МП Ряды Фурье - Новгородский государственный университет

Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего
профессионального образования
Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого
РЯДЫ ФУРЬЕ
В. Новгород
2011
1
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего
профессионального образования
Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого
РЯДЫ ФУРЬЕ
Методические указания
В. Новгород
2011
2
УДК 517.2
Печатается по решению
РИС НовГУ
Рецензенты
Канд. ф.-м. наук, доцент А.В. Ласунский
Ряды Фурье: метод. указания/Авт.-сост. С.А. Цапаева; ФГБОУ ВПО
«Новгородский государственный университет им. Ярослава Мудрого»,
Великий Новгород, 2011.– 24с.
Рассматриваются основные теоретические сведения, связанные с
теорией рядов Фурье, разобраны практические примеры.
Приведены задания для самостоятельной работы.
Методические указания предназначены для студентов инженернотехнических специальностей.
УДК 517.2
© ФГБОУ ВПО «Новгородский
государственный университет
имени Ярослава Мудрого», 2011
© Цапаева С.А., составление 2011
3
1. ПОНЯТИЕ И СВОЙСТВА ГАРМОНИК
Определение.
Гармониками
называются
комплекснозначные
функции вида f ( x)  e inx , где x – действительная переменная,

2
T - частота гармоники, Т – период, n  0,1,2,...
При n  0 f ( x)  e 0  1 гармоника называется несобственной, при
n  0 имеем собственные гармоники.
Свойства
1. Периодичность гармоники
Гармоники являются периодическими функциями с периодом Т.
Доказательство. Имеем
f ( x  T )  e inx  inT  e inx  e inT 
 f ( x)  e
i
2
nT
T
 f ( x)e i 2n  f ( x)(cos 2n  i sin 2n)  f ( x) .
2. Интегральное свойство гармоники
a T
T , åñëè n  0
inx
 e dx   0, åñëè n  0 , где a – любое число.

a
Доказательство
a T
a T
a
a
а) При n  0 имеем  1 dx  x
 a  T  a  T;
б) Если n  0 , то
a T
inx
 e dx 
a




e inx a  T
1 in( a  T )
1 ina

e
 e ina 
e
 e ina  0.
in a
in
in
2. ПОНЯТИЕ РЯДА ФУРЬЕ В КОМПЛЕКСНОЙ ФОРМЕ

Определение 1. Функциональный ряд вида  cn e inõ 
n  
4
 ...  c n e inx  ...  c  2 e i 2x  c1e ix  c0  c1e ix  ...  cn e inx  ...
(1)
называется тригонометрическим рядом. Числа c0 , c1 , c1 , c 2 , c2 ,..., c n , cn ,...
называются коэффициентами ряда.
Определение 2. Тригонометрический ряд называется рядом Фурье
для функции f (x) на a; a  T , если коэффициенты ряда вычисляются по
формулам
cn 
1 a T
 inx
dx .
 f ( x )e
T a
(2)
Теорема (Необходимый признак представительности функции
тригонометрическим рядом)
Для того, чтобы функция
тригонометрическим рядом вида
f (x )
была представима на a; a  T 

 cn e inx , необходимо, чтобы этот ряд
n  
являлся рядом Фурье, т.е. чтобы коэффициенты c n вычислялись по
формулам cn 
1 a T
f ( x)e  inx dx , n  Z .

T a
Доказательство
Пусть функция f (x) представима на a; a  T  тригонометрическим

рядом f ( x)   cn e inx .
n  
Умножим обе части этого равенства на e ikx :


n  
n  
f ( x)e  ikx  e  ikx  cn e inx   cn e i ( n  k ) x .
Предполагая
возможность
интегрирования
под
проинтегрируем по промежутку a; a  T :
a T

a T
a
n  
a
 ikx
dx   c n  e i ( n  k ) x dx .
 f ( x )e
Т.к.
знаком
ряда,
5
a T
T , åñëè n  k
i ( n  k ) x
dx  
, то
 e
 0, åñëè n  k
a
ck 
1 a T
 ikx
dx .
 f ( x )e
T a
Заменив k на n, получим (1).
3. ТЕОРЕМА ДИРИХЛЕ
Определение 1. Функция f (x) называется кусочно-непрерывной на
a; b, если она непрерывна на этом промежутке или имеет на нем конечное
число разрывов I рода.
Определение 2. Функция f (x) называется кусочно-монотонной на
a; b, если она монотонна на всем отрезке, либо этот отрезок можно
разбить на конечное число интервалов так, что на каждом из них функция
монотонна (т.е. функция на a; b имеет конечное число экстремумов).
Определение 3. Говорят, что f (x) удовлетворяет условиям Дирихле
на a; b, если f (x) на a; b является кусочно-непрерывной и кусочномонотонной.
Теорема
Дирихле
(достаточный
признак
представимости
функции рядом Фурье)
Если функция f (x) удовлетворяет условиям Дирихле на a; a  T , то
ряд Фурье для этой функции сходится на этом отрезке и при этом:
1. В точках непрерывности функции сумма ряда s (x) совпадает с
самой функцией: s ( x)  f ( x);
2. В каждой точке x0 разрыва функции сумма ряда равна среднему
арифметическому пределов функции f (x) слева и справа:
s  x0  
f ( x0  )  f ( x 0  )
;
2
3. В точках x  a и x  a  T (на концах отрезка) сумме ряда равна
6
s (a)  s (a  T ) 
f (a)  f (a  T )
.
2
Замечания
1. Условиям Дирихле удовлетворяют многие функции, которые
встречаются в математике и ее приложениях. Однако существуют
функции, не удовлетворяющие условиям Дирихле, но при
этом
представимые рядом Фурье, т.е. теорема Дирихле дает лишь достаточное
условие представимости, но не необходимое.
2. Теорема о периодическом продолжении функции.
Сумма ряда Фурье есть периодическая функция с периодом Т.
Доказательство

s( x)   cn e inx
n  


n  
n  
s( x  T )   cn e in( x  T )   cn e inx  s( x) при любом х.
Т.о., график функции s (x) есть график периодической функции на всей
числовой оси. Говорят, что s (x) периодически продолжает на всю
числовую ось функцию f (x) , заданную на a; a  T .
Пример 1. Разложить функцию f x   e  x , заданную на отрезке
  ; , в ряд Фурье в комплексной форме.
Решение. Данная функция в указанном интервале удовлетворяет
условиям Дирихле.
2

 1
По формулам (2) имеем  T  2 ;  

cn 
T

1 a T
1   x  inx
1  1 in x
 inx


f
x
e
dx

e
e
dx

dx 


e
T a
2 
2 
1 e 1 in x 
e 1 in   e 1 in  e e in  e   e  in


.
2  1  in 
2 1  in 
2 1  in 
7
Т.к. e in  cos n  i sin n   1n , то cn 

e  x   cn e inx 
n  
 1n e  e   ,
2 1  in 
e  e     1n e inx
.

2
n   1  in
В интервале   ;  этот ряд представляет функцию e  x , а в точках
x   его сумма равна


1 
e  e  .
2
4. РЯД ФУРЬЕ В ВЕЩЕСТВЕННОЙ ФОРМЕ
Пусть функция f x  удовлетворяет на a; a  T  условиям Дирихле,
тогда она представима на этом промежутке рядом Фурье

f ( x)   cn e inx ,
n  
(1)
где cn 
1 a T
 inx
dx .
 f ( x )e
T a
(2)
Преобразуем ряд (1)

 cn e inx  c0  c1e ix  c1e  ix  c2 e i 2 x  c 2 e  i 2 x  ...  cn e inx  c n e  inx  ... 
n  



 c0   cn e inx  c n e  inx .
n 1
Используя формулы
e iy  cos y  i sin y,
e iy  cos y  i sin y,
получим

f ( x)  c0   cn (cos nx  i sin nx)  c n (cos nx  i sin nx) 
n 1

 c0   (cn  c n ) cos nx  i(cn  c n ) sin nx .
n 1
8
Введём обозначения c0 
a0
; cn  c n  an ; i(cn  c n )  bn .
2
Имеем

a
f ( x)  0   a n cos nx  bn sin nx .
2 n 1
Получим формулы для коэффициентов a0 , a n , bn :
a 0  2c 0 
an  cn  c n 
т.к. cos y 
2 a T
 f ( x)dx ;
T a

2 a T
e iy  e iy
, то a n 
 f ( x) cos nxdx ;
T a
2
bn  i c n  c  n   i 
т.к. sin y 

1 a T
1 a T
1 a T
f ( x)e inx dx 
f ( x)e inx dx 
f ( x) e  inx  e inx dx ,



T a
T a
T a


1 a T
f  x  e  inx  e inx dx ,

T a
2 a T
e iy  e iy
, то b n 
 f x sin nxdx .
T a
2i
Итак, ряд Фурье в вещественной форме для функции f x  на a; a  T 
имеет вид

a
f ( x)  0   a n cos nx  bn sin nx ;
2 n 1
a0 
an 
2 a T
 f ( x)dx ,
T a
2 a T
 f ( x) cos nxdx ,
T a
bn 
(3)
(4)
2 a T
 f x sin nxdx .
T a
Дополнение к примеру 1.
Чтобы преобразовать ряд, полученный в примере 1 для функции e  x
в комплексной форме, к вещественной форме, следует объединить
9
слагаемые с индексами n и  n и заменить по формулам Эйлера
показательные функции тригонометрическими:
 1n einx   1 n e inx   1n 1  in einx  1  in e inx
2
1  in
1  in
  1n 2
При n  0 вычисляем c0 
1 n
cos nx  n sin nx
1  n2

, n  1,2,...
a0 e  e 
.

2
2
Следовательно,
e x 

e  e   1    1n

 
cos nx  n sin nx  .
 2 n 1 1  n 2




Пример 2. Разложить в ряд Фурье функцию f  x   , заданную на
x
2
отрезке 0;2 .
Решение. Данная функция на
0;2  удовлетворяет условиям
Дирихле, поэтому может быть разложена в ряд Фурье.
T  2 ;   1;
an 
2 2 x
1 2
cos
nxdx


 x cos nxdx 
2 0 2
2 0
(интегрируем по частям: u  x ; dv  cos nxdx; du  dx ; v 
1
=
2
sin nx
)
n
 sin nx 2 2 sin nx  1 cos nx 2 cos 2n  1
x
 
dx  

 0 для всех

 2 n 2 0
n
n
2n 2
0
0


n  1,2,...
При n  0 полученное выражение для a n не имеет смысла, поэтому
коэффициент a0 вычисляем отдельно
2 2 x
1 2
1 x 2 2
a0 
 .
 dx  2  xdx  2 2
2 0 2
0
0
bn 
2 2 x
1 2
1  x cos nx sin nx  2
1
 
   .
sin nxdx 
x sin nxdx 



2
2 0 2
2 0
2 
n
n
n  0
10
Для вычисления интеграла применена формула интегрирования по частям:
u  x ; dv  sin nxdx ; du  dx ; v  
cos nx
.
n
Подставляя значения коэффициентов a n и bn в тригонометрический ряд
(3), получим искомое разложение данной функции в ряд Фурье:
 sin nx
x 
.
  
2 2 n 1 n
Это разложение справедливо (полученный ряд сходится к данной
функции) при любом x  0;2  .
В точках x  0 и x  2 сумма ряда равна

.
2
1
x
Пример 3. Написать ряд Фурье для функции f x    при
0 x2
.
2 x4
Решение.
an 
14
nx
f x  cos
dx 

20
2
4
1  2
nx
nx 
cos
dx

x
cos
dx 



2  0
2
2
2

(для вычисления второго интеграла применяем формулу
интегрирования по частям: u  x ; dv  cos


nx
2
dx ; du  dx ; v 
2
nx
sin
)
n
2
1  2
nx 2  2 x nx
4
nx  4 
 
sin
  sin

cos
2  n
2 0  n
2
2  2 
 2n2


1
4
cos 2n  cos n   22 2 1  cos n   22 2 1   1n ;

2
2
2  n
 n
 n
a0 
14
 f x dx 
20
4
 1
1  2
x 2 4  1


dx

xdx

2

 2  6  4 ;

  2
 2
2  0
2
2
2



11
bn 

14
nx
f x sin
dx 

20
2
4
1  2 nx
nx 
sin
dx

x sin
dx 



2  0
2
2
2

1  2
nx 2  2 x
nx
4
nx  4 
 
 cos
   cos

sin
2  n
2 0  n
2
2  2 
 2n2
1 2 
nx 2
nx
    cos
 x cos
2 n 
2 0
2

4
   1 cos n  1  4 cos 2n  2 cos n  

n
2


1
3  cos n   1  1n  3 .
n
n
Искомое разложение имеет вид




  2
nx 1
nx 
.

f x   2   
1   1n cos

 1n  3 sin
2 2
2
n
2 
n 1  n
Оно справедливо для всех x  0;2 ; x  2;4 :
в интервале (0;2) сумма ряда sx  1 , в интервале (2;4) sx   x .
В точке разрыва x  2 sx  
f 2    f 2   1  2 3

 .
2
2
2
В точках x  0 и x  4 сумма sx равна
f 0   f 4  1  4 5

 .
2
2
2
5. РЯД ФУРЬЕ ДЛЯ ФУНКЦИЙ, ЗАДАННЫХ НА
ПРОМЕЖУТКЕ  l; l 
Пусть функция f x  на  l; l  удовлетворяет условиям Дирихле, тогда
она представима на этом промежутке рядом Фурье (3) с коэффициентами
(4).
12
Положив a  l ; a  T  l , имеем
T  2l ;  
2 
 .
T
l
И формулы (3), (4) принимают вид

a
n
n
f x   0   a n cos x  bn sin
x,
2 n 1
l
l
(5)
где
a0 
1l
 f x dx ;
l l
an 
1l
n
f  x  cos xdx ,

l l
l
(6)
1l
n
f  x sin
xdx , n  1,2,...

l l
l
bn 
6. РЯД ФУРЬЕ ДЛЯ ФУНКЦИЙ, ЗАДАННЫХ НА
ПРОМЕЖУТКЕ   ;  
Это частный случай предыдущего разложения, когда l   :

a
f x   0   a n cos nx  bn sin nx ,
2 n 1
(7)
где
a0 
an 
1 
 f x dx ;
 
1 
 f x  cos nxdx ,
 
bn 
1 
 f x sin nxdx , n  1,2,...
 
(8)
13
7. РЯД ФУРЬЕ ДЛЯ ЧЕТНЫХ И НЕЧЕТНЫХ ФУНКЦИЙ
Если разлагаемая на отрезке  l; l  в ряд Фурье функция f x 
является четной или нечетной, то это отражается на формулах
коэффициентов ряда (вычисление их упрощается) и на виде самого ряда.
Если функция f x  четная, то ее ряд Фурье имеет вид

a
nx
,
f x   0   a n cos
2 n 1
l
(9)
где
a0 
2l
2l
nx


f
x
dx
;
a

f  x  cos
dx , n  N .


n
l0
l0
l
(10)
Если функция f x  нечетная, то ее ряд Фурье имеет вид

nx
n 1
l
f x    bn sin
,
(11)
где
bn 
2l
nx
f  x sin
, n N .

l0
l
(12)
Доказательство
Известно, что если функция f x  интегрируема на симметричном
отрезке  l; l , то
f  x   четная функция,
 l
2 f x dx,
если
 f x dx   0

l
0,
f  x   нечетная функция.

l
Если
f x 
-
четная,

nx 
 nx 
 f  x  cos 
,
  f x  cos
l 
 l 


nx 
 nx 
 f  x sin  
.
   f x sin
l 
 l 

то
а
f  x  cos
f  x  sin
nx
nx
l
-
l
-
четная
функция
нечетная
функция
14
Если же f x  - нечетная функция, то f x  cos
f  x  sin
nx
l
nx
l
- нечетная, а
- четная функция.
С учетом этих фактов и из формул (5)-(6) получаем формулы (9)(12).
Ряды (9) и (11) называются неполными рядами Фурье, или рядами по
косинусам и по синусам соответственно.
Пример 4. Разложить в ряд Фурье функцию f x  x , заданную на
  ; .
Решение.
Эта
функция
на
  ; 
является
непрерывной,
следовательно, удовлетворяет условиям Дирихле. В силу нечетности все
коэффициенты an  0 , n  0,1,2,... .
bn 
2
2
 x sin nxdx     x
0



cos nx  1

sin nx  

n 0 n2
0
2 
2
2

n
n 1
  cos n     1   1 .
 n
n
n

Ряд Фурье для данной функции содержит только синусы

 
2
 0.
x    1n 1 sin nx для любого x    ;  ; s    
2
n
n 1
Пример 5. Разложить в ряд Фурье функцию f x   x , заданную на
  ; .
15
Решение. Данная функция удовлетворяет на   ;   условиям
Дирихле, является четной.
2
2 x2 
  , n N ;
bn  0 , a0   xdx 
0
 2 0
an 
2
2  sin nx
 x cos nxdx    x n
0




cos nx  
2
 
cos n  cos 0  22  1n  1 .
2 
2
n  0 n
n
n  2k  1
 2,
если
.
n  2k
 0,
Заметим, что  1n  1  
Итак, получим следующее разложение в ряд Фурье:
x
Т.к. s   

2

4 


1
2
k 1 2k  1
cos2k  1x .
f     f  
   f     f   , то на
2
  ;  график функции
совпадает с графиком ряда Фурье.
8. РЯД ФУРЬЕ ДЛЯ ФУНКЦИИ, ЗАДАННОЙ НА 0; l 
1. Отрезок 0; l  можно считать частным случаем промежутка a; a  T 
a  0;T  l  . В этом случае функцию можно разложить в ряд Фурье (3),
коэффициенты которого определяются по формулам (4), то есть ряд Фурье
содержит косинусы и синусы.
2. Функцию, заданную на 0; l , можно продолжить на промежутке
 l;0 и получить ряд Фурье на промежутке  l; l .
16
а) В частности, функцию f x  можно доопределить четным образом
f x  f  x ). В этом случае функция
(т.е. чтобы при  l  x  0
f x 
разлагается в ряд Фурье, который содержит только косинусы.
б) Если же функцию f x  продолжить на  l;0 нечетным образом, то
она разлагается в ряд Фурье только из синусов.
 1 0  x  0,5
в ряды Фурье,
 1 0,5  x  1
Пример 6. Разложить функцию f x   
содержащие только синусы или только косинусы.
1) Чтобы получить разложение данной функции в ряд Фурье,
содержащий только косинусы, продолжим ее на интервал  1;0 четным
образом.
Тогда bn  0 для любого n  N . Согласно формулам (10):
1
 0,5

2l
nx
21

an   f x  cos
dx   f x  cos nxdx  2  cos nxdx   cos nxdx  


l0
l
10
0,5
 0

 sin nx 0,5 sin nx 1  4
n

 2

sin
, n  0.
 n

n 0,5 n
2
0


Если n  2k , то an  0 ;
если n  2k  1, k  1,2,... , то
a n  a 2k 1 

4

4

sin  k    
cos k 
2k  1 
2k  1
2
4
 1k   1k 1 4 .
2k  1
2k  1
17
 0,5
1

 0
0,5

При n  0 a0  2  dx   dx   20,5  0,5  0 .


Итак, f x  
4   1k 1
cos2k  1x .

 k 1 2k  1
Это разложение справедливо во всей области определения данной
функции. На отрезке 0;1 график суммы полученный ряд отличается от
графика данной функции точкой с координатами 0,5;0 .
2) Продолжим данную функцию на интервал  1;0
нечетным
образом, чтобы получить разложение данной функции в ряд Фурье,
содержащий только синусы.
Тогда an  0 , n  0,1,2,...
bn 
1
 0,5

21
 sin nxdx  sin nxdx  


f
x
sin

nxdx

2


 

10
0,5
 0

 cos nx 0,5 cos nx 1  2 
  1  cos n  cos n  cos n   2  cos n  1  2 cos n 
 2 


n
n 0,5  n 
2
2  n 
2
0

.
Если n  2k  1, то bn  0 ;
0,

k  2m
22  2 cos k  21  cos k  
4


, если
если n  2k , то bn  b2k 
.
k  2m  1
  2l
k




2
m

1

Итак, искомое разложение в неполный ряд Фурье, содержащий только
синусы, имеет вид f x  
4 
1
sin 22m  1x .
 m 1 2m  1

18
9. РАЗЛОЖЕНИЕ В РЯД ФУРЬЕ ФУНКЦИЙ,
ЗАДАННЫХ НА R
До сих пор мы рассматривали разложение в ряд Фурье функций,
заданных на отрезке. Теперь рассмотрим разложение в ряд Фурье
функций, заданных на всей числовой оси.
а) Известно, что если функция f (x) имеет период Т и интегрируема
на отрезке x1; x2  R , то
a T
b T
a
b
 f ( x)dx   f ( x)dx при любых a и b  x1; x2  .
Поэтому, если f (x) является периодической функцией с периодом Т,
то для представления ее рядом Фурье, достаточно рассматривать любой
промежуток длиной Т. В этом случае график s (x) на всей числовой оси
совпадает с графиком f (x) в точках непрерывности.
Пример 7. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию f x   x 2
при    x   ; f x  2   f x .
Решение. Эта функция удовлетворяет условиям Дирихле, что дает
возможность получить ее разложение в ряд Фурье. Она является четной.
Все коэффициенты bn  0 . Коэффициент a n вычисляем по формулам (10),
положив l   :
an 
  4 cos n
 x2
2 2
2  2 x
2 
4
 

, n  1,2,...
x
cos
nxdx

cos
nx


sin
nx
  1n

2
2
 n n3 
0
0
  n 2
n
n



(дважды применена формула интегрирования по частям)
a0 
2 2
2 x 3  2 2
x
dx


.

0
 3 0
3
Следовательно,
2
x 

4
   1n
cos n .
3 n 1
n2
2
19
Это разложение данной периодической и всюду непрерывной функции
справедливо при любом x  R , т.е. полученный ряд Фурье сходится к
данной функции на всей числовой оси. Графики данной функции и суммы
ее ряда Фурье полностью совпадают.
Пример 8. Разложить в ряд Фурье функцию
f  x   cos
x
2
при
0  x  2 ; f x  2   f x .
Решение. Функция нечетная, поэтому все коэффициенты an  0 ;
bn 
2 2
x
1 2  
1
1 

cos
sin
nxdx

 sin  n   x  sin  n   x dx 


 0
2
 0 
2
2 


1
1 




 cos n   x cos n   x  2

1
1 1
1
cos2n    cos2n    
2
2 











1
1
1
1
1
1




0
n
n
n
n
n
n



2
2
2
2
2
2






1  2
2  1 42n  1  2n  1
16n
.




  n  1 n  1   2n  12n  1  2n  12n  1


2
2

Следовательно,
cos
x 16 
n

sin nx .

2  n 1 2n  12n  1
Полученное разложение данной функции справедливо во всей ее области
непрерывности, т.е. при всех значениях x , кроме xn  2n , n  0,1,2,... В
точках разрыва x n по теореме Дирихле сумма полученного ряда равна 0
20
(это же очевидно потому, что в этих точках все члены ряда обращаются в
0). Графики суммы ряда и данной функции отличаются точками с
абсциссами x n . У графика данной функции ординаты этих точек равны -1;
а у графика суммы ряда они равны 0.
б) Пусть f x  - непериодическая функция, заданная на всей числовой
оси. Такая функция не может быть разложена в ряд Фурье, так как сумма
ряда Фурье есть периодическая функция и, следовательно, не может быть
равна f x  при всех x .
Однако непериодическая функция f x  может быть представлена в
виде ряда Фурье на любом конечном промежутке a; b , на котором она
удовлетворяет условиям Дирихле. Сумма этого ряда во всех точках отрезка
a; b (кроме точек разрыва) совпадает с заданной функцией f x  . Вне этого
промежутка сумма ряда и f x  являются различными функциями.
21
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
1. Разложить в ряд Фурье в указанных интервалах следующие
функции:
0  x 1
 x,

а) f x    1, при 1  x  2 ;
3  x,
2 x3

 
б) f x  x cos x в интервале   ;  ;

2 2
в) f ( x)  x sin x в интервале   ;  .
2. Разложить в ряды Фурье следующие периодические функции:
а) f x  arcsin sin x ;
б) f x  arcsin cos x ;
в) f x  sin x .
3. Разложить в интервале 0;   по синусам кратных дуг функцию
f x  

4
.
Полученное
разложение
использовать
числовых рядов:
1
3
1
5
1
7
1
5
1
7
1 1
1
   ...;
11 13 17
1
5
1
7
1 1
  ... .
11 13
а) 1     ...;
б) 1   
в) 1   
4. Разложить в неполные ряды Фурье
а) по синусам
б) по косинусам
0  x 1
 x,
при
.
1 x  2
2  x ,
функцию f x   
для
суммирования
22
РГЗ
  x  0
 nx,
при
в интервале
0 x
n  1x,
1. Разложить функцию f x   
  ; , определить сумму ряда в точке разрыва и на концах интервала,
построить график самой функции и суммы ряда (также и вне интервала
  ; ).
2. Написать ряд Фурье для функции f  x   sin
x
на отрезке   ;  .
n 1
1
0 x
 x
n.
3. Разложить в ряд Фурье по косинусам f x   1  n , при
1
 0,
 x
n
23
Библиографический список
1. Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. Т.1и Т.2.
/П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я.Кожевникова. М.: Наука, 2003.
2. Демидович, Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому
анализу: Учеб. пособие для вузов/Б.П. Демидович. М.: АСТ:
Астрель, 2003.
3. Кузнецов, Л. А. Сборник заданий по высшей математике. Типовые
расчеты: учеб. пособие для вузов / Л. А. Кузнецов. - 11-е изд., стер. –
СПб.; М.; Краснодар: Лань, 2008.
4. Сборник задач по математике: для втузов : учеб. пособие: в 4 ч. / под
ред.: А. В. Ефимова и А. С. Поспелова. – 5-е изд. - М.: Физматлит,
2009
5. Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления:
Учеб. пособие для вузов. В 2 т. Т.2./Н.С. Пискунов. М.: ИнтегралПресс, 2002.
6. Фихтенгольц, Г. М. Курс дифференциального и интегрального
исчисления: учебник: в 3-х т. Т.2. / Г. М. Фихтенгольц. - 9-е изд.,
стер. СПб.; М.; Краснодар: Лань, 2009.
24
СОДЕРЖАНИЕ
1. Понятие и свойства гармоник
4
2. Понятие ряда Фурье в комплексной форме
4
3. Теорема Дирихле
6
4. Ряд Фурье в вещественной форме
8
5. Ряд Фурье для функций, заданных на
промежутке  l; l 
12
6. Ряд Фурье для функций, заданных на промежутке   ;  
13
7. Ряд Фурье для четных и нечетных функций
14
8. Ряд Фурье для функции, заданной на 0; l 
16
9. Разложение в ряд Фурье функций, заданных на R
19
Задания для самостоятельной работы
22
РГЗ
23
Литература
24