Задания заключительного тура Всероссийского конкурса научных работ школьников «Юниор» 2014-2015 учебного года секция физики и астрономии, 9 класс 1. Слоненок и Мартышка измеряют длину Удава, который проползал мимо них. В тот момент, когда около них был хвост Удава, Мартышка побежала к его голове и, добежав, положила на землю в ту точку, где находилась голова Удава, банан. Затем она побежала обратно и положила второй банан рядом с кончиком хвоста Удава (который продолжал ползти). Потом пришел Попугай и измерил расстояния от Слоненка (который все время стоял на месте) до бананов в «попугаях». Эти расстояния оказались равны - 48 попугаев и 16 попугаев. Найти отношение скорости Мартышки к скорости Удава и длину Удава в попугаях. 2. Между кубиками массами m и 2m , которые покоятся на гладком горизонтальном столе, вставляют сжатую пружину. Если кубик с массой 2m удерживать, а другой освободить, он отлетит со скоростью v . С какой скоростью будет двигаться этот кубик, если кубики освободить одновременно? Деформация пружины одинакова в обоих случаях. 3. Земля совершает два вращения – вокруг своей оси и вокруг Солнца. Считая известным, что период обращения Земли вокруг своей оси немного меньше календарных суток, и используя известные календарные и астрономические данные, найти период обращения Земли вокруг своей оси с точностью до секунд. 4. Через неподвижный блок перекинута легкая нерастяжимая нить, к концам которой прикреплены два груза массой M каждый. К боковой поверхности одного из грузов прицепился таракан массой m . Вначале грузы удерживали, причем груз с тараканом находился на h выше второго груза. Грузы отпускают, и в тот момент, когда груз с тараканом поравнялся со вторым грузом, таракан прыгнул перпендикулярно боковой поверхности своего груза и уцепился за движущийся вверх второй груз. Через какое время грузы снова поравняются? На какую максимальную высоту поднимется груз с тараканом? Решения 1. Очевидно, мартышка пробежала до головы удава расстояние lv м / v м v у , которое по условию равно 48 попугаям (здесь l - длина Удава, v м - скорость Мартышки, v у - скорость Удава). Поэтому lv м 48 П vм v у (*) Когда Мартышка побежала обратно, она пробежала расстояние (от точки разворота) lv м / v м v у , которое по условию равно 32 П (48 П – 16 П). Поэтому lv м 32 П vм v у (**) Решая систему равнений (*)-(**), найдем vу vм 0, 2 , l 38,4 П 2. Пусть потенциальная энергия сжатой пружины - . Тогда в первом случае закон сохранения энергии дает mv 2 2 Во втором случае потенциальная энергия пружины превращается в кинетическую энергию обоих кубиков. И, кроме того, поскольку систему кубиков не удерживают, для их скоростей в этом случае справедлив закон сохранения импульса. Поэтому mv12 2mv22 2 2 mv1 2mv2 где v1 и v2 - скорости кубиков во втором случае. Из системы уравнений находим v1 2 v 3 3. Сутками (или Солнечными сутками) естественно назвать время между двумя одинаковыми Солнца по отношению к Земле (например, между двумя моментами, когда Солнце находится в зените в некоторой точке Земли). Звездными сутками естественно назвать время между двумя одинаковыми положениями звезд по отношению к Земле. Из-за вращения Земли вокруг Солнца эти два интервала времени несколько отличаются друг от друга. На рисунке показана орбита Земли (почти круговая), в центре орбиты – Солнце. На Земле черточкой отмечена некоторая фиксированная точка (например, Останкинская телебашня в Москве). Солнечные сутки – интервал времени между двумя положениями Земли, когда черточка (Останкинская башня) направлена на Солнце. Звездные сутки – интервал времени между двумя положениями Земли, когда Останкинская башня направлена на одну и ту же очень далекую звезду (или, поскольку звезда очень далека, между двумя положениями Земли, когда Останкинская башня параллельна сама себе, другими словами, звездные сутки – это точный период обращения Земли вокруг своей оси). Если бы Земля только вращалась вокруг своей оси (но не вокруг Солнца), то солнечные и звездные сутки совпадали бы. Если бы направление вращения Земли вокруг своей оси и вокруг Солнца были бы противоположными (не так как на рисунке), то звездные сутки были бы больше солнечных. В условии сказано, что солнечные сутки меньше, поэтому направления вращения Земли вокруг своей оси и вокруг Солнца совпадают (как это показано на рисунке). На рисунке двумя дугами отмечен угол поворота Земли вокруг Солнца, отвечающий звездным суткам, а тремя дугами – солнечным. Из рисунка очевидно, что разница между солнечными и звездными сутками отвечает повороту Земли вокруг своей оси, равному ее углу ее суточного поворота вокруг Солнца (этот угол отмечен на рисунке одной дугой). А поскольку полный оборот вокруг Солнца Земля совершает за 365 дней и 6 часов (4 раза по 6 часов дают високосный год, в котором 366 дней), то за солнечные сутки (24 часа) Земля поворачивается на угол 24 360 0,986 365 24 6 вокруг Солнца. Поэтому для солнечных суток ( t ) и звездных суток ( T ) справедливо соотношение t T T 360 t T 1 360 t T 360 t 236,0 секунд 1 360 А поскольку 236 секунд – это без 4 секунд 4 минуты, то полный оборот вокруг своей оси Земля делает за 23 часа 56 минут и 4 секунды. 4. Система грузов будет двигаться с ускорением a mg 2M m (*) Грузы поравняются друг с другом, когда каждый пройдет расстояние h / 2 , и будут иметь скорости v ah mgh 2M m Это произойдет через время 2M m h mg После начала движения. Найдем скорости грузов v1 после перепрыгивания таракана на другой груз. По закону сохранения импульса имеем 2 Mv mv 2 M m v1 v1 2 M m v 2M m mgh 3/ 2 2M m 2M m Ускорение системы грузов будет также определяться формулой (*). Поэтому время 1 до того момента, когда грузы снова поравняются, можно найти так 2 2M m 2v1 h 2 2M m a mg 2 M m 2M m Груз с тараканом поднимется на высоту 2M m h mg 2 2M m 2M m h 2M m h1 2 2 M m 2 2 (по отношению к уровню, когда положения грузов совпадают), а максимальное расстояние между грузами будет равно 2h1 .