Колебания и волны

Колебания и волны
Тема «Колебания и волны» – сложная тема, но очень важная и
интересная.
Необходимо
повторить
механические
колебания,
электромагнитные колебания. Не стесняйтесь применять ваши знания из
математики. В этой области физики задействован мощный математический
аппарат.
Теоретическая часть. Механические колебания и волны.
Колебательное движение. Свободные колебания. Амплитуда, период,
частота. Математический маятник. Формула периода колебаний
математического маятника. Колебания груза на пружине.
Превращение энергии при колебательном движении. Вынужденные
колебания. Резонанс. Распространение колебаний в упругих средах.
Поперечные и продольные волны. Длина волны. Связь длины волны со
скоростью ее распространения и периодом (частотой).
Звуковые волны. Скорость звука. Громкость звука, высота тона. Эхо.
Электромагнитные колебания и волны
Свободные электромагнитные колебания в контуре. Превращение
энергии в колебательном контуре. Собственная частота колебаний в контуре.
Вынужденные электрические колебания. Переменный электрический
ток. Генератор переменного тока.
Активное сопротивление. Действующее значение силы тока и
напряжения.
Трансформатор. Передача электроэнергии.
Электромагнитные волны. Скорость их распространения. Излучение и
прием электромагнитных волн.
Принципы радиосвязи. Изобретение радио Поповым. Свойства
электромагнитных волн.
В мире интересного
Почему, когда мы прикладываем к уху раковину, нам слышится
“шум моря”?
Оъяснение.
Окружающие звуки, в том числе и легкое дуновение ветра вблизи устья
раковины, возбуждают в заключенном в ней объеме воздуха резонансные
колебания. Возбуждение и затухание этих колебаний создает у слушающего
иллюзию звуков океанского прибоя.
Голос разбивает бокалы. Оперный певец способен разбить большой
винный бокал, спев очень громко определенную высокую ноту. Почему
разбивается стекло и почему для этого должна быть спета определенная
нота? Почему эта нота должна звучать несколько секунд, прежде чем бокал
разобьется?
Оъяснение.
Бокал имеет определенные резонансные частоты. Если певец на
протяжении нескольких секунд будет петь на одной из этих частот, то
колебания бокала могут усилиться до такой степени, что стекло треснет.
Производная в физике
Кинематика – раздел механики, в котором изучается движение тел
без учета действующих на них сил.
В кинематике если изменение координаты задано уравнением вида
х=х(t),
то производная первого порядка от координаты по времени есть скорость, то
есть
 (t )  x (t ),
а производная второго порядка от координаты по времени, или производная
первого порядка от скорости по времени, есть ускорение, то есть
a(t )  x(t )   (t ) .
Динамика - раздел механики, в котором изучается движение тел с
учетом действующих на них сил.
В динамике есть такое понятие как импульс (импульс тела – это
векторная физическая величина, равная произведению массы тела на его
скорость). При определении импульса по формуле
p  m 
он определяется по скорости тела как производной от координаты по
времени.
Механические колебания. Энергетический подход (метод
производной) позволяет вывести дифференциальные уравнения второго
порядка, описывающие процессы в математическом и пружинном маятниках,
затем получить формулы для периодов колебаний, а также рассчитать период
колебаний сложных колебательных систем.
Термодинамика. Использование производной позволяет решать
задачи на нахождение экстремальных значений параметров в циклах
идеального газа.
Электродинамика. Электромагнитная индукция: производная от
магнитного потока по времени, взятая с противоположным знаком (по
правилу Ленца), позволяет определить мгновенное значение ЭДС,
индуцируемой в замкнутом проводящем контуре:
ЭДС i  Ф(t ) .
Электродинамика. Постоянный ток: производная позволяет
определить величину внешнего сопротивления в цепи постоянного тока, при
которой полезная мощность принимает максимальное значение.
Электромагнитные колебания. Энергетический подход (метод
производной) позволяет вывести дифференциальное уравнение второго
порядка, описывающее процессы в идеальном колебательном контуре, а
затем получить формулу Томсона.
Цепи переменного тока. Производная позволяет установить
разность фаз между колебаниями электрического заряда на обкладках
конденсатора и силы тока в цепи с емкостным сопротивлением.
Геометрическая оптика. Используя принцип Ферма, можно
вывести закон преломления света.
Примеры решения задач
Задача 1. Математический маятник длиной 0,5 м, подвешенный в кабине
самолета, совершает гармонические колебания. Определить циклическую
частоту колебаний маятника при движении самолета в горизонтальном
направлении с постоянным ускорением 7,5 м / с 2 .
Решение
Дано: l = 0,5 м, a = 7,5 м / с 2 .
Найти:  .
Решение. Математический маятник представляет собой тело
небольших размеров, подвешенное к потолку кабины самолета на длинной
невесомой нити. Рассмотрим движение этого тела в системе отсчета,
связанной с Землей. Для этого используем второй закон Ньютона:
ma  mg  T ,
где , a – ускорение тела, Т – сила натяжения нити.
Схематическое изображение сил, действующих в данной системе,
представляет собой треугольник, в котором ma и mg являются катетами, а
сила T – гипотенузой. Из анализа этого треугольника сил следует, что нить с
телом отклоняется от вертикали на угол α, и модуль силы натяжения
определяется соотношением
T  m g 2  a2 .
Наблюдатель в самолете может считать, что в кабине устанавливается
некоторое эффективное поле тяготения, направленное под углом α к
вертикали, и для которого ускорение свободного падения равно
gэф  g 2  a 2 .
Период колебаний математического маятника в этом поле определяется
выражением
T  2
l
,
g эф
а циклическая частота колебаний  

g эф
l

2
оказывается равной
T
g 2  a2
.
l
Подставляя заданные числовые значения, получаем
  5 рад / с .
О т в е т:   5 рад / с .
Задача 2. В колебательном контуре, состоящем из двух параллельно
соединенных конденсаторов с емкостями С1 и С2 и катушки с
индуктивностью L, происходят свободные колебания, при которых
амплитуда колебаний заряда на конденсаторе С2 равна q0 . В конденсаторе C1
расположена диэлектрическая пластина с диэлектрической проницаемостью
 , которая полностью заполняет его пространство. Когда заряд на
конденсаторе C1 достигает максимального значения, пластину быстро (за
время, малое по сравнению с периодом колебаний) удаляют из конденсатора.
Определите новый период колебаний. Найдите амплитуду новых колебаний
силы тока в катушке.
Решение
Дано: С1 , С2 , L, q0 ,  .
Найти:.Т, I 0 .
Решение. Новый период колебаний
T  2
L(C1   C2 )

.
Максимальный заряд на конденсаторе С1 равен
q1,max  q0
C1
.
C2
Суммарный заряд в этот момент на конденсаторах
Qmax  q0  q1,max  q0
C1  C2
.
C2
За время удаления диэлектрической пластины этот заряд сохранится,
но изменится общая емкость Собщ. системы конденсаторов, а, следовательно, и
энергия, запасенная в конденсаторах. Новая энергия конденсаторов:
2
2
Qmax
 Qmax
 (C1  C2 ) 2 q02
W


.
2Cобщ. 2(C1   C2 ) 2C22 (C1   C2 )
Амплитуда новых колебаний силы тока в катушке находится из закона
сохранения энергии:
LI 02  (C1  C2 ) 2 q02

,
2
2C22 (C1   C2 )
откуда
I0 
О т в е т: T  2
q0 (C1  C2 )

.
C2
L(C1   C2 )
L(C1   C2 )

, I0 
q0 (C1  C2 )

.
C2
L(C1   C2 )
Задача 3. На горизонтальной плоскости лежат два бруска массами m и 2m,
соединенные пружиной жесткости k. Найдите период Т малых продольных
колебаний системы. Трением пренебречь.
Решение
Дано: m, 2m, k.
Найти:.Т.
Решение. Из уравнений движения брусков:
ma1  Fупр ,
2ma2   Fупр ,
где Fупр – сила упругости пружины, следует, что их ускорения в каждый
момент времени связаны соотношением
a2  
a1
.
2
Отсюда вытекает, что в инерциальной системе отсчета, связанной с центром
масс брусков, последние совершают колебания в противофазе, причем
относительные смещения брусков относительно их положений равновесия
связаны тем же соотношением, что и ускорения:
x2  
x1
.
2
Тогда
3
Fупр   k x1  3k x2 .
2
Следовательно, период малых продольных колебаний равен:
T  2
О т в е т: T  2
2m
.
3k
2m
.
3k
Задача 4. Сравните ход часов с тяжелым маятником: на высокой горе и у ее
подножия; на полюсе и на экваторе; на Луне и на Земле; на Земле и в
искусственном спутнике Земли.
Решение
Решение. T  2
l
. Часы отстанут из-за большего периода колебаний
g
маятника там, где меньше g (на вершине горы, на экваторе и на Луне). При
невесомости g = 0, T = . Часы ходить не будут.
Задача 5. Как зависит качка корабля от периода колебаний волн?
Решение
Решение. Качка будет наибольшей при совпадении периода колебаний
волн с периодом собственных колебаний корабля.
Задача 6. На середине пруда плавает мяч. Чтобы пригнать его к берегу,
мальчик создает палкой волны. Достигнет ли он таким образом цели?
Решение
Решение. Не достигнет. Материальная точка в поперечной волне не
перемещается по направлению ее распространения.
Минута отдыха
Попугай Эренфеста
Известный физик Пауль Эренфест обучил своего попугая произносить
фразу: «Но, господа, ведь это же не физика!» Этого попугая он предлагал в
качестве председателя научных дискуссий.
В задачах тех ищи удачи,
Где получить рискуешь сдачи!
Пит Хейн,
датский математик и поэт, писавший на английском.
Предостережение
Века стоит земная твердь.
На ней всего важнее разум –
Мозгов ты можешь не иметь,
А физику учить обязан.
Она Царица всех Наук,
Но (это строго между нами)
Чтоб вам не оторвало рук –
Не трожьте физику руками!
Из школьного фольклора.