31.11.2014

Вариант № 0.
Часть I. На вопросы первой части необходимо ответить либо «Да» либо
«Нет». Правильный ответ оценивается в 1 балл, иначе – 0 баллов.
I. Пусть A и B – произвольные случайные события. Верно ли утверждение, что
следующие события всегда несовместны?
1. AB и B .
2. AB и A + B .
II. В урне 7 белых шаров, 1 чёрный и 2 красных. Из урны наудачу выбирается один шар.
Рассмотрим случайные события A, B, C, состоящие в том, что вынут: A – белый; B –
чёрный и C – красный шар. Верно утверждение.
3. P( A)  P( B)  P(C )
4. P( A  B)  P( A)  P( B)
III. Справедливы утверждения для вероятностей независимых событий A и B и Ω –
достоверного события:
5. P(Ω)  1
6. P(A+B)  P(A)+P(B)
IV. Пусть A и B – произвольные случайные события. Верно ли утверждение, что
следующие события всегда несовместны?
7. A + B и A .
8. A \ B и B .
V График функции распределения F(x) случайной величины может иметь вид:
1.
2.
3.
VI. Непрерывная случайная величина X распределена равномерно на отрезке [9;12]. Тогда
9. P(X>11)=1/3
10. P(8<X<9)=1/3
VII. Пусть f1(x) и f2(x) – плотности распределения вероятностей нормально
распределённых величин X1 и X2 с дисперсиями σ12 и σ22 и математическими ожиданиями
m1 и m2 соответственно.
Верно утверждение:
11. σ1 < σ2
12. P(X1 < m1) > P(X2 < m2)
Часть II. На вопросы второй части необходимо указать число. Правильный
ответ оценивается максимум в 5 баллов. Решение обязательно.
1. В урне 9 шаров: 4 белых и 5 чёрных. Наудачу взяли 2 шара. Найти вероятность того, что
оба – белые.
2. В первой урне 1 белый и 1 чёрный шар, во второй 3 чёрных шара, в третьей 3 белых и 4
чёрных шара. Наугад выбрана урна, из неё случайным образом вынуто два шара. Найти
вероятность того, что шары разных цветов.
3. Два контролёра ОТК проверяют изделия. Первому достаётся их четвёртая часть,
второму – все остальные. Вероятность допустить ошибку для первого контролёра – 0.1,
для второго – 0.2. Найти вероятность ошибки ОТК.
4. Два контролёра проверяют изделия. Первый проверяет 40%, а второй все оставшиеся.
Вероятность обнаружить брак у первого контролёра 0.8, у второго – 0.9. Деталь оказалась
бракованная. Найти вероятность того, что её забраковал I контролёр.
5. По мишени произведено четыре выстрела. Найти вероятность того, что произойдёт
хотя бы два промаха, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0.8.
6. Студенту надо сдать два экзамена. Первый экзамен он может сдать с вероятностью 0.4,
второй – с вероятностью 0.5. Пусть X – число экзаменов, которое сдаст студент. Найти
математическое ожидание M(X).
7. Cлучайная величина X распределена равномерно на отрезке [3;10], тогда P(7<X<12)
равна
3. Пусть f(x) – плотность функции распределения случайной величины X:
1
2
 , x  [1, e ],
f ( x)   2 x
0,
x  [1, e 2 ].

и F(x) – функция распределения случайной величины X. Найти F(e).
8. Пусть задан закон распределения случайной величины X
MX
P
1
0.1
2
a
4
0.3
8
0.1
10
b
с известным математическим ожиданием MX = 6.1. Найти a , b.
0, x  1
1

9. Функция распределения случайной величины X имеет вид: F ( x)   ( x  1), x  [1;8] .
7
1, x  8
Найти М(X+2).
10. Пусть X – нормально распределённая случайная величина с математическим
ожиданием M(X)= 5 и дисперсией D(X)=0.09. Пусть Ф(х) – функция Лапласа. Тогда
вероятность события, состоящего в том, что выполняется неравенство |X – M(X)|<0.54,
равна
А. 2Ф(1.8)
Б.2Ф(0.54)
В. Ф(5.54)– Ф(4.46)
Г. 2Ф(5)