Учащимся 10 класса Елена Михайловна Колегаева, доцент кафедры математических методов и информационных технологий ДВАГС КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА КАК РАСШИРЕНИЕ ПОНЯТИЯ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ЧИСЛА Известно, что в области действительных чисел некоторые квадратные уравнения имеют два корня, некоторые – один корень и некоторые – ни одного. Такое положение вещей издавна тревожило математиков, казалось неестественным, и не раз высказывалась идея о том, что, кроме действительных корней, такие уравнения имеют еще «мнимые», воображаемые корни. Например, итальянский математик Кардано в XVI веке писал (здесь мы приводим современные обозначения), что если предположить, что можно извлечь корень из отрицательного числа, то числа 3 2 и 3 2 являются корнями квадратного уравнения x 2 6 x 11 0 (проверьте по теореме Виета). Таким образом, Кардано ввел в рассмотрение «мнимые величины» квадратные корни из отрицательных чисел. Правда, среди действительных чисел не существует квадратных корней из отрицательных чисел, поэтому потребовалось развивать теорию новых чисел, которые назвали комплексными. В рассмотрение ввели особое число, обозначаемое i и названное мнимой единицей, которое удовлетворяет следующему свойству: i 2 1 . Таким образом, выражение для корней квадратного уравнения, о которых писал Кардано, выглядит следующим образом: 3 i 2 и 3 i 2 . В дальнейшем ученые нашли очень простое геометрическое истолкование комплексных чисел. Если каждое действительное число есть точка на действительной оси, то каждому комплексному числу ставится в соответствие точка на координатной плоскости, называемой комплексной плоскостью. В настоящее время комплексные числа применяются как математический аппарат электродинамики, квантовой механики и других наук. Определение комплексного числа. Различные формы записи комплексного числа. Представление комплексных чисел на комплексной плоскости Определение: комплексным числом z называется упорядоченная пара (a, b) действительных чисел. Число a называется действительной частью комплексного числа z , число b называется мнимой частью комплексного числа z . Обозначения: a Re( z ) , b Im( z ) . Каждое комплексное число z (a, b) можно представить точкой на комплексной плоскости. Комплексной плоскостью называют координатную плоскость (обозначают C ), ось Ox которой называют действительной осью, ось Oy называют мнимой осью. Единица действительной оси есть число 1, единица мнимой оси – мнимая единица i . z (3,2) Например, число можно представить точкой на комплексной плоскости (см. рис. 1), и отождествить с ней точку (3,2) на плоскости в декартовой системе координат. Рис. 1 Отметим, что комплексное число 0 записывается в виде 0 (0,0) , действительное число 1 есть комплексное число (1,0) , а мнимая единица записывается как i (0,1) . Поэтому z (a, b) (a,0) (0, b) a(1,0) b(0,1) a bi . Запись комплексного числа в виде z a bi называется алгебраической формой записи комплексного числа. Определение: Числа z a bi и z a bi называются комплексно сопряженными. Существует еще другая форма записи комплексного числа, которая называется тригонометрической. Рассмотрим на комплексной плоскости число z ( a, b) . Соединим точку z с точкой 0 и рассмотрим прямоугольный треугольник 0 AZ (см. рис. 2). Рис. 2 Тогда, введя в рассмотрение угол и обозначив OZ r a 2 b2 , получим a r cos , b r sin и тогда z r (cos i sin ) называется тригонометрической формой записи комплексного числа. a 2 b 2 r называется модулем комплексного числа z , называется аргументом комплексного числа z и находится из системы равенств: Re z cos r . Im z sin r Обозначения: z r , arg z . Отметим свойства модуля и аргумента комплексного числа. 1. z 0 , причем z 0 , только если z 0 2. z равен расстоянию от точки z до точки 0 на комплексной плоскости (то есть, z есть длина вектора на плоскости, соответствующего числу z) 3. если z ,z 1 2 z ,z 1 2 - комплексные числа, то z z 1 2 равен расстоянию между точками на комплексной плоскости. 4. если числа z, z - комплексно сопряженные, то zz 5. z z 1 2 z z 1 2 , z z 1 2 z 2 z z 1 2 6. аргумент комплексного числа определен с точностью до числа 2 n Пример 1. Записать z cos число 4 i sin 4 в алгебраической и тригонометрической формах. Решение. 1). Для того чтобы записать это число в алгебраической форме, вычислим: cos z 4 2 2 , sin . Подставив значения в число z , получим: 2 4 2 2 2 i - алгебраическая форма. 2 2 2). Нужно отметить, что число z cos 4 i sin записано не в тригонометрической 4 форме, так как между действительной и мнимой частью стоит знак «минус». Учитывая, что функция cos -четная, а sin - нечетная, имеем: cos( ) cos , sin( ) sin , поэтому 4 4 4 4 z cos( ) i sin( ) - тригонометрическая форма. 4 4 Пример 2. Найти arg( z ) . Решение. Числа z (a, b) и z (a,b) симметричны относительно числа 0=( 0,0) на комплексной плоскости. Поэтому вектор, соответствующий числу z (a,b) z ( a, b) на угол против часовой стрелки вокруг получается поворотом вектора точки 0. Поэтому arg( z ) arg z . Действия с комплексными числами 1. Сложение. Так как комплексное число можно интерпретировать как точку на комплексной плоскости, то если z1 a i b , z a 1 1 2 2 i b2 , имеем: z z 1 2 (a1 a2) i (b1 b2) Например: (3+2i) + (-4+7i) = (3-4)+(2+7)I = -1+9i. 2. Умножение. а). Если числа заданы в алгебраической форме, имеем: z z 1 Учитывая, что (a1 i b1) (a2 i b2) a1 a2 i a1 b2 i a2 b1 i b1 b2 . 2 2 i 2 1 , имеем: z z a a b b 1 2 1 2 1 2 i (a1b2 a2 b1) . в). Если z r (cos 1 1 2 числа заданы i sin ) , то в zz 1 2 2 комплексной r r 1 2 z r (cos форме 1 1 1 i sin ) и 1 (cos( ) i sin( )) . 1 2 1 2 При доказательстве мы используем формулы синуса суммы и косинуса суммы двух углов ( проделайте самостоятельно). Деление. 3. а). Если числа заданы в алгебраической форме, то числитель и знаменатель домножим на сопряженное к знаменателю число, чтобы в знаменателе получилось действительное число. Имеем: z z 1 a i b a i b 1 (a i b ) (a i b ) a a b b i (a b a b ) (a i b )(a i b ) a b 1 2 2 ( проделайте вычисления самостоятельно, учитывая равенство i 2 в). Если z r (cos 1 1 z z 1 2 r r 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 числа 2 заданы 1 2 1 2 2 в комплексной 2 2 2 2 2 форме 1 2 1 ). z r (cos 1 1 1 i sin ) и 1 i sin ) , то 2 (cos( ) i sin( )) , если 1 2 1 2 z 2 o. 2 Возведение в степень. 4. Формулу произведения двух комплексных чисел можно обобщить на n сомножителей. Отсюда, как частный случай, получается формула: z (r (cos isin )) r (cos(n )isin( n )) n n n 5. Извлечение корня n-ой степени. Имеет место формула Муавра: n z n z (cos 2k n i sin 2k n ) , где k Z . Таким образом, комплексное число z имеет бесконечно много корней n-ой степени, причем различных корней – ровно n штук. Все корни расположены на окружности радиуса n r в вершинах правильного n-угольника. Пример 3. Вычислить 4 16(cos i sin ) . Решение: По формуле Муавра имеем: 4 16(cos i sin ) 2 4 cos i sin 2 (cos 2 (cos( 4 2 2 n 4 n) i sin( 4 2 i sin 2 n 4 ) n) , n Z При различных значениях n получим все корни комплексного числа. Среди них имеются ровно четыре различных. Их можно получить, подставляя значения n: 0 2 (cos 0 2 (cos( При n 0 имеем: z При n 1 имеем: z При n 2 имеем: z При n 3 имеем: z 4 4 0 2 (cos( 0 2 (cos( 4 4 i sin 2 4 ) 2 i 2 . ) i sin( 4 2 )) 2 i 2 . 2 2 ) i sin( )) 2 i 2 . 2 4 2 3 3 ) i sin( )) 2 i 2 . 2 4 2 Все эти корни находятся на окружности радиуса 2 в вершинах правильного четырехугольника (квадрата) (см. рис. 3) Z1 Zo 1 1 Z3 Z2 Рис. 3. (1i) Пример 4. Вычислить cos 3 2 i sin . Ответ записать в алгебраической форме. 3 Решение. Вычислим выражение, стоящее в числителе, результат запишем в тригонометрической форме (1 i) 1 2i i 1 2i 1 2i 2(cos i sin ) 2 2 2 Подставим полученное число в числитель и применим формулу деления комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме: 2 (cos i sin ) 2 2 (cos( ) i sin( )) 2 (cos i sin )) 3 i . 2 3 2 3 6 6 cos i sin 3 3 2 Ответ: 3 i . Решение уравнений. 1. Решение рациональных уравнений n-ой степени. Из основной теоремы алгебры известно, что каждое алгебраическое уравнение степени n имеет во множестве комплексных чисел ровно n корней. Рассмотрим уравнение a z n n an 1 z n 1 ... a1 z a0 0 , где коэффициенты ai (i = 0,1, 2,…,n) – действительные числа. Основной метод решения таких уравнений – разложение на множители. При этом, среди множителей могут быть линейные вида квадратичные ( z p z q) 2 (z z ) и i тогда z является корнем уравнения и i . Решая квадратное уравнение ( z p z q) 0 , 2 можем получить: 1) два различных действительных корня, если D p 4 q 0 2 2) два совпадающих действительных корня, если 3) два комплексных (сопряженных) корня, если D p 4q 0 2 D p 4q 0 . 2 Пример 5. Решить уравнение: z 5z 9 z 50 2 3 Решение. Преобразуем левую часть уравнения для того, чтобы применить метод группировки: z 5z 9z 5 z 4z z 4z 5z 5( z 3 z 2)(4z 2 4z) 3 2 3 2 2 (5z 5) z 2( z 1)4z( z 1)5( z 1)( z 1)( z 2 4 z 5) Тогда уравнение примет вид: ( z 1)( z 24z 5)0 z 10 или z 1 Учитывая, что z 24z 50 или z 2 (45) , z 2 (45) . 1 2 (4 5) 1 i , получим z 2 i , z 2 i 1 2 Ответ: корни уравнения . z 2i , z 2i, z 1 . 1 2 3 2. Решение уравнений произвольного вида. Другой способ решения уравнений основывается на том, что если z z 1 2 , то Re z1 Re z 2 Im z1 Im z 2 Таким образом, необходимо отделить действительные и мнимые части уравнения, приравнять их и решить полученную систему уравнений. Пример 6. Решить уравнение z 1 z . Решение. Пусть z x iy. Тогда уравнение имеет вид: x iy 1 x 2 y 2 . Отделив действительные и мнимые части в обеих частях равенства, получим: 2 2 x 1 2 x y y 0 Решим уравнение x 1 2 x x 1 0 x 1 2 x x 1 x 1 Оба корня x 1 , x 1 2 x 1 2 x y 0 Оно эквивалентно совокупности двух систем: или или x 10 x 1 2 x x 1 1 x 3 1 удовлетворяют условию x 1 . Возвращаясь к системе, 3 1 . Вспоминая, что z x iy , получим ответ. 3 y 0 получим: x1 1 или x2 y1 0 2 Ответ: z 1, z 1 . 1 2 3 Линии и области на комплексной плоскости. В заключение исследуем геометрический смысл уравнений и неравенств с комплексными числами. Так как каждое комплексное число представляет собой точку на комплексной плоскости, то уравнение с комплексными числами задает на плоскости линию. Укажем некоторые из них. (а) z z R . 0 Так как z z 0 есть расстояние между точками определяется как множество точек z z То же самое можно получить, положив zz 0 z 0 , то данная линия , расстояние от каждой из которых равно Это – уравнение окружности с центром в точке точки в уравнение. Т. к. и z и радиуса R. z xiy, z x i y 0 0 ( x x 0) ( y y 0) 2 2 R. 0 и подставив эти ( x x0) ( y y 0) R , или , то 2 2 ( x x0) ( y y 0) R - уравнение окружности. 2 2 2 arg(z) . (б) Это – уравнение луча, выходящего из точки (0,0) под углом к положительному направлению оси Ox. При этом, так как для точки 0 i 0 аргумент не определен, то точка (0,0) является «выколотой». Пример 7. Изобразить на комплексной плоскости линию, задаваемую уравнением z z 2 Re z 0 . Решение: Пусть z x i y . Тогда z x i y и уравнение примет вид: x y 2 x 0 . Выделим полный квадрат: x 2 2 2 2 x 1 y 2 1 x 2 y 2 2 x 110 . Получим: , или ( x 1)2 y2 1 - уравнение окружности с центром в точке (-1,0) и радиуса 1. Неравенство с комплексными числами задает на плоскости область, ограниченную соответствующей линией. а). z z R задает на плоскости внутренность окружности (см рис 4 а).) б). z z R задает на плоскости внешнюю часть окружности (см рис 4 б).) 0 0 в). arg( z) задает на плоскости внутренность угла, ограниченного лучами 1 2 arg( z) и arg( z) . (см. рис. 4 в).) 1 2 Рис. 4а) Рис. 4б) Рис. 4в) Пример 8. Изобразить на плоскости множество точек, задаваемых системой неравенств z (1i) 3 arg z 4 4 . Первое неравенство задает на плоскости внешнюю область окружности с центром в точке (1,1) и радиуса 3, вторая область задает внутренность угла со сторонами 4 и 4 . Общая область – пересечение этих двух областей (см. рис 5.). Рис. 5 Контрольные задания Представленные ниже задачи являются контрольным заданием для учащихся 10 классов. Решения необходимо оформить в отдельной тетради и выслать по адресу 680000, г. Хабаровск, ул. Дзержинского, 48, ХКЦТТ, ХКЗФМШ. Для зачета нужно набрать не менее 30 баллов. В решениях следует делать необходимые пояснения и рисунки, дающие представления о ходе Ваших рассуждений. М.10.1.1. Записать комплексные числа в алгебраической и тригонометрической форме, отметить их на комплексной плоскости (5 баллов за пример). 16 ( 1 i ) а). z cos i sin , б ). z cos i sin , в ). 6 6 6 4 (1i) 4 М.10.1.2. Выполнить действия. Ответ записать в алгебраической форм (5 баллов за пример). (i 3 )(cos 12 1 i а). i sin 12 13 ) б). 3 i 2 2 в). 7 (cos i sin )(1 3) 3 3 5 i М.10.1.3. Вычислить все различные корни их комплексного числа и нанести их на комплексную плоскость (5 баллов за пример). а). 6 32(cos i sin ) б). 4 i в). 3 1 г). 4 1 М.10.1.4. Решить уравнения (10 баллов за пример). а). z 6z 100 2 б). z 10 290 2 в). z z 0 г). z iz 1 2i 2 М.10.1.5. При каких значениях параметра a уравнение имеет комплексные корни? (10 баллов за пример). а). x2 10 x a 0 б). 4 x2 4(a 2) x 10 Найти эти корни при каком-либо значении параметра. М.10.1.6. Какое множество точек на комплексной плоскости задается условием? ? (10 баллов за пример). 2 2 а). (Re z) (Im z) 2 б). Im( z z ) (Re z) в). z z 4 Im z 0 г). Re( z )0 2 д). 2 Re(iz) z 2 arg z е). 6 2 Im z 3 Изобразить найденное множество на комплексной плоскости.