Косинский Ю.И., «Взаимодействие волны электрического поля с

Косинский Ю.И.
Взаимодействие волны электрического поля с оптической средой в
микроструктурной модели в случае падения волнового вектора на
плоскость среды под углом, при этом вектор электрического поля
перпендикулярен плоскости падения
В работе [1] в представлении микроструктурной модели взаимодействия
волны электрического поля со средой в случае нормального падения волнового
вектора на плоскость среды было выведено уравнение для величины диполя,
поляризуемого падающей волной электрического поля, находящегося в плоскости
решетки структуры среды.


pl ( z l )   E 0 
 k
i k zl
2

 ' p j ( zl ) 
zl

 k pl ( z l )
2
'
xjyj
zl

xjyj

i k Rl j
Rl j
i k Rl j

,
(1)
Rl j
Взятие сумм в уравнении (1), в случае нормального падения электрической волны
на среду,
I1 

xj y j
z j  zl

i k Rl j
Rl j

 
i k x2  y 2  z 2
1

dx dy
 
,
x y   x 2  y 2  z 2
2 N  d  i k
I1 


2
i k 0 d ( ) 
 2  z2
2 N i k z

2
d
(

)

i
 .


k
(2)
(3)
и соответствующие преобразования [2] привели к интегральным уравнениям для
волн электрического поля, излучаемых диполями, находящимися в плоскости
решетки структуры среды.
zp
E l (zl )  iAE 0  ikzl  ik '   ikzl  E j (z j ) 
ikz j
dz j 
zl
 ik ' 
ikzl
zl
 E j (z j ) 
 ikz j
(4)
dz j ,
z1
z
p
d
ikz
ikzl
 ikzl
E l ( zl )   AkE 0   kk ' 
E j ( z j )  j dz j 

dzl
z
l
 kk ' 
где
A  k ' z ,
z  zl 1  zl ,
 – поляризуемость атома,
ikzl
zl
 E j (z j ) 
 ikz j
(5)
dz j ,
z1
k '  2kN ,
(6)
N – объемная плотность дипольного момента в среде,
k

c
– волновой вектор волны электрического поля.
Производная от уравнения (5) приводит к следующему волновому уравнению
d2
E (z )  (k 2  2kk ' )El (zl )  0 ,
2 l l
(dz )
(7)
решение которого совместно с уравнением (4) дает следующую зависимость для
амплитуд электрических волн, излучаемых плоскостями, в которых расположены
диполи

ikz
El (zl )  E0
(1  u ) iku ( L  zl )  (1  u ) iku ( L  zl )
D

.
(8)
Значения амплитуд являются функциями параметров, которые характеризуют всю
систему переизлучения в целом :
z  zl 1  zl ,
L  z p  z1 , u , k , E0 .
k'
u  1  2  1  4N .
k
(9)
Волны от источника переизлучения распространяются в двух противоположных
направлениях со скоростью света в вакууме.
При соблюдении условий установившегося процесса, в котором учтены все
обратные связи между условными плоскими источниками переизлучения, вклад в
суммарное (измеряемое) электрическое поле волны прямого направления вносят
источники, расположенные слева от плоскости наблюдения, а вклад в суммарное
электрическое поле волны обратного направления вносят источники,
расположенные справа от плоскости наблюдения. Это утверждение является
аксиомой, не требующей доказательства.
zl
i k ( zl  z j )

i k zl
E l  E 0

E j (z j ) 
,
(10)
z j  z1

E l1 
zp
 E j (z j ) 
i k ( z j  zl 1 )
,
z j  zl 1
где значения амплитуд волн источников переизлучения
(11)
E j ( z j ) необходимо
брать из формулы (6).
Из соотношений (10), (11), (8) были найдены [3] амплитуды суммарных
электрических волн в различных сечениях рассматриваемой системы для слоя
cреды шириной L. Перед слоем cреды l  0, z0  0, z1  0 ,
E 0  E 0 ,
  ikuL   ikuL

E1 (z1 )  E 0
.
(12)
1  u  ikuL 1  u ikuL
1 u


1 u

Внутри слоя среды в пределах вакуумного промежутка между плоскостями
Zl 1 , где 1  l  p  1, L  z p  0, z1  0.
zl
и
1  u  iku ( L  z l ) 1  u iku ( L  z l )



1 u
E l (zl )  E 0 1  u
,
1  u  ikuL 1  u ikuL



1 u
1 u
 iku ( L  zl 1 )
iku ( L  zl 1 )



El1 (zl 1 )  E0
.
1  u ikuL 1  u ikuL



1 u
1 u
За пределами среды
(14)
l  p, z p 1  z p .
1 u 1 u


1 u 1 u
E p  E0
,
1  u ikuL 1  u ikuL



1 u
1 u
E p1  0.
Для полубесконечной cреды [4].
Перед границей раздела.
E0 ( z  0) 
Внутри среды.
(13)
E0 ,
1 u
E1 (z  0)  E0
,
1 u
El ( z  zl )  E0 ikuzl ,
1  u ikuzl  1
El1(z  zl 1)  E0

.
1 u
(14А)
(15)
(15А)
(16)
(17)
На бесконечности.
E p (z   )  0 ,
(18)

E p
1 ( z   )  0.
(19)
Если электрическая волна пронизывает плоскость решетки среды, в которой
расположены диполи, под углом
 , функциональная зависимость для суммы
I1 (2), (3) будет другой. Выведем эту зависимость согласно рис. 1.
x
l
x1 x

x0
z
z1
Рис. 1.
На плоскость х–у , где расположены диполи, под углом
падает плоская
электрическая волна, волновые фронты которой показаны на рис. 1 жирными
линиями. Вектор электрического поля направлен вдоль оси у перпендикулярно
плоскости чертежа. Из рис. 1 видно, что диполи на плоскости х–у в зависимости
от координаты х возбуждаются разными фронтами падающей электрической
волны. Т.е. между возбужденными диполями существует фазовая задержка. Для
случая нормального падения волны такая фазовая задержка отсутствует. В этом
заключается различие при суммировании (2) откликов электрических полей от
возбужденных диполей в точке (х1, z1). Вычислим эту фазовую задержку
пользуясь геометрическими соображениями.

l  xSin( ),
ikl  ikSin ( )x  ik1x , k1  kSin( ),
(20)
при этом суммирование запишется так
I1 

xj yj
z j  zl
 ik1 (x x0 ) 
Rl j
i k Rl j

1    ik1 ( x x0 )  i k (x x1 )  y  z

dx dy


2
2
2
x y  
(x  x1 )  y  z
2
2
2
.
(21)
Сделаем преобразования для удобства интегрирования.
x  x0  (x  x1 )  (x1  x0 ),
 ik1 ( x  x 0 )   i  ik ( x  x1 ) , k1 (x1  x0 )   ,
x  x1  x .
(22)
При этом интеграл (21) примет вид
I1 
i
 
ik1x i k x2  y 2  z 2

 
dxdy ,


2
2
2
x y   x  y  z
(23)
Введем полярную систему координат.
x  Cos( ), y  Sin( ),
dx dy   d d .
(24)
Интеграл в соотношении (24) примет вид.
 
 

ik1x i k x2  y 2  z 2
x y z
2
 


2
2
dx dy 
2  ik1Cos ( ) ik  2  z 2

0 0


 z
2
2
 d d .
,
(25)
Интегрирование по углу

приведет к таким результатам [5].
 ik1Cos ( )  Cos(k1 Cos( ))  iSin (k1 Cos( )),
2

 Cos(k Cos( ))d  2 Cos(k Cos( ))d  2 I
1
1
0
0
0
(k1  ),
(26)
2
 Sin(k Cos( ))  0.
1
0
В (26) под I 0 обозначена функция Бесселя нулевого порядка. С учетом
соотношений (26) интеграл (25) можно записать в таком виде.
2  ik1Cos ( ) ik  2  z 2



 z
2
0 0

 2 
I 0 (k1 )
0
2
 d d . 
ik  2  z 2
 z
2
2
 d .
,
(27)
Сделав замену переменных,
2  z2  y,
  y2  z2 ,
 d
 z
2
2
 dy ,
приведем вид интеграла (27) к табличному [6].
(28)

2 
2 z2
I 0 (k1 ) ik
 z
2
0
2
 d 

 2  I 0 (k1 y 2  z 2 )(Cos(ky )  iSin(ky ))dy 
z
1
 2
k 
2
k12
Sin(z

k 2  k12 )  iCos(z k 2  k12 ) .
Используя соотношение (20), окончательно запишем.
2
1
k 2  k12

, (29)

 Sin(z k 2  k12 )  iCos(z k 2  k12 ) 
 ikCos ( )z
 i 2
.
kCos( )
, (30)
При этом интеграл (21) примет такую функциональную зависимость (для случая
падения электрической волны на плоскость среды под углом  .
I1 


xj yj
z j  zl
 ik1 ( x  x0 ) 
Rl j
 
1

 
x y  
 i 2N xy
i k Rl j

2
2 2
ik1 ( x  x0 ) i k ( x  x1 )  y  z

( x  x1 )  y  z
2
2
2
dx dy 
.
(31)
 ikCos( ) z i
 .
kCos( )
Если мерять фазу падающей волны и переизлученной волны в одной и той же

точке координаты х, постоянный фазовый сдвиг
будет равен нулю.
Взятие сумм (2) в случае нормального падения электрической волны на
плоскость среды приводило к такому результату.
I1 
i


xjyj
z j  zl
2  N xy
k
i k Rl j
Rl j
1    i k x  y z

dx dy 


2
2
2
x y   x  y  z
2
2
2
ikz.
(32)
Для случая нормального падения электрической волны на плоскость среды (32)
коэффициент
диполь–дипольного
взаимодействия
между
условными
переизлучающими плоскостями находился из такого соотношения [1].
__
2
ikz
 k I1  i 2  k N xy  
 r  ik z,
(33)


где в (33)
– поляризуемость среды, а в (31)
под косинусом – угол падения.
Для случая падения электрической волны под углом из (31), (33) следует
__
k
2
i kCos( ) z
 k I1  i 2 
N xy  
 r  i kCos( ) z , (34)
Cos( )
при этом коэффициент взаимодействия (6) для данного случая примет значение
__
k  '  i
r
k
 2
N xyz  .
z
Cos( )
(35)
Интегральное уравнение (4) для волн электрического поля, излучаемых диполями,
находящимися в плоскости решетки структуры среды в случае падения
возбуждающей волны электрического поля под углом
учетом соотношений (31), (34), (35) примет такой вид.
zp
 к плоскости среды, с
E l ( zl )  iA E 0  ikCos( ) zl  ik '  ikCos( ) zl  E j ( z j ) 
ikCos ( ) z j
dz j 
zl
zl
 ik '  ikCos( ) zl  E j ( z j ) 
 ikCos ( ) z j
dz j ,
z1
(36)
Соответствующее интегральному уравнению (36) волновое уравнение для
электрической волны примет такую функциональную зависимость
d2
(dz) 2
E l ( zl )  k 2 Cos 2 ( )(1  2
k '
) E l ( zl )  0 ,
kCos( )
(37)
решение которого совместно с уравнением (36) дает следующую зависимость для
амплитуд электрических волн, излучаемых плоскостями, в которых расположены
диполи
ikCos( )z
El (zl )  E0

D

 (1  u ) 
ikCos ( )u ( L  zl )
 (1  u ) 

 ikCos ( )u ( L  z l ) .
(38)
Значения амплитуд являются функциями параметров, которые характеризуют всю
систему переизлучения в целом :
z  zl 1  zl ,
L  z p  z1 , u , k , E0 .
u  1  2
k '
4N
 1
kCos( )
Cos2 ( ) .
(39)
Волны от источника переизлучения распространяются в двух противоположных
направлениях со скоростью света в вакууме.
Для амплитуд суммарного (суммируются волны, излучаемые плоскими
источниками переизлучения (38)) электрического поля волн двух направлений,
распространяющихся в среде, в случае падения возбуждающей волны под углом
к плоскости среды, формулы будут иметь следующую функциональную
зависимость.
zl
i kCos ( ) ( zl  z j )

i kCos( ) zl
El  E0

E j (z j ) 
,
(40)
z j  z1


El1 
zp
 E j (z j ) 
z j  z l 1
i kCos( ) ( z j  z l 1 )
,
(41)
где значения амплитуд волн источников переизлучения
E j ( z j ) необходимо
брать из формулы (38).
Из соотношений (40), (41), (38) находятся амплитуды суммарных
электрических волн в различных сечениях рассматриваемой системы для слоя
cреды шириной L (формулы (13)–(14А)) и для полубесконечной среды (формулы
(15) – (19)). В этих формулах для случая падения возбуждающей волны под углом
 волновой
k в экспонентах необходимо
kCos( ) , а величину u брать из формулы (39).
вектор
заменить на величину
Для полубесконечной среды преломление электрической волны изобразим
графически на рис.2.
х
x1


l


z1
z
Рис. 2.
Здесь волновые фронты возбуждающей волны изображены линиями,
расположенными под углом
к оси х, волновые фронты преломленной волны

отображены линиями, расположенными под углом  . Согласно рисунка фазовая
задержка в точке х1 относительно начала координат равна целому числу длин
волн и выражается следующей зависимостью.
n  x1Sin( ),
n2  kx1Sin( ),
n
x1 
.
Sin( )
(42)
Амплитуда преломленной волны для случая падения возбуждающей волны под
углом (согласно (16)) равна
E1 (z  z1 )  E0  ikCos( )u z1 ,
(43)
u
где значение  необходимо брать из формулы (39).
При этом фазовая задержка для преломленной волны вдоль координаты z в точке
z1 согласно рисунка также равна целому числу длин волн.
n2  kCos( )u z1 ,
z1 
Значение угла преломления
n
.
Cos( )u

(44)
находится из отношения координат точек.
tg ( ) 
z1
Sin( )

,
x1 u Cos( )
tg ( ) Sin( )Cos( )
u 

.
tg ( ) Cos( )Sin( )
(45)
Амплитуда отраженной волны в случае падения возбуждающей волны под
произвольным углом согласно (15А) равна
E1 (z  0)  E0
1  u
1  u
.
(46)
Коэффициент отражения от полубесконечной плоскости соответственно равен
tg ( )
1  u
Sin(   )
tg ( ) Cos( )Sin( )  Sin( )Cos( )
R 



.
1  u 1  tg ( ) Cos( )Sin( )  Sin( )Cos( )
Sin(   )
tg ( )
1
(47)
Вычислим фазовую задержку волны вдоль распространения луча преломленной
волны.
  kCos( )u z1 , l  z1Cos(  ),
Cos( )
k
u l  ku0 l ,
Cos(  )
u Cos( )
Cos( )
u0 
u 

tg
(

)
Cos(  )
Cos arc tg
u
u Cos( )


1
Cos arcCos
 tg ( ) 
1 

u
  
2
 Cos( ) u2  tg 2 ( )  1  4N  u0 .
(48)
Фазовая задержка преломленной волны вдоль луча распространения по углу
 согласно рис. 2
и (48) также равна целому числу длин волн.
n2  ku0l ,
n
l
.
u0
Значение угла преломления
(49).

(49)
находится из отношения координат точек (42) и
Sin(  ) 
l
Sin( )

,
x1
u0
Sin( )
 u0 .
Sin(  )
(50)
Амплитуда отраженной волны электрического поля от слоя среды толщиной
L в случае падения возбуждающей волны на плоскость пленки под углом
 согласно (12) выразится такой формулой.
E1 ( z1 )
  ikCos( ) u L   ikCos( ) u L
 E0
.
1  u  ikCos( ) u L 1  u ikCos( ) u L



1  u
1  u
(51)
При напылении зеркал используются пленки толщиной в четверть длины волны.
При этом пленка имеет максимум отражения. Для нормального падения
возбуждающей волны согласно (12) толщина пленки равна

2
 ku0 L0 ,
L0 

4u0
(52)
.

Для падения возбуждающей волны под углом
к плоскости пленки максимум
отражения пленки наступит согласно (51) при толщине

2
 kCos( )u L ,

L 
.
4Cos( )u
(53)
Из формул (52), (53) следует, что при напылении зеркал для волн падающих под
углом, отличающимся от нормального, толщины пленок следует увеличивать на
такой коэффициент



L
u0


L0 Cos( )u
1  4N
Cos ( )  4N
2
u0
u02
 Sin ( )
2
.

(54)
Для волны, падающей под углом 450, и показателе преломления пленки, равном
u0=1.5 этот коэффициент равен
  1134
.
Литература
1. Косинский Ю.И., Принцип переизлучения электрического поля на
диполях в стационарных электрических явлениях, а также магнитных и
оптических явлениях, 9, (2002).
2. Косинский Ю.И., Микроструктурная модель взаимодействия
электрического поля с оптически прозрачными средами или принцип
переизлучения на диполях в оптических явлениях, 4 – 6, (2002).
3. Косинский Ю.И. Микроструктурная модель взаимодействия волны
электрического излучения со слоем cреды шириной L в случае
нормального падения, 4 –5, (2002).
4. Косинский Ю.И., Распространение электрических волн в
полубесконечной среде в случае нормального падения в представлении
микроструктурной модели, 4, (2002).
5. И.С. Градштейн и И.М. Рыжик, Таблицы интегралов, сумм, рядов и
произведений, 416, (1963).
6. И.С. Градштейн и И.М. Рыжик, Таблицы интегралов, сумм, рядов и
произведений, 750, (1963).
(55)