Уравнения Максвелла

Уравнения Максвелла как обобщение основных опытных данных
Из курса общей физики должно быть известно, что обобщения ряда опытных фактов приводит


к системе уравнений Максвелла для напряженностей электрического и магнитного полей E и H .
В вакууме эти уравнения имеютвид:
(1)
divE  4

 4  1 E
(2)
rotH 
j
c t
 c
divH  0
(3)


1 H
rotE  
,
c t

(4)
где  и j , соответственно, плотность заряда и тока. Известно также, что сила, действующая на
заряженную
частицу
в
электромагнитном
поле
(сила
Лоренца)
равна:
 

 e 
f  eE  vH , где
c
e -- заряд
частицы, а

v  ее скорость.
Приведем основные опытные факты, обобщение которых приводит к системе уравнений Максвелла.
1. ЗАКОН КУЛОНА
Согласно опытным данным сила взаимодействия двух точечных зарядов пропорциональна
произведению зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Выбрав коэффициент пропорциональности в этом законе равным единице, то есть приняв
f
e1 e 2
,
R2
(5)
мы получаем выражение для размерности электрического заряда и единицу для его измерения в
так называемой гауссовой системе единиц. Связь размерности заряда
 и длины L имеет вид
  e /L .
2
e с размерностью энергии
(6)
Кулоновское взаимодействие между двумя зарядами можно трактовать следующим образом:
можно считать, что один из зарядов (скажем,
напряженностью
(где
 
n R/R
 e1 
E 2n
R
e1 )
создает вокруг себя электрическое поле с
(7)
-- единичный вектор, исходящий из точки расположения заряда
действующая на заряд
e 2 , равна


f  e2 E .
e1 ), а сила,
(8)
Казалось бы, такая трактовка не вносит ничего нового в закон Кулона, установленный опытным путем. Однако же она очень важна концептуально и открывает путь к дальнейшим обобщениям. Действительно, закон Кулона (..) имеет характер дальнодействия, в то время как соотношение (8) определяет силу, действующую на заряд через напряженность электрического поля в
точке нахождения заряда.
Это позволяет рассматривать силу (5) с точки зрения концепции близкодействия. Последнее
является необходимым условием выполнения законов специальной теории относительности. Это
видно из простого примера:
Пусть заряд
e1
быстро сместился из своего первоначального положения. Исходя из концеп-
ции дальнодействия, отраженной в законе (5),следовало бы мгновенно измениться и силе, дей-
e 2 . Но это противоречило бы тому, что взаимодействие, согласно СТО,

e1 должно было бы вызвать изменение его электрического поля E , и когда
ствующей на заряд
не может распространяться с бесконечной скоростью. С точки зрения СТО изменение положения заряда
это изменение, распространяющееся с некоторой конечной скоростью, дойдет с соответствующим запаздыванием до заряда
e 2 , то, согласно (5)изменится и сила, действующая на
него.
Поэтому только концепция близкодействия, заключающаяся в том, что сила, действующая на
точечный заряд, определяется полем в точке нахождения заряда, совместима с законами СТО.
2. ПРИНЦИП СУПЕРПОЗИЦИИ ПОЛЕЙ
Согласно опытным данным напряженность электрического поля, создаваемого несколькими
зарядами, равна векторной сумме напряженностей, создаваемых каждым из этих зарядов. Этот
закон называют принципом суперпозиции полей.
Замечание
Благодаря квантовым эффектам в сильных электромагнитных полях должно происходить
определенное нарушение закона суперпозиции полей и , в частности, наблюдаться рассеяние
света на свете. Однако подобные эффекты , предсказываемые квантовой теорией электромагнитного поля – квантовой электродинамикой (КЭД), столь малы, что интенсивность современных лазеров недостаточна для их экспериментального обнаружения. Вместе с тем, их
можно будет наблюдать на проектируемых в настоящее время встречных  - пучках высокой энергии.
Уравнение (1) является математическим выражением закона (7). Рассмотрим поток вектора
напряженности

E , создаваемой точечным зарядом e , через площадку 


d  (En )  E cos  ,
(рис..) :


n -- единичный вектор нормали к площадке , а   угол между направлениями n и

E. Поскольку   cos    0 , где  0  проекция площадки  на плоскость, пер
пендикулярную вектору E , то
e
d  2  0  e ,
R
 где   телесный угол, опирающийся на площадку . Поэтому полный поток вектора
E через любую замкнутую поверхность , окружающую заряд e, будет равен 4e. Если
где
внутри этой поверхности находятся несколько зарядов, то в соответствии с принципом суперпозиции
 

   En d  4  e a
,
a
где сумма берется по всем зарядам. Если заряды распределяются с плотностью
 e   dv. Преобразуя поток
a
a
лучаем

E
,
через замкнутую поверхность по теореме Гаусса, по-
v




E
n
 d   divEdv  4 dv
v
то
v
(..)

Ввиду произвольности объема v отсюда следует: divE  4 . Это соотношение получено
для статического (не зависящего от времени) кулоновского поля. В качестве обобщения будем

считать его справедливым и в том случае, когда плотность заряда  и напряженность поля E
зависят не только от координат, но и от времени. Тогда оно переходит в уравнение (1) системы
Максвелла.
3. ЗАКОН ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ПОСТОЯННЫХ ТОКОВ
Закон взаимодействия постоянных токов (закон Био и Савара) может быть записан для элемен-


d l1 и d l2 , по которым текут токи с силой , соответственно, J1 и J 2 в виде

JJ    1
df 2 (1) ~ 1 2 d l2 d l1 , R 3 ,
(9)
k
R




где df 2 (1)  сила, действующая на элемент тока d l2 со стороны элемента d l1 , а вектор R


направлен от элемента d l1 к элементу d l2 . Поскольку единицы измерения всех физических величин в законе (9) уже выбраны, коэффициент k должен иметь размерность, соответствующую
2
2
равенству (9): f   e  /K T  .
Учитывая размерность электрического заряда
2
f   e2 /L , можно заключить, что размерностью коэффициента k является квадрат скоро2
2
сти k   L /T . Экспериментальное определение коэффициента k путем измерения силы
тов токов
 

взаимодействия двух токов дало для него значение
k  9 1020 см2 / c2 .
(10)
В пределах ошибок эксперимента эта величина совпадала с квадратом скорости света. Первым
обратил на это серьезное внимание математик Риман, высказав смелое для своего времени предположение об электромагнитной природе света. (Хотя для многих тогда связь между силой взаимодействия двух токов и световыми явлениями казалось совершенно необъяснимой. Положим
k  c 2 и как убедимся в дальнейшем, именно величина c будет равна скорости света.
Формулу (9) можно интерпретировать следующем образом. Можно считать, что элемент тока

d l1 создает магнитное поле с напряженностью

 J1   R 
dH  d l1 , 3  ,
k1 
R 
(11)

d l2 с силой
 J  
(12)
df  2 d l2 , dH .
k2
При этом коэффициенты k 1 и k 2 в выражениях (11) и (12) должны подчиняться условию
k1  k 2  k  c 2 . Удобно выбрать
k1  k 2  c.
(13)
а это поле воздействует на элемент тока


Тогда размерности напряженностей электрического и магнитного полей будут одинаковы.
Определим теперь напряженность магнитного поля, создаваемого бесконечным прямолинейным
током силой J. Если выбрать направление тока в качестве оси z, то из выражения (11) следует,
что в цилиндрической системе координат, отличной от нуля, будет только азимутальная компо-
H  , направленная по касательной к окружности с центром на оси z по

правилу правого винта. Интегрируя поле dH , получим
J  dz
J  d
2J
H  H   2


,

c   (z   2 ) 3 / 2 c   (1   2 ) 3 / 2 c
где  есть расстояние от оси тока в плоскости, перпендикулярной к нему.
 
Рассмотрим в плоскости, перпендикулярной току, скалярное произведение ( Hds ), где

ds  бесконечно малый вектор, направленный под углом  к касательной к окружности с ради 
2J
d0 , где d0  d cos  есть бесконечно малый отусом . ( Hd)  Hd cos  
c
d 0
 d, (где d -- угол, проведенный из центра
резок хорды окружности. Поскольку

 
окружности к концам отрезка ds ), то величина (Hd) равна
  2J
Hd  d .
c

Поэтому циркуляция вектора H, взятая по правилу правого винта вдоль любой замкнутой
кривой C , охватывающей центр окружности, будет
 
J
H
(14)
C d  4 c.
нента магнитного поля
Опыт показывает, что для магнитного поля, точно так же, как для электрического, справедлив
принцип суперпозиции полей. Поэтому, в случае , когда выбранную плоскость пересекают внутри
контура C несколько прямолинейных токов, в правой части формулы (14) должна фигурировать
суммарная сила тока, или поток плотности тока

j
через площадь
S , ограниченную контуром:
  4
H
C d  c  s jn d .
(15)
Преобразуя левую часть равенства (15) по теореме Стокса, имеем

4
C (rotH) n d  c s jn d .
(16)
Отсюда следует, что постоянное магнитное поле, создаваемое постоянным током, должно
подчиняться уравнению
 4
rotH 
j.
c
(17)

Преобразуем теперь выражение (12) для силы, действующей на элемент тока d l2 , считая, что
фигурирующее в (12) магнитное поле создается токами конечных размеров и поэтому имеет ко-


H. Рассмотрим элемент тока d l2 в виде «трубки» тока



с некоторым бесконечно малым сечением d плотностью тока j, которая равна j  nev, где
нечную (не бесконечно малую) величину




n  плотность частиц с зарядом e, а v  их скорость. Тогда J 2 d l2  nevddl2  dN  ev,
где dN  nd dl 2  число частиц в «трубке». Согласно (12) сила, действующая на одну заряженную частицу, двигающуюся в магнитном поле, такова:
 .
 e  
f  v, H
c
(18)
Если же заряженная частица находится одновременно в электрическом и магнитном полях, то
по закону суперпозиции полей действующая на нее сила будет равна сумме сил (8) и (18), то есть
силе Лоренца:
 .

 e  
f  eE  v, H
c
(19)
Здесь мы должны сделать еще одно предположение. Хотя выражение для сил (8) и (18) были

E

H,
получены в случае постоянных, не зависящих от времени полей
и
будем считать, что выражение для силы (18) остается справедливым и в случае переменных полей.
4. ОТСУТСТВИЕ МАГНИТНЫХ ЗАРЯДОВ--МОНОПОЛЕЙ
Из выражения (11) следует, что магнитное поле, создаваемое элементом тока

divdH  0.

d l1 , удовлетво-
ряет уравнению
То же самое условие сохраняется, если взять интеграл по всей
длине проводника с током. Таким образом, магнитное поле, создаваемое электрическими токами,
должно удовлетворять условию

divH  0.
(20)
Если бы в природе существовали магнитные заряды, получившие название монополей, то в
правой части уравнения (20)должна была стоять их плотность, аналогично тому, как в правой части уравнения (1) для напряженности электрического поля стоит плотность электрических зарядов. Однако в природе не обнаружено существование магнитных зарядов. Поэтому будем считать, что источниками магнитных полей являются только электрические токи и что напряженность
магнитного поля должна удовлетворять уравнению (20).
Замечание
Поиски магнитных зарядов неоднократно проводились на ускорителях высокой энергии и в
окружающей среде (где они могли бы остаться в виде реликтов от «Большого взрыва», положившего начало расширению нашей Вселенной). Однако все эти эксперименты не привели к
обнаружению монополей. Более того, в нашем курсе будет теоретически доказано, что точечная частица, движущаяся по классической траектории, не может обладать магнитным
зарядом. Несмотря на все это, вопрос о возможном существовании в природе монополей нельзя считать закрытым.
Во-первых, как показал в 1933г. Пауль Дирак, квантовая теория допускает такую возможность. В связи с этим частицу с магнитным зарядом часто называют монополем Дирака.
Во-вторых, существование монополей предсказывается в ряде теоретических моделей так
называемого «Великого объединения» (в которых пытаются установить единство всех существующих в Природе сил: сильного, электрослабого и, возможно, гравитационного взаимодействий). Предсказываемая в таких моделях масса монополей оказывается очень большой: в
1016 – 1017 раз превыщающей массу протона. Это может объяснить неудачи в попытках обнаружить рождение монополей в опытах на ускорителях высокой энергии. Отсутствие же
монополей в окружающей среде (на уровне, меньшем на много порядков , чем это предсказывалось теорией «Большого взрыва») потребовало, наряду с другими аргументами, существенного изменения сценария «Большого взрыва» и привело к важным следствиям для космологии.
5. ЗАКОН ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ИНДУКЦИИ
М. ФАРАДЕЯ
Закон электромагнитной индукции, открытый М. Фарадеем, заключается, как известно, в том,
что в замкнутом проводящем контуре возникает электрический ток, когда изменяется поток
напряженности магнитного поля, проходящего через площадь, ограниченную контуром. При этом
э.д.с. индукции равна
 э.д.с.  
1 d
,
c dt
(21)
где   поток магнитного поля через площадь контура, а знак минус в (21) указывает, что ток
индукции направлен по правилу левого винта по отношению к изменению потока. Записывая равенство (21) в виде
 
1d
E
d
l



 H n d,
c dt S
(22)
и преобразуя левую часть этого равенства по теореме Стокса, получаем

1 H
 rotE  ds   c  t dt .
s
n
n
S
Отсюда следует, что напряженность электрического поля, вызывающая ток индукции в проводнике, подчиняется уравнению


1 H
rotE  
c t
(23)
Обобщением результатов опытов по наведению токов индукции в проводящем контуре является естественное предположение о том, что изменяющееся магнитное поле должно индуцировать,
согласно (23), вихревое электрическое поле в окружающем пространстве (а не только в проводящем контуре). Это обобщение приводит к уравнению (4.) системы уравнений Максвелла.
6. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ЗАРЯДА. ТОК СМЕЩЕНИЯ
Пусть внутри произвольного объема V находятся заряженные частицы. Опыты показывают,
что изменение полного электрического заряда внутри заданного объема может происходить только за счет вытекания из него (или втекания в него) заряженных частиц. В интегральной форме этот
закон может быть записан в виде

d
 dv  S jn ds,
dt v
(24)
где jn  проекция плотности тока на внешнюю нормаль к поверхности S, охватывающей заданный объем. Преобразуя правую часть равенства (24) по теореме Гаусса, можно получить закон
сохранения заряда в дифференциальной форме:


 div j  0
t
(25)
Закон сохранения заряда требует, чтобы уравнение (17) для постоянного магнитного поля, создаваемого постоянными электрическими токами, было определенным образом изменено для случая полей, меняющихся со временем. Действительно, взяв дивергенцию от обеих частей равенства
(17), мы получим
 4 
divrot H 
div j  0.
c
Условие

divj  0
в случае постоянных зарядов, когда
d
 0,
dt
не противоречит закону
сохранения заряда (25). Однако оно становится недопустимым для случая изменяющихся зарядов
и полей. Попробуем решить, как надо изменить уравнение (17), чтобы оно не противоречило за-
кону сохранения заряда. Для этого добавим к электрическому току
ток
/
J.
Из полученного уравнения

 4   /
rotH 
j j
c

j
некий (неизвестный пока)
 следует, что


 /
div j  j  0.


, мы получим
Определив из (25) div j  
t

 
div j /  div j  .
t


 1
E
Поскольку из уравнения divE  4 следует, что
, мы получаем

div
t 4
t

/ 1
E
div j 
div .
4
t
/
Для выполнения этого достаточно положить ток смещения j равным

 / 1 E
j 
.
4 t
.
(26)
Таким образом, мы приходим к уравнению (3)
Замечание о законе сохранения заряда
Закон сохранения заряда является одним из основных фундаментальных законов физики. Достаточно сказать. что на основе общих принципов и концепций современной квантовой теории поля оказывается возможным теоретически вывести все уравнения Максвелла (а также поправки к ним), исходя только из одного факта: существования
сохраняющегося электрического заряда.
Сохранение электрического заряда экспериментально проверено с большой точностью
не только для свободных, неизменяющихся частиц, но и в различных реакциях, происходящих с превращением одних заряженных частиц в другие. Так, в   распаде нейтрона
(не обладающего электрическим зарядом) на протон, электрон и электронное антинейтрино закон сохранения заряда выполняется с удивительной точностью, так как из опытов
известно, что заряд протона отличается (по модулю) от заряда электрона не более чем на
10-21 своей величины (эта же величина может служить оценкой сверху на возможный заряд нейтрино.
Следует подчеркнуть, что согласно опытным данным при объединении заряженных частиц в какую-либо связанную систему (например, протонов в атомное ядро или кварков в
адроны) электрические заряды частиц аддитивно складываются, так что полный заряд системы в точности равен сумме зарядов составляющих ее частиц и не зависит ни от энергии связи системы, ни от скоростей, которые имеют частицы в этой системе.
Таким образом, в отличие от массы при образовании связанной системы частиц не
наблюдается какого-либо дефекта заряда (или, по крайней мере, этот дефект столь мал,
что недоступен для существующих способов наблюдений).