seminar25

Семинар 25 (1-ой семинар второго семестра)
Повторение основных принципов и идей квантовой механики
В связи с началом нового семестра подведем итоги семестра предыдущего на примере
разбора ряда тестовых задач, охватывающих всю программу осеннего семестра. Цель занятия –
повторение основных принципов и идей квантовой механики.
Кратко повторить основные постулаты квантовой механики, основные принципы и идеи.
Рассмотреть следующие тестовые задачи (все – кратко прокомментировать или разобрать).
Задача 1. Частица находится в состоянии, в котором ее координата x имеет определенное
значение a . Проводят измерение проекции импульса частицы на ось x . Какие значения будут
получены?
Задача 2. Какая из нижеперечисленных функций является общей собственной функцией
операторов x̂ и p̂ x ?
б.  ( x  a) exp(ibx)
А.  ( x  a ) sin bx
в.  ( x  a) exp(ibx)
г. такой функции не
существует (здесь a , b - произвольные действительные числа)
Задача 3. Состояние частицы описывается волновой функцией
 ( x, t ) . По какой из
нижеперечисленных формул можно найти волновую функцию этого состояния в импульсном
представлении C ( p, t ) ?
А. C ( p, t )   ( p, t )
в. C ( p, t ) 
1
2
б. C ( p, t ) 
 px 
 dx

 ( x, t ) sin 
1
2

 ( x, t ) exp  i
г. C ( p, t ) 
px 
 dx

1
2
 px 
 dx

  ( x, t ) cos 
Задача 4. Гамильтониан некоторой квантовой системы не зависит от времени. Собственные
функции  n и собственные значения En этого гамильтониана известны. Какой из нижеследующих
формул описывается общее решение временного уравнения Шредингера  ( x, t ) ?
 E t
А. ( x, t )   Cn  n ( x) exp  i n 


n
 E t
в. ( x, t )   Cn  n ( x) exp   n 


n
 E t
б. ( x, t )   Cn  n ( x) exp  i n 


n
E t
г. ( x, t )   Cn  n ( x) exp  n 


n
1
Задача 5. Потенциальная энергия частицы не зависит от времени. Известно, что частица
находится в состоянии с определенной энергией. Как зависит от времени среднее значение
координаты частицы?
А. растет
б. убывает
в. не зависит от времени
г. зависит от конк-
ретного вида потенциала
Задача 6. Гамильтониан квантовой системы не зависит от времени. Среднее значение физической
величины в некотором состоянии зависит от времени. Какое из нижеприведенных утверждений
является верным?
а. энергия системы имеет определенное значение
б.
оператор
этой
физической
величины не коммутирует с оператором Гамильтона
в. оператор этой физической величины
коммутирует с оператором Гамильтона убывают
г. такого быть не может
Задача 7. Потенциальная энергия обращается в нуль при x   (см.
рисунок).
Какова
кратность
вырождения
собственных
U ( x)
значений
гамильтониана, относящихся к непрерывному спектру?
А. не вырождены
б. двукратно вырождены
x
в.
часть
собственных значений не вырождена, часть двукратно вырождена
г. зависит от конкретного
вида потенциала
Задача 8. Частица движется в некотором потенциале U ( x) . Известно, что
U ( x)
U ( x)   при x   , и U ( x)   при x   (см. рисунок). Каким
будет
спектр
стационарных
состояний
частицы,
дискретным
x
или
непрерывным?
А. дискретным
б. непрерывным
непрерывным, при отрицательных – дискретным
в.
при
положительных
энергиях
–
г.
при
положительных
энергиях
–
дискретным, при отрицательных – непрерывным
Задача 9. На рисунке сплошной и пунктирной линией показаны графики
f ( x)
двух собственных функций одномерного оператора Гамильтона. Какая из
этих функция отвечает большему собственному значению?
А. «сплошная»
б. «пунктирная»
в.
отвечают вырожденным по энергии состояниям
x
эти
функции
г. информации для ответа недостаточно
2
Задача 10. Волновая функция гармонического осциллятора в некоторый момент времени имеет
вид (1  2 x) exp(- x 2 / 2) ( x 
/ m - безразмерная координата осциллятора). Какие значения
энергии осциллятора могут быть обнаружены при измерениях?
А.  / 2 и 3  / 2
б. 3  / 2 и 5  / 2
в. только 3  / 2
г.
только
/2
Задача 11. Осциллятор находится в состоянии, в котором его энергия может принимать второе и
восьмое собственные значения (основное состояние – нулевое). Будет ли четность осциллятора
иметь в этом состоянии определенное значение?
а. да, P  1
б. да, P  1
в. нет
зависит от состояния

Задача 12. Для каких значений индексов n и m отличен от нуля интеграл

f n ( x) xˆ f m ( x)dx , где

f n ( x) и f m ( x) собственные функции осциллятора, x̂ - оператор координаты?
А. если индексы n и m совпадают
б. если индексы n и m - числа одной четности
в. если индексы n и m отличаются на 2
г. если индексы n и m отличаются на 1
Задача 13. Потенциальная энергия частицы U ( x) отлична от нуля в конечной области. Волновая
функция стационарного состояния частицы в некоторый момент времени имеет следующие
асимптотики ( k  2mE /
2
, m - масса частицы): при x   - eikx , при x   -
1  ikx i 3 ikx
e 
e .
2
2
Чему равны коэффициенты отражения R и прохождения T ?
А. R  1/ 4, T  3 / 4
б. R  3 / 4, T  1/ 4
в. R  1/ 3, T  2 / 3
г.
такие
асимптотики волновая функция иметь не может
Задача 14. Потенциальная энергия частицы U ( x) отлична от нуля в конечной области. Волновая
функция стационарного состояния частицы в некоторый момент времени имеет следующие
асимптотики ( k  2mE /
2
, m - масса частицы): при x   -
1 ikx
e , при x   2
1 ikx i 3 ikx
e 
e . Чему равны коэффициенты отражения R и прохождения T ?
2
2
А. R  1/ 4, T  3 / 4
б. R  3 / 4, T  1/ 4
в. R  1/ 3, T  2 / 3
асимптотики волновая функция иметь не может
3
г.
такие
Задача 15. Потенциальная энергия частицы U ( x) отлична от нуля в конечной области. Волновая
функция стационарного состояния частицы в некоторый момент времени имеет следующие
асимптотики ( k  2mE /
2
, m - масса частицы): при x   -
1 ikx i 10 ikx
e 
e , при x   - eikx .
3
3
Чему равны коэффициенты отражения R и прохождения T ?
А. R  1/10, T  9 /10
б. R  1/ 9, T  8 / 9
в. R  9 /10, T  1/10
г.
такие
асимптотики волновая функция иметь не может
Задача 16. Какое из перечисленных равенств правильное?
А.  Lˆx , Lˆz   i Lˆ y
б.  Lˆz , Lˆ y   i Lˆz
в.  Lˆx , Lˆz   i Lˆx
г.  Lˆx , Lˆz   i Ly
Задача 17. Пусть  - одна из собственных функций оператора квадрата орбитального момента
импульса частицы. Какие утверждения относительно функции  справедливы?
А. она также является собственной функцией оператора Lˆ x
собственной функцией оператора Lˆ y
оператора Lˆ z
б.
она
также
является
в. она также является собственной функцией
г. мало информации чтобы выбрать между а., б. и в.
Задача 18. Частица находится в состоянии с волновой функцией Y54 ( ,  ) . Какие значения
квадрата орбитального момента могут быть получены при измерениях?
А. любое из чисел 0, 2 2 , 6 2 , 12 2 , 20 2 , 30
б. 20
2
2
в. 25
2
г. 30
2
Задача 19. Частица находится в состоянии с волновой функцией Y54 ( ,  ) . Измеряют проекцию
орбитального момента на ось z . Какие значения могут быть получены при измерениях?
А. m  5
б. любое целое число из интервала 4  m  4
в. m  4
г.
любое целое число из интервала 5  m  5

Задача 20. Что можно сказать об интеграле
  (r )
1
2
(r )dr , где 1 (r ) и  2 (r ) - радиальные
0
волновые функции (  (r )  rR(r ) ) стационарных состояний дискретного спектра
а. он равен нулю, если эти функции отвечают разным радиальным квантовым числам и разным
моментам
б. он равен нулю, если эти функции отвечают разным радиальным квантовым
числам, но одинаковому моменту
в. он равен нулю, если эти функции отвечают
одинаковым радиальным квантовым числам, но разным моментам
г. он равен нулю,
если эти функции отвечают одинаковым радиальным квантовым числам и одинаковым моментам
4
Задача 21. Уровень энергии частицы в центральном поле вырожден. Существует ли «случайное»
вырождение в этом поле?
А. да
б. нет
в. данной информации недостаточно для ответа
г. зависит от
состояния
Задача 22. Кратность вырождения уровня энергии частицы, находящейся в центральном поле,
равна 6. Существует ли «случайное» вырождение в этом поле?
А. да
б. нет
в. кратность вырождения, равная 6, и существование «случайного»
вырождения никак не связаны между собой
г. зависит от поля
Задача 23. Кратность вырождения некоторого уровня энергии частицы, находящейся в
центральном поле, равна 7. Существует ли «случайное» вырождение в этом поле?
А. да
б. нет
в. существование уровня, с кратностью вырождения, равной 7, и
существование «случайного» вырождения никак не связаны между собой
частицы
5
г. зависит от массы
Домашнее задание
Те задачи, которые останутся нерешенными, задать на дом.
6