ДИНАМИКА МАШИННОГО АГРЕГАТА С УПРУГИМ ВАЛОМ И

Динамика машин
УДК 621.01:531
СТ.Н.БЪЧВАРОВ, В.Д.ЗЛАТАНОВ, С.Г.ДЕЛЧЕВА-АТАНАСОВА, И.Г.ЯНЧЕВ
ДИНАМИКА МАШИННОГО АГРЕГАТА С УПРУГИМ ВАЛОМ
И ЛИНЕЙНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКОЙ ИСПОЛНИТЕЛЬНОГО
МЕХАНИЗМА
1. Введение
В разных отраслях индустрии широко распространены машинные агрегаты с
фрикционной муфтой и зубчатой передачей (редуктором) между двигателем и
исполнительным механизмом. Создание надежных зубчатых передач в составе
машинных агрегатов требует определения действующих на них динамических нагрузок
с высокой степенью точности. В литературе по динамике машин и, в частности,
машинных агрегатов со сцепными муфтами [1,2,3,4,5,8,9,10,11], переходные процессы
(разбег и торможение) мало исследованы. Механические системы (модели)
рассмотрены отдельно от привода и характера рабочей нагрузки. Кроме того,
существующие исследования представлены без определения нагрузок в зубчатых
передачах, включенных в состав машинных агрегатов со сцепными муфтами. Значение
этих нагрузок важно, так как они являются максимальными нагрузками, действующими
в зубчатых передачах.
2. Цель исследования
Целью настоящего исследования является изучение
режимов разбега и
соответствующих динамических нагрузок в машинных агрегатах со сцепными
фрикционными муфтами, зубчатой передачей (редуктором),
упругим валом и
исполнительным механизмом с учетом их механических характеристик.
3. Динамическая модель
Динамическая модель
машины (рис.1) состоит
из
асинхронного
электродвигателя (М) с короткозамкнутым ротором и постоянным моментом инерции
Рис.1. Модель агрегата
J M  const ; исполнительного механизма (W) ротационного типа с постоянным
моментом инерции J W  const и линейной механической характеристикой
TW  c1  c1 W , где TW -момент сил сопротивления (технологический) исполнительного
механизма; c1 , c1 -постоянные величины, W -угловая скорость ротора исполнительного
механизма; зубчатой передачи (G), работающей как редуктор и имеющей постоянный
(приведенный к валу электродвигателя) момент инерции J G и постоянное
передаточное отношение i  const ; сцепной муфты ( C A ) между двигателем и зубчатой
передачей с постоянным моментом трения TFr, max  T  const при буксовании в
62
http://tmm.spbstu.ru
Динамика машинного агрегата с упругим валом и линейной характеристикой …
зацепленном положении; постоянной муфтой ( C B ) между зубчатой передачей (G) и
исполнительным механизмом (W) ( она постоянно включена и поэтому не изображена
на рис.1).
Приводя момент инерции исполнительного механизма и момент сил
сопротивления к валу электродвигателя, получаем
JW пр 
TW пр 
JW
i2
TW
i
,

c1  c1W
i

c1
i

c1
i2
(1)
M  c1пр  c1пр M .
В дальнейшем будем считать, что
— зазоры в кинематической цепи отсутствуют;
— вал, связывающий электродвигатель и муфту, абсолютно жесткий;
— вал, связывающий редуктор с исполнительным механизмом имеет линейную
упругую характеристику с жесткостью на кручение c  c .
Предполагается, что электродвигатель (М) раскрутился предварительно до своей
синхронной угловой скорости  M syn , после чего происходит мгновенное включение
фрикционной муфты C A и увеличение созданного момента трения TFr от нуля до его
максимального значения T Fr , max =const. Это самый тяжелый режим разбега машины,
другие режимы более благоприятны. На основе этого предположения считается, что
асинхронный электродвигатель работает на наклонном участке механической
характеристики (рис. 2), аппроксимируемом линейной зависимостью движущего
момента от угловой скорости
TM  a  b M ,
(2)
где для постоянных a и b имеем
a
 M syn
 M
TM nom
, b
TM nom
 M

a
 M syn
.
Рис.2. Механические характеристики
Теория Механизмов и Машин. 2004. №1. Том 2.
63
Динамика машин
Рассмотрим решение поставленной задачи на основе созданной модели
машинного агрегата, движение которого происходит в два этапа:
1) этап пробуксовки муфты, во время которой угловые скорости валов сцепной
муфты стремятся к выравнению;
2) этап совместного раскручивания, при котором оба вала ускоряются совместно
до установления рабочей (стационарной) угловой скорости агрегата.
4. Дифференциальные уравнения движения машины
Движение частей агрегата на этапе пробуксовки описывается системой
дифференциальных уравнений
1  a  b 1  T ,
J1
 2  T  c 2  3 ,
J 2
 3  c  2  3   TW пр ,
J 3
(3)
 3 –приведенный
где a  b 1  TM - момент вращения двигателя, а TW пр  c1 пр  c1пр 
рабочий момент сопротивления. Для упрощения записи дифференциальных уравнений
(3) введены обозначения:  1   M ,  2 ,  3 - углов поворота соответственно ротора
электродвигателя и приведенных к его оси углов поворота валов зубчатой передачи и
исполнительного механизма, и J1  J M , J 2  J G пр и J 3  JW пр , соответствующих им
моментов инерции. Для максимального момента трения, созданного между трущимися
дисками муфты имеем:
2
r23  r13
T  TFr max  Q 2
.
3
r2  r12
(4)
В формуле (4): r2 и r1 - внешний и внутренний радиус кольцеобразной
контактной поверхности муфты;  –коэффициент трения; Q максимальная
прижимающая сила между дисками, которая мгновенно принимает значение,
удовлетворяющее требованию T  TFr max  TW пр .
Второе и третье дифференциальные уравнения в (3) с учетом (1) записываем в
виде
 2  T  c 2  3 ,
J2
 3  c 2  3   c1пр  3  c1пр .
J 3
(5)
При введении новой переменной  2 :
 2 2  T c
(6)
 2  c 2  c3  0 ,
J 2
 3  c1пр  3  c3  c 2  T  c1пр ,
J 3
(7)
система (5) записывается в виде
64
http://tmm.spbstu.ru
Динамика машинного агрегата с упругим валом и линейной характеристикой …
учитывая, что  2   2 ,2  2 .
Этап раскручивания начинается с выравниванием угловых скоростей валов
агрегата  S  и продолжается до момента установления рабочей скорости  st . Роторы
электродвигателя и зубчатая передача движутся как единное целое с моментом
инерции J 2  J 1  J 2 , с уголом поворота  2   1 и с угловой скоростью  2  1 .
Агрегат движется как двумассовоый, а его оба ротора связаны упругим валом с
жесткостью c .
Движение на этапе совместного раскручивания описывается системой
дифференциальных уравнений
 J1  J 2 2  a  b2  c 2  3  ,
J 33  c 2  3   c1пр 3  c1пр ,
откуда получаем систему дифференциальных уравнений
 J1  J 2 2  b2  c2  c3  a ,
J 33  c1пр3  c3  c2  c1пр .
(8)
5. Определение закона движения машины
Анализ систем дифференциальных уравнений (7) и (8) показывает, что
определение закона движения машины, требует знания решения системы
дифференциальных уравнений, общий вид которых :
c11  c12  c13  c14  B1 ,
(9)
c21  c22  c23  c24  B2 ,
где для (7):
  3 ,    2 , c11  J 3 , c12  c1пр , c13  c , c14  c , B1  T  c1пр ,
c21  J 2 , c22  0
, c23  c , c24  c , B2  0,
а для (8):
  2 ,   3 , c11  J1  J 2 , c12  b , c13  c , c14  c , B1  a,
c21  J 3 , c22  c1пр , c23  c , c24  c , B2  c1пр .
Система дифференциальных уравнений (9) неоднородная и ее решение
получается как сумма общего решения соответствующей однородной системы и
частного интеграла неоднородной системы
   h  
,    h   .
(10)
Решение однородной системы ищем в виде
Теория Механизмов и Машин. 2004. №1. Том 2.
65
Динамика машин
 h  A e  t
,  h  A e  t .
(11)
Подставляя сотношения (11) в однородную систему, получаем следующую
алгебраическую систему для определения постоянных A и A
c
11
 2  c12   c13 A
 c14 A  0 ,
c 24 A  c 21  2  c 22   c 23 A  0 .
(12)
Для того чтобы система (12) имела нетривиальное решение относительно A и
A , необходимо чтобы  удовлетворяло характеристическому уравнению:
c11  2  c12   c13
c 24
c14
0
c 21   c 22   c 23
2
или
a 0  4  a1  3  a 2  2  a 3   a 4  0 ,
(13)
где
a0  c11c21 ,
a1  c11c22  c12c21 ,
a3  c12c23  c13c22 ,
a2  c11c23  c13c21 ,
a4  c13c23  c14c24 .
Так как для исследуемой системы c13  c 23  c14  c 24 , то и a 4  0 и уравнение
(13) принимает вид
 a 0  3  a1  2  a 2   a 3   0 ,
(14)
откуда находим четыре корня  k k  1,2,3,4 , которые являются собственными
значениями системы. Подставляя их последовательно в систему уравнений (12),
определяем четыре пары значений коэфициентов A и A ,т.е. Ak  , Ak  k  1,2,3,4 ,
соответствующие каждому корню  k . Из (14) находим один нулевой корень
1  0 ,
(15)
а остальные являются тремя корнями кубического уравнения
a 0  3  a1  2  a 2   a 3  0 ,  3  a1  2  a 2   a 3  0 ,
(16)
где
a1 
66
a  c c  c13 c 22
a1 c11c12  c12 c 21
a  c c  c13 c 21
, a 3  3  12 23

, a 2  2  11 23
.
a 0
c11c 21
a 0
c11c 21
a 0
c11c 21
http://tmm.spbstu.ru
Динамика машинного агрегата с упругим валом и линейной характеристикой …
Уравнение (16) посредством подстановки
x
a
3
(17)
приводится к каноническому виду
x3  p x  q  0 ,
(18)
a2
a ab
 b , q  2  
 c.
3
 3 3
Покажем, что корни кубического уравнения (16) имеют отрицательные
вещественные части. Все коэфициенты вещественны, положительны:
где p  
a 0  0 , a1  0 , a 2  0 , a 3  0 ,
и определяются выражениями
a0  J 2 J 3  0
, a1  c1пр J 2  0 ,
a 2  cJ 2  J 3   0 , a3  c. c1пр  0 и
a0  J 3 J1  J 2   0
a 2  cJ1  J 2  J 3   0
, a1  c1пр J1  J 2   b J 3  0 ,


, a3  c b  c1пр  0 .
Определители Гурвица
 1  a1  0 ,  2 
a1
a 0
a 3
0
a 2
для двух этапов соответственно имеют вид
1  c1пр J 2  0
 2  c c1пр J 2 2  0 ,
,
1  c1пр J 1  J 2   b J 3  0 ,


 2  c c1пр J 1  J 2 2  bJ 3 2  0 .
Таким образом, согласно критерию Рауса-Гурвица все корни имеют
отрицательную вещественную часть. Движение будет устойчивым и при этом
асимптотически.
Введем величины
q
q
(19)
A3    ,
B3    ,
2
2
где

q 2 p3

.
4
27
Два корня, определенных с помощью (19) будут комплексными, а один
вещественным при   0 . Неравенство будет заведомо выполнено, если
Теория Механизмов и Машин. 2004. №1. Том 2.
67
Динамика машин
p  0 , p  3 3
q2
,
4
(20)
откуда для двух этапов получаем
c1пр
c1пр  
 3c

  J 2  J 3  J 3 
 J2

1
2
,
b J3
1
3 c J 3 J1  J 2  J 3 J1  J 2 12 .

J1  J 2 J1  J 2
Если A и B вещественны, то три корня уравнения (18) находятся по формулам
Кардано [6]:
A B
A B
i
3,
2
2
A B
A B
x4  
i
3 , i   1.
2
2
x 2  A  B , x3  
(21)
Корни характеристического уравнения (13) находим при помощи (15), (17) и
(21):
1  0,
3  x3 
2  x2 
c11c22  c12c21
3 c11c21
c11c22  c12c21
3 c11c21
  n  i , 4  x4 
   0,
c11c22  c12c21
3 c11c21
(22)
  n  i ,
где

c11c 22  c12 c 21
A B
A  B c11c 22  c12 c 21
3.
,
 A  B , n 

2
3 c11c 21
2
3 c11c 21
Общее решение однородной системы диференциальных уравнений, полученных
из (9):
 h  A1  A2  e   t  A3 e  t  A4  e  t ,
3
4
(23)
 h  A1  A2  e   t  A3 e  t  A4  e  t ,
3
где для определения постоянных A j  и A j 
4
 j  1,2,3,4 ,
после последовательной
подстановки  j  j  1,  ,4  получаем алгебраические системы уравнений
68
http://tmm.spbstu.ru
Динамика машинного агрегата с упругим валом и линейной характеристикой …
c
11
 2j  c12  j  c13  A j   c 14 A j   0 ,
 c 24 A j 


 c 21  2j  c 22  j  c 23 A j   0 ,
(24)
 j  1,2,3,4.
Подставляя 1  0 в (24), находим A1  A1 . Для остальных трех пар
постоянных можно записать отношения
c21 j 2  c22 j  c23
A j 
c14




  j ,  j  2,3,4 .
c24
A j 
c11 j 2  c12 j  c13
(25)
После замены  3 и  4 выражениями из (22), для отношений  3 ,  4 находим
 3,4  
c 21 n 2   2   c 22 n  c 23   i  c 22  2c 21n 
.
c 24
(26)
При помощи отношений (25) и формулы Эйлера e  i t  cos t  sin t , общее
решение (23) записываем в виде
 C   C cos  t 

 h  C1   2C2 e   t  e  n t  3 3 4 4
,
  4C3   3C4 sin  t 

 h  C1  C2 e   t  e  n t C3 cos t  C4 sin  t ,

(27)

где A1  A1  C1 , A2   C2 , C3  A3  A3 , C 4  i A3  A3 , а для  3 и  4 находим
значения


 c21 n 2  2  nc22  c23
c22  2nc21 
3 
, 4 
,  3  Re 3 ,  4  Im 3 .
c24
c24
Частные решения  и  системы (9) находим в виде:
 1 4   2   3  1    3  1   2 n    4  1n   2 


2
2
3  n   
  3  2  1 
   2 
  2   3   2   1 4 
t,
 3   2  1


      2   1  4 
    2   3  1
  n
  1 4
 1 2 22  2 3
 t,
 3   2  1
 3   2  1
3  n    


(28)
где
1 
B1
B
B
B
b2  2 b1 ,  2  1 a 2  2 a1 ,
c11
c 21
c11
c 21
 3  b1a 2  a1b2 , a1 
Теория Механизмов и Машин. 2004. №1. Том 2.
 2
  n 4   3 ,
 2  1 4
69
Динамика машин
a2 

 2  1
b2 
2
 4   , b1 
 2  1
 2
  1   4  n 3 ,
 2  1 3
 3  1  n .


Если приведенный момент сопротивления имеет вид TW пр  c1пр M c1пр  0 и
c13  c 23  c14  c 24 , c 22  0 , то частные интегралы (28) в этапе пробуксовки
принимают окончательный вид
 2  3 
T
c1пр
t.
(29)
Таким образом, на основе (27), (29), (10) и с учетом (6), получим законы
движения угловой скорости ротора электродвигетеля и приведенных к его оси углов
поворота зубчатых колес и исполнительного механизма на этапе пробуксовки
b

 t
a0
T J1 
J1 
1 
t  2 1  e
,
b
b 



T
T
2  
t  C1  C 2 e  t  e n t C3 cos t  C 4 sin t ,
c c1red
3 
T
c1пр
(30)
t  C1   2 C 2 e  t 
 e n t  3C3   4 C 4  cos t   4 C3   3C 4 sin t ,
b
a
T 
1   1  0  e J1 ,
b b
T
 2   2 
 C 2 e  t  ne n t C3 cos t  C 4 sin t  
c1пр
  e n t  C3 sin t  C 4 cos t ,
3   3 
T
c1пр
(31)
  2 C 2 e   t 
 n e n t  3C3   4 C 4  cos t   4 C3   3C 4 sin t  
  e n t   3C3   4 C 4 sin t   4 C3   3C 4  cos t  ,
где в первом уравнении (30) учтены начальные условия движения:
t  0 ,  1,0  0 , 1,0 
a
,  2,0  0 ,  2,0  0 ,  3,0  0 ,  3,0  0 .
b
Постоянные интегрирования C j ( j  1,  , n ) можно определить методом,
показаным в [7].
Продолжительность фазы пробуксовки длится до момента выравнивания
угловых скоростей двигателя и зубчатой передачи , т е 1   2 . Приравниванием
70
http://tmm.spbstu.ru
Динамика машинного агрегата с упругим валом и линейной характеристикой …
правых частей первых двух уравнений в (33) получаем трансцедентное уравнение. Для
определения его корня t S (длительность этапа пробуксовки) можно использовать
какой-либо численный метод, например метод хорд, метод Ньютона.
На этапе совместного раскручивания при приведенном моменте сопротивления
TW пр  cпр M c1пр  0 с учетом c13  c 23  c14  c 24 , c 22  0 , получаем частные

решения  и


:
 2 
c1пр
a
a
a

t , 3 
t.
c b  c1пр b  c1пр
b  c1пр
(32)
Закон движения агрегата на этапе совместного раскручивания получаем из
соотношений (27) и (34) с учетом (10)
2 
c1пр
a
a

t  C1   2 C 2 e  t 
c b  c1пр b  c1пр
 e n t  3C3   4 C 4  cos t   4 C3   3C 4 sin t ,
3 
(33)
a
t  C1  C 2 e  t  e n t C3 cos t  C 4 sin t .
b  c1пр
Из соотношений (35) после диференцирования по времени t находим
 2   2 
a
  2 C 2 e  t 
b  c1пр
 n e n t  3C3   4 C 4  cos t   4 C3   3C 4 sin t  
  e n t   3C3   4 C 4 sin t   4 C3   3C 4  cos t 
3   3 
a
 C 2 e  t  ne n t C3 cos t  C 4 sin t  
b  c1пр
  e n t  C3 sin t  C 4 cos t .
Постоянные интегрирования C j ( j  1,  , n ) в формулах (35) определяются
методом, показанным в [7], при следующих начальных условиях
t  0 ,  2,0   2 t S  ,  2,0   2 t S  ,  3,0   3 t S  ,  3,0   3 t S  ,
которые находятся из формул (32) и (33) для момента t S .
6. Динамические нагрузки
Крутящий момент на упругом валу Tt на этапе пробуксовки определяется
выражением
Tt  c 2   3  ,
где  2 и  3 представлены выражением (32). Из этого выражения находим
Теория Механизмов и Машин. 2004. №1. Том 2.
71
Динамика машин
Tt  T  c C 2 1   2 e t  ce  nt 1   3 C3   4 C4 cos t 
 4 C3  1   3 C4 sin t.
Видно, что когда t  t S крутящий момент Tt стремится к максимальному моменту
трения муфты C A  - T . Крутящий момент Tt  , действующий на упругий вал, на этапе
совместного раскручивания, определяется выражением
Tt  c 2   3  .
С учетом (33) находим
Tt  c1пр
a
 c C 2 e  t 1   2  
b  c1пр
 ce nt 1   3 C3   4 C 4 cos t  4 C3  1   3 C 4 sin t.
Из полученной формулы видно, что когда t   крутящий момент Tt  стремится к
предельному значению
Tt,st  lim Tt  c1пр
t 
a
 c1пр 3,st  TW пр ,
b  c1пр
которое определяет стационарную нагрузку трансмиссионного вала.
7. Пример
Полученные результаты проиллюстрированы численном примером на основе
технической характеристики многофункционального прессавтомата с перенастройкой
MPA-1PM, произведенного в ТИКЕ-АД Пловдив. Дла автомата: J M  0,192 кгм 2 ,
J W  130 кгм 2 , TFr ,max  92 Нм ,
i  41,6 ,
J G пр  0,02 кгм 2 . Для асинхронного
электродвигателя с короткозамкнутым ротором AM-132-M-6: Nпот = 5,5 кВт,
n = 950 об/мин, a = 1149,93 Нм и b = 10,98 Нмс. Коэфициенты момента сопротивления
с1 = 961,7 Нмс, c1 = 0, а жесткость вала c  13178 Нм .
Изменение угловых скоростей 1 , 2 , 3 и нагрузки Т зубчатой передачи
показаны на рис.3 – 5.
Рис.3. Изменение угловых скоростей
72
http://tmm.spbstu.ru
Динамика машинного агрегата с упругим валом и линейной характеристикой …
Рис.4. Изменение угловых скоростей
Рис.5 Изменение крутящего момента
8. Заключение
В представленном исследовании изучена динамика разбега машинного агрегата
с управляемой фрикционной муфтой между двигателем и исполнительным
механизмом. Асинхронный электродвигатель с короткозамкнутым ротором, раскручен
до своей синхронной угловой скорости, а исполнительный механизм имеет линейную
механическую характеристику и приводится в движение из состояния покоя.
Определены законы движения машины на двух этапах его разбега: этапа пробуксовки
(скольжение в фрикционной муфте) и этапа совместного раскручивания. Представлена
методика вычислений. Найден динамический крутящий момент, действующий на
трансмиссионный вал на обоих этапах. Теоретические результаты проиллюстрированы
численным моделированием конкретного технического примера.
По сравнению с исполнительным механизмом с постоянным моментом
сопротивления [7], время выравнивания скоростей двигателя и исполнительного
механизма уменьшилось на 40%. Время затухания колебательного процесса
уменьшается на 42%, а амплитуда колебаний вала исполнительного механизма машины
существенно уменьшилась. Динамическая нагрузка трансмиссионного вала более
Теория Механизмов и Машин. 2004. №1. Том 2.
73
Динамика машин
значительна в случае исполнительного механизма с постоянным моментом
сопротивления, при котором время установления стационарного процесса более
длительное.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ангелов Г. Машинни елементи. ДИ ”Техника”, С., 1968.
2. Арнаудов К.,И. Димитров, П. Йорданов, Л. Лефтеров. Машинни елементи.
ДИ ”Техника”, С., 1980.
3. Борисов С.М. Фрикционнне муфты и тормоза строительных и дорожных
машин, Машиностроение, М., 1973.
4. Иванов Е.А. Муфты приводов. Машгиз, М, 1959.
5. Комаров М.С. Динамика механизмов и машин. Машиностроение, М., 1969.
6. Корн Г., Т.Корн. Справочник по математике для научных работников
инженеров. Наука, Москва, 1973.
7. Bachvarov St, V. Zlatanov, Konst. Arnaudov, P. Kolev. Non-steady processes in
machine aggregates with friction coupling and elastic shaft between the power and the
working machine. IX Congress - Theoretical and Applied Mechanics, 19-22. 09.2001,
Varna. Proceedings of The 9th National Congress of Theoretical and Applied Mechanics, Vol.1, pp 7-19.
8. Fronius St. Maschinenelemente, Bd.II, Antriebselemente, VEB Verlag, B., 1971.
9. Genova P., Karapetkov S., Kremakov J. Dynamics Analysis of Starting Regime of
the System: Asynchronous Motor-Centrifugal Coupler-Cylinder Card, Механика на
машините, №5, 1994.
10. Holzweibing Fr., Dresing H. Lehrbuch der Maschinendynamics, VEB Fachbuchverlag, Leipzig, 1979.
11. Peeken, H., Troeder, Chr. Elastische Kupplungen, Springer-Verlag, B., 1986.
Поступила в редакцию 27.10.2003
После доработки 28.12.2003
74
http://tmm.spbstu.ru