Задачи на законы сохранения в механике

Задачи на законы сохранения в механике
Задача 1. Брусок массой М=100г подвешен на невесомой пружине жесткостью k=1H/м. Снизу в
него попадает пластилиновый шарик массой m=1г, летящий вертикально вверх со скоростью
0  2,5 м / с, и прилипает к бруску. Возникают гармонические колебания. Определите амплитуду
этих гармонических колебаний.
Дано: М=100г, m=1г, k=1H/м, 0  2,5 м / c.
Найти: А.
Решение. Выберем начало отсчета в положении равновесия бруска до прилипания шарика, ось Х
направим вверх. В этом состоянии пружина растянута на величину x0  Mq / k. По закону
m0
сохранения импульса при прилипании шарика m0  (M  m)u, откуда u 
. В точках
M m
максимального смещения от нового положения равновесия скорость бруска и шарика равна нулю.
Из закона сохранения энергии следует:
1
2
x1,2  kx0  (M  m)q   kx0  (M  m)q   k (M  m)u 2  .

k 
1
Поскольку амплитуда колебаний равна A  ( x1  x2 ), ответ имеет вид:
2
2
mg
k  0 
A
1
   1,3см.
k
M m q 
2
mg
k  0 
1
Ответ: A 
   1,3см.
k
M m q 
Задача 2. Автомобиль массой m со всеми ведущими колесами, стоящий на прямолинейном
горизонтальном участке дороги, начинает движение. При этом двигатель развивает постоянную
мощность N. Коэффициент трения колес о дорогу равен . Пренебрегая силой сопротивления
движению автомобиля, найти зависимость его скорости  от времени.
Дано: m, N, .
Найти: (t).
Решение. Систему отсчета неподвижную относительно дороги будем считать инерциальной.
Поскольку автомобиль движется по горизонтальному участку дороги и все его колеса являются
ведущими, то вне зависимости от положения центра тяжести действующая на автомобиль
тангенциальная составляющая силы реакции дороги, называемая обычно силой сухого трения,
согласно закону Кулона – Амонтона, должна удовлетворять соотношению FT mg, где g–
ускорение свободного падения.
По условию задачи, действием сил сопротивления движению автомобиля следует пренебречь.
Поскольку автомобиль движется прямолинейно, то, согласно второму закону Ньютона, величина
ускорения автомобиля
a(t)= FT(t)/m.
Cчитая, что мощность двигателя полностью передается на колеса, можно утверждать, что после
включения двигателя колеса некоторое время  будут скользить по дороге, а потому величина
силы тяги будет равна
F(t  )=mg,
т.е. в течение промежутка времени
0t
величина ускорения автомобиля будет равна g, а величина его скорости будет изменяться по
закону
(t) = gt.
Начиная с момента времени
t =  = N/m2g2,
Скольжение колес прекратится, а потому величина силы тяги будет удовлетворять условию
FT(t  )  mg.
Cледовательно, в соответствии с условием задачи и сделанным предположением приращение
кинетической энергии автомобиля должно быть равно работе двигателя, т. е. при t   должно
выполняться соотношение
(t– )N = 0,5m2(t)–m2().
Подставляя в это выражение ранее найденные значения  и (), получаем:
υ(t) =gt при 0  t   =N/m2g2
N
N (2t 
)
m 2 g 2
υ(t) =
при   t.
m
N
N (2t 
)
m 2 g 2
2 2
Ответ: υ(t) =gt при 0  t   =N/m g
υ(t) =
при   t.
m
Задача 3.Пуля массой m в момент удара о стенку под углом =90 имела скорость 0 .
Углубившись в стенку на какое-то расстояние, она остановилась через время t. Определить:
среднюю силу сопротивления стенки и расстояние, на которое пуля проникла, скорость, с которой
пуля вылетела бы из стенки, если бы стенка имела толщину d.
Дано: m, , t, d, 0
Найти: <Fc>, l, k
Решение. Среднюю силу сопротивления найдем, используя второй закон Ньютона. По торому
закону Ньютона импульс силы сопротивления стенки равен изменению импульса пули:
 Fc  t  m(k  0 ) ,
k  0 , так как пуля остановилась. Следовательно,
 Fc  t  m0 ,
 Fc  
m0
.
t
Расстояние, на которое углубилась пуля, найдем, учитывая, что кинетическая энергия пули ушла
на работу по преодолению сопротивления стенки:
m 2
 Fcl cos  ,
2
cos   1,
m02
l
.
2 Fc
Скорость, с которой пуля вылетела из стенки при толщине d, найдем из условия, что начальная
скорость пули та же, стена из того же материала, следовательно, силу сопротивления можно взять
из вышеприведенного решения.
Если пуля вылетает из стенки с некоторой скоростью  k , то на работу против сил
сопротивления Fc пошла энергия, равная разности кинетической энергии пули в начале и в конце
ее движения в толще стенки:
mk2 m02
 Fc d 

.
2
2
Отсюда найдем:
k2  02 
2 Fc d
,
m
k  02 
2 Fc d
.
m
Ответ:
m0
m02
2F d
 Fc  
,l 
, к  02  c .
t
2 Fc
m
Задача 4. Автомобиль массой 1 т пытается въехать без разгона на гору с углом наклона α=30 0.
Коэффициент трения между шинами автомобиля и поверхностью горки μ=0,1. С каким
ускорением будет двигаться автомобиль? Считать все колеса ведущими.
Дано: m=1т, α=300, μ=0,1.
Найти: а.
Решение. Максимальная сила трения покоя (колес относительно поверхности горки):
Fтр.п.max = μN = μmqcosα ≈ 860 H.
Составляющая силы тяжести, препятствующая движению автомобиля:
Fтяж.х = mqsinα ≈ 5000 H.
Видим, что Fтяж.х > Fтр.п.max, т. е. при любой силе тяги мотора машина не сможет въехать в гору,
колёса будут пробуксовывать. Таким образом, ускорение автомобиля будет а = 0.
Ответ: 0.
Задача 5. Тонкий стержень массой m и длиной l вращается с угловой скоростью 10 с-1 в
горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси, проходящей через середину стержня.
Продолжая вращаться в той же плоскости, стержень перемещается так, что ось вращения теперь
проходит через конец стержня. Найти угловую скорость во втором случае.
Дано: ω1 = 10 с-1.
Найти: ω2.
Решение. Для решения задачи используем закон сохранения момента импульса:
n
J
i 1
i
i
 const .
(1)
Для изолированной системы тел векторная сумма моментов импульсов остается постоянной.
В данной задаче за счет того, что распределение массы стержня относительно оси вращения
изменяется, момент инерции стержня также изменяется. В соответствии с (1) момент импульса не
изменяется:
J1ω1 = J2ω2.
(2)
Известно, что момент инерции стержня J1 относительно оси, проходящей через середину стержня
(центр тяжести) и перпендикулярной ему (1-й случай), равен
1
(3)
ml 2 ,
12
где m – масса стержня, l – длина стержня.
Момент инерции J2 относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его конец
(2–й случай), найдем по теореме Штейнера:
J1 =
Задача 6. Тонкий стержень массой m и длиной l вращается с угловой скоростью 10 с-1 в
горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси, проходящей через середину стержня.
Продолжая вращаться в той же плоскости, стержень перемещается так, что ось вращения теперь
проходит через конец стержня. Найти угловую скорость во втором случае.
Дано: ω1 = 10 с-1.
Найти: ω2.
Решение. Для решения задачи используем закон сохранения момента импульса:
n
J
i 1
i
i
 const .
(1)
Для изолированной системы тел векторная сумма моментов импульсов остается постоянной.
В данной задаче за счет того, что распределение массы стержня относительно оси вращения
изменяется, момент инерции стержня также изменяется. В соответствии с (1) момент импульса не
изменяется:
J1ω1 = J2ω2.
(2)
Известно, что момент инерции стержня J1 относительно оси, проходящей через середину стержня
(центр тяжести) и перпендикулярной ему (1-й случай), равен
1
J1= ml 2 ,
(3)
12
где m – масса стержня, l – длина стержня.
Момент инерции J2 относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его конец
(2–й случай), найдем по теореме Штейнера:
J=J0+ ma2,
где J – момент инерции тела относительно произвольной оси вращения, J0 – момент инерции
относительно параллельной оси, проходящей через центр тяжести, m – масса, а – расстояние от
центра тяжести до выбранной оси вращения.
J 2  J  ma 2 
1
l
1
ml 2  m( ) 2  ml 2
12
2
3
(4)
Подставим выражения (3) и (4) в равенство (2):
1
1
ml 21  ml 2 2 ,
12
3
откуда
1
4
 2  1 ;  2  1 10  2,5(c 1 ) .
4
Ответ: 2,5 с .
-1
Задача 7. Платформа в виде сплошного диска радиусом 1,5 м и массой 180 кг вращается по
инерции около вертикальной оси с частотой n=10 мин-1. В центре платформы стоит человек
массой 60 кг. Какую линейную скорость относительно пола будет иметь человек, если он перейдет
на край платформы?
Дано: m=180 кг; R=1,5м; n=10мин-1, m2=60 кг.
Найти: υ.
Решение. Так как платформа вращается по инерции, то момент внешних сил, относительно оси
вращения Z совпадающий с геометрической осью платформы, равен нулю. При этом условии
момент импульса Lz системы “платформа – человек” остается постоянным:
Lz=Jzω=const,
(1)
где Jz – момент инерции платформы с человеком относительно оси Z; ω – угловая скорость
платформы.
Момент инерции системы равен сумме моментов инерции тел, входящих в состав системы,
поэтому Jz=J1+J2 , где J1 – момент инерции платформы, J2 – момент инерции человека.
С учетом этого равенство (1) имеет вид:
(J1+J2 )ω = const,
или
(J1+J2 )ω = ( J1  J 2 )  ,
(2)
где нештрихованные значения величин относятся к начальному состоянию системы,
штрихованные – к конечному состоянию.
Момент инерции платформы (сплошного диска) относительно оси Z при переходе человека
не изменяется:
J1  J1 
1
m1 R 2 .
2
Момент инерции человека относительно той же оси будет изменяться. Если рассматривать
человека как материальную точку, то его момент инерции J2 в начальном положении (в центре
платформы) можно считать равным нулю. В конечном положении (на краю платформы) момент
инерции человека
J 2  m2 R 2 .
Подставим в формулу (2) найденные выражения моментов инерции, а также выразим начальную
угловую скорость ω вращения платформы с человеком через частоту вращения n (ω=2πn) и
конечную угловую скорость
(   =υ/R):
 –
через линейную скорость υ человека относительно пола
1
1

( m1 R 2  0)2 n  ( m1 R 2  m2 R 2 ) .
2
2
R
После сокращения на R2 и простых преобразований находим скорость:
  2 nR
m1
.
m1  2m2
Учитывая, что n = 10 мин-1 =
1
6
  2  3,14  1,5 
Ответ: 0,942 м/с.
1
с-1, получим:
6
180
 0,942 (м/с).
180  2  60