по объёму. Радиус шара R, заряд q. q 3 r2 1 r 2 R 2 2R q 2 r r Ответ: при r R при r R E1 qr R3 E2 qr . r3 Задача 2 . Найти потенциал и напряжённость E электрического поля сферы радиуса R, равномерно заряженного по поверхности. Заряд сферы q. q R q 2 r r 1 r Ответ: при r R при r R E1 0 E2 qr . r3 Задача 3 . Внутри шара радиуса R, равномерно заряженного по объёму с плотностью , имеется незаряженная шарообразная полость, радиус которой R1, а центр отстоит от центра шара на расстояние а ( a R1 R ). Найти электрическое поле E в полости. 4 3 4 3 4 3 Ответ: E r r a a . Задача 4. Найти энергию электростатического поля W для распределения зарядов, указанного во второй задаче. Провести вычисления двумя способами (см. формулу энергии электростатического поля). Ответ: W 3q 2 . 5R 10 Задача 5. Найти энергию электростатического поля W для распределения зарядов, указанного в третьей задаче. Провести вычисления двумя способами (см. формулу энергии электростатического поля). Ответ: W q2 . 2R Задача 6. На одной прямой в вакууме расположены три точечных заряда: q1 1 мкКл, q2 23 мкКл, Определить напряжённость q3 5 мкКл. электрического поля в точке 0. Ответ: Е 55,8 10 3 В/м. Задача 7. Заряженный металлический шар радиусом 5см находится в воздухе. Известно, что электрический пробой в воздухе наступает при напряжённости поля 30 кВ/см. Определить предельно допустимый заряд шара, обеспечивающий отсутствие пробоя. Ответ: qпр.доп 8,3 10 7 Кл. Задача 8. Бесконечно длинный цилиндр радиусом 5см равномерно заряжен с поверхностной плотностью 10-5 Кл/м2. Пространство, окружающее цилиндр, заполнено воздухом. Определить напряжённость поля, создаваемого цилиндром на расстоянии 10м от его оси. Задачу решить с помощью уравнений Максвелла в интегральной форме. Ответ: Е 5,65 кВ/м. Задача 9. Имеются 2 бесконечно длинных коаксиальных цилиндра с радиусами а 2 см и b 5 см, выполненные из металла. Пространство между цилиндрами заполнено воздухом. Потенциал внутреннего цилиндра составляет 5В, потенциал наружного цилиндра равен нулю. Определить напряжённость поля на окружности r 4 см. Ответ: Е 136 В/м. 11 Тема 4. МАГНИТОСТАТИКА Основные формулы: rot H j Hdl 0 l H grad м 0 div B 0 Bd S 0 S B 0 H I H l 0 – напряжённость магнитного поля одиночного проводника с током 2r Ф Bd S – магнитный поток пронизывающий контур S WM 1 0 H 2 dV – магнитная энергия электромагнитного поля 2V Задачи: Задача 1. Симметрично относительно оси прямолинейного тока I в воздухе расположен тор, магнитная проницаемость которого весьма велика ( 0 ). Вычислить магнитную энергию системы, полагая, что она сосредоточена внутри тора, ввиду его большой магнитной проницаемости. Ответ: W М ФI . 2 Задача 2. Внутри тонкой проводящей цилиндрической оболочки радиуса b находится коаксиальный с ней провод радиуса a. По этим проводам текут постоянные токи одинаковой величины I в противоположных направлениях. Определить магнитное поле H, создаваемое такой системой во всех точках пространства. Ir 2a 2 при r a, I Ответ: H r H z 0 , H a при a r b, 2 r 0 при r b. Задача 3. По бесконечному цилиндрическому проводу радиусом a протекает постоянный ток с плотностью j. Определить напряжённость магнитного поля внутри и вне проводника. jr 2 при r a, Ответ: H 2 ja при r a. 2r 12 Задача 4. Решить вторую задачу, предположив, что плотность тока изменяется по закону j j0 r a . j0 r 2 при r a, 3a Ответ: H 2 j0 a при r a. 3r Задача 5. Индукционная катушка представляет собой одиночный виток, расположенный на кольцевом сердечнике. Размеры сердечника: внутренний диаметр d1 2a , внешний диаметр d 2 2b , высота сердечника h. Сердечник выполнен из ферромагнитного материала 1 . Вывести формулу для расчёта индуктивности такой катушки. Ответ: L 0 Ih b ln 2 a 13 Тема 5. ПЕРЕМЕННОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ Основные формулы: . . . rot H i E , – уравнения Максвелла в комплексной форме . . . rot E i H . i – комплексная диэлектрическая проницаемость tg . i – комплексная диэлектрическая проницаемость tg м где . . 2 . 2 H k H 0 – волновые уравнения . . . 2 E k 2 E 0 . . . k – волновое число (постоянная распространения) zc vф 0 – волновое сопротивление среды ( z 0 120 Ом) z0 0 . c – фазовая скорость k с – длина волны f Задачи: Задача 1. Плоская электромагнитная волна с частотой 10-9 Гц распространяется в среде с параметрами 2,4 , tg 0,1 , 1 . Определить фазовую скорость и длину волны. Ответ: vф 1,94 108 м/с, 0,194 м. Задача 2. Определить длину и фазовую скорость электромагнитной волны, распространяющейся в среде без потерь с относительными проницаемостями 10 , если частота волны 10 МГц. Ответ: 3 м, vф 3107 м/с Задача 3. Волновое сопротивление среды равно 1508 Ом, относительная диэлектрическая проницаемость 16 . Определить относительную магнитную проницаемость среды. Ответ: 1 14 Задача 4. В вакууме распространяется плоская электромагнитная волна с частотой 30 МГц. Определить расстояние, на котором фаза волны изменяется на 2700 и 25200. Ответ: Х 1 7,5 м, Х 2 70 м 15 Тема 6. ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ ВОЛНОВОДЫ Основные формулы: 0 кр , – условие распространения конкретной волны в волноводе с где 0 – длина волны генератора (с – скорость света, f - частота) f кр – критическая длина волны, которая определяется размерами и формой поперечного сечения волновода кр Еmn: кр Нmn: кр где 2 2 2 – критическая длина волны для прямоугольного m n волновода для волн типа Emn и Нmn a b 2a – критическая длина волны для круглого волновода mn 2a (а – радиус волновода) mn a, b – размеры поперечного сечения волновода mn – n-й корень уравнения Бесселя J m x 0 (см. табл. 1) mn – n-й корень уравнения Бесселя J m x 0 (см. табл. 2) ф в с 1 1 0 кр 2 – фазовая скорость 0 – длина волны в волноводе ф Таблица 1 – Значения корней функций Бесселя J m x n m 1 2 3 0 2,405 5,520 8,654 1 3,832 7,016 10,173 2 5,136 8,417 11,620 3 6,380 9,761 13,015 4 7,588 11,065 14,373 Таблица 2 – Значения корней функций Бесселя J m x n m 1 2 0 3,832 7,016 1 1,841 5,331 2 3,054 6,705 3 4,200 8,017 4 5,317 9,284 4 11,792 13,324 14,796 16,223 17,616 3 10,174 8,536 9,965 11,403 12,626 16 Задачи: Задача 1. Какие типы волн могут распространяться в круглом волноводе диаметром см, заполненном диэлектриком с относительной магнитной d 3 проницаемостью 3,2 ? Частота колебаний f 10 ГГц. Ответ: Е01, Е02, Е11,Е21, Н01, Н11, Н12, Н21, Н31, Н41. Задача 2. Какие типы волн могут распространяться в заполненном воздухом прямоугольном волноводе сечением 10х4 см при частоте f 5 ГГц. Ответ: Е11,Е21, Н10, Н20, Н30, Н01, Н11, Н21. Задача 3. Какие типы волн могут распространяться в квадратном волноводе со стороной 1 см при частоте f 10 ГГц? Волновод заполнен диэлектриком с относительной проницаемостью 2,6 . Ответ: Е11, Н10, Н20, Н01, Н02, Н11. Задача 4. Какие типы волн могут распространяться в заполненном воздухом круглом волноводе диаметром 3 см при частоте 7,5 ГГц? Ответ: Е01, Е11, Н01, Н11, Н21, Н31. Задача 5. В прямоугольном волноводе сечением 3х4 см распространяется волна типа Н11. Волновод заполнен пенополистеролом с диэлектрической проницаемостью 1,15 . Частота колебаний f 8 ГГц. Определить фазовую скорость и длину волны в волноводе. Ответ: ф 4,084 108 м/с, в 5,105 см. Задача 6. Прямоугольный волновод сечением 23х10 мм заполнен диэлектриком с относительной проницаемостью 2,25 . Частота колебаний 8,4 ГГц. Определить фазовую скорость и длину волны в волноводе. Ответ: ф 2,34 108 м/с, в 2,78 см. Задача 7. При каком диаметре круглого волновода в нём может распространяться только один тип волн при частоте колебаний 10 ГГц? Ответ: 17,58 мм d 22,96 мм . 17 Задача 8. Определить критическую длину волны, критическую частоту и длину волны в прямоугольном волноводе для волны типа Е11. Размеры поперечного сечения 4х3 см. Частота колебаний 10 ГГц. Ответ: кр 4,8 см, f кр 6,25 ГГц, в 3,84 см. Задача 9. Определить критическую частоту и фазовую скорость волны в круглом волноводе диаметром 5 см при частоте 5 ГГц. Ответ: f кр 3,516 ГГц, ф 4,219 108 м/с. Задача 10. Определить радиус круглого волновода, если фазовая скорость волны типа Е01 при частоте поля 10 ГГц равна 5 108 м/с. Ответ: r 14,34 мм. 18 Тема 6. ПОЛОСКОВЫЕ ЛИНИИ ПЕРЕДАЧИ Основные формулы: Волновое сопротивление если b 2 , то d zв k 1 t d 1 b d если b 2 , то d zв k МПЛ 1 1 b 1 d 1 t d СПЛ где k 314 – для микрополосковой линии k 216 – для симметричной полосковой линии z в L1 C1 – волновое сопротивление Погонная емкость: если t d 1, b d 0,6 , то C1 k 1 b d 1 b d C1 k 1 t d если b d 2 , то b 1 C1 k 1 d 1 t d - для МПЛ и k 1,54 10 11 - для СПЛ если b d 2 , то где k 1,06 10 11 Предельная мощность: Рпред 16,88 10 4 Рпред 5,4 10 3 2 Е предtdrB – в МПЛ 2 2 Е пред d 0,1 t d 4 b d – в СПЛ Коэффициент ослабления волны в линии передачи: Д М , где 1 2 1 2 Д а а tg Э 3 108 tg Э – коэффициент учитывающий потери в диэлектрике М RS 120d ln rA k H 2 ln rB rA М RS 120d 7 50 t d b d – коэффициент учитывающий потери в 3,20,1 t d 4 b d металле для СПЛ – коэффициент учитывающий потери в металле для МПЛ 19 Задача 1 Рассчитать волновое сопротивление, погонные емкость и индуктивность, а также предельную передаваемую мощность в микрополосковой линии передачи с воздушным заполнением. Параметры линии: ширина проводника b 5 мм, расстояние между проводником и заземлённой пластиной d 1 мм, t 0,025 мм, толщина проводника предельно допустимое значение напряжённости электрического поля в воздухе Е пред 30 кВт/см. Ответ: z в 52,333 Ом, С1 63,6 пФ/м, L1 0,173 10 6 Гн/м, Рпред 5,53 кВт. Задача 2 Рассчитать коэффициент ослабления в симметричной полосковой линии передачи с твёрдым диэлектриком. Параметры линии: ширина проводника b 1,2 мм, расстояние между проводником и заземлённой пластиной d 1 мм, толщина t 0,05 мм. Проводники выполнены из меди. Параметры диэлектрика: 1 , 2,55 , tg Э 8 10 4 . Рабочая частота 6 10 9 Гц. Ответ: 0,1777 м-1. Задача 3 Рассчитать волновое сопротивление, погонные индуктивность и емкость микрополосковой линии передачи, заполненной диэлектриком. Параметры линии: ширина токонесущей полоски b 7 мм, расстояние между токонесущей полоской и заземлённой пластиной d 1 мм, толщина токонесущей полоски t 0,05 мм. Диэлектрик – фторопласт. Потерями в линии пренебречь. Ответ: z в 26 Ом, L1 0,126 мкГн/м, С1 186,3 пФ/м. Задача 4 Определить погонные параметры симметричной полосковой линии передачи с твёрдым диэлектриком, если известно, что её волновое сопротивление 50 Ом, а фазовая скорость распространения волны 2 108 м/с. Ответ: L1 0,25 мкГн/м, С1 100 пФ/м. Задача 5 Определить волновое сопротивление микрополосковой линии передачи, если известно, что в качестве диэлектрика используется материал с относительной диэлектрической проницаемостью 2,55 , а погонная емкость линии 60 пФ/м Ответ: z в 88,7 Ом Задача 6 Построить зависимость волнового сопротивления симметричной полосковой линии с воздушным заполнением от отношения ширины центрального проводника b к расстоянию между проводником и заземлённой пластиной d для трёх значений t/d (0,01; 0,1; 0,2), где t – толщина проводника. Отношение b/d изменять от 1 до 6. 20 Задача 7 Определить волновое сопротивление микрополосковой линии передачи с твёрдым диэлектриком, если известно, что длина волны в линии 10 см, а погонная емкость 100 пФ/м. Рабочая частота 2 ГГц. Ответ: z в 50 Ом 21 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. М.И. Бичурин, В.М. Петров Техническая электродинамика: конспект лекций. – Новгород: НовГУ им. Ярослава Мудрого, 1999. – 122с. 2. С.И. Баскаков, В.Г. Карташев, Г.Д. Лобов Сборник задач ко курсу «Электродинамика и распространение радиоволн». – М.: Высшая школа, 1981. – 208с. 3. В.В. Никольский Теория электромагнитного поля. – М.: Высшая школа, 1961. – 370с. 4. В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин Сборник задач по электродинамике. – М.: Наука, 1970, 503с.