Решение уравнений с параметрами

Математика, 9 класс
Карпова Ирина Викторовна
Решение уравнений с параметрами
Иногда в уравнениях некоторые коэффициенты заданы не конкретными числовыми
значениями, а обозначены буквами.
Пример: ax+b=c.
В этом уравнении х – неизвестное, a,b,c – коэффициенты, которые могут принимать
различные числовые значения. Заданные таким образом коэффициенты называются
параметрами.
Одно уравнение с параметрами задает множество уравнений (для всех возможных
значений параметров).
Пример: –5х+10=–1;
x+4y=0;
1
–102–1000y= ; и т.д.
3
это все уравнения, которые задает уравнение с параметрами ax+b=c.
Решить уравнение с параметрами – это значит:
1. Указать, при каких значениях параметров уравнение имеет корни и сколько их при
разных значениях параметров.
2. Найти все выражения для корней и указать для каждого из них те значения
параметров, при которых это выражение определяет корень уравнения.
Обратимся к уже приведенному уравнению с параметрами ax+b=c и решим его.
bc
Если а0, то x 
.
a
Если а=0, то получаем b=c, если это действительно так, то корнем уравнения является
любое действительное число, если же bc, то уравнение решений не имеет.
Таким образом, мы получили:
bc
;
a
при а=0 и b=c, х – любое действительное число;
при а=0 и bc, уравнение корней не имеет.
В процессе решения этого уравнения мы выделили значение параметра а=0, при
котором происходит качественное изменение уравнения, такое значение параметра мы в
дальнейшем будем называть «контрольным». В зависимости от того, какое уравнение мы
имеем, «контрольные» значения параметра находятся по-разному. Рассмотрим различные
типы уравнений и укажем способ нахождения «контрольных»значений параметра.
при а0, x 
I. Линейные уравнения с параметром и уравнения, приводимые к
линейным
В таких уравнениях «контрольными» значениями параметров, как правило,
являются значения, обращающие в нуль коэффициенты при х.
Пример 1. Решить уравнение с параметром: 2а(а–2)х=а–2
1. «Контрольными» значениями являются значения, удовлетворяющие условию:
2а(а–2)=0
решим это уравнение относительно переменной а.
2а=0 или а–2=0, откуда а=0, а=2.
2. Решим первоначальное уравнение при «контрольных» значениях параметра.
При а=0 имеем 0х=–2, но это не имеет место ни при каких действительных
значениях х, то есть в этом случае уравнение корней не имеет.
При а=2 имеем 0х=0, это справедливо при любом значении х, значит, корнем
уравнения является любое действительное число х.
3.
Решим первоначальное уравнение, в случае, когда а0 и а2, тогда 2а(а–
2)0 и обе части уравнения можно поделить на 2а(а–2), получим:
a2
1
, так как а2, то дробь можно сократить на (а–2), тогда имеем x 
.
x
2a
2a(a  2)
Ответ:
при а=0, корней нет;
при а=2, корень – любое действительное число;
1
при а0, а2, x 
.
2a
Можно представить алгоритм решения такого типа уравнений.
1.
2.
3.
4.
Определить «контрольные» значения параметра.
Решить уравнение относительно х, при контрольных значениях параметра.
Решить уравнение относительно х, при значениях, отличных от «контрольных».
Записать ответ в виде:
Ответ: 1) при значениях параметра ... , уравнение имеет корни ... ;
2) при значениях параметра ... , уравнение имеет корни ... ;
3) при значениях параметра ... , уравнение корней не имеет.
Пример 2. Решить уравнение с параметром
(а2–2а+1)х=а2+2а–3
1. Найдем контрольные значения параметра
а2–2а+1=0  (а–1)2=0  а=1
2. Решим уравнение при а=1
0х=(1+21–3)  0х=0  х – любое действительное число.
3. Решим уравнение при а1
a 2  2a  3
а2–2а+10  x  2
a  2a  1
разложим числитель и знаменатель дроби на множители
(a  3)( a  1)
x
(a  1) 2
так как а1, дробь можно сократить
a3
x
a 1
4. Ответ:
1) при а=1, х – любое действительное;
a3
2) при а1, x 
.
a 1
Пример 3. Решить уравнение с параметром
2(a  1) x
7
 3( x  1) 
a
a
1. Так как параметр а стоит в знаменателе, то а обязательно должно быть отлично от
нуля. При а0 приведем это уравнение к стандартному виду линейного уравнения,
для чего обе части умножим на а.
2(а+1)х=3а(х+1)+7
2ах+2х=3ах+3а+7
2ах+2х–3ах=3а+7
(2–а)х=3а+7
найдем «контрольные» значения а
2–а=0  а=2
2. Решим уравнение при а=2
0х=13
это равенство не имеет места ни при каких значениях х.
3. Решим уравнение при а2
3a  7
2–а0  x 
.
2a
4. Ответ: 1) при а=2, корней нет;
3a  7
2) при а0, а2, x 
;
2a
3) при а=0 уравнение не имеет смысла.
Пример 4. Решить уравнение с параметром
a3 2
5
 
a  2 x ( a  2) x
1. Так как параметр а стоит в знаменателе дроби, то чтобы уравнение имело смысл, а+2
обязательно должно быть отлично от нуля
а+20  а–2
так как х стоит в знаменателе дроби, то х0. Преобразуем уравнение
a  3 2( a  2)  5

a2
x ( a  2)
a  3 2(a  2)  5

0
a2
x(a  2)
(a  3) x  2(a  2)  5
0
x ( a  2)
так как х0 и а–2, уравнение равносильно уравнению
(а+3)х=2а–1
найдем контрольные значения параметра
а+3=0  а=–3.
2. Решим уравнение при а=–3.
0х=–7
при любом х равенство места не имеет
3. Решим уравнение при а–3, а+30.
2a  1
x
a3
так как х0, то проверим, нет ли значений а, при которых х=0, для этого приравняем
полученную дробь к нулю
2a  1
1
0  a ,
a3
2
1
поэтому, чтобы уравнение имело смысл a  .
2
1
4. Ответ: 1) при а=–3, а=–2, a  , корней нет;
2
1
2a  1
2) при а–2, а–3, a  , x 
.
2
a3
II. Квадратные уравнения с параметром и уравнения, приводимые к
квадратным
В таких уравнениях в качестве «контрольных» берут обычно значения параметра,
обращающие в нуль коэффициент при х2, так как в этом случае уравнение становится
линейным, а также значение параметра, обращающие в нуль дискриминант уравнения, так
как от значения дискриминанта зависит число действительных корней квадратного
уравнения.
Пример 5. Решить уравнение с параметром
(а–1)х2+2(2а+1)х+(4а+3)=0
1. Найдем значения параметра, обращающие в нуль коэффициент при х
а–1=0  а=1
2. Решим уравнение при а=1
7
0х2+2(21+1)х+41+3=0  6х+7=0  x   .
6
3. Найдем значения параметра, обращающие в нуль дискриминант уравнения
D=(2(2а+1))2–4(а–1)(4а+3)=(4а+1)2–(4а–4)(4а+3)=4(5а+4)
4
4(5а+4)=0  a   .
5
4
4. Решим уравнение при a   , в этом случае уравнение будет иметь один
5
действительный корень
  4 
9 2 6
1
 4  2
 4
   1 x  2 2    1 x  4    0   x  x   0 
5
5
5
 5 
 5
  5 
1
9х2+6х+1=0  (3х+1)2=0  x   .
3
4
5. Решим уравнение при а1, a   . В этом случае D<0, поэтому уравнение
5
действительных корней не имеет.
4
6. Решим уравнение при а1, a   . В этом случае уравнение имеет два
5
действительных корня
 2(2a  1)  2 5a  4  (2a  1)  5a  4
x1, 2 

2(a  1)
a 1
4
1
7. Ответ: 1) при a   , x   ;
5
3
7
2) при а=1, x   ;
6
4
3) при a   , действительных корней нет;
5
 (2a  1)  5a  4
4
4) при a   и а1, x1, 2 
.
a 1
5
Приведем алгоритм решения задач этого типа.
1. Найти значения параметров и неизвестной, при которых уравнение не имеет смысла
(если, конечно, такие есть).
2. Привести уравнение к стандартному виду квадратного уравнения (если это
необходимо).
3. Найти «контрольные» значения параметра, обращающие в нуль коэффициент при х2.
4. Решить уравнение при этих значениях а, проверить, все ли найденные корни
соответствуют п.1.
5. Найти «контрольные» значения параметра, обращающие в нуль дискриминант
уравнения и найти корни уравнения при этом значении параметра, после чего
проверить удовлетворяют ли они п.1.
6. Записать корни уравнения при значениях параметра, для которых D>0, проверить,
удовлетворяют ли они п.1.
7. Записать ответ.
Пример 6. Решить уравнение с параметром
x2 1
1
x


2
a x  2a 2  ax a
1. Так как а стоит в знаменателе дроби, то уравнение имеет смысл только при а0. В
знаменателе стоят и выражения а2х–2а и 2–ах, которые тоже должны быть отличны
от нуля
2
а2х–2а0  а(ах–2)0  а0, ах–20  а0, x  ;
a
2
2–ах0  x  .
a
2
Таким образом, мы видим, что x  .
a
2
2. Решим уравнение при а0, x 
a
2
x 1
1
x
x 2  1  a  ax 2  2 x

 0 
0 
a(ax  2)
a(ax  2) 2  ax a
(1–а)х2+2х+1+а=0 ...................(*)
3. Найдем значения параметра, обращающие в нуль коэффициент при х2
1–а=0  а=1
4. Решим уравнение (*) при а=1
0х2+2х+2=0  2х=–2  х=–1
2
сразу проверим, не совпадает ли х с
a
2
а=1   2  1 , значит, при а=1, х=–1.
a
5. Найдем значение параметра, обращающего в нуль дискриминант уравнения (*)
D=4–4(1–а)(1+а)=4–4(1–а2)=4а2
4а2=0  а=0,
но при этом значении параметра уравнение не имеет смысла.
Замечаем, что так как D=4а2>0 при любом значении а0, поэтому уравнение (*)
имеет два действительных корня при а1, найдем их
 2  2 1 a
a 1
 x1  1; x 2 
.
x1, 2 

a 1
2(1  a ) 1  a
2
Проверим, чтобы x 
a
2
2
x1    1   a  2  x1  1 корень уравнения при а–2.
a
a
Найдем чему равен х2 при а=–2
 2 1 1
 .
 2 1 3
2
a 1 2
x2  
  a2–a–2=0, а это уравнение не имеет действительных корней,
a
a 1 a
то есть
2
x 2  ни при каком а1.
a
6. Ответ: 1) а=0 уравнение не имеет смысла;
2) а=1, х=–1;
a 1
3) а0, а–2, x1  1; x 2 
;
a 1
1
4) а=–2, x 2  .
3
x2 
Пример 7. При каких значениях р корни уравнения х2+6х+р+3=0 будут отрицательными?
1. Квадратное уравнение имеет действительные корни при условии D0.
Найдем дискриминант этого уравнения и найдем значения параметра,
удовлетворяющие этому условию
D=36–4(p+3)=36–4p–12=24–4p
24–4p0  p6
2. При p6 корни квадратного уравнения вычисляются по формулам
62 6 p
x1, 2 
 3  6  p
2
3. Найдем значения р, для которых х1<0 и x2<0, то есть решим систему
 3  6  p  0,
 6  p  3,
 

 3  6  p  0
 6  p  3
второе неравенство системы выполняется при любом p6.
Решим первое неравенство системы
0 6  p <3 (так как арифметический корень – число неотрицательное).
06–р<9  –3<р6.
4. Ответ: при –3<р6 корни уравнения будут отрицательными.
Контрольное задание
Уважаемые ребята, ниже приводятся задания для самостоятельного решения,
которые следует выполнить, оформить отдельно от заданий по другим предметам и
выслать в адрес Хабаровской краевой заочной физико-математической школы.
Наш адрес: 680000, г. Хабаровск, ул. Дзержинского, 48, ХКЦТТ ( ХКЗФМШ).
Решить уравнения с параметром
М10.9.1. (а3–а2–4а+4)х=а–1;
М10.9.2.
x a xa
 
 1;
a 3 a3
М10.9.2.
1
k 1

k;
k k ( x  1)
М10.9.4. 1 
1 1 3
  ;
ax x a
М10.9.5. ах2–(1–2а)х+а–2=0;
М10.9. 6. (а2+а–2)х2+(2а2+а+3)х+а2–1=0;
М10.9.7.
x
2k
8k 2

 2
;
x  k x  k x  k2
М10.9.8. 4(k  1) 2 x  4k (k  1) 
3k  4
0
x
М10.9.9. При каких значениях а оба корня уравнения х2–6ах+(2–2а+9а2)=0 больше 3?
М10.9.10. При каких значениях а оба корня уравнения х2–ах+2=0 принадлежат отрезку
[0;3]?