Решение задач по теме «Переменный ток»

Решение задач по теме «Переменный ток»
1. В сеть переменного тока с действующим напряжением 220 В включено
активное сопротивление 55 Ом. Определить действующее и амплитудное
значение силы тока.
Решение:
U*
220
*
I 
; I* 
 4 A.
Действующее
значение
силы
тока
R
55
Амплитудное значение силы тока связано с действующим соотношением
I 0  I * 2; I 0  4  2  5,7 A .
2.В подводящих ветвях текут: а) постоянный; б)
переменный ток (см.рис.). Какой ток будет в ветвях
в случае а? В случае б)?
Решение:
В случае постоянного тока ток будет течь в
ветви, где есть катушка индуктивности и резистор. Тока в ветви
конденсатора не будет.
В случае б) ток будет во всех ветвях.
3.Найти период переменного тока, для которого конденсатор ёмкостью 2
мкФ представляет сопротивление 20 Ом.
Решение:
Так как емкостное сопротивление равно
1
,
XC 
C
а период Т связан с частотой  соотношением
2
,

T
то
T
XC 
.
C 2
Выразим отсюда период Т
T  2CX C ;
T  2,5  10 2 c.
4.Определить действующие значения токов для
зависимостей i(t ) , представленных на графиках.
Решение:
1.Определим количество теплоты, выделяющееся
на сопротивлении R за период колебаний
T
T
Q  I 02 R  I 02 R  I 02 R .
2
2
Таким образом, в этом случае действующее
значение тока I *  I 0 . Результат очевиден, если
понимать, что количество теплоты, выделяемое на
активном
сопротивлении
не
зависит
от
направления тока.
2. Определим количество теплоты, выделяющееся
на сопротивлении R за период колебаний
2
2
 I0  T I0
Q  4   R  RT  I *2 RT .
2 4 4
Таким образом, действующее значение силы тока равно
I
I*  0 .
2
3. Определим количество теплоты, выделяющееся на сопротивлении R за
период колебаний
2
T
3
 I0  T
Q  2   R  I 02 R  0  I 02 RT  I *2 RT .
4
8
2 4
Следовательно, действующее значение силы тока равно
3
I *  I0
.
8
5. Неоновая лампа включена в сеть переменного тока с эффективным
напряжением VЭ=71 В и периодом T=(1/50)с. Найти промежуток времени
t , в течение которого длится вспышка лампы, и частоту вспышек лампы
n. Напряжение зажигания лампы VЗ=86,7 В считать равным напряжению
гашения VГ.
Решение:
В сети с эффективным напряжением VЭ амплитуда напряжения
V0  2V . Принимая начальную фазу
напряжения равной нулю, запишем закон
изменения напряжения с течением времени:
V  V0 sin t  V0 sin
2
t
T
Зажигания (гашения) лампы происходят в моменты времени tm tm'  ,
когда мгновенное напряжение в сети равно напряжению зажигания
(см.рисунок):
V  V0 sin
2
2
V
V
tm ; отсюда sin
tm  3  3  0,867
T
T
V0
2V
Наименьшее положительное значение, которое может иметь величина 2tm T ,
стоящая под знаком синуса, составляет 60o   3 . В общем случае
2tm T  m   3 ,
где m=0,1,2,… Следовательно,
tm  mT 2  T 6
Знак плюс здесь соответствует моментам зажигания лампы (напряжение в
эти моменты возрастает по модулю), а знак минус – моментам гашения
лампы (напряжение убывает по модулю). В частности, первая вспышка
происходит при t0  T 6 и первое гашение – при t1'  T 2  T 6  T 3 . Таким
образом, длительность вспышки t  t1'  t0  T 6  3,3 мс.
Вспышки и гашения происходят в течение каждой половины периода;
следовательно, частота вспышек n  2 T  100 .
6. В цепь последовательно включены резистор с сопротивлением R,
конденсатор с емкостью C и катушка с индуктивностью L. По цепи
протекает переменный ток i  I M cos t . Определите амплитуды напряжения
на каждом из элементов цепи и во всей цепи. По какому закону изменяется
приложенное к цепи напряжение?
Решение:
Амплитуда напряжения на резисторе U R  I M R ; амплитуда напряжения
IM
; амплитуда напряжения на катушке
C
1
- емкостное сопротивление, X L  L U ML  I M X L  I M L . Здесь X C 
C
на конденсаторе U MC  I M X C 
индуктивное сопротивление.
Казалось бы, при последовательном соединении U M  U MR  U MC  U ML . Но
это не так, потому что в цепи переменного тока мгновенные значения
напряжения на отдельных элементах – это функции времени, а не
постоянные величины! По существу речь идет о сложении гармонических
колебаний. При этом очень важно, что фазы трех складываемых
гармонических колебаний различны: uR t  совпадает по фазе с силой тока,
uC t  отстает от тока на


, uL t  опережает ток на . Запишем закон
2
2
изменения каждого из напряжений:




uR  I M R cos t , uC  I M X C cos t   , uL  I M X L cos t   .
2
2


Мгновенное значение приложенного к цепи напряжения
2
u  uR  uC  uL  U MR cos t  U MC  U ML sin t  U MR
 U ML  U MC  cost    (1),
2
где   arctg
U ML  U MC
.
U MR
Итак, при сложении мгновенных значений периодически
изменяющихся величин (в данном случае - напряжений) их амплитуды не
всегда складываются. Выражение (1) можно записать в виде U  UM cost    ,
где амплитуда напряжения во всей цепи U M  I M R2   X L  X C 2  I M Z .
Выведенное здесь соотношение обычно записывают в виде I M  U Z и
называют законом Ома для цепи переменного тока, а величину Z – полным
сопротивлением цепи переменного тока. Величина  характеризует сдвиг
фаз между колебаниями силы тока и напряжения в цепи. Ее можно записать в
M
виде   arctg
X L  XC
. Полезно также иметь в виду, что cos   R Z .
R
2
1 
I
Ответ: U MR  I M R , U MC  M , U ML  I M L ; U M  I M R 2   L 
 ,
C
C 

1
L 
C
u  U M cost    , где   arctg
R
7. В цепь переменного тока включены последовательно резистор с
сопротивлением R, конденсатор с емкостью C и катушка с
индуктивностью L. Амплитуда силы тока в цепи равна I M . Определите
среднюю мощность P, потребляемую за период каждым из элементов цепи.
Конденсатор и катушку считайте идеальными.
Решение:
Мгновенная (т.е. средняя за очень малый промежуток времени)
мощность на любом участке цепи p  ui , где u, i – мгновенные значения
напряжения и силы тока. Если i  I M cos t , то напряжение на резисторе
изменяется по закону uR  I M R cos t , на конденсаторе


uC  I M X C cos t    I M X C sin t , а на катушке
2



uL  I M X L cos t     I M X L sin t . При нахождении средних значений
2

произведений ui воспользуемся тем, что
cos 2 t 
1  cos 2t 1
1
 , cos t sin t  sin 2t  0
2
2
2
(черта сверху означает здесь усреднение за время, равное периоду
колебаний). Тогда PR  pR 
I M2
I
R  I 2 R , где I  M - действующее значение
2
2
силы тока;
PC  pC  0 и PL  pL  0 .
Таким образом, конденсатор и катушка в среднем не потребляют энергии
(напомним, что речь идет об идеализированных элементах цепи, не
обладающих активным сопротивлением). Конденсатор четверть периода
заряжается, запасая энергию электрического поля WP 
CuC2
, но следующую
2
четверть периода он разряжается, полностью возвращая энергию в цепь. При
возрастании силы тока в катушке, т.е. также в течение четверти периода, она
запасает энергию магнитного поля WM 
Li 2
, однако за следующую четверть
2
периода эта энергия также полностью возвращается в цепь. Только в
резисторе (элементе цепи, обладающем активным сопротивлением)
происходит необратимое превращение электрической энергии во
внутреннюю.
Ответ: PR 
I M2
I
R  I 2 R , где I  M ; PC  PL  0 .
2
2
8. В цепи переменного тока (см.рисунок)
показания первого и второго вольтметров
U1  12 В и U 2  9 В. Каково показание U 3 третьего
вольтметра?
Решение:
Разумеется, из-за сдвига фаз между напряжениями на различных
участках цепи U3  U1  U 2 . Вольтметры переменного тока показывают
действующие значения соответствующих напряжений. Значит, амплитуда
напряжения на конденсаторе U MC  2U1 , а амплитуда напряжения на
резисторе U MR  2U 2 . Если сила тока в цепи изменяется по закону i  I M cos t ,
то


U C  2U1 cos t   , U R  2U 2 cos t .
2

Следовательно, полное напряжение в цепи равно


u  u R  uC  2U 2 cos t  2U1 sin t  2 U12  U 22 cost    .
Итак, U M  2U12  U 22  . Третий вольтметр показывает действующее значение
полного напряжения U3 
UM
 U12  U 22  15 В.
2
9. Два одинаковых идеальных трансформатора
имеют обмотки из N1  200 и N2  600 витков.
Они соединены последовательно различными
обмотками (см.рисунок) и подключены к
источнику переменного напряжения U  220 В.
Определите напряжение U AC между точками A
и C.
Решение:
Напряжение U AC равно сумме напряжений
на выходе каждого из трансформаторов U AC  U AB  U BC (поскольку U AB и U BC
совпадают по фазе). Эти напряжения можно выразить через напряжения U1 и
U 2 на выходе трансформаторов:
U AB  U1
N1
N
, U BC  U 2 2 .
N2
N1
Итак, задача свелась к определению U1 и U 2 . Пренебрегая активным
сопротивлением обмоток трансформаторов, можно записать силу тока I в
первичных обмотках в виде I 
U
( L1, 2 - индуктивность катушки с
L1  L2
числом витков N1, 2 ). Тогда
U1  IL1  U
L1
L2
, U2  U
.
L1  L2
L1  L2
Для катушек, отличающихся только числом витков,
U AB  U BC  U
L2 N 22

. Поэтому
L1 N12
N1 N 2
NN
, U AC  2U 2 1 2 2  120 В.
2
2
N1  N 2
N1  N 2
Интересно, что при любых значениях N1 и N 2 получаем U AC  U ,
причем равенство достигается лишь при N1  N2 . Это следует из неравенства
2 N1 N2  N12  N22 .