Косинский Ю.И., «Линейный газовый лазер в продольном

Косинский Ю.И.
Линейный газовый лазер в продольном магнитном поле
Статц и др. [1] наблюдали модуляцию на частоте около 1050 гц, пропуская
через поляризатор пучек лазерного излучения с =1.15 мкм и регистрируя его
затем с помощью фотоумножителя. При вращении поляризатора эффект почти не
изменялся, и это наводило на мысль о том, что излучение имеет линейную
поляризацию, причем плоскость поляризации вращается с частотой 525 гц.
Авторы предположили, что магнитное поле Земли в направлении оси лазера
должно приводить к возникновению двух компонент с круговой поляризацией,
имеющих разное направление вращения, но мало различающихся по частоте. В
результате сложения этих компонент возникает линейно поляризованное
излучение, плоскость поляризации которого вращается с частотой, равной
полуразности их частот.
В данной работе с помощью математических выкладок мы докажем выше
сказанное.
Линейную поляризацию вращающегося с частотой  вектора электрического поля
в плоскости x–y с помощью проекций на оси х,у можно записать так:
x=cos(t),
(1)
y=cos(t–/2)=sin(t).
(2)
Этот вектор вращается справа налево. Проэкция вектора на оси у запаздывает по
отношению к проекции вектора на оси х.
у
х
На комплексной плоскости х+iy вектор (1)–(2) можно записать одной формулой
x+iy=Cos(t)+i Sin(t)= i t = 
(3)
Линейную поляризацию вращающегося слева направо вектора запишем
аналогично:
x=Cos(t),
(4)
y=Cos(t+/2)=–Sin(t),
(5)
 i t

x+iy=Cos(t)–i Sin(t)= 
(6)
y
x
Если сложить два вращающиеся в разные стороны вектора (3), (6), получится
один неподвижный вектор, направленный по оси х (1), (4).
    i t   i t  2Cos( t )  2x .
(7)
Для электрических векторов, вращающихся в разные стороны и
распространяющихся вдоль оси z со скоростью c/n, можем записать:
  i t    i k z ,
    i t  i k z ,
n
k  2 .
(8)

где k –волновой вектор распространения электрической волны в оптической
среде,
с– скорость света,
n–показатель замедления скорости в среде,
 – длина волны распространения электрического вектора в среде.
Для суммы двух электрических векторов, вращающихся в разные стороны и
распространяющихся вдоль оси z с разными скоростями c / n1 и c / n2 , можем
записать:
     i (  t  k1 z )   i (  t  k2 z ) 

i
k2  k1 
k k
z
i ( t  1 2 z )
2
2



  i  2Cos ( t 
  2
n2  n1
z.
2

k1  k 2
z ),
2
i (  t 
k1  k2 
z)
2




(9)
В соотношении (9) суммарный вектор развернулся на угол  относительно оси х,
что связано с разной скоростью распространения электрических векторов вдоль
оси z.
Линейный вектор, согласно вышесказанного, представим в виде суммы
двух круговых
векторов, вращающихся в противоположные стороны,
электрическая волна которого распространяется внутри резонатора лазера. Если
на активную среду лазера наложено продольное магнитное поле вдоль оси z
лазера, то за один проход электрической волны сквозь активную среду лазера
вектор развернется на угол  согласно формулы (9) и рис.1.

n

n1
0
n2

2 gM B  0 H / h
Рис.1
На рис.1 изображены дисперсионные [2] (показатель замедления скорости)
кривые круговых векторов электрических волн в зависимости от частоты
относительно центра 0 контура усиления. Как видно из рис.1 показатели
замедления скорости двух круговых, противоположно вращающихся волн,
различаютя при наложении на активную среду продольного магнитного поля H.
Подставив значения показателей замедления скорости распространения для
круговых векторов n1 и n2 из рис.1 в формулу (9), мы получим значение угла
поворота . Разницу показателей замедления скорости для круговых волн можно
выразить через градиент (крутизну) показателя замедления скорости
дисперсионной кривой в зависимости от частоты:
dn
(10)
n1  n2 
( 2 gM B  0 H / h) .
dv
С учетом (10) формула (9) примет вид:

dn
(11)
  L0
( 2 gM B  0 H / h) ,

dv
где L0–длина активной среды.
В условиях стационарной генерации для вектора электрической волны
осуществляется положительная обратная связь, которая заключается в
следующем: вектор электрической волны, вышедший из какой либо точки
резонатора, при обходе резонатора должен вернуться в эту же точку в том же
направлении и в том же угловом положении, при этом фаза должна измениться на
кратное число длин волн. Результат обхода вектором изотропного резонатора с
фарадеевским вращателем (активная среда в продольном магнитном поле) с
учетом положительной обратной связи можем записать следующим образом:
 Cos(2 )  Sin(2 )  E1 
 E1 
(12)
i 2 k L 
      ,
Cos(2 )   E2 
 Sin(2 )
 E2 
  i 2q .
(13)
В матричном уравнении (12) индексы 1,2 соответствуют x, у.
–собственное значение матричного уравнения (12).
q–натуральное число.
Соотношение (13) есть условие положительной обратной связи.
Результат решения матричного уравнения (12) следующий:
a11  a22
(a11  a22 )2
 1,2 

 a12 a21 ,
2
4
 E1 
a12
.
  
 E2  1,2  1,2  a11
(14)
(15)
В соотношениях (14), (15) собственные значения и собственные векторы
выражены через матричные элементы матрицы (12). Подставив значения
матричных элементов матрицы (12), найдем:
 1,2  i 2kL   i 2 ,
 E1 
1

  
 E2  1,2 i
1
1  
i

(16)
.
(17)
2
Из соотношения (17) сразу следует, что собственные векторы лазера круговые и
направленные в противоположные стороны.
Подставив соотношение (16) в (13), найдем собственные частоты мод лазера.
i 2 k L 2  i q 2 ,
2kL  2  q 2 , k 
2L

 q
2

, 

2L

, v
 q ,

c

c
,
v
(18)
v1,2
c  c
q 
.
2l  2 L
поворота  (11)
(19)
Подставив значение угла
в формулу для частотного
расщепления (19), окончательно получим формулу для расщепления частот лазера
в зависимости от наличия продольного магнитного поля.
L dn
c
c
 0
( 2 gM B  0 H / h)
,
2 L  dv
2L

 v 0   H  v  v 0 
,
2
v1,2  q
(20)
v1,2
(21)
dv  v 2  v1  2 H  v 
где


,
(22)
c
–частота q моды резонатора, совпадающей с центром контура
2L
усиления активной среды и центром дисперсионной кривой,
c
–частота межмодовых биений резонатора,
v 
2L
v0  q
H 
L0 dn
( 2 gM B  0 H / h) –коэффициент затягивания частоты моды
 dv
резонатора под действием дисперсионной кривой активной среды и
магнитного поля,
( M B  0 H / h) –зеемановское частотное смещение дисперсионных
кривых под действием магнитного поля, равное 1.4106 Гц на один
эрстед прикладываемого магнитного поля,
g–фактор расщепления Ланде,
M B  9.27  1024 дж/тл–магнетон Бора,
 0  4  107 гн/м–магнитная постоянная,
103
а/м=1 эрстед– магнитное поле,
H
4
h  6.62  1034 джсек– постоянная Планка,

 dv  2  H  v –частотное
расщепление

поляризованных круговых волн генерации лазера,
право
и
лево
 –круговая частота.
Круговые волны с частотами (21) v1 и v2 можно изобразить в виде векторов:
 Cos( 1 t )

 E1 


   E0 
,

 E2  1
 Cos( 1 t  )

2 
 Cos( 2 t )

 E1 


   E0 
,

 E2  2
 Cos( 2 t  )

2 
(23)
(24)
где введены круговые частоты:
 1  2 v1   0  ,
 2  2 v 2   0  ,
(25)
 0  2 v 0 .
Сумма двух круговых волн (23), (24), вращающихся в противоположные стороны
с различными частотами, даст результат:
 E1 
 E1 
 E1 
         2 E 0 Cos(
 E2  1  E2  2  E2  0
  2
0
 Cos( t )



t)

 Cos( t  ) ,

2 
L0 dn
c
( gM B  0 H / h )
.
 dv
2L
(26)
(27)
Таким образом на выходе лазера мы имеем линейный вектор электрической
волны (26), вращающийся с круговой частотой  , пропорциональной
приложенному магнитному полю H. В дальнейших расчетах постоянный
множитель при векторе (26) опустим, так как он, кроме энергетической, никакой
более физической нагрузки не несет и будет загромождать выкладки. С учетом
сказанного на выходе лазера имеем вектор:
 Cos( t )

 x 
  Cos( t ) 
  
.
  
 y
  Sin( t )
Cos( t  )

2 
(28)
С выхода лазера излучение попадает на квадратичный фотоприемник
(энергетический). Он воспринимает энергию W(в относительных единицах)
излучения как сумму квадратов компонент вектора. Если подставить в энергию
компоненты вектора (28), мы получим независимость энергии от скорости
вращения вектора.
W=x2+y2=1.
(29)
Рассмотрим случай, когда между лазером и фотоприемником стоит
идеальный поляризатор, действие которого на вектор можно изобразить
матрицей.
 1 0   E1 

  .
 0 0  E2 
(30)

Если ось поляризатора развернута на угол
относительно оси х, действие
поляризатора на вектор запишется таким матричным соотношением.
 Cos( )  Sin( )  1 0   Cos( ) Sin( )   E1 



  
 Sin( ) Cos( )   0 0   Sin( ) Cos( )  E2 
 Cos2 ( ) Cos( )  Sin( )  E1 

 


2
 Cos( )  Sin( ) Sin ( )   E2 
.
Подставив в соотношение (31) вектор на выходе лазера (26), (28), получим.
 Cos2 ( ) Cos( )  Sin( )  Cos( t ) 



   Sin( t ) 
2
Cos
(

)

Sin
(

)
Sin
(

)


(31)
(32)
 Cos ( )Cos( t )  Cos( )Sin( )Sin( t )  x

   .


2
 Cos( )Sin( )Cos( t )  Sin ( )Sin( t )   y
На выходе квадратичного фотоприемника, согласно вектора (32), получим биения
с удвоенной частотой, сдвинутые по фазе на угол  поворота поляризатора.
2
2
x2+y2= Cos ( t   ) 
1
1  Cos(2 t  2 ) .
2
(33)
При наличии анизотропии в резонаторе лазера, обусловленной
присутствием окошек на торцах трубки усиливающей среды, которые имеют
различный коэффициент пропускания по осям х и у для волны электрического
вектора, матричное уравнение (12) для резонатора лазера, учитывающее
положительную обратную связь, наличие анизотропии и фарадеевский
вращатель, запишется так:
 E1   1 0   Cos( ) Sin( )   1 0   Cos( ) Sin( )   1 0 
 E1 



 






 .
 E 2   0 T    Sin( ) Cos( )  0 T 2    Sin( ) Cos( )  0 T 
 E2 
(34)
В матричном уравнении (34) нематричные множители опущены, так как их
влияние было рассмотрено выше (12). В этом уравнении введено обозначение: Т –
коэффициент пропускания волны электрического вектора окошка трубки вдоль
оси у. После вычисления произведения матриц в (34) матричные элементы
матрицы резонатора (A) запишутся так:
 Cos2 ( )  T 2 Sin2 ( )
 A  
  Cos( )Sin( )(T  T 3 )
Cos( )Sin( )(1  T 2 ) 
.

4
2
2
2
T Cos ( )  T Sin ( )
(35)
Собственные значения матрицы (35), согласно формулы (14), следующие:
 1,2

Cos2 ( )(1  T 4 )  2T 2 Sin2 ( )  (Cos2 ( )(1  T 4 ))2


 Cos2 ( )Sin2 ( )(T  T 3 )2 
2
2


1/ 2
(36)
Согласно формулы (36), расщепления частот в лазере возникнут тогда, когда
подкоренное выражение примет отрицательное значение, т.е. фарадеевскому
вращению нужно преодолеть анизотропию резонатора, это наступит тогда, когда
Cos4 ( )(1  T 4 )2  4Cos2 ( )Sin2 (T  T 3 )2 .
(37)
Из равенства соотношения (37) следует граница захвата для угла поворота
фарадеевского вращения, когда только начинается расщепление моды резонатора.
Следует заметить, что при отсутствии анизотропии (Т=1), зона захвата равна
нулю.
2
Tg ( z ) 
1 T
2T
.
(38)
В зоне захвата расщепления нет, при этом при изменении угла поворота
фарадеевского вращения вектор волны электрического поля остается линейным и
разворачивается относительно оси х, достигая предельного значения на границе
зоны захвата. Исходя из формулы (15), найдем предельный угол разворота
вектора :
Cos( z )Sin( z )(T  T 3 )
 E1 
   4
.
 E 2  z T Cos 2 ( z )  T 2 Sin 2 ( z )
(39)
Подставив значение предельного угла (38) в соотношение (39), получим:
 E1 
2(1  T 4 )
   4
.
 E2  z 3T  2T 2  1
(40)
Для примера окошки усиливающей трубки имеют две отражающие плоскости,
если окошки трубки расположены под углом Брюстера, коэффициент отражения
каждой плоскости для вектора электрической волны вдоль оси у равен: R 1=0.4. Из
закона сохранения энергии следует значение для коэффициента пропускания Т1
каждой плоскости
(Т1 )2=1–(R1 )2=0.84.
(41)
Так как в окошке трубки переизлучающих плоскостей две, имеем равенство
T=(T1 )2=0.84.
(42)
Подставив значение Т (42) в соотношения (38), (40), найдем предельные значения
в зоне захвата угла поворота фарадеевского вращения и ула поворота
вектора
электрической волны.
 z  100 ,   810 .
(43)
Собственные значения (36) матрицы в зоне захвата имеют действительные
величины и различные значения. Это значит, что расщепление по частоте моды
резонатора отсутствует. Существует расщепление моды по добротностям. То
собственное значение, которое имеет большую действительную величину, имеет
большую добротность и находится в состоянии генерации лазера. Другое
собственное значение, которое имеет меньшую действительную величину, имеет
меньшую добротность и находится ниже порога генерации. Выше границы зоны
захвата собственные значения комплексные, добротности мод выравниваются,
генерируют обе моды на различных частотах.
До сих пор мы рассматривали расщепление контуров усиления переходов
между рабочими уровнями в слабых магнитных полях, когда контуры усиления и
дисперсионные кривые перекрываются. При этом в одночастотном режиме под
действием магнитного поля и дисперсионных кривых происходит расщепление
моды резонатора.
Если расщепление переходов больше ширины контура усиления в
одночастотном режиме биений не наблюдается. При сканировании резонатора
мода резонатора прочерчивает поочередно контуры генерации волн с левым и
правым вращением поляризации вектора волны. Если частота расщепления равна
половине межмодового частотного расстояния
c
,
(44)
v
2L
на экране осциллографа наблюдается симметричная картинка зон одночастотной
генерации с удвоенной частотой. В этой точке можно измерять ток соленоида,
намотанного на трубку активной среды, и при известном количестве витков
можно подсчитать напряженность магнитного поля в эрстедах и по известной
формуле Зеемановского расщепления

 v H  2 gM B  0 H
1
h
(45)
посчитать частотное расщепление контуров усиления, обусловленное наличием
магнитного поля. Из равенства
v
 v H
2
(46)
легко находится g–фактор расщепления Ланде.
v
h
2
g1 
2 M B  0 H1 .
(47)
В эксперименте удобно пользоваться такими величинами:
1. током соленоида I(a),
2. характеристикой соленоида, указывающей, какое количество эрстед
 H (э/a) магнитного поля соленоида образуется вдоль оси трубки активной
среды на один ампер тока соленоида,
3. средний коэффициент соленоида, связанный с неоднородностью
магнитного поля вдоль оси трубки активной среды Кср,
4. характеристикой активной среды, указывающей, какое частотное
расщепление уровней активной среды вызывает магнитное поле в один эрсиед
(величина для всех сред одинаковая)
v
Мгц/э.
+1
2
g2
0
-1


+2
1
+1
0
-1
-2
g1
Рис.2
В эксперименте использовался гелий–неоновый лазер с такими данными:
генерируемая длина волны излучения –   3.39 мк, длина резонатора –L=0.26 м,
межмодовое частотное расстояние– v  577 Мгц. На трубку длиной
Lt=0.187 м активной среды лазера был намотан соленоид, создающий вдоль оси
трубки магнитное поле. Параметры соленоида: длина намотки–Lk=0.157 м,
количество витков на единицу длины соленоида–n=6600 1/м, средний радиус
намотки–R=0.085 м.
Напряженность магнитного поля в эрстедах соленоида определялось по
формуле [3]


H( э)=  6600
4

I
(
a
)
 (э/a)=82..93(э/a)I(a)=  H (э/a)I(a),
103
(48)
 H (э/a)=82.93(э/a).
(49)
Усредняющий коэффициент, связанный с неоднородностью магнитного поля
вдоль оси трубки, определялся по формуле [3]
1
Кср=
2( Lk  2d )
Cos(a2 ) 
Lk  d
 dl1 (Cos(a2 )  Cos(a1 )) ,
d
Lk  d  l1
R  ( Lk  d  l1 )
2
2
, Cos(a1 ) 
(50)
 l1  d
R  (l1  d )
2
2
.
(51)
В (50) d=0.015 м–расстояние от концов катушки соленоида до концов трубки
активной среды. В нашем конкретном случае этот усредняющий коэффициент
равен
Кср=0.828
(52)
Частотное расщепление уровней активной среды, которое вызывает
магнитное поле в один эрсиед  v Мгц/э, определяется из соотношения [4]:
M B 0H
  v (Мгц/э)H(э),
h
M B  9.27  1024 дж/тл,
 0  4  107 гн/м,
h  6.62  10 34 джсек,
9.27  1024  4  107 103
гц/эH(э)=1.4106 гц/э H(э),
34
4
6.62  10
(53)
 v  1.4 Мгц/э.
(54)
Выраженная через экспериментальные данные, формула (47) примет вид:
v
v  h
2
g1 

2M B  0 H 2 v  K   H  I1 .
(55)
Формула (55) соответствует измерению, когда расщепление контуров генерации
лазера магнитным полем по частоте равно половине межмодового расстояния.
При дальнейшем увеличении тока соленоида (магнитного поля) расщепление
контуров генерации лазера по частоте достигнет равенства межмодовому
расстоянию. При этом две соседние моды резонатора генерируют одновременно,
но запитываются разными контурами усиления. Ток соленоида фиксируется по
максимуму суммы одновременной генерации различных по частоте контуров на
осциллографе. Осциллограма подобна осциллограме при отсутствии магнитного
поля. Измерение изобразится формулой:
g2 
v
2 v  K   H  I 2 .
(56)
При дальнейшем увеличении тока соленоида (магнитного поля)
расщепление контуров генерации лазера по частоте достигнет равенства три
вторых межмодового расстояния. При этом две через одну моды резонатора
генерируют поочередно и запитываются разными контурами усиления. Ток
соленоида фиксируется по симметричной картинке и удвоенной частоте зон
генерации контуров на осциллографе. Осциллограма подобна осциллограме при
смещении контуров на половину межмодового расстояния. Измерение
изобразится формулой:
3
v
2
g3 
2 v  K   H  I 3 .
(57)
При дальнейшем увеличении тока соленоида (магнитного поля)
расщепление контуров генерации лазера по частоте достигнет равенства
двойному межмодовому расстоянию. При этом две соседние через одну моды
резонатора генерируют одновременно, но запитываются разными контурами
усиления. Ток соленоида фиксируется по максимуму суммы одновременной
генераци различных по частоте контуров на осциллографе. Осциллограма
подобна осциллограме при отсутствии магнитного поля. Измерение изобразится
формулой:
g4 
2v
2 v  K   H  I 4 .
(58)
Измеряемые токи при различных смещениях контуров усиления лазера
таковы:
I1=1.45 a  H1=120 э,
I2=2.65 a  H2=220 э,
I3=3.8 a  H3=315 э,
(59)
I4=5 a  H4=415 э,
I5=6.1 a  H5=506 э,
I6=7.2 a  H6=597 э.
Соответствующие им частоты смещения контуров усиления и g факторы
следующие:
v/2 =288.5 Мгц  g1=1.034,
v= 577 Мгц  g2=1.132,
v3/2=865.5 Мгц  g3=1.184,
v2= 1154 Мгц  g4=1.2,
(60)
v5/2=1442.5Мгц  g5=1.23,
v3= 1731 Мгц g6=1.25.
В таблице (60) прослеживается зависимость g–фактора Ланде от частоты
смещения контуров усиления. С увеличением магнитного поля величина g–
фактора увеличивается. Этот факт отмечен впервые.
Литература
1. Л.Аллен, Д.Джонс, Основы физики газовых лазеров, 122–123, (1970).
2.В.Г.Левич, Курс теоретической физики, 818, (1969).
3. Б.М.Яворский и А.А.Детлаф, Справочник по физике, 433–435, (1968).
4. Б.М.Яворский и А.А.Детлаф, Справочник по физике, 765–766, (1968).