Лекция 5 Файл

Лекция № 5
СВОБОДНЫЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Выписка из рабочей программы дисциплины «Колебания и волны» – 010900
2
Электромагнит 2.1 Свободные
Колебательный контур. Процессы в
ные колебания электромагнитные
идеализированном колебательном контуре.
колебания.
Электромагнитные
гармонические
[6.1.2], гл.13, §88-89
колебания. Дифференциальное уравнение
свободных
незатухающих
электромагнитных колебаний и его
решение. Собственная частота свободных
электромагнитных колебаний. Формула
Томсона. Закон сохранения и превращения
энергии
в
идеализированном
колебательном контуре.
1. Свободные электромагнитные колебания
Электромагнитные колебания представляют собой взаимосвязанные
периодические изменения зарядов, токов, характеристик электрического и
магнитного полей, сопровождающиеся взаимными превращениями этих
полей.
Для возбуждения и поддержания электромагнитных колебаний
используется колебательный контур – цепь, состоящая из конденсатора
ёмкостью С и катушки индуктивностью L .
Если сопротивление контура R равно нулю, колебательный контур
называют идеальным. В идеальном колебательном контуре отсутствуют
потери энергии, поэтому собственные колебания, возникающие в нем,
являются незатухающими.
Рассмотрим
свободных
–
L
C
q0 +
К
процесс
незатухающих
возникновения
колебаний
в
идеальном колебательном контуре. Чтобы
возбудить
колебания,
необходимо
сообщить конденсатору С некоторый заряд,
Рис. 1
а потом замкнуть ключ К (рис.1).
Пусть в начальный момент времени
1
( t  0 ) конденсатору сообщили некоторый заряд q 0 . При этом напряжение

между его обкладками U 0 , напряженность электрического поля Е 0 и
энергия электрического поля Wэл – максимальны, а ток в цепи отсутствует
(рис. 2,а). Затем начинается разряд конденсатора. Возникающий при этом
разрядный ток, проходя через катушку L , создает в ней изменяющееся
магнитное поле, которое продолжает расти до тех пор, пока ток не
достигает
максимального
значения
I0 .
При
этом
вся
энергия
электрического поля конденсатора переходит в энергию магнитного поля

катушки WМ , а индукция магнитного поля достигает максимума В0 (рис.
2,б). Несмотря на то, что конденсатор полностью разрядился, ток в
колебательном
контуре
не
прекращается
и
поддерживается
э.д.с.
самоиндукции, что в итоге приведет к перезарядке конденсатора. При этом
заряд конденсатора, напряжение между обкладками, напряженность и
энергия электрического поля вновь достигают максимальных значений,
однако полярность обкладок конденсатора и направление напряженности
электрического поля между ними противоположны тем, какие были в
начальный момент времени (рис. 2, в). По окончании перезарядки энергия
магнитного поля катушки перейдет в энергию электрического поля
конденсатора. Начиная с этого момента, ток в контуре меняет
направление, и процесс воспроизводится в обратном направлении (рис. 2,
г). Система возвращается в исходное состояние (рис. 2, д), и начинается
следующий период колебаний.
В контуре возникают электромагнитные колебания, при которых
происходит превращение энергии электрического поля в энергию
магнитного поля и наоборот. Рисунок 2 представляет собой график
зависимости заряда конденсатора q от времени t , q  q(t ) , на котором
значениям заряда в моменты времени t  0;
2
T T 3T
; ;
; T сопоставлены
4 2 4
соответствующие состояния колебательного
контура (а; б; в; г; д).
а)
б)
в)
–
U0
Е0
q0 +
q
q0
+

В0  U 0
 q0 –
д)
г)

 В0

 Е0
–
U0
Е0
q0 +
I0
I0
0
Т
2
Т
4
3Т
4
Т
t
 q0
Рис. 2
Так как сопротивление контура равно нулю, т. е. нет потерь энергии, такой
процесс должен продолжаться бесконечно, а возникающие колебания
называются собственными или свободными.
Период собственных незатухающих колебаний в колебательном
контуре определяется формулой Томсона
Т  2 LC ,
(5)
а циклическая частота
0 
2

T
1
LC
.
(6)
Колебания заряда происходят по гармоническому закону
q  q0 cos(0 t   0 ) ,
где q 0 – максимальный заряд на обкладках конденсатора;
 0 – циклическая частота собственных колебаний;
 0 – начальная фаза.
3
(7)
На рисунках 3 и 4 представлены соответственно идеальный
колебательный контур и график зависимости q(t ) при 0  0 .
q
q0
L
C
t
Рис. 3
Рис. 4
Очевидно, что изменение напряжения между обкладками описывается
таким же законом
U
где U 0 
q q0
 cos(0 t   0 )  U 0 cos(0 t   0 ),
C C
(8)
q0
– максимальное напряжение между обкладками конденсатора.
C
Так как электрический ток характеризует скорость изменения заряда
на обкладках конденсатора,
I
dq

 q 0 0 sin(  0 t   0 )  I 0 cos( 0 t   0  ),
dt
2
(9)
где I 0  q00 – амплитуда силы тока.
Из выражений (7), (8), (9) следует, что колебания заряда (напряжения)
и тока в контуре сдвинуты по фазе на

, т. е. ток достигает максимального
2
значения в те моменты времени, когда заряд и напряжение на обкладках
конденсатора равны нулю, и наоборот. Этот же вывод следует из анализа
рис. 2 (а, б, в, г, д).
Идеальный колебательный контур (рис. 3), в котором происходят
свободные незатухающие электромагнитные колебания, представляет
собой электрическую цепь, состоящую из конденсатора емкостью С и
катушки индуктивности L . Запишем для этого замкнутого контура второе
правило Кирхгофа: сумма падений напряжений равна сумме э.д.с.,
4
действующих в контуре.
В контуре действует только одна э.д.с. – э.д.с. самоиндукции,
следовательно
UC   S ,
где U C 
q
– падение напряжения на конденсаторе;
C
q – мгновенное значение заряда на обкладках конденсатора;
 s  L
dI
.
dt
Так как
I
dq
,
dt
 s  L
d 2q
, то дифференциальное уравнение
dt 2
свободных незатухающих электромагнитных колебаний может быть
записано в виде
q
d 2q
 L 2 ,
C
dt
q
d 2q
 L 2  0,
C
dt
d 2q
1

q  0.
2
dt
LC
Введем обозначение:
1
  02 ,
LC
где  0 – собственная циклическая частота контура.
Уравнение колебаний принимает вид
d 2q
  02 q  0
2
dt
и называется уравнением свободных незатухающих электромагнитных
колебаний в дифференциальной форме.
Из математики известно, что решение этого уравнения имеет вид
5
q  q0 cos(0 t   0 ) ,
т. е. соответствует формуле (7) и рис. 4 (при  0  0 ).
Таким
образом,
свободные
незатухающие
электромагнитные
колебания являются гармоническими, а их период определяется формулой
Томсона:
Т
2
0
 2 LC .
2. Закон сохранения и превращения энергии в идеализированном
колебательном контуре
Исключительно важным является вопрос об энергии гармонических
колебаний. С энергетической точки зрения гармоническое колебание
представляет собой непрерывный процесс перехода кинетической энергии
движущихся частей осциллятора в потенциальную энергию упругого
элемента. Полная энергия гармонического осциллятора есть величина
постоянная, так как для него потерь нет. Она равна либо максимальной
кинетической энергии ( в момент прохождения положения равновесия) ,
либо максимальной потенциальной энергии (при амплитудном смешении).
В задачах используются именно эти энергии, так как с их помощью можно
оценить величину амплитуды и частоты собственных колебаний
осциллятора.
Расчет энергии W гармонического осциллятора осуществляют
стандартным образом. Для механических осцилляторов:
2
mv max
mA 2  2

;
2
2
kA 2

2
кин
W  W max

пот
W  W max
Для колебательного контура:
2
L I max
;
2
q2

2C
кин
W  W max

пот
W  W max
6