Текст диссертации

Московский физико-технический институт
(государственный университет)
Факультет молекулярной и биологической физики
Кафедра «Физики живых систем»
На правах рукописи
Яворский Владислав Антонович
Параметрические модели популяционной
динамики
и их приложение к задачам демографии
Специальность 03.00.02 - Биофизика
Диссертация на соискание ученой степени кандидата
физико-математических наук
Научный руководитель
Киреев Виктор Борисович, к.ф.-м.н., доцент МФТИ
Долгопрудный, 2002 г.
1
Содержание
1. Методологические принципы моделирования ................................................................................ 6
1.1. Параметрические функциональные зависимости .................................................................. 6
1.2. Обзор популяционных моделей ............................................................................................... 6
1.3. Виды параметров ..................................................................................................................... 10
1.4. Основные положения, лежащие в основе построения моделей динамики популяций .... 12
2. Методики классификации моделей демографических систем и процессов на основе
эндогенных и экзогенных связей .................................................................................................. 16
3. Параметрические аппроксимации процессов рождаемости и смертности ................................ 19
3.1. Введение ................................................................................................................................... 19
3.2. Требования к моделям аппроксимации возрастных распределений ................................. 19
3.3. Определение понятий и простейшие модели возрастного распределения рождений ..... 21
3.4. Модель Романюка на основе кривой Пирсона ..................................................................... 24
3.5. Общая модель рождаемости на основе гамма-распределения ........................................... 25
3.6. Смысл статистического гамма-распределения .................................................................... 27
3.7. Модель с исчерпанной плодовитостью (последовательное рождение детей) .................. 29
3.8. Двухэлементная модель рождаемости .................................................................................. 29
3.9. Влияние на рождаемость факторов окружающей среды .................................................... 30
3.10. Параметрическая аппроксимация закона распределения продолжительности
жизни ............................................................................................................................................... 32
3.11. Влияние на смертность факторов окружающей среды ..................................................... 34
3.12. Что такое «ресурс»? .............................................................................................................. 36
4. Методы определения структур новорожденных по очередностям рождений .......................... 38
4.1. Введение в проблематику задачи .......................................................................................... 38
4.2. Используемые обозначения ................................................................................................... 38
4.3. Методика “точного совпадения данных”.............................................................................. 39
4.4. Методика “подбора вероятностей” по очередностям .......................................................... 39
4.5. Методика параметрического моделирования без использования базового года .............. 40
4.6. Условие корректности применения методик ....................................................................... 42
4.7. Методика пропорционального распределения расчета прогноза двух лет ....................... 43
4.8. Методика пропорционального распределения неизвестных .............................................. 45
5. Приближение стабильного населения и решение уравнения Лотки .......................................... 47
2
6. Влияние неоднородности на темп роста численности популяции со стабильной
возрастной структурой .................................................................................................................. 52
6.1. Введение в проблему .............................................................................................................. 52
6.2. Функция распределения по признаку ................................................................................... 52
6.3. Дифференциальные и интегральные величины смертности и рождаемости .................... 53
6.4. Модель унимодального распределения по признаку .......................................................... 55
6.5. Зависимость интегральной смертности от среднего дохода и дисперсии ........................ 57
6.6. Зависимость интегральной рождаемости от среднего дохода и дисперсии ...................... 59
6.7. Распределение по признаку с положительной нижней границей ...................................... 61
6.8. Случай полимодального распределения по признаку ......................................................... 62
6.9. Зависимость коэффициента Лотки от среднего дохода и дисперсии ................................ 64
7. Макроэкономическая модель устойчивого развития населения................................................ 67
7.1. Введение в проблему .............................................................................................................. 67
7.2. Модель Солоу, ее результаты и недостатки ......................................................................... 68
7.3. Влияние демографических характеристик на параметры экономического роста ............ 70
7.4. Модифицированная модель Солоу ........................................................................................ 73
8. Заключение ....................................................................................................................................... 80
9. Выводы .............................................................................................................................................. 82
Приложение 1. Таблицы...................................................................................................................... 83
Литература ............................................................................................................................................ 94
3
Введение
Данная работа посвящена развитию методик параметрического моделирования
динамики популяций, и применению полученных результатов в актуальных
прикладных экономико-демографических исследованиях.
Моделирование систем на основе анализа влияния эндогенных и экзогенных
статистических показателей на параметры функциональных зависимостей является
одним из перспективных путей решения теоретических и прикладных задач в этой
области. В настоящее время благодаря усилиям многих исследователей в значительной
мере разработана методология математического моделирования и достигнуты большие
успехи в применении таких моделей в прикладных разработках.
В настоящей диссертационной работе проведена систематизация и предпринята
попытка развития параметрических методов моделирования динамики численности
популяций и, в частности, населения, вводится понятие «информационного параметра»
как отличительной черты цивилизованного общества от биологической популяции и
рассматривается его участие в демографических процессах.
В работе уделено особое внимание параметрическому описанию распределения
количества рождений от возраста матери и использованию этого описания для
построения прогнозов изменения численности населения.
Одним из прикладных направлений данной работы была разработка методов
восстановления демографических параметров по неполным временным статистическим
рядам данных. В частности, с 1995 по 1998 год в государственных статистических
исследованиях в демографии на Украине и в России приводятся статистические данные
не по возрастному распределению рождаемости с учетом очередности рождения
ребенка, а только по возрастному распределению полной рождаемости (количество
детей, рожденных за год 1000 женщин некоторого возраста, либо численность женщин
некоторого возраста и количество рожденных ими детей). Поэтому, если исследователя
интересует полная информация по рождаемости, он оказывается в затруднительном
положении. В настоящей работе предлагается методика по получению возрастного
распределения по очередности рождений исходя из чисел родившихся по возрасту
матери прогнозируемого года и статистических данных по годам, по которым имеется
полная информация. На основе методики был разработан программный пакет,
результаты расчетов которого приняты как рекомендуемые статистические величины
4
для практического использования, например при планировании размеров выплат по
детским пособиям.
Ещё одним из направлений данной работы было исследование влияния
неоднородности популяции по какому-либо признаку на динамику её численности.
Обычно при построении соответствующих моделей исследователи обычно делают
предположения об однородности популяции по различным биологическим, а для
населения – также по социальным, экономическим признакам и об однородности
влияния внешней среды на процессы рождаемости и смертности. Это, как правило, не
соответствует реальности и дает расхождение между моделируемыми и наблюдаемыми
величинами. В данной работе приводятся некоторые результаты моделирования
популяции со стабильной возрастной структурой, неоднородной по некоторому
биологическому или социальному признаку.
В работе на основе полученного оригинального аналитического выражения для
коэффициента Лотки (характеризующего скорость роста численности популяции со
стабильной возрастной структурой) была также рассмотрена новая модификация
широко известной макроэкономической модели Солоу, которая более точно учитывает
взаимное влияние друг на друга экономических и демографических процессов,
позволяя адекватно оценить роль различных информационных параметров в развитии
системы.
5
1. Методологические принципы моделирования
1.1. Параметрические функциональные зависимости
Все экспериментальные и статистические данные, как правило, можно представить
в табличном виде. Это и зависимость высоты полета снаряда при выстреле из пушки от
времени, и распределение умерших в популяции по возрастным группам (таблицы
смертности). Однако сами значения в такой таблице не могут дать представления о
качественной стороне процесса, его механизме, хотя и являются максимально полными
и точными эмпирическими данными. Для понимания происходящих процессов
исследователи на основе табличных данных ищут производные величины, которые
имеют статистический или физический смысл. Например, в случае таблиц смертности
для сравнения условий жизни в двух популяциях на основе отдельных коэффициентов
вычисляют среднюю ожидаемую продолжительность жизни, параметр, который
обычно используют для оценки воздействия среды на организм отдельного
индивидуума. В качестве других характеристик часто используют начало детородного
периода, модальный возраст смерти и т.п.
Все эти показатели имеют статистическую природу и не могут сами по себе дать
представления о механизме данного процесса. На основе только этих значений мы не в
состоянии даже приближенно восстановить исходную таблицу. Однако они могут
служить параметрами, определяемыми некоторой функциональной зависимости,
которая является результатом математической записи наших знаний о таком
механизме. Множество конкурирующих между собой гипотез дают соответствующее
множество функциональных зависимостей, которые удовлетворяют (в приближении
минимума среднеквадратического, интегрального или иного отклонения) исходным
данным при некоторых значениях параметров. Некоторые параметры могут иметь не
столько статистическую, сколько физическую природу, однако на их основе могут
рассчитываться статистически измеримые величины исходя из вида функциональной
зависимости. Имея некоторые критерии сравнения и отбора функциональных
параметрических зависимостей, мы во многих случаях можем определить наиболее
адекватный для рассматриваемого процесса механизм.
1.2. Обзор популяционных моделей
Математические модели воспроизводства численности и возрастной структуры
широко представлены как в экологии и микробиологии для описания взаимодействия
6
отдельных биологических видов с окружающей средой, так и в демографии для
описания населения [12]. Ниже будут приведены наиболее широко известные модели.
Простейшим примером модели однородной популяции без учета половой и
возрастной структуры служит простейшая модель Мальтуса, основоположника
математических популяционных моделей, в конце 18-го века постулировавшего
экспоненциальный
закон
роста
численности
популяции
(по
геометрической
прогрессии). В современной интерпретации [39] эта модель имеет следующий вид:
dN (t )
 C  N (t ), C  const .
dt
Здесь N(t) – численность популяции, С – темп прироста численности популяции.
Поскольку при постоянном положительном темпе прироста численность в пределе
стремится к бесконечности, а ресурсы окружающей среды, необходимые для
воспроизводства, ограничены, закон Мальтуса применим лишь на ограниченных
интервалах времени. Было предложено много моделей, более правильно описывающих
реальную эволюцию популяций. До настоящего времени часто используется модель
Ферхюльста, отображающая эффект стабилизации численности популяции при
ограниченном количестве жизненно важных ресурсов, содержащихся в среде обитания
биологического вида:
dN
 e( K  N ) N ,
dt
где К=const – так называемая "жизненная емкость" среды. Поскольку смертность в
модели Ферхюльста пропорциональна численности, такая модель может описывать
внутривидовую конкуренцию, например, за источники пищи.
Следующим шагом в математическом моделировании развития популяций было
изучение сосуществования видов, как конкурирующих за общие ресурсы, так и
связанных отношениями типа "хищник-жертва". Основополагающими здесь являются
работы Вольтерра и Лотки [7]. Модель Вольтерра - Лотки имеет вид:
k12
k11
 dN1
 dt  e1 N1 (1  e N 2  e N1 )
1
1
.
 dN
k
k
2
21
22

 e2 N 2 (1 
N1 
N2 )
 dt
e2
e2
Здесь N1 , N 2 – численность популяций каждого из видов, k12 , k21 – коэффициенты
взаимодействия между видами, k11 , k 22 – коэффициенты "жизненной емкости" среды
для каждого вида, e1 , e2 – удельная скорость роста каждой из популяций при
7
отсутствии взаимодействия и самоограничения. Анализ модели для конкретных систем
проведен в [1, 4, 41].
Динамические модели роста численности популяций, приведенные выше,
строились в предположении однородности популяции, причем переменными в моделях
служили характеристики, усредненные по популяции. Реально же любая популяция
существенно неоднородна, начиная с возрастного распределения и кончая различиями
разных особей популяции в массе, размере, наборах фенотипических и генетических
признаков. Интерес к распределенным моделям, описывающих данные неоднородности
и их связь между собой, был вызван прикладными задачами в микробиологии.
Самым простым типом моделей, в которых учитывается возрастная структура
популяции при условии однородности всех прочих биологических характеристик
особей популяции одного возраста, являются дискретные возрастные модели, в
которых популяция делится на конечное число возрастных групп. Если время так же
моделируется дискретным образом, то динамика таких систем описывается системой
разностных уравнений Лесли [63]:


xt 1  L  xt 

где x – вектор численности возрастных групп, L – матрица вероятностей перехода
из одной возрастной группы в другую. Среди таких моделей в микробиологии наиболее
часто
используется
двухвозрастная
модель
популяции
клеток
в
проточном
культиваторе, где популяция разбита на две группы: первая группа содержит
"молодые" клетки, которые растут, но еще не могут делиться, члены второй группы
("старые") способны к делению с образованием двух "молодых" клеток [43, 71].
1
 dN1 2
 dt  T N 2  T N1  DN1
2
1
,
 dN
1
1
 2  N1  N 2  DN 2
 dt
T1
T2
где N1 – численность "молодых" клеток, N 2 – численность "старых" клеток, T1 –
среднее время созревания "молодой" клетки, T2 – среднее время пребывания "старой"
клетки в детородном периоде, D – скорость протока через хемостат.
Другим направлением моделирования было построение моделей с непрерывной
функцией распределения популяции по возрастам. Пионерской в этой области является
работа МакКендрика [68], но она осталась практически незамеченной современниками.
В этой работе для функции плотности распределения был записан в дифференциальной
форме закон сохранения числа особей. Повторно распределение было получено фон
8
Ферстером [75] и затем исследовано многими авторами [28, 29, 43, 74]. Фактически
моделирование экологических и демографических систем на основе уравнения
МакКендрика – фон Ферстера для возрастной структуры популяции является неявным
стандартом [8, 37, 39, 52, 56, 77].
Запишем систему уравнений для особей популяции женского пола (дальше –
женщин). Для описания указанной модели используем следующие обозначения:
n(t ,  ) – плотность численности женщин в данном возрасте  в некоторый момент
времени t ;
N (t ) – полная численность женщин;
 – доля девочек среди новорожденных;
M (t ,  ) и B(t ,  ) – заданные функции смертности и рождаемости.
Тогда система уравнений, описывающая динамику численности популяции, будет
иметь следующий вид:
Изменение во времени численности различных возрастных групп:
n(t , ) n(t , )

  M (t , )  n(t , ) .
t

Количество новорожденных:

n(t ,0)   B(t , )    n(t , )d .
0
Исходное распределение численности популяции по возрастам:
n(0, )  n0 ( ) .
Полная численность женщин:

N (t )   n(t , )d .
0
Альтернативным
направлением
в
моделировании
является
рассмотрение
популяций, неоднородных по выборке определенных биологических признаков (размер
и масса особи, состояние здоровья). Примером может служить аналитическая модель
эволюции биологического сообщества типа “ресурс-потребитель” [30, 31].
Пусть p – некоторый биологический признак, n(t , p )dp – количество особей
популяции, имеющих значение признака в пределах от p до p+dp. Тогда:
9
dn(t , p )
 B( p )  M ( p ) n(t , p )
dt

N (t )   n(t , p )dp.
0
Например, если в качестве биологического признака взять вес особи, то одним из
простых видов зависимости смертности от веса тела может быть зависимость
M ( P)  ( D P) ,   0 , отражающая ослабление организма, снижение сопротивляемости
болезням, хищникам в результате истощения при условии жесткой конкуренции в
природных популяциях.
1.3. Виды параметров
Необходимо
отметить,
при
описании
процессов
динамики
численности,
протекающих как в биологической популяции, так и в населении, применяются
одинаковые математические конструкции и модели. Подобная эффективность
междисциплинарного подхода связана с общебиологической природой процессов,
определяющих динамику численности различных популяций и народонаселения.
Различия начинаются при определении смысла получаемых параметров.
По отношению к отдельной особи любой популяции все влияющие на нее факторы
и процессы можно разделить на внутренние (биологические, генетические) и внешние
(влияние окружающей среды). Соответственно параметры, характеризующие эти
процессы, можно подразделить на внутренние и внешние.
Если отдельные особи биологической популяции вынуждены приспосабливаться к
постоянно изменяющимся условиям окружающей среды, то человек
цивилизацию
–
своеобразную
технологическую
прослойку
между
создал
отдельной
личностью и окружающей средой, ослабляющую негативное влияние последней. Часть
процессов, воздействующих на человека, созданы самим обществом, и являются
управляемыми. По отношению к человеку внешние параметры можно подразделить на
параметры, характеризующие энергетические и информационные взаимодействия с
окружающей средой [61, 62]. Одной из целей настоящей работы и является выявление
и определение влияния некоторых характерных «информационных» параметров на
динамику численности населения. На рис. 1.1 представлен пример построения
иерархии параметров, влияющих на динамику численности популяции, использованной
в данной работе.
10
Численность популяции
N(t,x)
Характеристика: рождаемость
Характеристика: смертность
B(t,x)
M(t,x)
B(x)=Bbio(x)Bsoc(t)
M(x)=Mbio(x)+Msoc(t)
Bbio(x)
Bsoc(t)
Msoc(t)
Bsoc(p)
Msoc(p)
Mbio(x)
Рис. 1.1. Схема построения иерархии параметров, влияющих на динамику
численности популяции. Здесь t – время, x – возраст, p – ресурс, Bbio(x) –
биологическое распределение рождений по возрастам, Bsoc(p) – коэффициент
социальных рождений, Mbio(x) – биологическая компонента смертности, Msoc(p) –
социальная компонента смертности (см. главу 3).
Последовательность этапов построения такой иерархии достаточно очевидна:
1. Выделение двух основных процессов, влияющих на динамику численности
закрытой популяции (населения) – рождаемости и смертности.
2. Параметрическое описание рождаемости и смертности с выделением
параметров биологической и социальной природы.
3. Выявление функциональных зависимостей данных параметров от внешних (а
если необходимо, то и внутренних) факторов.
Методический подход к построению моделей, реализованный в данной работе,
включает (см. также [40]):
 Рассмотрение исходных положений, лежащих в основе построения моделей
динамики популяций.
 Анализ ряда факторов, влияющих на процессы рождаемости и смертности.
 Построение параметрических функциональных аппроксимаций рождаемости
и смертности с использованием «физических» представлений о моделях
процессов.
11
 Выявление
параметров в различных процессах, которые могут быть
определены независимым образом из статистических демографических и
социологических данных.
 Выявление параметров, отвечающих за энергетическое и информационное
взаимодействие с окружающей средой.
Различные разделы настоящей диссертации посвящены описанию реализации
данных этапов на примере решения различных теоретических и прикладных задач
экологии и демографии.
1.4. Основные положения, лежащие в основе построения моделей
динамики популяций
В 1900 году Гильберт выступил в Париже на II Международном конгрессе
математиков со знаменитым докладом «Математические проблемы». «Когда речь идет
о том, чтобы исследовать основания какой-нибудь науки, то следует установить
систему аксиом, содержащих точное и полное описание тех соотношений, которые
существуют между элементарными понятиями этой науки. Эти аксиомы являются
одновременно определениями этих элементарных понятий, и мы считаем правильными
только такие высказывания в области науки, основания которой мы исследуем, какие
получаются из установленных аксиом с помощью конечного числа логических
умозаключений» – такими словами [34, стр. 25] Гильберт предварил формулировку
проблемы. Далее он высказал требования, предъявляемые к системе аксиом
математической науки: независимость и непротиворечивость.
В том же докладе под номером шесть Гильберт сформулировал задачу «об
аксиоматическом построении по этому же образцу (по образцу геометрии) тех
физических дисциплин, в которых уже теперь математика играет выдающуюся роль:
это в первую очередь теория вероятностей и механика» [34, стр. 34].
В докладе Гильберт так определяет сущность своего понимания аксиоматического
метода: «Я верю, что все, что может быть объектом научного исследования и
достигшее уровня зрелости, достаточного для включения в некоторую теорию,
подвластно аксиоматическому методу и через него косвенно математике. Обращаясь к
более глубокому пласту аксиом... мы достигаем более глубокого проникновения в
сущность научного мышления и еще яснее осознаем единство нашего знания. В
12
проявлениях аксиоматического метода математика, как представляется, призвана
играть лидирующую роль в науке в целом».
В начале 20-го века многие ученые отдали дань построению аксиоматики физики
на основе геометрических моделей многомерного пространства, венцом чего явилось
создание общей теории относительности. Однако многочисленные открытия в области
квантовой физики, открытие сильных и слабых взаимодействий не дали возможности
построения «единой теории поля», не смотря на продолжавшиеся усилия ученых по ее
созданию.
В отличие от физики, отдельные разделы которой зародились еще в античные
времена, экология и демография являются очень молодыми науками. К сожалению, до
сих пор демографию относят к разделу общественных (читайте: неточных) наук,
наряду с социологией, обществоведением и философией. Для большинства демографов
математика в демографии сводится к применению математических методов статистики
при построении и анализе таблиц смертности и рождаемости, построению прогноза
численности населения на некоторый период. Часто идет обычная констатация фактов,
полученных из анализа имеющихся статистических данных, но не их объяснение.
Разделами
науки,
близкими
к
математической
демографии,
являются
математическая экология (теория эволюции популяций), микробиология (модели
дифференциации клеток), моделирование социально-экономических систем (модели
макроэкономического развития). Не смотря на то, что большинство использующихся в
демографии моделей были получены при решении задач в этих смежных областях,
исследователями
часто
проводится
резкое
разграничение
демографических
и
биологических понятий и объектов.
Таким образом, демография сегодня только на пути к тому, чтобы по праву
считаться наукой, в которой математика играет «выдающуюся» роль (по Гильберту).
Поскольку большинство объектов и процессов в демографии (этнические, религиозные
и культурные факторы) считаются трудно формализуемыми с точки зрения математики
и поэтому недоступными количественному измерению, для них часто используется
только качественное описание. В то же время их влияние на демографические
процессы (рождаемость, смертность, миграцию) можно описать количественно.
Ниже приводится ряд положений, являющихся, по нашему мнению, наиболее
существенными при построении моделей динамики популяции:
1. Основной динамической характеристикой популяции или любой ее части
является численность.
13
Примечание. Часто при моделировании биологических популяций, таких как
растения, микроорганизмы, в качестве основной характеристики удобнее брать
биологическую массу, поскольку именно эта характеристика представляет интерес и
является существенной для многих процессов. Однако расчет численности является
эквивалентным, добавляя учет наличия отдельной особи, что актуально для
демографии.
2. Все возможные характеристики можно разделить на набор характеристик
численности популяции и ее частей, и набор характеристик признаков
(ресурсные, пространственные, биологические, социальные и т.д.).
3. Для
моделирования
реальную
популяции
существенны
и
ее
только
части,
величины,
которые
характеризующие
являются
количественно
определяемыми и статистически измеримыми.
4. Все возможные характеристики популяции как объекта исследования можно
разделить на параметры, характеризующие признаки объекта исследования
(образующие
пространство
аргументов
соответствующей
размерности,
например, возраст, пол, время, координаты в пространстве), и параметры,
характеризующие состояние объекта исследования и являющиеся объектом
изучения и моделирования (например, численность).
5. Все возможные характеристики можно разделить на внутренние и внешние по
отношению к данной популяции или ее части (отдельному индивидууму).
6. Изменение некоторой характеристики численности популяции (или ее части) в
любой момент времени пропорционально ее величине (то есть все уравнения
эволюции численности являются дифференциальными уравнениями первого
порядка по времени).
Примечание. При этом коэффициенты рождаемости, смертности и миграции могут
нелинейным образом зависеть от численности различных частей популяции.
7. Решение системы уравнений, характеризующих эволюцию популяции, при
заданных начальных и граничных условиях должно существовать и быть
единственным.
Примечание. Если мы используем вероятностную трактовку, то данное требование
относится к плотности вероятности распределения характеристик популяции
(населения).
Вопрос о полноте, непротиворечивости и независимости данных утверждений
остается открытым.
14
Введем обозначения:

n – набор характеристик численности популяции и ее групп, проживающих в
данном ограниченном пространстве (экологический ареал, химический реактор или
чашка Петри).

p – набор
ресурсных,
пространственных,
биологических,
социальных
характеристик (как внутренних, так и внешних), влияющих на изменение численности
населения.
t – время.
 – возраст:
d
 1.
dt
 
At , , n, p  – матрица связей между различными характеристиками численности
популяции (причем не обязательно Aii=0).
Обобщенное уравнение динамики популяций:


dn t ,  , p 
 

 At ,  , n , p nt ,  , p ,
dt

dp t  
 
 F t ,  , n , p .
dt
Дополнительно
формулируются
начальные
(t=0)
и
граничные
условия,
замыкающие систему уравнений.
Анализ дополнительных упрощений, предположений и свойств, таких как
экспоненциальный
рост,
самоограничение,
конкуренция,
дискретность
или
непрерывность, эндогенные или экзогенные параметры, и т.д., которые приводят к
широко известным моделям, являющихся частными случаями обобщенного уравнения,
позволяет предложить систему классификации существующих демографических и
экологических моделей.
15
2. Методики классификации моделей демографических
систем и процессов на основе эндогенных и экзогенных
связей
В настоящей работе использована предложенная нами [49] классификация
демографических
и
экономико-демографических
математических
моделей
воспроизводства населения по системе взаимоотношений между экзогенными и
эндогенными переменными и постоянными коэффициентами модели.
К моделям первого уровня в рамках классификации [49] относятся модели
различной степени сложности (дискретные и непрерывные, детерминистские и
вероятностные, с учетом возрастной структуры и без учета возрастной структуры, для
однородного и неоднородного по каким-то параметрам населения), которые описывают
воспроизводство популяции на основе использования различных популяционных
процессов (рождаемости и смертности), являющихся эндогенными характеристиками
конкретной модели при фиксированных внешних условиях. В этих моделях
отсутствует явный учет экзогенных факторов, однако их влияние проявляется через
величины используемых в моделях эндогенных характеристик.
Модели второго уровня – это модели воспроизводства популяции (населения),
учитывающие зависимость тех или иных популяционных (демографических) процессов
от внешних (экологических, экономических, социальных, культурных, правовых)
факторов. Здесь задаются экзогенные характеристики без учета обратных связей, то
есть без влияния на них популяционных процессов.
К моделям третьего уровня относятся модели воспроизводства населения,
учитывающие обратные связи, то есть влияние друг на друга эндогенных
демографических и экзогенных экономических, экологических и других факторов.
Обобщая все сказанное выше, сформулируем основные этапы, использованные в
данной работе при построении экономико-демографических моделей в соответствии с
данной классификацией:
1. Установление повозрастной плотности численности населения как основной
характеристики объекта «население». Разделение характеристик совокупности
«население-среда проживания» на эндогенные и экзогенные по отношению к
объекту «население».
16
2. Качественное описание таких эндогенных характеристик, как смертность,
рождаемость и миграция. Построение математических параметрических
моделей для повозрастных распределений рождаемости и смертности исходя
из следующих требований:

аппроксимация
функциональными
зависимостями
реальных
статистических данных с заданной точностью;

применимость функциональной зависимости в теоретическом анализе;

интерпретация
реальные,
параметров
интегральные,
функциональных
статистически
зависимостей
измеримые
через
характеристики
моделируемых процессов;

временная,
пространственная
и
биологическая
универсальность
применяемых моделей.
3. Построение модели I уровня – демографической модели стабильного
населения при фиксированном влиянии внешней среды. Решение уравнения
Лотки – нахождение темпа прироста численности населения исходя из
значений фиксированных параметров возрастного распределения эндогенных
характеристик населения – смертности и рождаемости. Для простоты модель
строится как точечная (нет распределения по пространству и миграции).
4. Построение связи I типа – качественное рассмотрение и математическая
аппроксимация зависимости демографических характеристик от условий
внешней среды. Введение интегрального параметра, обобщающего в себе
степень замещения естественной природной среды на искусственную
технократическую среду («цивилизацию»), показатель защиты отдельных
членов общества от неблагоприятных внешних условий и показатель
эффективности
распределения
жизненно
необходимых
ресурсов,
поступающих в общество из внешней среды.
5. Построение модели II уровня – интерпретация интегрального параметра как
общественного богатства или обобщенного ресурса, которое население может
производить, распределять и расходовать. Выражение значения этого
параметра в единицах свободной энергии и (или) в денежном выражении как
удельное потребление члена общества дает возможность построить модель
изменения
во
времени
количества
общественного
богатства
как
математическую модель экономики. Построение модели II уровня с
17
однородным
распределением
общественного
богатства
среди
членов
общества.
Проведенные исследования дают возможность перейти к более сложным
моделям, более адекватно описывающим реальное население:
1. Построение модели II уровня с фиксированным и нефиксированным
неоднородным распределением общественного богатства среди членов
общества.
2. Построение
связей
характеристик
II
типа
(смертность,
–
влияния
рождаемость,
основных
брачность
демографических
и
миграция)
на
производство общественного богатства – долю трудоспособного населения,
долю занятых в производстве, квалифицированность труда, темп научнотехнического прогресса, распределение населения по доходам.
3. Построение глобальных моделей III уровня, вбирающих в себя эволюцию и
взаимосвязи различных экзогенных и эндогенных характеристик населения,
распределение плотности населения в пространстве и механизмы миграции,
изменение во времени распределения населения по доходам [27, 42, 45].
Теперь перейдем к рассмотрению конкретных популяционных процессов –
рождаемости и смертности.
18
3. Параметрические аппроксимации процессов рождаемости
и смертности
3.1. Введение
При построении демографических и экологических моделей часто приходится
описывать процессы, приводящие к появлению новых поколений в популяции: деление
клеток, образование и пророст семян у растений, живорождение у млекопитающих.
При построении моделей, учитывающих распределение популяции по возрасту, часто
возникает проблема описания возрастного распределения рождений. С другой стороны,
интересно понять сам механизм рождений, что в математической форме эквивалентно
определению функционального вида зависимости, аппроксимирующей возрастное
распределение рождений.
Заметим, что подобная работа активно ведется для процесса смертности (см.
обзор [9]). Хотя в процессе старения и смерти организма изменяются множество его
химических,
физических
и
физиологических
параметров,
сложным
образом
взаимосвязанных между собой, именно в силу большого их количества возникают
относительно простые функциональные выражения, описывающие статистические
закономерности возрастного распределения смертности. Можно предположить, что это
будет справедливо и для рождаемости, и для других сложных статистических
биологических процессов.
В настоящей работе рассмотрены методика и основные принципы построения
математических моделей, используемых для аппроксимации процессов рождаемости и
смертности (построение связей I уровня согласно предложенной классификации). С
этой точки зрения проанализирован ряд существующих моделей аппроксимации
возрастной структуры рождений и предложено несколько новых моделей рождаемости.
3.2. Требования к моделям аппроксимации возрастных распределений
Не секрет, что в настоящий момент существует множество теорий о механизмах
рождаемости и смертности [9, 36, 47, 56, 57, 58, 65, 66, 67, 73, 77] и соответствующее
количество функциональных параметрических зависимостей, в математической форме
воплощающих постулаты данных теорий. Естественным образом возникает вопрос о
сравнении между собой различных законов распределения (поскольку в большом
количестве работ утверждается, что используемая там модель – самая оптимальная на
19
текущий
момент).
Для
того,
чтобы
результаты,
получаемые
в
результате
математического моделирования, были корректными и поддавались обоснованной
интерпретации,
сформулируем
несколько
основных
требований
к
выбору
параметрического распределения, аппроксимирующего исследуемые характеристики
[9, 51], которые и будем использовать при сравнении различных моделей:

Из опыта аппроксимации опытных или статистических данных известно, что
некоторая функциональная зависимость аппроксимирует данные тем лучше, чем
больше параметров (степеней свободы) содержится в данной зависимости.
Таким образом, в качестве искомого закона распределения можно выбрать
любую эмпирическую функциональную зависимость (например, многочлен),
хорошо аппроксимирующую статистические данные. Хотя на определенных
этапах развития науки такой подход был весьма плодотворен, к современным
законам распределения необходимо выдвинуть требование теоретического
обоснования модели как интерпретацию параметров модели через характерные
измеряемые интегральные величины рассматриваемых явлений, с последующей
проверкой на хорошую аппроксимацию статистических данных.

Насколько вид Homo sapiens отличается по биологической природе от других
близких по физиологическому строению биологических видов? Считая, что
отличия в структуре рождаемости и смертности обусловлены не качественным
изменением биологического строения организма человека, а замещением части
влияния “биологической” среды на влияние “искусственной” технократической
среды, созданной самим человеком как “цивилизованный способ проживания”,
можно выдвинуть предположение об универсальности законов распределения
смертности и рождаемости для различных биологических видов. Например,
смертность населения и смертность некоторого биологического вида, живущего
в искусственной среде обитания, созданного человеком, должны с примерно
одинаковой эффективностью описываться одной и той же функциональной
зависимостью с разными значениями параметров аппроксимации, отражающими
влияние среды на выживание организма данного биологического вида.

Если мы пытаемся улучшить точность аппроксимации путем увеличения
количества параметров в функциональной зависимости, в некоторый момент
эффект
введения
дополнительного
параметра
будет
нивелироваться
погрешностью в получении самих статистических данных, усложнением
теоретического анализа или другими причинами. Исходя из этого, можно
20
сформулировать
оптимального
требование
количества
достаточной
аппроксимации
параметров
функциональной
о
нахождении
зависимости,
необходимого для описания особенностей наблюдаемых данных.
Необходимо отметить еще один аспект математического моделирования
процессов рождаемости и смертности. Статистически измеряемые повозрастные
распределения как рождений, так и смертей являются не непрерывными функциями
возраста, а некоторыми дискретными интегральными характеристиками, полученными
при усреднении (и, как правило, дополнительном выравнивании) данных за некоторый
период (1 год или 5 лет). Таким образом, для нахождения значения демографической
характеристики для некоторого возраста из приведенных ниже непрерывных функций
возраста можно взять значение функции в соответствующей целочисленной точке или
среднее значение функции за некоторый период. При этом значения характерных
величин
распределения
(например,
модального
возраста
рождений,
средняя
продолжительность жизни), получаемые из оптимальных значений параметров
распределения, могут не являться целочисленными величинами.
Как критерий ошибки аппроксимации некоторой функциональной зависимости
(x) статистических данных  st ( xj)   xj в данной работе нами использовалась
следующая интегральная характеристика:


  ( x)   st ( x) dx
0


st
N

  (j)  
j0
( x)dx
0
где
,
N

j1
xj
xj
(j) – значения для целочисленных значений возраста. При расчетах
использовался алгоритм нелинейной оптимизации, реализованный в Microsoft Excel
(Сервис \ Поиск решения…) [25].
3.3. Определение понятий и простейшие модели возрастного
распределения рождений
Под рождаемостью (полной рождаемостью, интенсивностью рождений) B() в
дальнейшем мы будем понимать повозрастное распределение рождений, то есть
среднее количество новорожденных за год, рожденных 1000 женщин в возрасте  лет.
Можно так же рассматривать количество новорожденных за год, в среднем
приходящееся на 1000 женщин всех возрастов. В качестве наглядного примера
приведем возрастное распределение рождений по Украине, 1985 год (рис. 3.1):
21
Повозрастное распределение рождений
на Украине, 1985 год
200
Количество родившихся
на 1000 женщин
180
160
140
120
100
80
60
40
20
0
0
5
10
15
20
25
30
возраст
35
40
45
50
Рис. 3.1. Возрастное распределение рождений на Украине, 1985 год
Для рождаемости, подобно работе [15], мы рассматриваем полную рождаемость
( Ball ) как произведение биологической компоненты (биологическая способность
женщины рожать ребенка – Bbio ) и множителя, принимающего значения от 0 до 1,
отражающего влияние внешней социально-экономической среды и имеющего смысл
коэффициента реализации видовой биологической продуктивности (коэффициент
социального влияния – Bsoc ):
Ball (t , )  Bbio ( )  Bsoc (t ) .
Изменение возрастной структуры рождений как во времени, так и для обществ с
различным уровнем экономического и социального развития можно качественно
объяснить изменением представления общества об оптимальном числе детей в семье и,
как следствие, изменением соотношений между собой долей детей различных
очередностей рождений. Количественно связать изменение повозрастной структуры
рождаемости с величиной удельного потребления на основании имеющихся у нас
данных в настоящее время не представляется возможным (как одну из причин можно
указать существенную неоднородность населения по социальным и экономическим
признакам, по которой нет достаточного массива статистической информации).
Поэтому в настоящей работе мы не обсуждаем историческое изменения повозрастной
22
структуры рождаемости, которое может рассматриваться как следствие социальноэкономических изменений, и формально рассматриваем повозрастную зависимость
интенсивности рождений как исторически относительно стабильную характеристику в
рамках биологической компоненты.
Рассмотрим структуру биологической компоненты. Здесь функциональная
аппроксимация структуры зависит от того, существенна ли точная возрастная
структура для модели. Если исследователю требуется указать лишь тот факт, что
женщина за продуктивный период рожает Ф детей и средний возраст рождений о,
пренебрегая точность описания самой возрастной структуры, он для упрощения
теоретического анализа может воспользоваться распределением в виде дельтафункции:
B( )        0  ,

 ,   0
где     
,
0
,


0



Поскольку
  (  
0

  ( )d  1 .

) f ( )d  f ( 0 ) , f() – произвольная функция, непрерывная
0
на интервале (0;) , о>0, то теоретический анализ модели значительно упрощается,
что и было использовано в работе [32].
Если нам важно правильное описание распределения возрастной структуры
рождений, то один из простейших способов аппроксимации – это трапеция (рис. 3.2):
Рис. 3.2. Аппроксимация возрастного распределения рождений в виде трапеции
23
Для биологической компоненты рождений площадь под графиком равна числу
детей, в среднем рождаемых женщинами за свою жизнь в наименее развитых странах.
В результате оценки исторических данных это число было принято нами равным 16,
что и определило высоту трапеции –  = 0,8 . Хотя данная модель имеет достаточно
слабое теоретическое обоснование, лишь качественно отображая тенденции возрастной
динамики рождений, она удобна в качественном анализе эволюции демографических
характеристик как кусочно-линейная функция.
3.4. Модель Романюка на основе кривой Пирсона
Одним
из
классических
примеров
подбора
удачной
математической
аппроксимации рождаемости является трехпараметрическая (пяти-параметрическая с
учетом произвольности выбора возраста вступления в детородный период и
продолжительности детородного периода) модель Романюка на основе кривой Пирсона
типа I [57]:
m1
m2

  
 
1   1  
a1   a2 
,
B( )     
m1
m2


  
 
 1  a1  1  a2  d
 
с дополнительным требованием
m1 m2

.
a1 a 2
Обозначим:  – нижняя граница детородного периода,  – верхняя граница
детородного периода, M – модальный возраст матери, A – средний возраст матери
при рождении детей. Тогда      – продолжительность детородного периода;
     M ,      M – верхняя и нижняя границы интегрирования.
Параметры аппроксимации a1 , a 2 , m1 , m2 через измеримые статистические
величины можно выразить следующим образом:
a1  M   – имеет смысл возрастного промежутка от начала детородного
периода до модального возраста матери;
a2    M – имеет смысл возрастного промежутка от модального возраста
матери до конца детородного периода;
m1 
M     2 A    ,
  A     M   
m2 
  M     2 A    .
  A     M   
24
Поскольку при решении задачи оптимизации мы подбираем значения четырех
параметров (модальный возраст рождений, средний возраст рождений, возраста начала
и конца детородного периода), данная функциональная зависимость с высокой
точностью описывает возрастное распределение рождений при возрастах матери выше
модального возраста рождений. Как недостаток данной модели можно отметить
существенную зависимость от выбора значения нижней детородной границы: для
удовлетворительной аппроксимации приходится выбирать завышенный возраст начала
детородного периода (   17 ), при этом рождаемость в более молодых возрастах не
учитывается. Ошибка аппроксимации (критерий приведен в начале статьи) составляет
для статистики по повозрастному распределению рождений на Украине в 1965, 1970,
1975, 1980, 1982, 1985, 1990, 1992, 1994-1997 годах (таблицы №1-2 в конце работы) в
среднем 10,5%, причем ошибка распределения увеличивается для более поздней
статистики с уменьшением значения коэффициента исчерпанной плодовитости.
Модель рождаемости Романюка имеет большое значение в исторической
демографии для реконструкции возрастного распределения рождений по известным
интегральным характеристикам рождаемости. К сожалению, использование модели в
теоретическом анализе затруднено из-за сложного функционального вида и отсутствия
ясной
интерпретации
функциональной
зависимости
и
ее
параметров
через
биологические и социальные характеристики.
3.5. Общая модель рождаемости на основе гамма-распределения
В наших работах [22, 49-56] предлагается метод математической аппроксимации
рождаемости, более точно описывающий реальную возрастную структуру рождений.
Используем зависимость следующего вида:
0,   B

.
Bbio ( )  
n 1
  (   B )  exp[  (   B )],    B
Здесь  B – возраст вступления женщины в детородный период, , n,  –
параметры функциональной зависимости, принимающие положительные значения.
Основными
достоинствами
предлагаемой
аппроксимации
являются
аналитичность функции, аналитический вид результата интегрирования от нуля до
бесконечности и возможность связывания параметров предлагаемой аппроксимации с
реальными, легко определяемыми демографическими характеристиками:
 bio – биологический коэффициент исчерпанной плодовитости:
25

bio   Bbio ( )d .
0
 max – возраст максимальной рождаемости (модальный возраст):
dBbio
( max )  0 .
d
a   max   B
— временной интервал между возрастом, когда женщина
становится способна к деторождению, и возрастом максимальной рождаемости.
Bmax — максимальная рождаемость: Bbio ( max )  Bmax .
Для коэффициентов n, ,  справедливы следующие оценки:
2
B
a
n 1
n  1  2  bio max  ,  
,
a
  bio 
e
  Bbio max  
a
n
Поскольку коэффициент социальных рождений входит как множитель, можно
рассчитать коэффициенты функциональной зависимости и для любого реального
повозрастного распределения рождений для данного коэффициента исчерпанной
плодовитости  :
2
B a
n  1  2  max  ,
  
n 1
 
,
a

e
  Bmax    
.
 ( n)
a
n
n

Здесь (n)   y n1e  y dy – гамма-функция Эйлера. Обозначая x     B , получаем
0
для x  0 :
B( x)  
n
 ( n)
x n 1 e x    f ( x) ,
где f(x) – возрастное распределение вероятности рождения женщиной ребенка.
Минимизация отклонения расчетной кривой от статистических данных ведется
уточнением возраста начала рождений и модального возраста при фиксированных
значениях модальной рождаемости и коэффициента исчерпанной плодовитости, то есть
данная модель выражается четырех-параметрической функцией (двухпараметрической
функцией при поиске минимума отклонения). Минимизация проводилась стандартной
программой Microsoft Excel (Сервис \ Поиск решения…) [25]. Для электронных таблиц,
где данная опция не установлена, можно воспользоваться опцией “Сервис \ Подбор
параметра...”. Применяется следующая оригинальная методика расчета: вначале
решается задача равенства расчетного и истинного коэффициентов исчерпанной
26
плодовитости подбором соответствующего значения параметра a (временной интервал
между возрастом, когда женщина становится способна к деторождению, и возрастом
максимальной рождаемости), затем подбором оптимального значения параметра
возраста начала рождений сдвигаем всю кривую до минимума отклонения от
статистических данных, задавая последовательно уменьшающиеся фиксированные
значения ошибки
аппроксимации. Поскольку при
этом значение расчетного
коэффициента исчерпанной плодовитости несколько меняется, повторяем процедуру
несколько раз до достижения приемлемого значения.
Полученные таким образом теоретические значения повозрастной рождаемости
согласуются со статистическими данными по Украине 1965-1997 годов (таблицы №1-2
в конце работы) с средней погрешностью 8,8% (критерий ошибки аппроксимации
приведен в начале статьи). В тоже время аппроксимация гамма-распределением с
подбором оптимальных значений для всех параметров дает среднюю погрешность
7,0%. Исследование показывает, что дополнительная ошибка возникает как из-за
неточного определения модального значения интенсивности рождений при нецелых
значениях параметра модального возраста, так и из-за наложения обязательного
условия на функцию проходить через заданное модальное значение. Поскольку гаммафункция является лишь приближением повозрастного распределения рождаемости, ее
дисперсия несколько больше истинной дисперсии распределения рождений для 19901997 годов, что и вызывает ошибку в возрастах, близких к возрасту модальной
рождаемости. Кроме того, и гамма-распределение с оптимальными параметрами, и
предлагаемая выше функциональная зависимость не аппроксимируют реальную
рождаемость в возрасте 15-17 лет, обнуляя расчетные значения. Однако получаемая
погрешность несущественна для теоретического исследования модели [51], поскольку
основную роль будут играть коэффициент исчерпанной плодовитости, который при
аппроксимации реальных данных в Microsoft Excel воспроизводится с очень высокой
точностью (до 0,001%), и средний возраст матери при рождениях, ошибка определения
которого компенсируется чрезвычайно низкой смертностью в этих возрастах.
3.6. Смысл статистического гамма-распределения
Поскольку гамма-функция аппроксимирует статистические данные с хорошей
точностью,
возникает
вопрос
о
интерпретации
как
функционального
вида
распределения рождений, так и параметров распределения. Ситуацию, в которой
возникает гамма-распределение, можно показать на следующем примере.
27
Рассмотрим систему из m0 фонарей, причем каждый фонарь состоит из n
светящихся лампочек. В начальный момент имеется N 0  m0 n светящихся лампочек.
Пусть существует некий внешний фактор, с интенсивностью  выводящий лампочки
из строя, то есть в единицу времени из N * горящих лампочек N * гаснет. Тогда
зависимость числа горящих лампочек от времени x определяется следующим
выражением:
dN *
 N *
dx
N *  x   N 0e x
Назовем фонарь потухшим, если в нем погасли все n лампочек. Для n=1 мы
получаем равенство числа светящих фонарей числу горящих лампочек:
m0  N 0
m* ( x )  m0e x
Тогда плотность вероятности для лампочки погаснуть в момент времени x
определяется выражением:
f  x 
1  dm* ( x) 

  e x

m0
dx 
При большем количестве лампочек в фонаре ( n  2 ) картина качественно
меняется. Поскольку потухшая лампочка с равной вероятностью может оказаться в
любом фонаре, а фонарь светится, пока в нем есть хотя бы одна горящая лампочка,
появляется фаза накопления дефектов в фонарях. Теория математической статистики
дает следующее выражение для распределения плотности вероятности гашения фонаря:
f  x 
1  dm* ( x) 
 n n1 x
x e ,


m0 
dx  n
то есть приведенное выше гамма-распределение. Таким образом, для процесса
реализации рождений гамма-распределение можно толковать как распределение
плотности вероятности перехода в новое качественное состояние системы из n
элементов, имеющих два устойчивых состояния и с одинаковой интенсивностью 
необратимо переходящих из первого состояния во второе.
28
3.7. Модель с исчерпанной плодовитостью (последовательное рождение
детей)
Рассмотрим случай, когда реализацию n этапов качественного развития процесса
рождаемости можно рассматривать как последовательное рождение женщиной детей
соответствующих очередностей. Поскольку среднее число детей, которое рождает
женщина за детородный период, равно коэффициенту исчерпанной плодовитости  ,
положим n   . Тогда функциональное выражение для повозрастного распределения
рождений при   1 будет иметь следующий вид:
B( x)  

  
x
 1 x
e
    1



    a 

 xe  x/a  1 ,
где x     B , a – интервал между началом детородного периода и модальным
возрастом.
При   1 гамма-распределение вырождается в экспоненциальное распределение,
что не справедливо для возрастного распределения рождений с эквивалентным
коэффициентом исчерпанной плодовитости, и не имеет смысла при   1 , который
достигнут в настоящее время в ряде городов России и Украины. Соответственно
ошибка аппроксимации рождаемости на Украине в различные годы велика для
последних лет, характеризующихся особо низкой рождаемостью (в среднем 12,1% за
1995-1997 года). Для более ранних данных (1965-1992 года) данная функциональная
зависимость
дает
в
среднем
погрешность
8,6%.
Коэффициент
исчерпанной
плодовитости при этом воспроизводится с средней погрешностью 2,0%. Несмотря на
значительную погрешность, данная модель может хорошо описывать возрастное
распределение рождений при высоком уровне рождений.
3.8. Двухэлементная модель рождаемости
Полагая в аппроксимации возрастного распределения вероятности рождений с
помощью
гамма-распределения
n=2,
получаем
следующую
функциональную
зависимость повозрастной рождаемости:
B( x )  
2
  2
xe
x
xe  x /a
 2
a
где x     B , a – интервал между началом детородного периода и модальным
возрастом.
29
Необходимо
отметить,
что
данная
трехпараметрическая
функциональная
зависимость (двухпараметрическая при минимизации отклонения) с очень высокой
точностью аппроксимирует реальное повозрастное распределение рождений – средняя
погрешность метода 7,15% по сравнению со средней погрешностью 7,00% для
наилучшей аппроксимации среди функционального класса гамма-распределений,
являющихся трехпараметрическими при минимизации отклонения. Как достоинство
данной модели рождений можно отметить простоту нахождения оптимальных
значений параметров, аналитичность и интегрируемость функции при хорошей
аппроксимации статистических данных, как недостаток – значительную погрешность
вычисляемого
коэффициента
исчерпанной
плодовитости
для
распределений
рождаемости ранее 1970 года (около 1%) и неточное описание ранних рождений
(   17 лет).
Из высокого качества аппроксимации реальных данных следует утверждение про
целесообразность
описания
процесса
рождений
как
качественный
переход
двухэлементной системы с равными интенсивностями перехода в новое состояние
обоих элементов системы. Вопрос об идентификации каждого из элементов системы и
качественного описания его характеристик остается открытым. Кроме того, для
применяемого метода погрешность аппроксимации данных увеличивается с давностью
статистики, поэтому возможно рассмотрение двухэлементной системы, в которой
интенсивности качественного перехода элементов лишь близки друг другу по
значениям, но сами элементы имеют различную природу.
Сравнение погрешностей аппроксимации для разных методик приведено в
Таблицах №3 и №4.
3.9. Влияние на рождаемость факторов окружающей среды
Выше мы рассматривали полную рождаемость ( Ball ) как произведение
биологической компоненты (биологическая способность женщины рожать ребенка –
Bbio ) и множителя, принимающего значения от 0 до 1, отражающего влияние внешней
социально-экономической среды и имеющего смысл коэффициента реализации
видовой биологической продуктивности (коэффициент социального влияния – Bsoc )
[73]:
Ball (t , )  Bbio ( )  Bsoc (t ) .
30
Полагая Bbio ( )  bio f   , где  – биологический коэффициент исчерпанной
плодовитости,
f   – нормированное к 1 возрастное распределение рождений,
получаем для реального суммарного коэффициента плодовитости:

(t )  bioBsoc (t , p)

Здесь p – набор факторов окружающей среды, как естественной, так и
технологической
(цивилизации),
совокупность
которых
приводит
к
неполной
реализации женщиной своей детородной функции.
Именно при рассмотрении таких факторов начинаются различия между
биологической популяцией и человеческим обществом, хотя есть и много общего. Для
животных
характерно
увеличение
плодовитости
при
лучшей
обеспеченности
ресурсами, поскольку размножение заложено в них инстинктом. Для человека с
увеличением
имеющих
обеспеченности
социальную
ресурсами
природу,
которые
появляется
составляют
множество
потребностей,
конкуренцию
процессу
деторождения: карьера, развлечения, научная деятельность. Появляется возможность
выбора, которая коллективно реализуется как коэффициент «идеальных рождений» –
мнение общества об оптимальном числе детей при условии полного обеспечении
ресурсами отдельного индивидуума (желаемое число детей, оптимум рождаемости)
[49, 51]. Заметим, что даже в случае населения, неоднородного по доходам, но
однородного по социальной среде (т.е. нет социальной и культурной изоляции
отдельных групп), оптимум рождаемости будет общим показателем, характеризующим
все общество. Этот показатель характеризует социальную и культурную обстановку
внутри общества, зависит от прошлых тенденций и прогнозов на будущее, то есть
является информационно управляемым параметром.
В математической интерпретации эту зависимость можно выразить как
 c
p
( p)  bio Bcase  Bplan  bio  1  
c2 
 c1  p



.
p 
Первое слагаемое отвечает за «случайные» рождения, характерные для
биологической популяции, и убывает с ростом обеспеченности ресурсом. При этом мы
рассматриваем такой диапазон обеспечения ресурсом, что в его нижней границе
возможна полная реализация детородной функции. Второе слагаемое отвечает за
планируемые рождения, и возрастает с ростом обеспеченности ресурсом. Здесь
  0;1 – коэффициент «идеальных рождений» [49, 51], отображающий желаемое
число детей в семье в условиях полного обеспечения ресурсом. Гиперболическая
31
зависимость была выбрана как наиболее удовлетворяющая реальным статистическим
данным [21, 24] (см. раздел 6).
3.10. Параметрическая аппроксимация закона распределения
продолжительности жизни
В все времена основным направлением исследований медицины и других наук о
жизни являлось выявление биологических механизмов, вызывающих старение
человеческого организма и смерть от сопутствующих старению болезням различных
физиологических
систем
организма.
Поскольку исследования
по
построению
математических моделей продолжительности жизни были исторически тесно связаны
со страховым бизнесом, они привлекли к себе внимание многих ученых. Хотя
исторически таблицы смертности строились в основном для демографических
исследований, откуда и произошло большинство используемых терминов, полученные
результаты остаются справедливыми и для биологических популяций.
Рассмотрим изменение во времени численности некоторой гипотетической
когорты новорожденных. Пусть l ( ) – численность когорты в возрасте . Количество
умерших в возрастном интервале от  до   d :
D( ) 
l (  d )  l ( ) dl ( )

;
d
d
Отношение количества умерших в возрасте  к численности когорты в этом
возрасте называется интенсивностью смерти:
M ( )  
1 dl ( )
d ln l ( )
;

l ( ) d
d
После набора достаточного количества статистических данных в виде таблиц
смертности
различными
исследователями
в
результате
эмпирического
или
теоретического анализа было предложено множество функциональных зависимостей
для l ( ) , D ( ) , M ( ) . Приведем наиболее известные из них, моделирующие
интенсивность смерти:
*
M ( )  R  e – модель Гомперца;
*
M ( )  A  R  e – модель Гомперца-Мейкема;
*
M ( )  R  exp    2 – модель Мамаева, Наджаряна;
*

M ( )  R  exp a

*
M ( )  A  B  R  e – модель Мейкема;
0

 a1  a2 2  ...  an n – модель Риссера;
32
A  B  e
– модель Перкса;
1  D  e
*
M ( ) 
*
M ( )  B c – модель Вейбулла;
*
M ( )  A  B c – обобщенная модель Вейбулла;
*
M ( )  A  ( B  C ) n – биноминальная зависимость.
Анализ этих и многих других моделей смертности проведен в обзорной работе
[9]. Среди результатов, полученных в данной работе, можно привести высказывание об
ошибочности теорий и моделей продолжительности жизни, использующих понятия
предельной видовой продолжительности жизни и механизма запрограммированной
гибели: “Анализ материалов по смертности людей старше 100 лет показывает, что в
крайних возрастах интенсивность смерти практически перестает расти с возрастом так,
что кинетика смерти долгожителей совпадает с кинетикой радиоактивного распада,
причем период полураспада соответствует примерно одному году...”.
В работе показана некоторая предпочтительность модели смертности ГомперцаМейкема перед другими моделями и в теоретическом обосновании, и в точности
аппроксимации статистических данных как для биологических видов, так и для
человека (в средних возрастах). Так же дан вывод функциональной зависимости
Гомперца-Мейкема как частного случая различных моделей разрушения биосистем.
Поэтому при моделировании смертности для взрослых на всем возрастном
интервале
в
каждым
момент
времени
нами
использовалась
математическая
аппроксимация Гомперца-Мейкема:
M (t , )  A(t , p)  R  e ,   B ,
где  – возраст, t – время, p – ресурс, R и  – параметры аппроксимации. При
построении моделей мы не учитываем эффект снижения скорости роста интенсивности
смерти в старческих возрастах, поскольку люди преклонного возраста уже не
участвуют
в
демографическом
воспроизводстве
населения,
не
участвуют
в
производстве общественных благ и отклонение от истинного распределения чисел
доживающих с старших возрастах вносит пренебрежимо малую погрешность в
результаты моделей из-за малой доли людей данной возрастной группы среди общей
численности.
Кроме
того,
функциональная
зависимость
Гомперца-Мейкема
чрезвычайно проста и удобна в аналитических расчетах, а параметры зависимости
легко определяются из статистических данных.
Детская смертность в расчетах аппроксимировалась параболой:
33
M (t , )  a(t )   2  b(t )    c(t ),   B ;
так, что в точке сшивки    B (возраст вступления в детородный период) равны
значения функций, их первых производных, а площадь под параболой численно
приблизительно равна доле новорожденных (девочек), не доживающих до возраста
возможности деторождения:
a(t )   B2  b(t )   B  c(t )  A(t )  R  e B  M B (t );
2  a(t )   B  b(t )  R    e B  0;
B
 M (t , )d  a(t ) 
0
 B3
3
 b(t ) 
 B2
2
 c(t )   B   M (t );
Отсюда получаем:
a (t ) 
3
 3B
[ M (t )  M B (t ) B ];
b(t )  2a (t ) B ;
c(t )  M B (t )  a (t ) 2B ;


0
 3
 2


 M B ( t )  (  M ( t )  M B ( t ) B )[(  )  3(  )  3(  )],    B ;
B
B
B
M ( t , y )dy  
R



 M ( t )  A( t )[   B ]  (e  e B ),    B


Заметим, что на воспроизводство населения возрастная структура детской
смертности влияет мало, а основное значение имеет величина доли населения,
доживающего до детородного периода. Вообще говоря, данная аппроксимация не очень
хорошо описывает детскую смертность на современном этапе развития (J-образная
кривая дожития, младенческая смертность спадает до минимума к возрасту уже 5 лет
при  B  15 ), и используется из-за хорошего аналитического вида.
Другим вариантом является описание возрастной структуры детской смертности с
помощью убывающей экспоненты:
M (t , )  a  exp  b ,   B .
3.11. Влияние на смертность факторов окружающей среды
Интенсивность смерти для взрослых особей популяции (взрослого населения) в
функциональной зависимости Гомперца-Мейкема разбита на два слагаемых, которые
могут быть интерпретированы как влияние внешней среды (социальная, исторически
изменяющаяся компонента смертности) – A(t , p ) и биологическая (исторически
34
относительно постоянная) компонента смертности – R  e . В ходе анализа таблиц
смертности населения Швеции, США, стран Африки [9], было установлено, что R и 
со временем меняются мало и их величина не коррелирует с уровнем экономического
развития страны:
R  104  105;
  0.07  015
. ;
В то же время для социальной компоненты наблюдается резкое падение ее
величины для стран с высоким уровнем удельного годового дохода (то есть дохода,
приходящегося в среднем на душу населения за год) по сравнению со странами с
низким уровнем удельного годового дохода. Такая же тенденция характерна и для
отдельных стран при увеличении со временем уровня доходов их граждан: в Швеции в
1901 - 1910 годах A  552
. 103 , а в 1983 году A  4.8104 [9], т.е. разница более чем в
10 раз. Сейчас в развитых странах основную роль играет компонента биологической
смертности, которая становится значительной при возрастах свыше 50 лет. В то же
время в развивающихся странах преобладает социальная компонента – смертность в
результате несчастных случаев, эпидемий, войн и т. д., отображая негативное
воздействие среды на популяцию [67, 69, 70]. Таким образом, можно считать, что
социальная компонента смертности убывает с ростом обеспечения ресурсом. При
моделировании
зависимость
социальной
компоненты
смертности
от
уровня
обеспечения ресурсом p может быть выбрана в виде гиперболы:
A(t )  A0 
k1
,
k1  p
где k1 — размерная постоянная, такая, что p  k1 при A(t )  A0 2 , то есть
уровень смертности составляет половину от максимальной смертности. Следует
отметить, что коэффициент k1 характеризует уровень эффективности использования
ресурса для продления жизни при данном уровне знаний и заданной экологической
обстановке и, вообще говоря, медленно меняется со временем. Величина A0 для
населения рассматривается как характерная смертность в отсутствии ресурсов, которые
могут быть использованы для социального регулирования смертности. Отметим, что
данная функциональная зависимость позаимствована из химической кинетики и
отражает необходимость все больших затрат с целью уменьшить смертность от
внешних причин на еще одно фиксированное значение (увеличить продолжительность
жизни еще на один год).
Аналогично для детской смертности:
35
 M (t )   0M 
k2
.
k2  p
Мы принимаем k2  k1 , поскольку основные успехи медицины в XX веке были
связаны со снижением детской смертности.
Следует отметить, что из-за большой разобщенности данных и большого уровня
инфляции приведенная количественная оценка параметров зависимости смертности и
рождаемости от удельного дохода являлась бы весьма приблизительной [24, 60]. Кроме
того, в реальном распределении на статистически определяемые величины этих
параметров будет влиять форма распределения населения по доходам.
Поправки к функции смертности обычно более высокого порядка, такие как,
например, зависимость смертности от плотности населения, культурных традиций или
уровня образования, в данной работе нами не рассматривались.
3.12. Что такое «ресурс»?
Выше мы рассматривали зависимость рождаемости и смертности от количества
ресурсов. Для биологической популяции понятие «ресурс» можно определить
достаточно полно: это доступное для отдельной особи потребление пищи (пищевых,
химических или энергетических ресурсов) с учетом особенностей физиологического
строения и поведения (хищник, травоядное, растение или одноклеточное), и
внутривидовой и межвидовой конкуренции. Для человеческого общества все гораздо
сложнее: в наши потребности входит не только пищевая составляющая, но и прочие
материальные и нематериальные ценности, для обеспечения которых происходит
значительная трансформация естественной среды обитания.
При решении поставленной проблемы мы воспользовались концепцией «потоков
свободной энергии» [61, 62]. Напомним, что свободной энергией называется на часть
энергии, которая может быть превращена в работу, в отличие от остальной,
«связанной» энергии. Понятие «свободной энергии» относительно – при разных
физических процессах часть «связанной» энергии может перейти в разряд «свободной»
(например,
ядерная
энергия).
Предназначение
технологической
надстройки
цивилизации над естественной средой обитания заключается как в получении
дополнительных источников «свободной» энергии (например, добыча полезных
ископаемых, ядерная, ветро- и гидроэнергетика), так и в ослаблении влияния факторов
окружающей среды на смертность населения (например, конкуренция с другими
биологическими видами).
36
В соответствие с концепцией «свободной энергии» мерой прогресса цивилизации
является
уровень
удельной
обеспеченности
членов
общества
«располагаемой
свободной энергией», экономическим аналогом которого потребление на душу
населения. Именно удельное потребление может служить искомой нами мерой
обобщенного ресурса, необходимой для построения прогнозов для рождаемости и
смертности.
37
4. Методы определения структур новорожденных по
очередностям рождений
4.1. Введение в проблематику задачи
С 1995 по 1998 год в государственных статистических исследованиях в демографии
на Украине и в России приводятся статистические данные не по возрастному
распределению рождаемости с учетом очередности рождения ребенка, а только по
возрастному распределению полной рождаемости (количество детей, рожденных за год
1000 женщин некоторого возраста, либо численность женщин некоторого возраста и
количество рожденных ими детей). Поэтому, если исследователя-демографа интересует
полная информация по рождаемости, он оказывается в затруднительном положении.
В
настоящей
работе
представлены
методика
получения
возрастного
распределения по очередности рождений исходя из чисел родившихся по возрасту
матери прогнозируемого года и статистических данных по годам, по которым имеется
полная информация.
Пакет программ PredictV (“Прогнозирование возрастного распределения по
очередности рождений”), разработанный в среде Microsoft Excel, представляет собой
практическое применение изложенных методик. В качестве примера проведен расчет
предполагаемых данных по рождаемости с распределением по очередности рождений
по Украине за 1995-1998 года (см. таблицы 5-13).
Так же в пакете для облегчения и ускорения обработки демографических
статистических
данных
представлена
программа
по
расчету
повозрастных
коэффициентов рождаемости из абсолютных чисел родившихся (с распределением
чисел неизвестных по возрастной категории матери и по очередности рождения).
Идея создания данного программного пакета и соответствующих методик была
предложена заведующей отделом демографии и воспроизводства трудовых ресурсов
Института экономики НАН Украины д. э. н., проф. Стешенко В.С., за что автор
выражает ей свою искреннюю признательность.
4.2. Используемые обозначения
Пусть x ij , xij* – коэффициенты рождаемости для возраста матери i  1,..., n ,
очередности j  1,..., k , bi , bi* – коэффициенты рождаемости для возраста матери i
38
(всего), q j и q *j – коэффициенты плодовитости для прогнозируемого и базового годов
соответственно.
k
n
bi   xij ,
q j   xij .
i 1
j 1
Нашей целью является нахождение значений x ij .
4.3. Методика “точного совпадения данных”
Рассмотрим случай, когда мы имеет только один базовый год. Предположим, что в
обоих
годах
для
любого
возраста матери
очередностями. В этом случае xij  xij*
k
x
j 1
ij
k
  xij*
j 1
bi bi

bi* bi*
k
x
j 1
*
ij

сохраняется соотношение между
bi
и
bi*
bi *
bi  bi ,
bi*
то есть имеет место точное совпадение расчетных и статистических величин по
повозрастным коэффициентам рождений. Заметим, что мы по сути экстраполируем
данные, что, однако, дает хорошую точность на исследованном массиве данных.
Корректность этой и последующих методик обсуждается ниже.
4.4. Методика “подбора вероятностей” по очередностям
Предположим, что в обоих годах для любого возраста матери сохраняется
соотношение между различными возрастами матери. В этом случае xij  xij*
qj
q *j
, где q j ,
j=1,…,k – подбираемые величины коэффициентов плодовитости для очередностей.
Искомые величины q j находятся из минимума функционала
2
n k
 
qj

*
min   xij *  bi   , при 1  q1  q2  ...  qk  0 .
q1 ,..., qk
 
 i 1  j 1 q j
То есть мы ищем такую убывающую последовательность положительных значений
q j , при которой достигается минимум среднеквадратического отклонения расчетных
значений повозрастных коэффициентов рождений от их статистических величин bi в
прогнозируемом году.
Решение задачи поиска минимума функционала при наличии ограничивающих
условий [2, 17, 33, 38, 44] реализовано во многих математических пакетах и
39
электронных таблицах, например, Microsoft Excel [25]. В качестве начального
приближения можно взять значения коэффициентов плодовитости базового года:
q (j0)  q*j , или любого другого близкого года.
4.5. Методика параметрического моделирования без использования
базового года
Рассмотрим методику, по которой расчет величин x ij и q j можно провести, не
используя прямо данные базового года. Идея методики состоит в том, чтобы
повозрастное распределение рождений для каждой очередности аппроксимировать
некой непрерывным параметрическим функционалом f j a, p1 j , p2 j ,..., pmj  , таким, что
xij  q j f j i, p1 j , p2 j ,..., pmj  . Здесь
p1 j ,
p2 j , …, pmj – подбираемые параметры,
характеризующие конкретное распределение по очередности j, q j – подбираемый
коэффициент плодовитости для очередности j. Значения параметров
puv и qv ,
u  1,..., m , v  1,..., k находятся из минимума функционала
2
 n  k
 
min   q j f j i, p1 j , p2 j ,..., pmj   bi   , при 1  q1  q2  ...  qk  0 .
qv , puv
 i 1  j 1
 
Функционал
f j a, p1 j , p2 j ,..., pmj 
характеризует
распределение
вероятностей
рождения по возрасту:

 f x, p
j
1j
, p2 j ,..., pmj dx  1
0
В литературе встречается несколько видов данного функционала. Простейшей
функцией является трапеция. Хотя данная модель имеет достаточно слабое
теоретическое обоснование, лишь качественно отображая тенденции возрастной
динамики рождений, она удобна в качественном анализе эволюции демографических
характеристик как кусочно-линейная функция.
Одним
из
классических
примеров
подбора
удачной
математической
аппроксимации рождаемости является трехпараметрическая (пяти-параметрическая с
учетом произвольности выбора возраста вступления в детородный период и
продолжительности детородного периода) модель Романюка на основе кривой Пирсона
типа I [57]:
40
m1
m2

  
 
1   1  
a1   a2 
f ( , a1 , a2 , m1 , m2 ,  ,  )   
m1
m2


  
 
 1  a1  1  a2  d
 
с дополнительным требованием
m1 m2

.
a1 a 2
Модель рождаемости Романюка имеет большое значение в исторической
демографии для реконструкции возрастного распределения рождений по известным
интегральным характеристикам рождаемости. К сожалению, использование модели в
теоретическом анализе затруднено из-за сложного функционального вида и отсутствия
ясной
интерпретации
функциональной
зависимости
и
ее
параметров
через
биологические и социальные характеристики.
Выше
(см.
так
же
работы
[49-55])
описывался
метод
математической
аппроксимации рождаемости, более точно описывающий реальную возрастную
структуру рождений:
f ( x, n,  ) 
n
(n)
x n1e x

Здесь
(n)   y n1e  y dy – гамма-функция Эйлера,
x    B ,  B
– возраст
0
вступления женщины в детородный период (для данной очередности). Функцию можно
использовать как для моделирования всего повозрастного распределения рождений, так
и для отдельных очередностей.
Частным случаем данной модели является приближение для n=2 [51]:
f ( x, a ) 
xe x / a
,
a2
где x     B , a – интервал между началом детородного периода и модальным
возрастом (для данной очередности). Данное приближение, не смотря на свою
простоту, позволяет с высокой точностью аппроксимировать имеющиеся данные.
Кроме того, оно имеет параметры, имеющие ясный демографический смысл, что
позволяет делать хорошее приближение исходного значения параметров при решении
задачи оптимизации.
Если имеются данные базовых лет, их можно использовать для более точной
оценки исходных значений параметров.
41
Данный метод самый сложный из перечисленных, однако представляет большой
интерес с точки зрения развития методик математической аппроксимации возрастных
структур рождаемости и углубления понимания социальных, психологических и
биологических факторов, лежащих в основе процесса рождений.
4.6. Условие корректности применения методик
Как мы видели выше, для применения методик необходимы данные базового года.
Возникает вопрос: любой ли год, по которому есть полные статистические данные,
можно брать в качестве базового? Ответ дает сравнение возрастных распределений
вероятности рождения ребенка j-ой очередности для разных базовых лет. Как показали
исследования, на роль базового года методики “подбора вероятностей” для 1995-1997
годов лучше всего подходят 1990-1994 года, а для прочих годов наблюдается
тенденция смещения распределений в старшие возраста с увеличением давности
статистики и с увеличением коэффициента суммарной рождаемости. Соответственно
для нахождения возрастных распределений рождаемости с учетом очередности для,
например, послевоенного времени, в качестве базовых следует использовать 1950 или
1955 года. То есть чем меньше временной интервал между базовым и прогнозируемым
годами, тем лучше качество расчетов.
Для
эффективного
применения
методики
“точного
расчета”
необходимо
сохранение соотношения долей каждой очередности рождения для каждого возраста
матери. Например, если в базовом году для некоторой очередности рождений для
некоторого возраста матери рождаемость равна нулю (с точностью до положенного
количества знаков после запятой), то и в прогнозируемом году это значение будет
равно нулю. Необходимым условием сохранения соотношений долей каждой
очередности рождения для каждого возраста матери является сохранение возрастных
распределений вероятности рождения ребенка для разных очередностей.
Сравнивая эффективность различных методик, надо заметить, что самые лучшие
результаты дает первая методика, как наименее чувствительная к различию между
кривыми возрастных распределений некоторой очередности для разных базовых годов.
Из изложенного выше возникает вопрос: как часто необходимо проводить сбор
полной статистической информации о рождаемости? Анализ статистических данных по
Украине (1958-1999 гг.) и проверка методик для годов с имеющейся полной
статистикой
показывает на первой методике удовлетворительные результаты для
десятилетних периодов (ошибка не более 10% для первых трех очередностей
42
рождения) и хорошие результаты для пятилетних периодов (ошибка не более 5%) для
периодов с относительно стабильной демографической ситуацией. Для периода 19941999 гг., когда для Украины характерно резкое (почти в 2 раза) снижение уровня
коэффициента суммарной плодовитости, существенные изменения в возрастных
структурах рождений для разных очередностей, ошибка возрастает до 50%, что не
может считаться удовлетворительным признаком. Это и заставило нас приступить к
разработке
методики,
которая
бы
использовала
базовые
года
на
границах
рассчитываемых временных интервалов (поскольку точность интерполяции данных
значительно выше, чем точность экстраполяции). Однако представленные методики
сохраняют свое значение для прогноза значений для будущих лет.
Отдельной проблемой, которую можно поставить исходя из представленного выше
материала, является описание смещения со временем возрастных структур для
различных очередностей рождений, выявление его причин и закономерностей.
4.7. Методика пропорционального распределения расчета прогноза двух
лет
С 1995 по 1998 год в государственных статистических исследованиях в демографии
на Украине и в России приводятся статистические данные не по возрастному
распределению рождаемости с учетом очередности рождения ребенка, а только по
возрастному распределению полной рождаемости. Выберем два базовых года,
ограничивающих прогнозируемый временной период – 1994 и 1999 года для
временного периода 1995-1998 гг. Пусть x ij* , xij** – коэффициенты рождаемости для
возраста матери i, очередности j, bi* , bi** – коэффициенты рождаемости для возраста
матери i (всего) для 1994 и 1999 годов соответственно.
Зная
статистические
значения
коэффициентов
рождаемости
(всего)
bi ,
рассчитываем по приведенным ниже формулам окончательные значения повозрастных
коэффициентов рождаемости для каждой очередности

xij*
xij** 
для 1995 г.: xij  bi  0.8  *  0.2  ** 

bi
bi 


xij*
xij** 

для 1996 г.: xij  bi 0.6  *  0.4  ** 

bi
bi 

43

xij*
xij** 

для 1997 г.: xij  bi 0.4  *  0.6  ** 

bi
bi 


xij*
xij** 

для 1998 г.: xij  bi 0.2  *  0.8  ** 

bi
bi 

Затем на основе повозрастных коэффициентов рождаемости и среднегодовой
численности женщин рассчитываем абсолютное число родившихся.
Поскольку bi*   xij* , bi**   xij** , то
j
j

xij*
xij** 


 xij*
xij**   
j xij  j bi  k  b*  (1  k )  b**  bi  k  jb*  (1  k )  jb**   bi ,
i
i 
i
i





то есть для любого прогнозируемого года для любого возраста матери сумма
коэффициентов
рождаемости
по
всем
очередностям
равна
повозрастному
коэффициенту рождаемости (всего).
Кроме пропорционального изменения весов каждого базового года, можно брать
базовые года с одинаковыми весами:
*
**
bi  xij xij 
xij 

2  bi* bi** 
Также можно находить линейной интерполяцией значения между величинами
xij**
базовых годов с последующей коррекцией на суммарное значение
bi
x ij*
,
:
для 1995 г.: xˆij  0.8  xij*  0.2  xij**
для 1996 г.: xˆij  0.6  xij*  0.4  xij**
для 1997 г.: xˆij  0.4  xij*  0.6  xij**
для 1998 г.: xˆij  0.2  xij*  0.8  xij**
Коррекция: xij  xˆij 
bi
=>
 xˆij
x
ij
 bi
j
j
Во всех приведенных выше случаях получаются данные, удовлетворяющие всем
требованиям поставленной задачи. Вообще говоря, таких наборов данных бесконечно
много. Почему же был выбран первый вариант? Для определения оптимальной
методики мы воспользовались тем весьма печальным обстоятельством, что значения
повозрастных коэффициентов рождаемости имеют тенденцию к уменьшению для
44
большинства возрастов матери и очередностей с 1994 по 1999 года. Введем “штрафную
функцию” в виде суммы превышения коэффициента рождаемости над коэффициентом
прошлого года:

 b
aij  xij(1995)  xij(1994)
qi
(1995)
i
 bi(1994)
  x
  b


A     aij  qi 
i  j

  x
  b

(1996)
ij
 xij(1995)

(1996)
i
 bi(1995)
(1997)
ij

(1997)
i


u   u,
  x
  b
 xij(1996)
 bi(1996)


(1998)
ij
(1998)
i
  x
  b
 xij(1997)
 bi(1997)

(1999)
ij

(1999)
i
 xij(1998)
 bi(1998)




если u  0
0, если u  0
Значение штрафной функции получалось минимальным для первого метода по
сравнению с двумя другими методиками. Однако оптимальность метода является
только эмпирической, поэтому вполне вероятно наличие других, более подходящих
методик.
4.8. Методика пропорционального распределения неизвестных
В настоящей работе предлагается оригинальная методика целочисленного
распределения рождений, для которых неизвестен возраст матери или очередность
рождений, пропорционально количеству рождений в данном возрасте или очередности
рождений. Такая задача возникает при расчете повозрастных коэффициентов
рождаемости. Основной трудностью решения данной задачи является ошибка
вычислений при округлении рассчитываемых величин, которая в настоящее время в
большинстве методов исправляется вручную, что требует больших затрат времени.
Сформулируем задачу в более общем и абстрактном виде. Пусть задана
последовательность неотрицательных целых чисел с конечным числом членов ai  ,
N
i=1,…,N, A   ai  0 и натуральное число Z. Найти последовательность натуральных
i 1
N
 x  a 
чисел xi  , i=1,…,N таких, что Z   xi и  i    i  , [ ] – округление до целого
Z   A
i 1
числа.
a  Z 
Тривиальное решение xi   i  не подходит, так как при этом может не
 A 
N
выполняться условие Z   xi . Например, если все дробные части после деления
i 1
45
равны 0,4 (такой пример легко сделать), на каждые 5 слагаемых мы ошибаемся на
единицу из-за округления вниз. При этом также нельзя надеяться на то, что для
реальной статистики округления вниз и вверх полностью компенсируют друг друга,
хотя такое событие вероятно. Например, в игре "орел и решка", которая аналогична
округлениям вверх и вниз случайного действительного числа, может несколько раз
подряд выпасть одна сторона монеты.
a  Z 
Разобьем последовательность ai  на a1 и a2 ,..., aN . Пусть x1   1  – число,
 A 
соответствующее a1 . Рассмотрим последовательность
a2 ,..., aN ,
пропорционально
элементам которой мы распределяем число Z  x1 . Задача свелась к предыдущей,
последовательно находим элементы
xi  ,
при этом ошибок округления нет –
происходит округление только одного числа.
Общая формула для элементов последовательности xi  :

 ak
 a1  Z 
x1  
, xk  


A




k 1


  Z   xi  
i 1

  для k  1 .
k 1

A   ai 
i 1

Примечание: предполагается, что a N  0 (иначе возникает ошибка "деление на 0").
L
Иначе, если существует индекс L  N , такой что A   ai (то есть aL1  ...  aN  0 ),
i 1
принимаем xL1  ...  xN  0 .
46
5. Приближение стабильного населения и решение уравнения
Лотки
В биологии часто возникает задача о развитии некоторой популяции (или
нескольких популяций) в стационарных условиях окружающей среды при заданных
уровнях рождаемости и смертности членов этой популяции (популяций). Согласно
нашей классификации такую модель следует отнести в моделям II уровня. Обычно
такая задача может быть решена только с использованием численных методов. Лишь
для небольшого числа задач (например, простейшие варианты модели Вольтерра-Лотки
"хищник-жертва" [1, 3, 8-11, 37, 39, 41]) можно провести аналитические исследования.
Однако, как оказалось, при удачном выборе функциональных зависимостей возрастных
коэффициентов рождаемости и смертности [56] в модели эволюции численности
населения на основе уравнения МакКендрика - фон Ферстера [68, 75] также возможно
аналитическое решение для приближения населения со стабильной возрастной
структурой и определение показателя экспоненциальной скорости роста (коэффициента
Лотки). Это позволяет получить зависимость коэффициента Лотки от других, легче
интерпретируемых, демографических детерминант.
Запишем систему для женской части населения со стабильной возрастной
структурой, пренебрегая различием коэффициентов рождаемости мальчиков и девочек
и считая, что функции возрастных распределений рождаемости и смертности не
зависят от времени:
dn(t ,  ) dn(t ,  )

  M ( )  n(t ,  ),
dt
d

n(t ,0)   B( )n(t ,  )d .
0
Здесь n(t ,  ) – плотность численности женщин в данном возрасте  в некоторый
момент времени t; M() и B() – заданные функции смертности и рождаемости, не
зависящие от времени. При этих условиях система уравнений имеет решение

n(t , )  n0  exp[ r  (t   )]  exp[  M ( y)dy] ,
0
где коэффициент Лотки r (по сути темп роста численности населения со
стабильной возрастной структурой) находится из граничного условия – широко
известного характеристического уравнения Лотки:
47

 r    B( )  e
 r

 exp[  M ( y)dy]d  1 .
0
0

Множитель l    exp[  M ( y)dy] имеет смысл доли доживающих до возраста .
0
Таким образом, уравнение Лотки можно переписать как

 B( )  e
 r
 l  d  1 .
0
Решение этого уравнения относительно величины r традиционно проходило через
аппроксимацию
произведения
функциональным
возрастным
B()l()
функций
распределением
с
неким
статистическим
последующим
нахождением
параметров распределения через нулевой R0, первый R1 и второй R2 моменты
распределения, исходно заданного в табличном виде. Моменты распределения
определяются как:

Ri    i B l  d .
0
Альтернативным путем является выражение параметров через суммарный
коэффициент воспроизводства населения R0 (ожидаемое количество детей, которые
должны родиться одной женщиной при наблюдаемых режимах рождаемости и
смертности), среднего возраста рождений в стационарной популяции   R1 R0 и
дисперсии распределения  2  R2 R0  R1 R0  .
2
Основными типами аппроксимации распределения B()l() являются нормальное
распределение (Лотка [64]), кривая Пирсона III рода (в отечественной терминологии
гамма-распределение - Wicksell [76]) и экспоненциальная кривая (Hadwiger [59]).
Основные характеристики приведены ниже [69]:
Модель
Аппроксимация
B(x)l(x), x - возраст
Выражение
параметров через
наблюдаемые
моменты
Lotka
R0
 2

exp   x    / 2 2
  R1 R0
2
 2  R2 R0  R1 R0 2

Wicksell
 k x k 1e x
R0
k 
k  2  2
  2
Hadwiger

 n2a2

exp nac  
 bx 
3
x
 x


na
при n=1

 3/ 2
, b
,
a
2 2
 2
2
2 ln R0
c


 3/ 2
48
Характеристическое
уравнение  r   1
R0  k
 2 r 2

R0 exp 
 r   1
 2

ln  r 
ln R0  r 
 2r 2
2
r   
k
ln R0  r 

Решение
характеристического
уравнения в
действительных
числах
   2  2 2 ln R0
rL 
2

 2r 2
2
 4r 3
 ...
3

ln R0  r 



exp a c  2 b  r  1
1

rW   R01 / k  1
 2r 2
2
 4r 3
 ...
2
c2
b 
4
2
ln R0  2 ln R0 



2 3
rH 
Приведенные аппроксимации были проверены на статистике Швеции (1793-97 гг.),
Канады (1965 г.), Франции (1959-1963 гг.), Венесуэлы (1963 г.), причем для разных
данных лучше подходили различные аппроксимации [69]. Хотя эти модели дают
хорошее
приближение
к
статистическим
данным,
они
являются
трудно
интерпретируемыми.
Другим подходом, который предлагается в данной работе, является независимые
аппроксимации возрастных распределений рождаемости и смертности, имеющие
физический смысл, при решении характеристического уравнения. Для описания
смертности в период после наступления половой зрелости нами использована функция
Гомперца-Мейкема [9] (подробное описание приведено в главе 3):
M ( , p)  A p   R  e ,   B ,
где  B – возраст вступления женщины в детородный период. Для детской и
юношеской смертности можно применить любое приближение, обеспечивающее
необходимую гладкость функции смертности и точность аппроксимации. Должно
выполняться только требование
B
 M ( y)dy  
– величина, являющаяся функцией детской смертности:
M
0
 1 
 , где d m – доля девочек, не доживающих до начала детородного
 M  ln 
1

d
m 

периода. Обобщая, получаем [49]:
 B x
 M ( y)dy  
0
M
( p)  A( p) x 
R


e B (ex  1) .
49
Для возрастного распределения интенсивности рождений используем гаммараспределение вероятностей [51] (подробное описание приведено в главе 3):
B( , p)   p 
n
 ( n)
   b n 1 e  
b

.
При заданных таким образом возрастных распределениях
рождаемости и
смертности характеристическое уравнение Лотки имеет аналитическое решение:
r ( p) 
ln(  ( p ))   M ( p )  A( p )  
,
B 
где  B   – средний возраст матери при рождении ребенка. Заметим, что данное
выражение получено в приближении R  exp( B )  A( p) , которое справедливо для
широкого диапазона истории.
Возможные виды коэффициента Лотки как функции среднедушевого дохода в
указанных предположениях представлены на рис. 5.1:
6%
F=1
4%
F=2
3%
F=3
F=6
-1%
-2%
1000000
0%
100000
F=5
10000
1%
1000
F=4
100
2%
10
Коэффициент Лоттки
5%
F=7
F=8
-3%
-4%
Потребление на душу населения
Рис. 5.1. Зависимость коэффициента Лотки от уровня потребления на
душу населения (усл. ед.) при различных значениях коэффициента
«идеальных рождений»
Существенной особенностью данных зависимостей является то, что имеется
область значений удельного потребления, ограниченная по значениям сверху и снизу, в
которой, при соответствующих господствующих в обществе представлениях об
50
идеальном числе рождений, возможно отрицательное значение коэффициента Лотки,
хотя при увеличении дохода его значение вновь становится положительным [56]. В
действительности господствующие представления о репродуктивном поведении
формируются в непосредственной связи с экономическими реалиями. Поэтому
отрицательное значение коэффициента Лотки скорее всего может быть получено на
практике в том случае, когда наблюдается экономический кризис, примером чему
является демографическая ситуация в ряде стран бывшего СССР. Это означает, что в
случае
сильного
изменения
экономической
ситуации
сильное
влияние
на
демографические процессы оказывает предыстория экономической эволюции и
господствовавших ранее представлений о репродуктивной стратегии в обществе.
51
6. Влияние неоднородности на темп роста численности
популяции со стабильной возрастной структурой
6.1. Введение в проблему
В настоящее время в экологии и демографии для описания динамики популяции
широко
используются
математические
модели
воспроизводства
численности
популяции – уравнение Мальтуса, логистическая кривая Ферхюльста, система
уравнений «хищник-жертва» Вольтерра-Лотки [39], система разностных уравнений
Лесли [63], уравнение в частных производных с распределением по возрасту
МакКендрика – фон Ферстера [68, 75], уравнение с распределением по весу тела [30,
31] и др. Подробный анализ этих моделей можно найти в главе 2.
Как правило, при построении математической модели исследователи делают
предположения об однородности популяции по различным биологическим, а для
населения – также социальным и экономическим признакам, и об однородности
влияния внешней среды на процессы рождаемости и смертности через эти признаки.
Например, в приведенных выше моделях в качестве значений признака выступают его
усредненные величины.
Это не всегда соответствует ситуации и дает расхождение между моделируемыми и
наблюдаемыми величинами. Например, страна с более низким средним уровнем дохода
на душу населения по сравнению с другой страной может иметь более низкий уровень
смертности, которая уменьшается с ростом дохода, за счет более однородного
распределения населения по доходам (меньшей дисперсии) [5].
В данном разделе приводятся некоторые результаты моделирования популяции со
стабильной возрастной структурой, неоднородного по некоторому биологическому или
социальному признаку.
6.2. Функция распределения по признаку
Пусть n(p) – распределение биологической популяции (населения) по некоторому
признаку p. Для населения в качестве наглядного примера признака p можно взять
потребление на душу населения [67, 70], поскольку по этому параметру существует
богатая статистика, которая показывает устойчивую корреляцию между величиной
дохода и демографическими характеристиками (рождаемость и смертность населения).
Полная численность популяции:
52

N   n( p)dp .
0
Введем функцию плотности вероятности распределения по признаку: f(p)=n(p)/N


0

f ( p)dp  
0
n( p )
dp  1 .
N

Среднее значение признака: p0   pf ( p)dp .
0
Введем безразмерную переменную, характеризующую распределение вероятности
признака относительно среднего значения
x  p p0 и безразмерную функцию
распределения по этой переменной:
g ( x)  p0  f ( p0 x) ,


0
0
 g ( x)dx   p

0
f ( p0 x)dx   f ( p)dp  1.
0
Среднее значение безразмерного признака x:


0
0
 xg( x)dx  
 p 1
p
p0 f ( p0 x)d   
p0
 p0  p0

 p  f ( p)dp  1 .
0
Таким образом, функция g(x) представляет собой распределение вероятностей
популяции по безразмерному признаку x  p p0 .
6.3. Дифференциальные и интегральные величины смертности и
рождаемости
Во многих моделях рассматриваются процессы смертности и рождаемости в
популяции, однородной по некоторому признаку p.
Рассмотрим смертность. Пусть l() – доля доживающих до возраста . Тогда
смертность (интенсивность вымирания) определяется как  ( )   1 dl ( )   d ln l ( ) .
l ( ) d
d
Одним из приближений зависимости смертности от различных экзогенных и
эндогенных факторов в однородной популяции является выделение каждого фактора
pi в виде отдельного слагаемого:
n
 ( , p1 ,..., pn )    i ( , pi )  A( p1 )   ( , p2 ,..., pn ) ,
i 1
53
где p1 – анализируемый нами признак, p2 ,..., pn – другие факторы, независимые от
p1 . Поскольку нас не интересует в текущий момент влияние факторов p2 ,..., pn (мы
будем их в дальнейшем опускать в записи функций), перейдем к анализу первого
слагаемого.
Рассмотрим
неоднородную
популяцию
как
непрерывную
совокупность
однородных групп со значением признака p. Для каждой такой группы будет
наблюдаться смертность  ( , p ) , приведенная выше – дифференциальная смертность.
Для
всей
популяции
будет
наблюдаться
интегральная
смертность
M ( , p0 , a)  M ( , p0 ) , где  – возраст членов населения, p0 – среднее значение
признака для населения (например, средний доход на душу населения), a – некий
фиксированный параметр, характеризующий дисперсию распределения по признаку.
Поскольку доля популяции с величиной признака p будет g  p p0  , интегральная
смертность выражается через дифференциальную как



0
0
0
M ( , p0 )    ( , p) g  p p0 d  p p0     ( , p0 x) g x dx   A( p0 x) g x dx    .
Обратимся к рождаемости. Под рождаемостью (повозрастными коэффициентами
рождений)  ( p,  ) имеется в виду количество младенцев, рожденных в течение года
женщинами в возрасте , приходящееся на одну женщину этого возраста.
Широко распространено приближение неизменности соотношения численности
разных возрастных групп [58]:
 ( p, )   soc ( p)  Bbio ( ) ,
где Bbio ( ) – «естественная» рождаемость, без влияния исследуемого фактора p,
 soc ( p)
– коэффициент реализации потенциала деторождения в однородной
популяции, зависящий от этого фактора, принимающий значения от 0 до 1
(коэффициент социальных рождений).
Рассмотрим
неоднородную
популяцию
как
непрерывную
совокупность
однородных групп со значением признака p. Для каждой такой группы будет
наблюдаться рождаемость  ( , p) – дифференциальная рождаемость. Для всей
популяции будет наблюдаться интегральная рождаемость B( , p0 , a)  B( , p0 ) , где 
– возраст членов популяции,
p0 – среднее значение признака для популяции
(например, средний доход на душу населения), a – некий фиксированный параметр,
54
характеризующий дисперсию распределения по признаку. Поскольку доля популяции с
величиной признака p будет g  p p0  , интегральная рождаемость выражается через
дифференциальную как

B( , p0 )    ( , p) g  p
p0 d  p



0
0

p0     ( , p0 x) g x dx     soc ( p0 x) g x dx   Bbio   .
0

Bsoc ( p0 , a)    soc ( p0 x) g x dx – имеет смысл коэффициента социальных рождений
0
для всего неоднородной популяции:
B( , p0 )  Bsoc ( p0 , a)  Bbio   .
6.4. Модель унимодального распределения по признаку
Для функции g(x), описывающей распределение вероятностей по признаку
относительно его среднего значения, должны выполнятся следующие требования:
1. g ( x )  0 при x  0 (неотрицательные значения).
2. g ( x )  0 при x  0 (отсутствие отрицательных значений признака).

3.
 g ( x)dx  1 (вероятность иметь одно из значений признака равна 1).
0

4.
 x  g ( x)dx  1 (среднее значение распределения равно 1).
0
Для рассматриваемой нами в первой части работы модели предположим
следующие свойства функции распределения:
1. Несимметричность. Хотя в реальных системах значения признака ограничены
сверху (масса крота не может быть больше массы слона), наблюдаемые
распределения в большинстве случаев несимметричны.

2. Интегрируемость в аналитическом виде интегралов типа
 f ( x) g ( x)dx ,
если
0

интеграл
 f ( x)dx
существует.
Например,
f ( x )  x ,
f ( x)  ex ,
эти
0
зависимости справедливы для очень многих биологических и социальных
процессов.
3. Наличие лишь одного максимума (моды). Полимодальные распределения
рассматриваются в следующем разделе настоящей работы.
55
В настоящей работе в качестве функции g(x) предлагается взять частный случай
гамма-распределения:
g ( x) 
a n n1 ax
x e , где a и n – некоторые параметры.
( n)
Среднее значение: Mg ( x)  n a  1 => n  a .
Дисперсия распределения: Dg ( x)  n a 2  1 a (при n  a )
Параметр a, обратно пропорциональный дисперсии распределения вероятностей по
признаку, характеризует степень однородности популяции по этому признаку.
g ( x, a) 
a a a1 ax
x e
( a )
– искомое распределение вероятностей.
Ниже на рис. 6.1 представлено графическое изображение распределений при
различных значениях степени однородности распределения (чем выше однородность,
тем выше кривая; экспоненциальное распределение выделено более толстой линией).
5
4
a=1
a=2
a=4
3
a=8
a=16
a=32
2
a=64
a=128
1
0
0
1
2
3
координата
Рис. 6.1. Зависимость распределения по признаку от степени однородности
Рассмотрим некоторые свойства гамма-распределения g ( x) 
1. Максимум g(x) достигается при xmax 
a n n1 ax
x e :
( n)
n 1
.
a
56

2.
x
k
g ( x)dx 
0

3.
n  k 
.
a k n 

 kx
0 e g ( x)dx  1 
a
k
 .
a
Приведенное выше гамма-распределение является частным случаем распределения
 xm 
1
n1

m ( x)  n m
x exp  
 n m
  
для
m  1.
При
этом
обобщенная
функция
удовлетворяет всем приведенным выше требованиям. Дополнительный параметр m в
m (x) позволяет более точно аппроксимировать данные, однако математические
выкладки становятся громоздкими. Кроме того, обобщенное распределение не имеет
ясной статистической интерпретации, в отличие от гамма-распределения.
6.5. Зависимость интегральной смертности от среднего дохода и
дисперсии
Как было показано выше,

M ( , p0 )   A( p0 x) g x dx     ,
0
где A(p) – слагаемое в дифференциальной смертности, отвечающее зависимости
смертности от исследуемого признака. Одним из наглядных примеров такой
зависимости является закон Гомперца-Мейкема (см. обзор [9]):
 ( p, )  A( p)  R  e ,
где p – доход на душу населения; A(p) – компонента социальной смертности,
которая характеризует влияние внешней среды, меняется со временем и убывает с
ростом дохода; R  e – компонента биологической смертности, которая достаточно
постоянна во времени, зависит только от возраста индивидуума и характеризует
биологические причины смерти особи.
К
сожалению,
статистика
по
зависимости
«социальной»
компоненты
дифференциальной смертности от дохода отсутствует, так как все страны по своей сути
существенно неоднородны по величине своего дохода на душу населения. Существуют,
однако, как уже упоминалось выше, работа [60], в которой приводится график
зависимости ожидаемой продолжительности жизни от дохода на душу населения, и
работа [24], в которой интерполяционная кривая зависимости числа преждевременных
57
смертей от дохода (интервал 2000-12000 долларов Канады, статистика по Канаде и
Великобритании за 1971 год) представлена в виде гиперболы: A 
280
.
p1,3
Используя более общую зависимость, получаем1:
Aint ( p) 
A0
.
 p  p0 k
В дальнейшем под p мы будем понимать потребление на душу населения за год.
Допустим,
что
для
социальной
компоненты
дифференциальной
смертности
справедлива зависимость
A( p)  A0 e  p / d .
Здесь A0 – смертность в отсутствие дохода, d – положительная величина,
характеризующая доход, при котором смертность снижается в e раз. Принимая во
внимание свойства гамма-распределения, получим:


0
0
M ( , p0 , a)   A( p0 x) g x dx      A0  e

p0
x
d
p 

g x dx      A0 1  0 
 ad 
a
   .
что соответствует приведенной выше статистической зависимости.
Исследуем предельные случаи зависимости смертности от степени однородности
населения по уровню удельного потребления. Для однородного по уровню удельного
потребления населения:
p 

lim M ( , p0 , a )  lim A0 1  0 
a 
a 
 ad 
a
     A0 e  p0
d
    ,
то есть приведенное выше выражение для дифференциальной смертности.
Рассмотрим предельный случай a=1, когда гамма-распределение вырождается в
экспоненциальное:
p 

lim M ( , p0 , a)  lim A0 1  0 
a1
a1
 ad 
a
    
A0
    .
1  p0 d
Зависимость смертности от степени однородности населения при различных
постоянных уровнях потребления2 представлена на рис. 6.2 в полулогарифмическом
масштабе. Видно, что при увеличении однородности популяции по уровню удельного
Очевидно, что функционал с дополнительным параметром будет лучше аппроксимировать представленные в работе
статистические данные.
2
При моделировании уровень удельного потребления измерялся в условных единицах. Это обеспечивает качественную
неизменность выводов модели при разном масштабе измерения уровня удельного потребления.
1
58
потребления интегральная смертность снижается быстрее при увеличении удельного
0,12
0,09
0,06
0,03
1000000
100000
10000
1000
100
0,00
10
Социальная компонента смертности
потребления.
Потребление на душу населения
Рис. 6.2. Зависимость социальной компоненты интегральной смертности от
потребления (усл. ед.) при разных степенях однородности популяции
Для детской смертности зависимость от однородности популяции аналогична.
6.6. Зависимость интегральной рождаемости от среднего дохода и
дисперсии
Как было выведено выше, повозрастное распределение рождений может быть
представлено в виде
B( , p0 )  Bsoc ( p0 , a)  Bbio   ,

где
Bsoc ( p0 , a)    soc ( p0 x) g x dx – имеет смысл коэффициента социальных
0
рождений для всего неоднородной популяции,  soc ( p) – коэффициент реализации
потенциала деторождения в однородной популяции, зависящий от этого фактора,
принимающий значения от 0 до 1 (коэффициент социальных рождений).
Одной из возможных моделей зависимости  soc ( p) является его представление в
виде совокупности двух процессов – «случайных» и «плановых» рождений (подробнее
в главе 3):
59

 p 
p
   1  exp    .
 c1 
 c2 


 soc ( p)   case ( p)   plan ( p)  exp  
Здесь   0;1 – показатель представлений общества об оптимальном количестве
детей в семье в условиях полного обеспечения ресурсом (очень высокий уровень
дохода), c1 – положительная величина, характеризующая доход, при котором
«случайная» рождаемость снижается в e раз, c2
– положительная величина,
характеризующая доход, при котором «плановая» рождаемость увеличивается в e  
раз.
Принимая во внимание свойства гамма-распределения, получим:



 p
  p
B soc ( p 0 , a )    soc ( p 0 x) g  x dx   exp      1  exp  
 c2
0
0 

  c1 


 p
 p
  exp    g  x dx    1  exp  
 c1 
 c2
0
0 



p 
 g  x dx  1  0 
ac1 


a
 
  g x dx 
 
a
 
p0  
 .
  1  1 
ac 2  
 

Для Bsoc ( p0 , a) характерны те же предельные переходы, что и для исследованной
выше функции интегральной смертности. Отметим случай, когда a=1:
lim Bsoc ( p0 , a) 
a 1
p0
c1

.
c1  p0
c 2  p0
Мы получили достаточно простую зависимость Bsoc ( p0 , a) от среднего удельного
потребления, которую использовали в главе 3 (см. также [51, 55, 56]). Учитывая, что
для исчерпанной плодовитости справедлива зависимость
( p0 , a)   bio Bsoc ( p0 , a) ,
где  bio – репродуктивные возможности женщины при отсутствии любых
социальных ограничений, мы получаем эффективный математический аппарат для
оценки влияния распределения дохода и доступности социальных служб на динамику
рождаемости в стране. График дан в полулогарифмическом масштабе при желаемом
количестве детей, равном 3.
60
Показатель исчерпанной
плодовитости
18
16
14
12
10
8
6
4
2
1000000
100000
10000
1000
100
10
0
Потребление на душу населения
Рис. 6.3 Зависимость показателя исчерпанной плодовитости от потребления
(усл. ед.) на душу населения при разных степенях однородности
Из рис. 6.3 видно, что увеличение однородности распределения населения по
удельному потреблению значительно более эффективно приводит к снижению
количества рождений (например, при 1000-2000 усл. ед.), чем увеличение среднего
уровня потребления. Этот результат важен для построения прогноза по рождаемости
для стран Африки с высоким уровнем рождаемости, находящихся в состоянии
демографического перехода.
6.7. Распределение по признаку с положительной нижней границей
До сих пор мы несколько идеализировали свое представление о виде
распределения популяции по признаку,
адекватным рассматриваемой
считая обычное гамма-распределение
модели. Вообще говоря, такого
предположения
достаточно для большинства решаемых задач. Однако часто возникают проблемы, для
описания которых необходимо более точное описание распределения популяции по
признаку, при сохранении удобства математического аппарата. Для краткости мы
будем рассматривать только смертность (работа с прочими популяционными
процессами происходит аналогично).
Пусть
для
популяции
существует
положительное
минимальное
значение
исследуемого признака:
p  pmin  0 .
Примером может служить общество, в котором всем его членам выплачивается
некий гарантированный минимальный удельный доход.
61
Если среднее значение признака для популяции p0 , мы можем ввести нижнюю
границу для безразмерного распределения по признаку:
xmin  pmin p0 .
Рассмотрим гамма-распределение, смещенное в сторону положительных значений
на величину xmin :
g1 ( x, a) 
aa
x  xmin a1 exp  ax  xmin   g x  xmin , a .
a 
Тогда

M ( , p0 , a)   A( p0 x) g x  xmin , a dx     .
0
Делаем замену y  x  xmin и приводим интеграл к рассмотренному выше виду.
Подставляя A( p)  A0 e  p / d и pmin  p0 xmin , получаем:

p 
 p 
M ( , p 0 , a)   A p 0 ( y  x min ) g  y, a dy      A0 exp   min 1  0 
d 
ad 

0
a
   .
Как видим, получается формула, частным случаем которой является раннее
рассмотренный случай при pmin  0 . Переход к интегральным величинам в случае
других популяционных процессов происходит аналогично.
6.8. Случай полимодального распределения по признаку
Модой непрерывного распределения называется точка максимума плотности
распределения вероятностей. Распределения, имеющие одну, две или более мод,
называются соответственно унимодальными, бимодальными или полимодальными.
До сих пор мы рассматривали унимодальные распределения, которые довольно
адекватно описывают рассматриваемую ситуацию. Однако в некоторых случаях
становится существенными эффекты полимодальности распределения. Например,
статистические данные подтверждают наличие как минимум двух мод в распределении
населения по уровню удельного дохода. И если стоит задача оценить влияние на
демографические характеристики населения с высокими доходами, необходимо
видоизменить применяемый нами математический аппарат.
Пусть
для
некоторого
полимодального
распределения
по
признаку
g(x)
справедливо:
g ( x)    i g i ( x) ,
i
62
g i ( x) 
где
aini
x  xbi ni 1 exp  ai x  xbi 
ni 
–
рассмотренное
выше
гамма-
распределение вероятностей, xbi  0 ,  i  0 , ni  0 – некоторые параметры. В
настоящей работе мы не рассматриваем проблемы существования и единственности
разложения g(x) по базовым функциям g i x  , хотя они очень интересны с точки зрения
математики, а лишь постулируем существование такого разложения с конечным
числом слагаемых. Ниже рассматриваются некоторые свойства такого разложения.
Предполагается,
что
функция
удовлетворяет
g(x)
всем
требованиям,
сформулированным ранее, кроме требования унимодальности.

Учитывая, что

 g x dx  1 и  g x dx  1 , получаем: 
i
0
i
1.
i
0
Пусть для распределения g i x  среднее значение равно x0i , дисперсия равна Di :

Mg i  x    xgi  x dx  x0i ,
0

Dg i  x     x  x0i  g i  x dx  Di .
2
0
Свяжем эти величины с параметрами распределения g i x  :
x0i  xbi
( x0i  xbi ) 2
ai 
, ni 
.
Di
Di
Тогда, если среднее значение распределение Mg x   1 , то:
 x
i 0i
 1.
i
Перейдем к дисперсии. По определению:



0
0
Di   x  x0i  gi  x dx   x 2 gi  x dx  2 x0i  xgi  x dx  x02i 
2
0

  x 2 gi  x dx  x02i .
0
Дисперсия распределения g(x):
 2

D    x  1 g  x dx    i   x  1 g i  x dx    i   x g i x dx  2 x 0i  1.
i
i
0
0
0



2
2

Учитывая, что
 x g x dx  D
2
i
i
 x02i , получаем:
0
63
D    i Di    i  x0i  1 .
2
i
i
Как и ранее, представим социальную компоненту дифференциальной смертности
как A( p)  A0 e  p / d , получаем:


M ( , p0 , a)   A( p0 x) g x dx        i  A p0 x gi x dx 
i
0

p 
     A0   i e pi d 1  0 
i
 ai d 
 ni
0
   .
Подставляя выражения для параметров распределения g i x  , получаем:

p0 Di 

M ( , p0 , a)  A0   i e  pi d 1 
i
 d  x0i  xbi  

 x0 i  xbi 2
Di
    .
То есть, аппроксимируя надлежащим образом g(x), можно легко анализировать
получаемые математические структуры. Для важного частного случая двух слагаемых
имеем:
1. g ( x)  1 g1 ( x)   2 g 2 ( x) .
2. 1   2  1.
3. 1 x01   2 x02  1 .
4. D  1D1   2 D2  1 x01  1   2 x02  1 .
2
M ( , p0 , a )  A0 [1e
  2e
p
 2
d
p
 1
d
2

p0 D1 
1 

 d x01  xb1  

p0 D2 
1 

 d x02  xb 2  


 x01  xb1 2
D1

 x02  xb 2 2
D2
]    .
Остальные демографические процессы моделируются аналогично.
6.9. Зависимость коэффициента Лотки от среднего дохода и дисперсии
В главе 5 выводилась и анализировалась формула для коэффициента Лотки:
r p 
ln    p    M  p   A p   
,
B 
где  – доля девочек среди новорожденных,  B – возраст начала детородного
периода,  B   – средний возраст матери при рождении ребенка,  M ( p) – детская
64
смертность, для которой характерен такой же вид функциональной зависимости от
дохода на душу населения, что и для «социальной» смертности:
a

p 
 M ( p0 , a )   1  0  .
 ad 2 
0
M
Для социально неоднородного населения, для которого справедливы приведенные
выше предположения, будет соответствовать следующая зависимость:
r  p0 , a  
ln    p0 , a    M  p0 , a   A p0 , a   
.
B 
Все функции, входящие в данную формулу, описаны выше. Графическое
представление о данной зависимости показано на рис. 6.4:
3%
a=1
1%
a=2
1000000
100000
10000
1000
-1%
100
0%
10
Коэффициент Лоттки
2%
-2%
a=4
a=8
a=16
a=32
-3%
a=64
a=128
-4%
-5%
Потребление на душу населения
Рис. 6.4. Зависимость коэффициента Лотки от потребления на душу населения
(усл. ед.) при разных степенях однородности населения
График дан в полулогарифмическом масштабе при желаемом количестве детей,
равном 3. Более толстой линией выделен предельный случай a=1. Из рисунка следует,
что
демографические
процессы
для
населения,
характеризующегося
большей
однородностью, качественно идут быстрее и с большей амплитудой. Обращаем
внимание на диапазоны доходов 800-1000 и 6000-10000 усл. ед., где различные уровни
однородности населения приводят к качественно разным результатам (положительному
приросту или убыли населения). Следовательно, улучшение демографической
ситуации (в частности, повышение количества рождений и прирост численности
населения) можно получить не только увеличением среднего уровня потребления, но и
65
изменением однородности распределения населения по доступности социальноэкономических ресурсов – квалифицированной медицинской помощи, дошкольных и
школьных учреждений, пособий и отпусков по уходу за ребенком. К аналогичным
выводам, но исходя из других предпосылок, приходят и другие исследователи [5].
В отличие от среднего уровня удельного потребления, однородность общества
является управляемым параметром, воздействовать на который общество может
политическими, социальными, культурными, религиозными методами. Причем, как
показано выше, в демографической сфере такие изменения могут быть значительно
эффективнее, чем экономическое развитие.
66
7. Макроэкономическая модель устойчивого развития
населения
7.1. Введение в проблему
В
данном
разделе
приводится
пример построения
связей
II
уровня
и
демографической модели III уровня (согласно предложенной классификации), в
которой учитывается взаимное влияние друг на друга демографических и ресурсных
характеристик.
В настоящее время общепринято, что для практической реализации стратегии
устойчивого развития, изложенной в Повестке дня на ХХI век [23, 35], принятой
Конференцией ООН по окружающей среде и развитию в Рио де Жанейро, необходима
разработка системы показателей (индикаторов) устойчивого развития общества на
национальных, региональных
и общемировом уровнях. Обычно индикаторы
устойчивого развития подразделяют на экологические и социально-экономические.
Среди последних важное место занимают показатели человеческого развития,
одобренные программой развития ООН (ПРООН), включающие как демографические,
так и экономические характеристики.
Однако,
сегодня
нам
представляется,
что
использование
описательных
индикаторов, состоящих из множества индивидуальных показателей в конкретных
областях, как правило, не дает возможности оценить динамические характеристики
развития общества в целом, что возможно лишь при построении количественных
моделей развития. Затруднения в создании таких моделей прежде всего связаны с тем,
что правильно не учитываются взаимосвязи, существующие между различными
факторами.
С другой стороны, в последнее время широкое распространение получили работы,
в которых определяются корреляции между изменениями множества разнообразных
демографических,
социальных
и
экономических
факторов.
Тем
не
менее
использование результатов подобного анализа приводит к созданию трудно обозримых
моделей, имеющих очень узкий диапазон применимости, определяемый областью
возможности использования выбранных в модели коэффициентов корреляции. Кроме
того, подобные достаточно сложные модели, основанные на использовании линейного
корреляционного анализа, как правило, не позволяют выявить причинно-следственные
связи, определяющие реальную траекторию развития.
67
В этой связи, по нашему мнению, целесообразен учет взаимовлияния различных
факторов в максимально простом виде с последующим уточнением и усложнением
возможных функциональных связей, что должно привести к созданию иерархии
последовательно усложняющихся моделей.
В
данной
работе
рассматриваются
следствия
учета
взаимовлияния
демографических и экономических факторов на траектории макроэкономического
развития.
Основой
для
подобного
рассмотрения
служит
тот
факт,
что
непосредственные демографические детерминанты роста населения, такие как
повозрастные коэффициенты рождаемости и смертности, с одной стороны,
в
значительной мере определяются социально-экономическими факторами и могут
рассматриваться как функции экономического развития, а с другой стороны,
экономическое развитие определяется информационными, интеллектуальными и
трудовыми ресурсами, являющимися производными особенностей демографических
процессов. Будут рассмотрены режимы роста численности стабильного населения и
устойчивого экономического развития.
7.2. Модель Солоу, ее результаты и недостатки
В настоящее время в большинстве учебников по экономике (см., например, [19, 26,
72]) описывается несколько моделей экономического роста, предложенных известными
экономистами и описывающих различные аспекты экономического развития. Среди
них выделяется модель макроэкономической динамики, предложенная лауреатом
Нобелевской премии Р. Солоу, которая учитывает нелинейность производственной
функции, выбытие основного капитала, технический прогресс и, что наиболее
интересно для нас, описывает динамику численности трудовых ресурсов. Без
подробного обсуждения ниже приводится сама модель, ее результаты и основные
недостатки с точки зрения моделирования динамики населения.

Модель описывает динамику дохода Y(t), который рассматривается как сумма
потребления P(t) и инвестиций I(t): Y  P  I .

Производственная функция (зависимость дохода Y(t) от уровня капитала K(t) и
затрат труда L(t)) имеет вид Y  F ( K , L) , причем отдача от масштаба
  0 , YLL
  0 .
постоянна: F ( zK , zL)  zF ( K , L) , YK  0 , YL  0 , YKK

Величина выбытия капитала W пропорциональна его величине K: W  mK , где
m – норма выбытия.
68

Норма потребления u и норма сбережения (инвестиций) =1-u постоянны, и
инвестиции I=Y.

Затраты труда произведению численности занятых в производстве R(t) на
показатель трудосберегающего прогресса G(t): L(t)=R(t)G(t).

Численность занятых в производстве равна численности живущих.

Численность занятых R(t) растет с постоянным темпом r, не зависящим от
уровня потребления на одного работающего. Данное положение слабо
соответствует реальным системам, и его изменение дает ряд качественных
различий с результатами исходной модели.

Трудосберегающий технический прогресс растет с постоянным темпом g, то
есть число единиц труда с постоянной эффективностью растет с темпом g.
Отсюда следует уравнение:
dK
 Y  mK .
dt
Перейдем к удельным величинам. Пусть y=Y/L – производительность труда, k=K/L
– капиталовооруженность, тогда
y
Y F ( K , L)
K

 F
L
L
L

,1  f k  .

dk d  K  1 dK K dL
Y
K K dL
  
 2
 m  2
 y  m  C  g k .
dt dt  L  L dt L dt
L
L L dt
Когда k находится в состоянии равновесия k*, условием стационарности будет
f (k*)  m  r  g k * ,
и величина k* оказывается устойчивым уровнем капиталовооруженности. Показано
[72], что равновесное состояние k* существует (при m+r+g>0) и единственно, рост
нормы
сбережений

приводит
к
увеличению
устойчивого
уровня
капиталовооруженности (следовательно, и к увеличению дохода на единицу труда и
потребления на одного работающего), а увеличение темпа роста численности занятых
C и темпа трудосберегающего прогресса g – к его уменьшению.
При росте численности занятых с темпом r общий объем капитала, дохода,
потребления и инвестиций растет в устойчивом состоянии с темпом r+g.
Следовательно, модель Солоу показывает, что единственным источником длительного,
устойчивого роста дохода на одного работника, а следовательно, и потребления на
душу населения, является технический прогресс [46].
69
Каждому уровню нормы сбережения  соответствует определенное устойчивое
состояние и свой уровень устойчивого потребления на одного работающего


p *  G  f (k * )  (m  r  g )k * . Устойчивое состояние k*, в котором величина p*
максимальна, можно найти из равенства нулю первой производной выражения по k
(Золотое правило Солоу):
fk  r  m  g .
Золотое правило дает оптимальный уровень капиталовооруженности k**, а затем
из уравнения  * f (k ** )  m  r  g k ** можно найти и оптимальную норму сбережения
*. В частном случае, когда мы используем производственную функцию КоббаДугласа y  Ay k y , где a y – эластичность по капиталу (см. [46]), получаем  *  a y .
a
При моделировании реальной социально-экономической системы основной
недостаток модели Солоу состоит в том, что она не учитывает обратного влияния
уровня потребления на душу населения на прирост численности рабочей силы и
населения в целом. Темп научно-технического прогресса и доля трудоспособного
населения тесно связаны с темпом роста численности населения [5], однако в модели
Солоу принимаются независимыми параметрами. Под понятием «устойчивое развитие»
следует понимать не только экономический рост, но и развитие общества во всех его
аспектах, весьма тесно связанных друг с другом.
7.3. Влияние демографических характеристик на параметры
экономического роста
Обратимся теперь к рассмотрению влияния демографических характеристик на
параметры экономического роста, в первую очередь на скорость роста численности
трудовых ресурсов. Как результат проведенного выше исследования, можно рассчитать
долю производственно активного (трудоспособного) населения [55]. Принимая для
каждого уровня удельного дохода возрастную структуру населения как стабильную,
предполагая
население
однородным
по
распределению
доходов
и
считая
трудоспособными всех членов населения в возрасте от 183 до 60 лет, получаем
зависимость доли трудоспособного населения   p0  от среднего удельного дохода p0 в
обществе при осуществлении различных установок на оптимальное количество детей в
семье (параметр “идеальных рождений”):
3
С точки зрения авторов возраст начала полноценной трудовой деятельности должен совпадать с возрастом совершеннолетия.
70
b
  p0  
 n ( p ,  ) d
0
a

.
 n ( p ,  ) d
0
0
Графическое представление этой зависимости помещено на рис. 7.1:
50%
Доля работающих
45%
Ф=1
40%
Ф=2
Ф=3
35%
Ф=4
Ф=5
30%
Ф=6
Ф=7
25%
Ф=8
1000000
100000
10000
1000
10
100
20%
Потребление на душу населения
Рис. 7.1. Зависимость доли работающих от уровня потребления на душу
населения (усл. ед.) при различных значениях коэффициента «идеальных
рождений»
Интересной является задача о такой величине параметра “идеальных рождений”,
при которой доля трудоспособного населения максимальна, т.е. нагрузка на
производственно
соответствующими
активное
население
значениями
минимальна.
параметра
Решение
“идеальных
этой
задачи
рождений”,
с
доли
трудоспособного населения и скорости роста численности населения (для удобства
анализа масштаб последней величины увеличен в 10 раз) иллюстрирует рис. 7.2:
71
0,5
0,4
0,3
0,2
Параметр
0,1
Занятость
Прирост
1000000
100000
1000
10000
-0,1
100
10
0,0
-0,2
Потребление на душу населения
Рис. 7.2. Зависимость оптимального коэффициента «идеальных рождений» и
соответствующих ему коэффициента естественного прироста населения (*10) и
доли работающих от уровня потребления на душу населения (усл. ед.)
Как видно из рис. 7.2, в области низких доходов очень велика доля детей, поэтому
доля занятых максимальна при нулевом значении параметра “идеальных рождений” и
уменьшается с ростом удельного дохода из-за снижения детской смертности и
большего доли женщин, доживающих до детородного возраста (естественно, при этом
скорость роста численности населения увеличивается). При дальнейшем увеличении
дохода начинает преобладать компонента планируемых рождений, что при нулевом
значении параметра “идеальных рождений” приводит к снижению количества
рождений (что увеличивает долю трудоспособного населения), и к уменьшению
смертности, что увеличивает долю старших возрастов в возрастной структуре
стабильного населения (что уменьшает долю трудоспособного населения). Начиная с
некоторого значения дохода, второй процесс начинает преобладать и оптимальное
значение параметра “идеальных рождений” становится отличным от нулевого и
начинает увеличиваться. При этом увеличивается и скорость роста населения, но доля
занятых почти не изменяется. При очень больших удельных доходах возрастная
структура населения определяется исключительно представлением общества об
оптимальном числе детей в семье (оптимальными значениями параметров являются:
параметр “идеальных рождений” – 2,98 детей на женщину, скорость роста численности
населения (при значениях параметров, принятых в модели) – 1,6% в год, доля занятых –
44,5%).
72
7.4. Модифицированная модель Солоу
Модифицируем модель Солоу положением, что темп прироста численности
занятых в производстве меняется во времени, зависит от уровня удельного потребления
и от возрастной структуры населения. Помимо исходных уравнений модели,
описывающих динамику капиталовооруженности и производимого продукта
dK
 Y  mK ,
dt
Y  F K , L ,
необходимо записать уравнения, описывающие динамику численности занятых в
производстве и уровня потребления на душу населения. Затраты труда:
L  RG ,
где G(t) – трудосберегающий прогресс, R(t) – численность занятых в производстве.
В качестве трудоспособных мы принимаем всех членов населения в возрасте от 18 до
60 лет:
R  N    p,
где   p  – доля трудоспособного населения, N – численность населения.
Потребление на душу населения:
pu
Y
Y
 uG  p   uG  p  y .
N
L
Здесь u  1   – доля продукта, идущая на потребление (норма потребления).
Перейдем к удельным величинам (см. определения выше):
dk
1 dL 

 y   m 
k ,
dt
L dt 

y  f k  ,
p  uG  p y .
В отличие от исходной модели темп прироста затрат труда не будет константой:
1 dL
1 d GN  1 d 1 dG 1 dN





L dt GN dt
 dt G dt N dt
1 d
1 d dp
 g  r ( p) 
 g  r ( p) 
.
 dt
 dp dt
Найдем p t как производную неявной функции:
p t 


u G t f  Gfk kt
,
1  u pGf
73


u p G t f  Gfk kt
1 dL
 g  r ( p) 
.
L dt
1  u p Gf
Система уравнений окончательно имеет вид:


u p G t f  Gfk kt
dk
 f   m  g  r ( p) 

dt
1  u p Gf

k ,


p  uG  p f .
Найдем стационарные уровни удельных величин p*  const и k *  const :
f k
*

    k
   

u p p * G t f k *
*

 mr p  g 

1  u p p * Gf k *

 
*
,
  
p*  uG p* f k * .
Мы имеем систему из двух нелинейных уравнений относительно переменных p* и
k*, которую можно решить численно для заданной производственной функции f(k) и
заданной функции   p  при выполнении условий, поставленных выше. Как и прежде,
система имеет решение, но уже не единственное.
Покажем это на частном примере производственной функции Кобба-Дугласа
y  f k   Ay k
ay
в приближении постоянной доли занятых в производстве   p    0 . В
этом случае четвертое слагаемое в скобке обращается в ноль и система имеет
аналитическое решение:
1
 1  u Ay  1a y
 ,
k *  
*
mr p  g
 
ay
 1  u Ay  1 a y

p *  uG 0 Ay 
.
*
m

r
p

g


 
Объединим в одной величине параметры, не зависящие от уровня удельного
дохода:
Z  uAy 1  u Ay 1a y  const .
ay
Тогда уравнение с неизвестной p * будет иметь вид:


 
p *  Z 0 G m  r p * , a  g
ay
1 a y
.
Отсюда находим p*  p * a  – уровень дохода на душу населения, при котором
становятся стационарными количество фондов и вырабатываемый национальный
74
продукт на душу населения. Здесь a – произвольный параметр, от которого зависит
коэффициент Лотки, но который не является функцией от удельного дохода.
Перепишем уравнение, выделив коэффициент Лотки:
 Z G 
r ( p*, a)   0 
 p* 
1 a y
ay
 m  g  .
Существование решения уравнения можно увидеть из рис. 7.3:
6%
5%
4%
F=1
3%
F=2
F=3
2%
F=4
F=5
1%
F=6
-2%
1000000
100000
1000
100
10
-1%
10000
0%
F=7
F=8
economic
-3%
-4%
Потребление душу населения
Рис. 7.3. Точки пересечения «экономической кривой» и зависимости
коэффициента Лотки от уровня потребления на душу населения (усл. ед.)
Решение может не существовать при отрицательных значениях коэффициента
Лотки, таких, что r  m  g  , то есть примерно r  10% , что, однако, совершенно
нереально в современных условиях развития здравоохранения и цивилизации.
Решение может быть и не единственным (см. рис. 7.4):
2,5%
2,0%
1,5%
1,0%
0,5%
1000000
100000
10000
1000
-0,5%
100
10
0,0%
-1,0%
-1,5%
Потребление на душу населения
Рис. 7.4. Количество стационарных точек коэффициента Лотки
75
Возможны следующие варианты:
1. Одна точка равновесия – соответствует исходной модели Солоу, равновесие
является устойчивым (устойчивый фокус).
2. Три точки равновесия – крайние точки равновесия являются устойчивыми
(устойчивый фокус), а точка посередине – точка неустойчивого равновесия
(неустойчивый фокус).
3. Две точки равновесия – одна точка пересечения (устойчивый фокус) и одна
точка касания («седловая» точка).
Заметим,
что
экономические
кривые
на
рис.
7.4
различаются
только
эластичностью по капиталу, что отражает уровень развития наукоемких технологий.
Поскольку при низких доходах населения влияние институтов планирования семьи
незначительно, разработка и внедрение передовых технологий в различные отрасли
промышленности способны эффективно перенести точку устойчивого экономического
равновесия
из области низкого уровня потребления в область высокого уровня
потребления.
Отметим, что устойчивое экономическое равновесие может соответствовать
отрицательному значению скорости роста численности населения, и его никак нельзя
назвать способствующим устойчивому развитию общества. То есть максимальный
стационарный уровень потребления не всегда обеспечивает положительный прирост
численности населения, и государство становится перед проблемой выбора между
ростом экономики и поддержанием численности населения. Это в первую очередь
приходится учитывать высокоразвитым странам с убывающим населением, таким как
Германия. Здесь ситуация диаметрально противоположна описанной выше, поскольку
технологическое развитие неэффективно с точки зрения демографического развития, и
государство заинтересовано в формировании представления членов общества о
необходимости
увеличения
уровня
рождаемости
путем
предоставления
как
экономических, так и социально-психологических стимулов.
Ниже на рис. 7.5 обозначены «изорейты» – кривые, которые показывают, какими
должны быть коэффициенты «идеальных рождений» (желаемое число детей на одну
женщину) при некотором уровне удельного потребления для обеспечения заданного
значения коэффициента Лотки.
76
14
C=-2%
12
C=-1%
10
C=0%
C=1%
8
C=2%
6
C=3%
C=4%
4
C=5%
2
1000000
100000
10000
100
1000
0
10
Коэффициент "идеальных рождений"
16
Потребление на душу населения
Рис. 7.5. Зависимость коэффициента «идеальных рождений» от потребления
на душу населения (усл. ед.) для различных фиксированных значений
коэффициента Лотки («изорейты»).
И в оригинальной, и в модифицированной моделях Солоу темп научнотехнического
прогресса
и
производительность
труда
считаются
величинами
постоянными и не зависящими от возрастной структуры населения, хотя это не так.
Процессы
экономической
адаптации,
приспособления
структуры
кадров
к
потребностям экономики протекают тем эффективнее, чем быстрее обновляется эта
структура, чем выше в ней удельный вес групп, сформированных с учетом последних
экономических требований. При прочих равных условиях структура трудовых ресурсов
обновляется тем быстрее, чем моложе работающее население, то есть зависимость
уровня технического прогресса от коэффициента естественного прироста является
возрастающей функцией на некотором интервале значений аргумента. Однако приток
молодежи должен происходить с такой скоростью, чтобы она успевала освоить опыт и
знания, накопленные предшественниками. Этот процесс ограничен числом мест в
учебных заведениях (при условии сохранения качества преподавания), т.е. как и в
случаях общего количества населения и плотности населения [5], можно говорить о
ресурсном ограничении и понятии «оптимума» коэффициента естественного прироста
[6, 13-16, 20, 21, 46, 48].
Так например, исходя из представленного выше, в работе [18] была получена
модельная зависимость производительности труда от времени в экономикодемографической системе. Авторы этой работы делают вывод, что оптимальное
77
количество детей на одну женщину в смысле «оптимальной производительности
труда» примерно равно 3.
Как и в оригинальной модели, найдем оптимальное значение нормы накопления
  1  u для максимума потребления p. Рассмотрим неявную функцию
ay
 1  u Ay 1 a y

Q p, u   p  uG 0 Ay 
0,


m

C
p

g


Q Q dp

 0.
u p du
Максимум достигается при
dp
Q
 0.
 0 =>
u
du
То есть, несмотря на наличие функций C ( p) и  ( p) , максимум остался прежним:
  1  u  a y , где a y – эластичность по капиталу в производственной функции КоббаДугласа.
Найдем «золотое правило» потребления для нашей модели экономики для
некоторого
фиксированного
показателя
трудосберегающего
прогресса
G0 .
Потребление на душу населения равно
G0 0  ( y  y)  G0 0  ( f (k )  f (k )) .
Среди всех равновесных состояний k* мы должны выбрать такое, которое
обеспечивает максимум потребления на одного занятого в производстве. Это
равносильно тому, что мы будем находить максимум функции
f  f  f  r ( p)k  (m  g )k .
k*, соответствующее “золотому правилу”, будет определяться из равенства
fk  rk k  r ( p)  m  g  rp p k k  r ( p)  m  g  rp u 0G0 fk k  r ( p)  m  g.
Окончательно
1  r u
p
0
G0 k  fk  r ( p)  m  g .
Видно, что при r(p)=const «модифицированное» «золотое правило» переходит в
обычное. Решение всегда существует (поскольку fkk  0 и r(p)const при больших
значениях p), однако новое уравнение может иметь более одного решения, т.е.
существует несколько максимумов, из которых нужно выбрать устойчивый глобальный
78
максимум k**. Затем с помощью равенств p**  u 0G0 f k **  и  * 
m  r  p   g k
**
**
f (k ** )
можно найти оптимальные значения потребления на одного работающего и норму
сбережения.
Предложенная модификация модели Солоу позволяет более адекватно описать
взаимосвязи
демографических
и
экономических
процессов
в
реальных
макроэкономических системах.
79
8. Заключение
Приведенные в работе исследования показывают важную роль параметрического
моделирования как мощного метода исследования и познания, даже в областях науки,
которые многие исследователи считают «неточными», например, в демографии. Не
просто констатация или качественное описание статистических закономерностей, а их
смысловая
математическая
интерпретация
позволят
объяснить
наблюдаемые
демографические процессы и спрогнозировать их дальнейшее протекание.
Одним из результатов данного исследования в диссертации явилось введение
понятия «управляемых» параметров и их идентификация при изучении сложных
экономико-демографических систем. Представляется полезной формулировка и
обобщение основных положений, лежащих в основе любой математической модели
динамики
численности
популяций.
Анализ
дополнительных
упрощений,
предположений и свойств, таких как экспоненциальный рост, самоограничение,
конкуренция,
дискретность
или
непрерывность,
эндогенные
или
параметры, и т.д., которые приводят к широко известным моделям,
частными
случаями
обобщенного
уравнения,
позволил
экзогенные
являющихся
предложить
систему
классификации существующих демографических и экологических моделей.
Предложенная методика построения моделей позволила не просто описать
возрастное распределение рождений некоторой параметрической функцией, дающей
наилучшее приближение к статистическим данным, а предложить физической модели
этой статистической закономерности (гамма-распределение). Она также позволила
провести содержательную интерпретацию зависимости рождаемости от экзогенных
параметров, например, от уровня потребления на душу населения. В рамках
предложенной модели выявлено сложное влияние такого управляемого параметра, как
«желаемое число детей», на динамику численности населения. Предложенный подход
позволяет создавать новые модели и прогнозы динамики численности населения.
Одним
из
математического
практических
моделирования
применений
стала
методики
полученная
в
параметрического
работе
реконструкция
недостающих исторических статистических данных по возрастному распределению
рождений с учетом очередности рождения. Результаты моделирования данных по
рождаемости на Украине за 1995-1998 гг., полученные при помощи созданного автором
программного пакета PredictV, рекомендованы к использованию при разработке
разнообразных социальных программ.
80
Предложенный подход к моделированию возрастных распределений рождаемости
и смертности и их зависимости от экзогенных параметров, в частности, от уровня
потребления на душу населения, позволил исследовать зависимость демографических
характеристик не только от среднего значения экзогенного признака, но и от
неоднородности (дисперсии) распределения и формы распределения населения
(популяции) по этому признаку. Другим применением методики стало оригинальное
решение уравнение Лотки с получением аналитической зависимости коэффициента
Лотки (темпа прироста численности населения со стабильной возрастной структурой)
от суммарных показателей рождаемости и смертности, а также уровня дохода на душу
населения. Показано, что неоднородность населения является важным управляемым
параметром, изменение которого в некоторых случаях более эффективно, чем
экономическое развитие (изменение уровня дохода на душу населения).
Зависимость коэффициента Лотки от удельного потребления была использована, в
частности, при построении модифицированной модели Солоу, которая позволила более
адекватно понять взаимовлияние демографических и экономических характеристик, а
также проследить динамику такой экономико-демографической системы. В отличие от
выводов оригинальной модели, показано, что устойчивый экономический рост может
сопровождаться демографической деградацией (старением возрастной структуры и
уменьшением численности населения), что чрезвычайно актуально для сегодняшнего
дня и заставляет заново переосмыслить понятие устойчивого развития общества и
государства.
Благодарности
Автор выражает признательность своему научному руководителю Кирееву Виктору
Борисовичу и
зав. отделом демографии Института экономики НАН Украины
Стешенко Валентине Сергеевне за помощь и ценные замечания при написании данной
диссертационной работы.
81
9. Выводы
1. Предложены
адекватные
параметрические
аппроксимации
процессов
рождаемости и смертности, через наблюдаемые статистические величины
идентифицирован ряд параметров использованных аппроксимаций.
2. Предложена зависимость влияния удельного уровня потребления на процессы
рождаемости и смертности в популяции человека.
3. Предложена методика определения структур новорожденных по очередностям
рождений и возрасту матери исходя их общего возрастного распределения
рождений, на основании методики разработан программный пакет PredictV.
4. С
использованием
предложенных
параметрических
аппроксимаций
рождаемости и смертности найдено аналитическое решение уравнения Лотки
(темп прироста численности популяции со стабильной возрастной структурой).
5. Исследовано влияние неоднородности популяции по удельному потреблению на
динамику ее численности.
6. На основе развитых параметрических популяционных моделей модифицирована
известная
макроэкономическая
модель
Солоу
и
исследованы
свойства
модифицированной модели.
82
Приложение 1. Таблицы
Таблица №1 “Повозрастные коэффициенты исчерпанной плодовитости
женщин Украины за 1965-1985 года”
Год
возраст
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
всего
1965
1970
1975
1980
1982
1985
0,47
3,49
13,52
42,79
79,23
124,51
147,58
140,42
137,73
139,12
126,14
117,36
110,00
107,56
92,00
98,69
74,15
67,76
57,06
51,00
47,52
36,63
30,95
24,59
19,16
16,58
10,99
8,29
5,71
3,48
1,92
1,04
0,58
0,32
0,23
0,03
1,939
0,70
3,84
16,12
50,22
104,05
149,25
180,16
167,52
175,21
150,33
130,58
130,91
107,51
103,69
93,72
86,49
75,39
67,05
60,29
51,75
44,97
36,14
28,46
24,15
16,97
13,45
8,94
6,23
3,83
2,24
1,46
0,71
0,46
0,20
0,14
0,04
2,093
0,95
5,22
21,10
58,08
114,95
160,35
171,94
168,64
160,41
146,38
130,63
129,19
101,75
106,73
86,79
79,22
74,43
57,11
51,92
44,55
36,95
31,09
30,86
21,03
16,13
13,14
8,45
5,84
3,72
1,88
1,07
0,54
0,24
0,14
0,05
0,01
2,041
1,39
7,07
25,05
70,42
134,63
179,41
185,71
173,35
153,50
139,86
126,18
111,39
99,80
89,87
80,97
67,80
61,78
43,86
42,32
32,58
28,06
23,81
17,96
13,82
10,81
8,34
5,55
3,75
2,47
1,54
0,84
0,47
0,19
0,10
0,05
0,12
1,945
1,58
7,54
26,33
69,53
126,85
171,87
184,65
175,96
157,80
138,48
124,36
112,55
108,48
88,86
77,73
70,97
58,73
49,54
44,67
30,91
28,29
21,64
18,03
15,00
10,13
7,77
5,50
3,65
2,28
1,21
0,73
0,35
0,15
0,04
0,03
0,00
1,942
1,66
8,53
30,32
77,57
136,67
169,37
183,48
175,71
163,33
149,22
136,52
122,29
108,27
95,42
82,75
72,46
60,35
50,98
44,07
36,24
29,09
25,75
15,94
14,30
9,48
7,96
5,27
3,53
1,95
1,02
0,57
0,27
0,09
0,03
0,02
0,00
2,020
83
Таблица №2 “Повозрастные коэффициенты исчерпанной плодовитости женщин
Украины за 1990-1997 года”
Год
возраст
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
всего
1990
1992
1994
1995
1996
1997
2,45
12,20
39,45
92,75
150,80
184,17
185,27
164,80
145,84
128,94
112,36
100,51
88,06
76,58
65,64
57,32
48,16
40,23
33,28
27,70
22,82
18,57
14,24
11,42
8,37
5,99
4,46
2,44
1,84
0,91
0,44
0,23
0,10
0,02
0,02
0,06
1,848
3,36
14,45
44,62
93,85
141,61
167,38
152,13
131,79
114,53
100,85
88,08
75,39
65,93
55,66
48,06
39,10
34,04
28,34
23,47
18,77
15,38
11,72
9,14
6,95
5,24
3,73
2,27
1,49
0,73
0,41
0,25
0,08
0,05
0,01
0,00
0,00
1,499
4,14
15,92
45,15
87,88
125,59
144,83
137,03
124,92
111,68
101,50
87,97
76,75
67,47
58,15
48,54
41,42
34,70
29,26
24,16
20,06
16,52
13,19
10,18
7,86
6,06
4,61
3,11
2,17
1,22
0,70
0,37
0,16
0,07
0,03
0,00
0,00
1,453
4,89
16,70
44,14
84,91
119,84
135,65
130,35
116,51
105,75
94,57
86,36
74,24
64,02
54,56
47,47
39,32
32,43
27,04
22,46
18,22
14,95
12,30
9,51
6,83
5,30
3,85
2,80
1,81
1,12
0,69
0,28
0,14
0,05
0,01
0,01
0,00
1,379
4,62
15,58
40,95
80,33
113,46
129,60
124,88
113,24
99,46
89,30
79,97
71,58
62,23
52,98
45,50
38,92
31,27
25,98
21,26
17,36
13,97
11,49
9,01
6,93
4,90
3,80
2,47
1,68
1,00
0,54
0,26
0,09
0,03
0,01
0,00
0,00
1,315
3,94
14,35
37,51
72,40
101,34
116,66
118,76
109,91
96,43
85,89
79,35
72,03
61,92
51,60
44,11
37,70
30,94
23,94
19,76
16,49
14,41
11,02
9,10
6,90
5,48
3,68
2,41
1,68
0,95
0,58
0,19
0,09
0,06
0,02
0,00
0,00
1,252
84
Таблица №3 “Сравнение погрешностей (в %) аппроксимации повозрастного
распределения рождений при применении различных функциональных зависимостей”
Модели
Метод
Пятипараметрические
Модель
Романюка
Год
1965
1970
1975
1980
1982
1985
1990
1992
1994
1995
1996
1997
Среднее
отклонение
7,85
10,29
9,64
10,38
10,54
7,71
11,53
13,16
11,39
11,13
11,01
10,97
10,47
Четырехпараметрические
Трехпараметрические
Наилучшее
Расчетное
ДвухэлементМодель с
гаммагамманая модель
исчерпанной
приближение распределение
плодовитостью
9,09
9,77
9,25
10,13
8,88
10,74
8,93
9,49
7,66
7,69
7,73
7,78
7,50
8,86
8,06
8,66
7,79
8,85
7,90
8,60
5,81
6,81
6,11
6,24
6,88
9,63
6,88
8,14
7,80
12,86
7,90
10,18
5,30
8,41
5,50
8,62
5,45
7,42
5,45
10,22
5,94
8,11
5,90
11,31
5,95
6,69
6,17
14,72
7,00
8,82
7,15
9,51
Таблица №4 “Сравнение погрешностей (в %) воспроизведения коэффициента
исчерпанной плодовитости при применении различных функциональных
зависимостей”
Модели
Метод
Год
1965
1970
1975
1980
1982
1985
1990
1992
1994
1995
1996
1997
Среднее
отклонение
Пятипараметрические
Модель
Романюка
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
Четырехпараметрические
Трехпараметрические
Наилучшее
Расчетное Двухэлементная
Модель с
гаммагаммамодель
исчерпанной
приближение распределение
плодовитостью
0,00
0,00
1,16
3,38
0,00
0,00
0,57
3,71
0,00
0,00
0,52
0,00
0,00
0,00
0,18
2,58
0,00
0,00
0,17
3,44
0,00
0,00
0,48
0,33
0,00
0,00
0,02
2,10
0,00
0,00
0,18
0,75
0,00
0,00
0,04
0,81
0,00
0,00
0,02
1,40
0,00
0,00
0,04
2,24
0,00
0,00
0,05
2,75
0,00
0,00
0,29
1,96
85
Таблица №5 “Расчетные повозрастные коэффициенты исчерпанной плодовитости
женщин
Украины за 1995-1998 года, первая очередность”
год
возраст
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
1994
1995
1996
1997
4,07
15,54
43,43
82,61
113,37
123,37
106,42
84,82
64,69
49,61
35,72
26,62
19,92
15,63
11,59
9,16
7,54
6,23
4,88
3,88
3,23
2,60
1,98
1,63
1,21
0,87
0,59
0,41
0,20
0,10
0,06
0,02
0,01
0,01
0,00
0,01
4,80
16,30
42,45
79,74
108,16
115,65
101,58
80,00
62,49
47,79
36,49
26,70
19,66
15,60
11,63
8,85
7,08
5,76
4,51
3,53
2,90
2,37
1,81
1,39
1,04
0,71
0,52
0,33
0,18
0,10
0,04
0,02
0,01
0,00
0,00
0,01
4,53
15,23
39,38
75,36
102,40
110,61
97,95
78,72
60,02
46,70
35,18
26,72
19,90
15,22
11,45
8,94
6,87
5,54
4,24
3,37
2,70
2,15
1,68
1,37
0,94
0,68
0,45
0,30
0,16
0,08
0,04
0,01
0,00
0,00
0,00
0,01
3,85
14,06
35,71
67,25
92,50
101,52
93,01
76,64
60,14
46,08
34,79
26,64
20,38
15,60
11,58
8,92
7,01
5,46
4,13
3,29
2,83
2,03
1,63
1,30
1,02
0,62
0,42
0,28
0,15
0,09
0,03
0,01
0,01
0,00
0,00
0,01
Всего
0,842
0,810
0,779
0,739 0,704 0,648
1998 1999
3,40
12,55
32,52
59,91
85,44
95,07
87,94
74,21
60,01
46,11
34,37
26,05
19,95
15,78
11,82
8,87
6,90
5,42
4,21
3,24
2,63
1,93
1,51
1,25
1,02
0,62
0,43
0,27
0,17
0,09
0,04
0,01
0,00
0,00
0,01
0,01
3,01
10,60
25,95
50,23
73,08
82,57
78,17
68,37
59,18
51,02
37,99
27,35
20,68
15,68
10,86
7,81
5,61
4,46
3,10
2,71
2,21
1,71
1,43
1,19
0,96
0,62
0,46
0,24
0,18
0,08
0,03
0,01
0,00
0,00
0,00
0,01
86
Таблица №6 “Расчетные повозрастные коэффициенты исчерпанной плодовитости
женщин
Украины за 1995-1998 года, вторая очередность”
год
возраст
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
1994
1995
1996
1997
1998
1999
0,08
0,39
1,72
5,16
11,73
20,11
27,95
35,50
40,36
43,73
42,61
39,41
35,99
30,87
25,36
20,79
16,55
13,06
9,92
7,70
6,05
4,18
3,02
2,12
1,48
1,12
0,70
0,38
0,20
0,16
0,05
0,03
0,01
0,01
0,00
0,00
0,09
0,40
1,68
5,05
11,18
18,70
26,08
32,28
37,16
39,39
40,73
37,46
33,72
29,62
24,83
19,81
15,53
12,17
9,35
7,09
5,46
3,97
2,85
1,84
1,28
0,92
0,62
0,31
0,18
0,15
0,04
0,02
0,01
0,00
0,00
0,00
0,09
0,36
1,56
4,85
10,58
17,72
24,50
30,48
33,87
35,85
36,64
35,43
32,33
27,72
23,82
19,70
15,04
11,81
9,00
6,85
5,09
3,79
2,73
1,86
1,16
0,90
0,54
0,29
0,16
0,11
0,04
0,01
0,00
0,00
0,00
0,00
0,08
0,32
1,42
4,41
9,54
16,08
22,57
28,31
32,04
32,80
33,69
33,32
31,31
27,23
23,44
19,33
15,32
11,76
9,00
6,79
5,37
3,78
2,74
1,81
1,25
0,83
0,51
0,28
0,15
0,10
0,03
0,01
0,01
0,00
0,00
0,00
0,08
0,28
1,30
4,02
8,80
14,86
20,60
25,97
30,02
30,27
30,84
30,63
28,90
26,32
23,24
18,85
15,05
11,80
9,47
6,81
5,01
3,83
2,63
1,78
1,25
0,86
0,53
0,28
0,15
0,09
0,04
0,01
0,01
0,00
0,00
0,00
0,07
0,23
1,04
3,46
7,52
12,70
17,55
22,47
27,60
30,70
31,45
30,12
28,17
24,97
20,72
16,28
12,21
9,84
7,25
5,81
4,23
3,63
2,60
1,76
1,17
0,88
0,58
0,26
0,17
0,07
0,03
0,01
0,00
0,00
0,00
0,00
Всего
0,448
0,420
0,395
0,376
0,355
0,326
87
Таблица №7 “Расчетные повозрастные коэффициенты исчерпанной плодовитости
женщин
Украины за 1995-1998 года, третья очередность”
год
возраст
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
Всего
1994
1995
1996
1997
1998
1999
0,00
0,01
0,04
0,16
0,58
1,36
2,47
4,08
5,49
6,63
7,46
7,86
8,13
7,86
7,78
7,30
6,59
5,78
5,38
4,58
3,64
3,07
2,31
1,68
1,34
0,89
0,64
0,48
0,25
0,14
0,08
0,04
0,02
0,00
0,00
0,00
0,00
0,01
0,04
0,17
0,56
1,30
2,35
3,74
5,07
5,97
7,04
7,39
7,46
7,38
7,36
6,76
6,07
5,28
4,91
4,11
3,32
2,85
2,18
1,50
1,21
0,77
0,59
0,40
0,23
0,13
0,06
0,04
0,01
0,00
0,00
0,00
0,00
0,01
0,03
0,18
0,54
1,26
2,26
3,56
4,64
5,44
6,24
6,91
6,99
6,75
6,80
6,51
5,75
5,01
4,56
3,86
3,13
2,65
2,09
1,57
1,15
0,79
0,54
0,37
0,21
0,11
0,06
0,03
0,01
0,00
0,00
0,00
0,00
0,01
0,03
0,17
0,50
1,18
2,14
3,34
4,41
4,98
5,64
6,42
6,59
6,45
6,41
6,16
5,71
4,85
4,37
3,70
3,35
2,57
2,11
1,59
1,30
0,77
0,54
0,37
0,20
0,12
0,04
0,03
0,01
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,03
0,17
0,48
1,13
2,01
3,11
4,14
4,61
5,07
5,81
5,90
6,06
6,05
5,76
5,45
4,72
4,37
3,57
3,17
2,52
2,03
1,62
1,37
0,84
0,59
0,39
0,22
0,12
0,06
0,03
0,01
0,00
0,01
0,00
0,00
0,00
0,02
0,17
0,42
1,01
1,78
2,73
3,83
4,68
5,05
5,62
5,56
5,56
5,09
4,74
4,27
3,80
3,14
2,91
2,73
2,30
2,01
1,66
1,36
0,91
0,67
0,37
0,25
0,11
0,05
0,04
0,00
0,00
0,00
0,00
0,104
0,096
0,090
0,086
0,081
0,073
88
Таблица №8 “Расчетные повозрастные коэффициенты исчерпанной плодовитости
женщин
Украины за 1995-1998 года, четвертая очередность”
год
возраст
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
Всего
1994
1995
1996
1997
1998
1999
0,00
0,00
0,00
0,01
0,01
0,09
0,25
0,55
1,02
1,29
1,65
2,01
2,26
2,39
2,16
2,27
2,21
2,02
1,88
1,75
1,62
1,35
1,10
0,96
0,70
0,63
0,37
0,31
0,15
0,10
0,04
0,02
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,01
0,02
0,09
0,24
0,51
0,93
1,18
1,59
1,89
2,10
2,25
2,08
2,12
2,04
1,84
1,74
1,57
1,47
1,28
1,03
0,84
0,62
0,53
0,33
0,27
0,14
0,10
0,03
0,02
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,01
0,03
0,10
0,24
0,50
0,84
1,10
1,44
1,77
1,99
2,07
1,97
2,06
1,94
1,74
1,63
1,46
1,38
1,21
0,98
0,85
0,59
0,52
0,30
0,25
0,13
0,09
0,03
0,01
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,01
0,04
0,10
0,24
0,47
0,79
1,03
1,33
1,64
1,90
1,99
1,91
1,97
1,94
1,69
1,59
1,40
1,47
1,20
0,98
0,84
0,66
0,49
0,29
0,26
0,12
0,10
0,02
0,01
0,01
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,01
0,05
0,10
0,23
0,45
0,73
0,98
1,23
1,48
1,73
1,88
1,87
1,86
1,86
1,64
1,62
1,34
1,38
1,21
0,93
0,83
0,69
0,51
0,32
0,28
0,13
0,10
0,03
0,01
0,01
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,01
0,05
0,09
0,22
0,41
0,66
1,03
1,26
1,43
1,66
1,74
1,63
1,55
1,47
1,32
1,19
1,08
1,18
1,14
0,92
0,83
0,68
0,53
0,35
0,27
0,15
0,10
0,03
0,02
0,01
0,00
0,00
0,00
0,031
0,029
0,027
0,026
0,026
0,023
89
Таблица №9 “Расчетные повозрастные коэффициенты исчерпанной плодовитости
женщин
Украины за 1995-1998 года, пятая очередность”
год
возраст
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
Всего
1994
1995
1996
1997
1998
1999
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,01
0,02
0,06
0,15
0,25
0,42
0,62
0,83
0,85
1,02
1,05
0,94
1,15
0,90
0,97
0,83
0,73
0,62
0,51
0,42
0,36
0,25
0,15
0,13
0,07
0,05
0,01
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,01
0,02
0,06
0,15
0,23
0,43
0,59
0,77
0,82
0,97
0,96
0,90
1,04
0,84
0,87
0,75
0,66
0,58
0,44
0,37
0,29
0,23
0,13
0,11
0,06
0,04
0,01
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,01
0,02
0,06
0,14
0,21
0,41
0,55
0,73
0,77
0,89
0,91
0,89
0,98
0,80
0,81
0,69
0,60
0,54
0,45
0,34
0,27
0,20
0,12
0,10
0,05
0,04
0,01
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,01
0,02
0,06
0,14
0,20
0,40
0,51
0,70
0,76
0,84
0,85
0,93
0,94
0,79
0,77
0,72
0,56
0,53
0,44
0,38
0,24
0,19
0,13
0,09
0,05
0,03
0,01
0,01
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,02
0,06
0,14
0,19
0,39
0,47
0,64
0,73
0,80
0,79
0,93
0,90
0,81
0,74
0,66
0,53
0,50
0,44
0,39
0,24
0,21
0,14
0,10
0,05
0,04
0,01
0,01
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,02
0,06
0,14
0,20
0,42
0,45
0,62
0,70
0,68
0,64
0,78
0,72
0,61
0,60
0,55
0,47
0,48
0,44
0,38
0,24
0,23
0,14
0,10
0,04
0,03
0,02
0,01
0,00
0,00
0,00
0,013
0,012
0,012
0,011
0,011
0,010
90
Таблица №10 “Расчетные повозрастные коэффициенты исчерпанной плодовитости
женщин
Украины за 1995-1998 года, шестая очередность”
год
возраст
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
Всего
1994
1995
1996
1997
1998
1999
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,01
0,01
0,03
0,07
0,11
0,20
0,29
0,39
0,38
0,53
0,48
0,57
0,56
0,52
0,45
0,48
0,41
0,34
0,31
0,24
0,17
0,12
0,12
0,05
0,02
0,01
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,01
0,01
0,03
0,06
0,11
0,20
0,27
0,36
0,37
0,49
0,45
0,51
0,51
0,47
0,42
0,45
0,38
0,29
0,27
0,20
0,15
0,10
0,10
0,04
0,02
0,01
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,01
0,01
0,01
0,03
0,06
0,10
0,19
0,25
0,33
0,35
0,47
0,43
0,47
0,48
0,44
0,40
0,41
0,36
0,30
0,25
0,20
0,13
0,10
0,08
0,03
0,02
0,01
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,01
0,01
0,01
0,03
0,06
0,09
0,18
0,24
0,31
0,34
0,44
0,43
0,44
0,46
0,43
0,43
0,40
0,36
0,29
0,27
0,19
0,13
0,10
0,07
0,03
0,01
0,01
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,01
0,01
0,01
0,03
0,06
0,08
0,17
0,22
0,28
0,33
0,41
0,42
0,42
0,46
0,42
0,42
0,39
0,34
0,29
0,27
0,20
0,13
0,11
0,06
0,02
0,01
0,01
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,01
0,01
0,01
0,03
0,06
0,09
0,17
0,22
0,25
0,29
0,34
0,34
0,32
0,33
0,34
0,37
0,35
0,32
0,28
0,26
0,21
0,14
0,11
0,06
0,02
0,01
0,01
0,00
0,01
0,00
0,00
0,007
0,006
0,006
0,006
0,006
0,005
91
Таблица №11 “Расчетные повозрастные коэффициенты исчерпанной плодовитости
женщин
Украины за 1995-1998 года, седьмая очередность”
год
возраст
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
Всего
1994
1995
1996
1997
1998
1999
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,01
0,03
0,05
0,09
0,16
0,18
0,22
0,24
0,25
0,33
0,31
0,31
0,32
0,26
0,23
0,23
0,20
0,11
0,10
0,06
0,03
0,02
0,01
0,01
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,01
0,03
0,05
0,08
0,15
0,17
0,21
0,22
0,23
0,30
0,29
0,27
0,30
0,24
0,20
0,20
0,17
0,10
0,08
0,06
0,03
0,02
0,01
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,01
0,02
0,05
0,07
0,13
0,15
0,21
0,22
0,22
0,29
0,28
0,25
0,28
0,22
0,20
0,18
0,17
0,09
0,07
0,05
0,02
0,01
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,01
0,01
0,02
0,05
0,06
0,12
0,14
0,21
0,22
0,21
0,28
0,28
0,26
0,28
0,21
0,20
0,19
0,17
0,09
0,07
0,05
0,03
0,01
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,01
0,01
0,02
0,05
0,05
0,11
0,12
0,21
0,22
0,21
0,29
0,28
0,23
0,27
0,19
0,19
0,19
0,18
0,10
0,07
0,06
0,02
0,02
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,01
0,01
0,02
0,02
0,05
0,05
0,10
0,10
0,18
0,18
0,17
0,22
0,24
0,19
0,25
0,18
0,19
0,17
0,19
0,11
0,06
0,06
0,02
0,01
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,004
0,003
0,003
0,003
0,003
0,003
92
Таблица №12 “Расчетные повозрастные коэффициенты исчерпанной плодовитости
женщин
Украины за 1995-1998 года, восьмая и более очередности”
год
возраст
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
Всего
1994
1995
1996
1997
1998
1999
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,02
0,02
0,02
0,06
0,10
0,14
0,17
0,24
0,32
0,35
0,40
0,46
0,48
0,39
0,36
0,30
0,28
0,23
0,13
0,08
0,05
0,02
0,01
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,02
0,02
0,02
0,06
0,10
0,14
0,16
0,23
0,30
0,32
0,36
0,43
0,45
0,34
0,31
0,27
0,26
0,19
0,12
0,08
0,04
0,02
0,01
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,01
0,00
0,00
0,00
0,02
0,01
0,02
0,05
0,10
0,14
0,16
0,24
0,29
0,30
0,35
0,39
0,42
0,34
0,29
0,27
0,23
0,17
0,11
0,07
0,03
0,01
0,01
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,01
0,01
0,01
0,00
0,00
0,01
0,01
0,02
0,06
0,11
0,14
0,16
0,25
0,28
0,29
0,37
0,37
0,42
0,33
0,32
0,27
0,23
0,17
0,10
0,07
0,02
0,01
0,01
0,01
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,01
0,00
0,01
0,01
0,01
0,00
0,01
0,01
0,01
0,02
0,06
0,11
0,14
0,16
0,26
0,29
0,28
0,36
0,36
0,39
0,32
0,32
0,30
0,25
0,18
0,10
0,07
0,03
0,02
0,02
0,01
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,01
0,00
0,01
0,01
0,01
0,00
0,01
0,01
0,01
0,03
0,06
0,11
0,13
0,14
0,23
0,22
0,23
0,31
0,32
0,38
0,32
0,30
0,32
0,28
0,16
0,11
0,07
0,02
0,02
0,01
0,02
0,00
0,00
0,005
0,004
0,004
0,004
0,004
0,004
93
Литература
1. Алексеев В.В., Влияние фактора насыщения на динамику системы "хищник жертва" // Биофизика, 18, 15, 1973 г. – С. 922-926.
2. Аоки Масанао, Введение в методы оптимизации. Основы и приложения
нелинейного программирования, пер. с англ., М: Наука, 1977 г. – 343 с.
3. Базыкин А.Д., Математическая биофизика взаимодействующих популяций – М.,
Наука, 1985 г. – 165 с.
4. Базыкин А.Д., Система Вольтерра и уравнение Михаэлиса-Ментен // Вопросы
математической генетики – Новосибирск: СО АН СССР, 1974 г., С. 103–143.
5. Вишневский А.Г., Население и производство // Модели демографических связей –
М: Статистика, 1972 г. – С. 66-128.
6. Влияние социально-экономических факторов на демографические процессы – К:
Наукова думка, 1972 г. – 238 с.
7. Вольтерра В., Математическая теория борьбы за существование. – М: Наука, 1976 г.
– 286 с.
8. Высоцкая Н.В., Гречуха В.А., Щербов С.Я., Моделирование демографического
развития региона (на примере США) – М: Препринт/ВНИИСИ, 1986 г. – 49 с.
9. Гаврилов Л.А., Гаврилова Н.С., Биология продолжительности жизни – М: Наука,
1991 г. – 280 с.
10. Гаузе Г.Ф., Витт А.А., О периодических колебаниях численности популяций:
математическая теория релаксационного взаимодействия между хищниками и
жертвами и ее применение к популяции двух простейших // Изв. АН СССР,
отделение математических и естественных наук. Сер. VII, т. 10, 1934 г. – С. 1551–
1559.
11. Гаузе Г.Ф., Исследования над борьбой за существование в смешанных популяциях
// Зоолог. Ж. Т. 14, №2, 1935 г. – С. 243–270.
12. Демографический энциклопедический словарь, Редкол.: Валентей Д.И. и др. – М:
Сов. энциклопедия, 1985 г. – 608 с.
13. Демоэкономика: вопросы теории и практики – К: Институт экономики АН УССР,
1985 г. – 89 с.
14. Демоэкономика зрелого социализма – К: Институт экономики АН УССР, 1983 г. –
97 с.
94
15. Демоэкономические исследования – К: Институт экономики АН УССР, 1980 г. –
129 с.
16. Дубовский
С.В.,
Уздемир
А.П.,
Шалаев
Ю.В.,
Математические
модели
демографических процессов. Обзор. – М: Международный центр научной и
технической информации, 1977 г. – 61 с.
17. Елизаров Е.Я., Савченко В.С., Численные методы нелинейного программирования.
Тексты лекций. – Донецк, 1982 г. – 66 с.
18. Ермаков
С.П.,
Современные
возможности
интегральной
оценки
медико-
демографических процессов – М: Институт социально-политических исследований
РАН, 1996 г. – … с.
19. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н., Математические методы в
экономике – М: МГУ им. Ломоносова, Издательство «ДИС», 1997 г. – 368 с.
20. Иванов Ю.Н., Токарев В.В., Уздемир А.П., Математическое описание элементов
экономики – М: “Физ.-мат. литература”, 1994 г. – 414 с.
21. Капица С.П., Рост народонаселения мира и глобальные проблемы – М: МФТИ, 1996
г. – 71 с.
22. Киреев В.Б., Яворский В.А., Экономико-демографическая модель эволюции
численности и возрастной структуры социально-однородного населения //
Моделирование управляемых динамических систем – М: МФТИ, 1998 - С. 4- 16
23. Коптюг В.А., Конференция ООН по окружающей среде и развитию (Рио-деЖанейро, июнь, 1992). Информационный обзор. – Новосибирск, 1992. – С. 25.
24. Кузьмин И.И., Риск и безопасность. Концепция, методология, методы. //
Автореферат докторской диссертации по специальности экология. – М: Агентство
«Форум», 1993 г. – 70 с.
25. Курицкий Б.Я., Поиск оптимальных решений средствами Excel 7.0 – СПб: BHVСанкт-Петербург, 1997 г. – 384 с.
26. Макконел К.Р.‚ Брю С.Л., Экономикс: принципы‚ проблемы и политика – К.: ХагарДемос‚ 1993 г. – 785 с.
27. Медоуз Д.Х., Медоуз Д.Л., Райдерс Й., За пределами роста – М: Изд. Группа
“Прогресс”, “Патея”, 1994 г. – 304 с.
28. Минкевич
И.Г.,
О
микробиологических
распределенных
культур
//
моделях
пространственно
Математическое
гомогенных
моделирование
микробиологических процессов – Пущино: ОНТИ НЦБИ АН СССР, 1973 г. – С.
127–160.
95
29. Назаренко В.Г., Сельков Е.Е., Автоколебательные режимы роста клеточных
популяций // Математическое моделирование микробиологических процессов –
Пущино: ОНТИ НЦБИ АН СССР, 1973 г. – С. 113–119.
30. Овсянников Л.Л., Пасеков В.П., Эволюция и эволюционная оптимальность
признаков организма // Журнал общей биологии, т. 51, № 5, 1990 г. – С. 709–718.
31. Овсянников Л.Л., Принцип оптимальной конструкции и критерий эволюционной
оптимальности значений признаков организма // Журнал общей биологии, т. 54, №
3, 1993 г. – С. 341–356.
32. Оленев
Н.Н.,
Решетцева
Е.В.,
Саранча
Д.А.,
Модель
взаимодействия
демографических и экономических процессов (рождаемость, образованность и
благосостояние) – Москва: Вычислительный центр РАН, 1997 г. – 26 с.
33. Полак Э., Численные методы оптимизации. Единый подход. – М: Мир, 1974 г. – 376
с.
34. Проблемы Гильберта. Сборник // Под ред. П.С. Александрова – М., 1969 г.
35. Программа действий // Повестка дня на 21 век и другие документы конференции в
Рио-де-Жанейро в популярном изложении. – Женева: Центр “За наше общее
будущее”, 1993 г. – 70 с.
36. Продолжительность жизни: анализ и моделирование – сборник статей под ред.
Андреева Е.М., Вишневского А.П. – М: Статистика, 1979 г. – 157 с.
37. Ризниченко
Г.Ю.,
Рубин
А.Б.,
Математические
модели
биологических
продукционных процессов – М: Изд. МГУ, 1993 г. – 301 с.
38. Романовский И.В., Алгоритмы решения экстремальных задач – М: Наука, 1977 г. –
351 с.
39. Романовский Ю.М., Степанова Н.В., Чернавский Д.С., Математическая биофизика –
М: Наука, 1988 г. – 304 с.
40. Самарский А.А., Михайлов А.П., Математическое моделирование: Идеи. Методы.
Примеры. – М: Наука. Физматлит, 1997 г. – 320 с.
41. Свирежев Ю.М., Логофет Д.О., Устойчивость биологических сообществ – М:
Наука, 1978 г. – 352 c.
42. Сови А., Общая теория народонаселения. Том первый: экономика и рост
народонаселения – М: ”Прогресс”, 1977 г. – 503 с.
43. Степанова Н.В., Математические модели непрерывной культуры микроорганизмов,
распределенных по возрастам и размерам // Математические модели в экологии –
Горький: Изд. ГГУ, 1980 г. – С. 95-113.
96
44. Федоренко Р.П., Введение в вычислительную физику – М: Изд-во МФТИ, 1994 г. –
528 с.
45. Форрестер Дж., Мировая динамика – М: Наука, 1978 г. – 164 с.
46. Шукайло В.Ф., К демоэкономической теории смертности // Экономика и
математические методы, 1978 г., №2 – С. 257-278.
47. Щербов С.Я., Юрченко В.В., Моделирование динамики возрастных структур
рождаемости
и
смертности
//
Человеко-машинная система
моделирования
процессов глобального развития – М., 1982 г.
48. Яблонов А.В., Реймерс Н.Ф., Ильичев В.Д., Биология и современность – М:
”Просвещение”, 1990 г. – 208 с.
49. Яворский В.А., Киреев В.Б., Обзор экономико-демографических моделей //
Демографические исследования. Вып. 20. – Киев: Ин-т экономики НАН Украины,
1999 г. – С. 40-69.
50. Яворский В.А., Методики определения структур новорожденных по очередностям
рождений и возрасту женщин // Демографические исследования, вып. 21. - К.: Ин-т
экономики НАН Украины, 1999 - С. 206-220
51. Яворский
В.А.,
Математические
методы
прогнозирования
повозрастной
рождаемости // Демографические исследования, вып. 22. - К.: Ин-т экономики НАН
Украины, 2000 - С. 214-229
52. Яворский
В.А.,
Киреев
В.Б.,
Лобанов
А.И.,
Стационарное
возрастное
распределение, скорость роста населения и их связь с обобщенным ресурсом //
тезисы
докладов
на
XXXIX
Юбилейной
научной
конференции
МФТИ
“Современные проблемы фундаментальной и прикладной физики и математики”,
выпуск №3 – Москва-Долгопрудный, 1996 г. – С.109.
53. Яворский В.А., Стешенко В.С., Киреев В.Б., Параметрическая аппроксимация
статистических
данных
демографических
о
моделей
рождаемости
//
тезисы
и
смертности
докладов
XLI
при
построении
Юбилейной
научной
конференции МФТИ “Современные проблемы фундаментальных и прикладных
наук”, часть №2 – Москва - Долгопрудный, 1998 г. – С. 224.
54. Яворский В.А., Сойнов Л.А., Киреев В.Б. Взаимосвязь различных социальноэкономических характеристик общества и скорости роста численности социально
однородного населения со стабильной возрастной структуры // Тезисы докладов
XLII
Юбилейной
научной
конференции
МФТИ
«Современные
проблемы
фундаментальных и прикладных наук» – Москва, 1999 г. – С. 29.
97
55. Яворский В.А., Киреев В.Б., Влияние неоднородности населения на скорость роста
численности населения со стабильной возрастной структурой // тезисы докладов на
XLIII Юбилейной научной конференции МФТИ
«Современные проблемы
фундаментальных и прикладных наук», часть VI – Москва-Долгопрудный, 2000 г. –
С. 9.
56. Кирєєв В.Б., Лобанов О.І., Яворський В.А., Вікова структура та швидкість зміни
чисельності стабільного населення та їх звязок з узагальненим ресурсом //
Демографічні дослідження. Вип. 19. – Київ: Ін-т економіки НАН України, 1997 р. –
С. 178-190.
57. Романюк А. І., Трьохпараметрова модель для прогнозування народжуваності //
Демографічні студії – Київ: Інститут економіки НАН України, 1997 р. – С. 215-228.
58. Coale A.J., Trussel T.J., Model Fertility Schedules: Variation in the Age Structure of
Childbearing in Human Populations // Population Index. V.40, n.2, 1977 – P. 185-201.
59. Hadwiger H., Eine analytische Reproduktionsfunktion für biologische Gesamtheiten //
Scandinavisk Aktuarietidskrift, XXIII, 1940 – P. 101-113
60. Harrier O. D., Mortality and Income Inequality Among Economically Developed
Countries // Social Security Bulletin. Vol. 58, No. 2., 1995 – P. 34-50.
61. Kireev V.B., Can ecological safety and sustainable development be treated as a physical
concept? // CEES Working Paper No 134, the center for energy and environmental studies
– Princeton university, 1996 – 11 p.
62. Kireeva G.I., Kireev V.B., What is money? The money cost from the point of view of a
physicist // CEES Working Paper No 135, the center for energy and environmental studies
– Princeton university, 1996 – 13 p.
63. Leslie P.H. On the use of matrices in certain population mathematics // Biometrica. V. 33,
1945 – P. 183-212.
64. Lotka A.J., Theorie analutique des associations biologiqes. Part II. Analyse
demographique avec application particuliere a l’espese humaine // Actualies Scientifiques
et Industrielles, № 780 – Paris: Hermann & Cie, 1939.
65. Lutz W., Pirozkov S., Scherbov S., Modeling Ukrainian Fertility Since 1925 – IIASA:
Working paper, 1990 – 16 p.
66. Lutz W., Scenarios for the World Population in the Next Century: Excessive Growth or
Extreme Aging – IIASA: Working Paper, 1991 – 13 p.
67. Mason A., Suits D.B. & others, Populations Growth and Economic Development: Lessons
from Selected Asian Countries – N.Y.: UN, 1986 – 82 p.
98
68. McKendrick A.G. Applications of Mathematics to Medical Problems // Proc. Edinburg
Math. Soc. V. 44, # 1, 1926 – P. 98-130.
69. Nathan Keyfitz, Introduction to the Mathematics of Population with Revisions – AddisonWesley Publishing Company, Inc., 1977 – 490 p.
70. Nathan Keyfitz, Population and Development Within the Ecosphere: One View of the
Literature // Population Index. V. 57 (1), 1991 – P. 5-22.
71. Novick A., Czilard L., Experiments with the hemostat on spontaneous mutation of
bacteria // Proc. Nat. Acad., Sci., v. 36 – USA, 1950 – P. 708-719.
72. Romer D., Advanced Macroeconomics, – The McGraw-Hill Companies, Inc., 1996 – Ch.
1, P. 5-32.
73. Scenderson W.C., Tan J.-P., Population in Asia – The World Bank, Wasshington, D.C.,
1995 – 237 p.
74. Trucco E., Mathematical model for cellular system the von Foester equation // Bullet. of
Math. Bioph., v. 27, 1965 – P. 285-304.
75. Von Foester H., Some Remark on Changing Population // The Kinetics of Cellular
Proliferations. – N.Y.: 1959 – P. 382-407.
76. Wicksell D.V., Nuptiality, fertility, and reproductivity // Skandinavisk Aktuarietidskrift,
LII, 1950 – P. 642-648.
77. Wood S.N., Obtaining Birth and Mortality Patterns from Structured Population
Trajectories // Ecological Monographs, v. 64 (1), 1994 – P.23-44.
99